中学平面几何《有关三角形五心》的试题分析
一、垂心
三角形三条高的交战，称为三角形的垂心. 由三角形的垂心造成的四个等(外接) 圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.
例1．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为
△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心. 求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) 1
A 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径
为R . 由△A 2A 3A 4知
A 2H 1
=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A A 43sin ∠A 2A 3H 1
4
由△A 1A 3A 4得
A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.
但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A H ， ∥
=12
故得H 1H 2 ∥ A A . 设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点
=21
成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.
故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上. 后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称. 由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.
例2．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心. 一个以H 为圆
心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题) B 21A 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可. 设 E A 2A 1BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外
接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . B
C
1
连HA 1，AH 交EF 于M . A A 12=AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2
2
B 1
=r 2+(AM 2-MH 2) ， ①
11
又AM 2-HM 2=(AH 1) 2-(AH -AH 1) 2
22
2
=AH ·AH 1-AH =AH 2·AB -AH 2
2
=cos A ·bc -AH ， ②
AH
而=2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,
sin ∠ABH a
=2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . sin A
∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③
由①、②、③有
b 2+c 2-a 2
A A =r +·bc -(4R 2-a 2)
2bc
21
2
1222
(a +b +c )-4R 2+r 2. 2
1
同理，BB 12=(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，
21
CC 12=(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.
2
故有AA 1=BB 1=CC 1. 二、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心. 对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：
设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C . 换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).
D 例3．ABCD 为圆内接凸四边形，取
△DAB ，△ABC ，△BCD ， C △CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4. 求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.
(1986，中国数学奥林匹克集训题)
B A 证明见《中等数学》1992；4
例4．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E O 内切. 试证：EF
中点P 是△ABC 之内心.
(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增
加了条件AB =AC . 当AB ≠AC ，怎样证明呢？
如图，显然EF 中点P 、圆心Q 中点K 都在∠BAC 平分线上. 易知
r AQ =.
sin αA M
∵QK ·AQ =MQ ·QN ，
=
E
MQ ⋅QN
∴QK =
AQ
(2R -r ) ⋅r
==sin α⋅(2R -r ) .
r /sin α
由Rt △EPQ 知PQ =sin α⋅r .
B
C
K
∴PK =PQ +QK =sin α⋅r +sin α⋅(2R -r ) =sin α⋅2R . ∴PK =BK . α
利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 三、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于
一点，是旁切圆的圆心，称为旁心. 旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.
例5．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .
式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，
p 表示半周.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：
p (p -c )=(p -a )(p -b ).
11
∵p (p -c )=(a +b +c ) ·(a +b -c ) c K
22O 31O 2
=[(a +b ) 2-c 2]
4r b E 1
B =ab ； a C 21
11
(p -a )(p -b )=(-a +b +c ) ·(a -b +c )
2211
=[c 2-(a -b ) 2]=ab .
42
∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得 r a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p .
1
而r =(a +b -c )
2
=p -c . ∴r +r a +r b +r c
=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.
例6．M 是△ABC 边AB 上的任意一点. r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC
内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.
证明：
r 1r r ·2=. q 1q 2q
(IMO -12)
分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知
A '
OD =OA ′·sin
2
B ' sin
A ' =A ′B ′··sin 2sin A ' O ' B '
C ' A E
B '
O '
A ' B ' ⋅sin ， =A ′B ′·
A ' +B ' sin
2A ' B ' cos cos
. O ′E = A ′B ′·
A ' +B ' sin
2
OD A ' B '
=tg tg . ∴O ' E 22亦即有
sin
r 1r A ∠CMA ∠CNB B
tg tg ·2=tg tg
2222q 1q 2 =tg
A B r tg =. 22q
四、众心共圆
这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心. 例7．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA . 试证：(1)AD ，
BE ，CF 三条对角线交于一点；
(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)
分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分
线，I 为△ACE 的内心. 从而有ID =CD =DE ， IF =EF =FA ， IB =AB =BC . 再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不
..
等式有： Erdos
A
BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).
F
不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . B
∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .
E ∴AB +BC +CD +DE +EF +FA =2(BI +DI +FI )
C
≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI ) =AD +BE +CF . I 就是一点两心.
例8．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心. 证明OE
丄CD .
(加拿大数学奥林匹克训练题)
A 分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点
F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设
E F D CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. B
C
连GE ，MF ，MF 交DC 于K . 易证：
111
DG :GK =DC :(-) DC =2:1.
323
∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF . ∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，
∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE . 但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD .
例9．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的
E 点使得AD =BE =AB . 求证：OI 丄DE ，OI =DE . (1988，中国数学奥林匹克集训题)
分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，
∠AID =∠AIB =∠EIB . D
A C 利用内心张角公式，有
I 1 ∠AIB =90°+∠C =105°，
2
B
∴∠DIE =360°-105°×3=45°.
1
∵∠AKB =30°+∠DAO
21
=30°+(∠BAC -∠BAO )
21
=30°+(∠BAC -60°)
21
=∠BAC =∠BAI =∠BEI .
2
∴AK ∥IE .
由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，
∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .
例10．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心. 设外心到三边距离
和为d 外，重心到三边距 A 离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.
H 求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. G O 2
O G 2
分析：这里用三角法. 设△ABC 外接圆
H 2半径为1，三个内角记为A ，B ， B C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 C O 1G 1H 1
=cos A +co sB +cos C ，
∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ① ∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得BH 2·CH 3.
∴3d 重=△ABC 三条高的和
=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ②
BH
=2，
sin BCH
∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3
=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③ 欲证结论，观察①、②、③，
须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B . 即可.
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 五、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心. 与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.
例11．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交
AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P ′. 试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)
A P 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP
=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点
N 是△P ′PC 的外心. 有
11B C ∠BP ′P =∠BMP =∠BAC ， P 2211
∠PP ′C =∠PNC =∠BAC .
22
∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .
从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .
例12．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S . 证明以△APS ，△BQP ，
△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
A 分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，
△CSQ 的外心，作出六边形 P K O 1PO 2QO 3S 后再由外
心性质可知 O 2B C ∠PO 1S =2∠A ， Q
∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .
∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°. 从而又知∠O 1PO 2+
∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°
将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可
得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3.
1
∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=∠O 2O 1K
2
∴
1
(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) 21
=(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)
21
=∠PO 1S =∠A ；
2
同理有∠O 1O 2O 3=∠B . 故△O 1O 2O 3∽△ABC . 六、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心. 掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.
例13．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点. 证明：在△PAD ，△
PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)
A
分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB
A ' ，BC 相交. 从A ，C ，D ，E ，F 分别 E 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. B C P 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+ ∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .
两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .
例14．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围
成的新三角形相似. 其逆亦真.
分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′. G
为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF . (1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有
1
2a 2+2b 2-c 2， CF =21
2c 2+2a 2-b 2， BE =21
2b 2+2c 2-a 2. AD =2
将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得
=
CF =
33a ，BE =b ，AD =c . 222
a :b :c 222
∴CF :BE :AD =
=a :b :c .
故有△∽△′.
(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列.
当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴
S ∆' CF 2
＝() .
a S ∆
3
”，有4
据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的
S ∆' 3
=. S ∆4
CF 23
∴2=⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2
4a
⇒a 2+c 2=2b 2.
中学平面几何《有关三角形五心》的试题分析
一、垂心
三角形三条高的交战，称为三角形的垂心. 由三角形的垂心造成的四个等(外接) 圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.
例1．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为
△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心. 求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) 1
A 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径
为R . 由△A 2A 3A 4知
A 2H 1
=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A A 43sin ∠A 2A 3H 1
4
由△A 1A 3A 4得
A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.
但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A H ， ∥
=12
故得H 1H 2 ∥ A A . 设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点
=21
成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.
故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上. 后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称. 由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.
例2．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心. 一个以H 为圆
心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题) B 21A 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可. 设 E A 2A 1BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外
接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . B
C
1
连HA 1，AH 交EF 于M . A A 12=AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2
2
B 1
=r 2+(AM 2-MH 2) ， ①
11
又AM 2-HM 2=(AH 1) 2-(AH -AH 1) 2
22
2
=AH ·AH 1-AH =AH 2·AB -AH 2
2
=cos A ·bc -AH ， ②
AH
而=2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,
sin ∠ABH a
=2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . sin A
∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③
由①、②、③有
b 2+c 2-a 2
A A =r +·bc -(4R 2-a 2)
2bc
21
2
1222
(a +b +c )-4R 2+r 2. 2
1
同理，BB 12=(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，
21
CC 12=(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.
2
故有AA 1=BB 1=CC 1. 二、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心. 对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：
设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C . 换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).
D 例3．ABCD 为圆内接凸四边形，取
△DAB ，△ABC ，△BCD ， C △CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4. 求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.
(1986，中国数学奥林匹克集训题)
B A 证明见《中等数学》1992；4
例4．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E O 内切. 试证：EF
中点P 是△ABC 之内心.
(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增
加了条件AB =AC . 当AB ≠AC ，怎样证明呢？
如图，显然EF 中点P 、圆心Q 中点K 都在∠BAC 平分线上. 易知
r AQ =.
sin αA M
∵QK ·AQ =MQ ·QN ，
=
E
MQ ⋅QN
∴QK =
AQ
(2R -r ) ⋅r
==sin α⋅(2R -r ) .
r /sin α
由Rt △EPQ 知PQ =sin α⋅r .
B
C
K
∴PK =PQ +QK =sin α⋅r +sin α⋅(2R -r ) =sin α⋅2R . ∴PK =BK . α
利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 三、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于
一点，是旁切圆的圆心，称为旁心. 旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.
例5．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .
式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，
p 表示半周.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：
p (p -c )=(p -a )(p -b ).
11
∵p (p -c )=(a +b +c ) ·(a +b -c ) c K
22O 31O 2
=[(a +b ) 2-c 2]
4r b E 1
B =ab ； a C 21
11
(p -a )(p -b )=(-a +b +c ) ·(a -b +c )
2211
=[c 2-(a -b ) 2]=ab .
42
∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得 r a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p .
1
而r =(a +b -c )
2
=p -c . ∴r +r a +r b +r c
=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.
例6．M 是△ABC 边AB 上的任意一点. r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC
内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.
证明：
r 1r r ·2=. q 1q 2q
(IMO -12)
分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知
A '
OD =OA ′·sin
2
B ' sin
A ' =A ′B ′··sin 2sin A ' O ' B '
C ' A E
B '
O '
A ' B ' ⋅sin ， =A ′B ′·
A ' +B ' sin
2A ' B ' cos cos
. O ′E = A ′B ′·
A ' +B ' sin
2
OD A ' B '
=tg tg . ∴O ' E 22亦即有
sin
r 1r A ∠CMA ∠CNB B
tg tg ·2=tg tg
2222q 1q 2 =tg
A B r tg =. 22q
四、众心共圆
这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心. 例7．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA . 试证：(1)AD ，
BE ，CF 三条对角线交于一点；
(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)
分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分
线，I 为△ACE 的内心. 从而有ID =CD =DE ， IF =EF =FA ， IB =AB =BC . 再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不
..
等式有： Erdos
A
BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).
F
不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . B
∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .
E ∴AB +BC +CD +DE +EF +FA =2(BI +DI +FI )
C
≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI ) =AD +BE +CF . I 就是一点两心.
例8．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心. 证明OE
丄CD .
(加拿大数学奥林匹克训练题)
A 分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点
F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设
E F D CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. B
C
连GE ，MF ，MF 交DC 于K . 易证：
111
DG :GK =DC :(-) DC =2:1.
323
∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF . ∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，
∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE . 但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD .
例9．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的
E 点使得AD =BE =AB . 求证：OI 丄DE ，OI =DE . (1988，中国数学奥林匹克集训题)
分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，
∠AID =∠AIB =∠EIB . D
A C 利用内心张角公式，有
I 1 ∠AIB =90°+∠C =105°，
2
B
∴∠DIE =360°-105°×3=45°.
1
∵∠AKB =30°+∠DAO
21
=30°+(∠BAC -∠BAO )
21
=30°+(∠BAC -60°)
21
=∠BAC =∠BAI =∠BEI .
2
∴AK ∥IE .
由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，
∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .
例10．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心. 设外心到三边距离
和为d 外，重心到三边距 A 离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.
H 求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. G O 2
O G 2
分析：这里用三角法. 设△ABC 外接圆
H 2半径为1，三个内角记为A ，B ， B C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 C O 1G 1H 1
=cos A +co sB +cos C ，
∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ① ∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得BH 2·CH 3.
∴3d 重=△ABC 三条高的和
=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ②
BH
=2，
sin BCH
∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3
=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③ 欲证结论，观察①、②、③，
须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B . 即可.
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 五、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心. 与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.
例11．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交
AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P ′. 试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)
A P 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP
=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点
N 是△P ′PC 的外心. 有
11B C ∠BP ′P =∠BMP =∠BAC ， P 2211
∠PP ′C =∠PNC =∠BAC .
22
∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .
从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .
例12．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S . 证明以△APS ，△BQP ，
△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
A 分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，
△CSQ 的外心，作出六边形 P K O 1PO 2QO 3S 后再由外
心性质可知 O 2B C ∠PO 1S =2∠A ， Q
∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .
∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°. 从而又知∠O 1PO 2+
∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°
将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可
得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3.
1
∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=∠O 2O 1K
2
∴
1
(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) 21
=(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)
21
=∠PO 1S =∠A ；
2
同理有∠O 1O 2O 3=∠B . 故△O 1O 2O 3∽△ABC . 六、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心. 掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.
例13．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点. 证明：在△PAD ，△
PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)
A
分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB
A ' ，BC 相交. 从A ，C ，D ，E ，F 分别 E 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. B C P 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+ ∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .
两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .
例14．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围
成的新三角形相似. 其逆亦真.
分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′. G
为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF . (1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有
1
2a 2+2b 2-c 2， CF =21
2c 2+2a 2-b 2， BE =21
2b 2+2c 2-a 2. AD =2
将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得
=
CF =
33a ，BE =b ，AD =c . 222
a :b :c 222
∴CF :BE :AD =
=a :b :c .
故有△∽△′.
(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列.
当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴
S ∆' CF 2
＝() .
a S ∆
3
”，有4
据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的
S ∆' 3
=. S ∆4
CF 23
∴2=⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2
4a
⇒a 2+c 2=2b 2.