a ＋b
1．ab ≤
2
(1)基本不等式成立的条件：(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ) ． b a
(2)≥2(a ，b 同号) ． a b (3)ab ≤⎛
a ＋b 2
⎝2 (a ，b ∈R ) ．
a 2＋b 2⎛a ＋b 2(4)2⎝2 (a ，b ∈R ) ． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数
a ＋b 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个
2正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＋y p .(简记：积定和最小) p 2
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当xy .(简记：和定积最大)
4【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1
(1)函数y ＝x ＋2.( × )
x
4π
(2)函数f (x ) ＝cos x ＋x ∈(0的最小值等于4.( × )
cos x 2x y
(3)“x >0且y >02”的充要条件．( × )
y x 1
(4)若a >0，则a 3＋a .( × )
a
a ＋b
(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与ab 有相同的成立条件．( ×
)
2
1．(教材改编) 设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 C ．81 答案 C
x ＋y
解析 ∵x >0，y >0，xy ，
2x ＋y 2
即xy ≤(＝81，
2
当且仅当x ＝y ＝9时，(xy ) max ＝81.
2．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) 11A. ≤ ab 4≥2 答案 D
11
解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立) ，即ab ≤2，ab ≤4，A ，
ab 411a ＋b 4
C 不成立；＝≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b ) 2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项
a b ab ab D 成立．
1
3．若函数f (x ) ＝x ＋(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )
x －2A ．12 C ．3 答案 C
B ．1＋3 D ．4 11B. ＋1 a b D ．a 2＋b 2≥8 B ．77 D ．82
1
解析 当x >2时，x －2>0，f (x ) ＝(x －2) ＋2≥x －2＝
1
(x －2)×2＝4，当且仅当x －2
x －2
1
x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x ) 取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C. x －2
4．(教材改编) 若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________． 答案 25m 2
解析 设矩形的一边为x m ， 1
则另一边为×(20－2x ) ＝(10－x )m ，
2x ＋(10－x )2
∴y ＝x (10－x ) ≤]＝25，
2当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.
5．(教材改编) 已知x ，y ∈R ，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案
116
＋
11
解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤() 2＝，
416
⎧x 2
1
当且仅当x ＝4y ＝，即⎨21
y ⎩8
1
时，(xy ) max ＝
1
. 16
题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 配凑法求最值
51
例1 (1)已知x
44x －5x 2＋2
(2)函数y x >1)的最小值为________．
x －1x －1
(3)函数y 的最大值为________．
x ＋3＋x －11
答案 (1)1 3＋2 55
解析 (1)因为x 0，
41
则f (x ) ＝4x －2＋4x －5
1
＝－(5－4x ＋) ＋3≤－2＋3＝1.
5－4x
1
当且仅当5－4x ＝，即x ＝1时，等号成立．
5－4x 1
故f (x ) ＝4x －2＋1.
4x －5x 2＋2(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3(2)y ＝＝x －1x －1(x －1)2＋2(x －1)＋3＝x －13
＝(x －1) 2≥3＋2.
x －1
3
当且仅当(x －1) ＝，即x ＝3＋1时，等号成立．
(x －1)(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1， t t
所以y ＝＝t ＋1＋3＋t t ＋t ＋4当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 1
当t >0，即x >1时，y ＝，
4t ＋1t
4
因为t ＋2＝4(当且仅当t ＝2时取等号) ，
t 11
所以y ＝≤
45t ＋1t
1
即y 的最大值为当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值) ．
5
思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
命题点2 常数代换或消元法求最值
例2 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． 1|a |
(2)(高考改编) 设a ＋b ＝2，b >0取最小值时，a 的值为________．
2|a |b 答案 (1)5 (2)－2
13
解析 (1)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得＋＝1，
5y 5x 13
∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(＋)
5y 5x 943x 12y 1312＝＋＋＝5. 555y 5x 55
3x 12y 1
(当且仅当＝，即x ＝1，y ＝时，等号成立) ，
5y 5x 2∴3x ＋4y 的最小值是5. 方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝1
∵x >0，y >0，∴y >
5
19413(y ＋4y
5559y
∴3x ＋4y ＝4y ＝4y
5y －15y －11391
＝＋4(y ) 5515
y －513≥＋25
＝5， 2515
3y
， 5y －1
1
当且仅当y ∴(3x ＋4y ) min ＝5.
2(2)∵a ＋b ＝2， ∴＝＝
1|a |2|a |＋＝ 2|a |b 4|a |b a ＋b |a |
4|a |b
a b |a |a ＋＋＋24|a |4|a |b 4|a |
a
1， 4|a |b 4|a |
b |a |
当且仅当＝
4|a |b 又a ＋b ＝2，b >0， ∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，
1|a |
2|a |b
思维升华
条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
11m －
(1)已知x ，y ∈(0，＋∞) ，2x 3＝(y ，若＋(m >0)的最小值为3，则m 等于( )
2x y
A ．2 C ．3
B ．2 D ．4
(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 (1)D (2)6
1－
解析 (1)由2x 3＝() y 得x ＋y ＝3，
21m 11m ＋(x ＋y )(x y 3x y 1y mx ＝(1＋m ＋) 3x y 1
≥(1＋m ＋) ， 3y mx
(当且仅当)
x y 1
∴(1＋m ＋m ) ＝3， 3解得m ＝4. 故选D. 9－3y
(2)由已知得x ＝1＋y 方法一 (消元法) ∵x >0，y >0，∴y
∴x ＋3y ＝＋3y ＝
1＋y 1＋y
3(1＋y )2－6(1＋y )＋1212
＝＋(3y ＋3) －6
1＋y 1＋y ≥12(3y ＋3)－6＝6， 1＋y
12
当且仅当＝3y ＋3，
1＋y 即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y ) min ＝6. 方法二 ∵x >0，y >0，
11x ＋3y 2
9－(x ＋3y ) ＝xy ＝x ·(3y ) () ，
332当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18) ≥0， 又∵t >0，∴t ≥6.
故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y ) min ＝6.
题型二 基本不等式与学科知识的综合
命题点1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题
41
例3 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则b c 值是( ) A ．9 B ．8 C ．4
D ．2
(2)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋11
a ，n ＝a b 则m ＋n 的最小值是(A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
答案 (1)A (2)B
解析 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1) 2＝6， 所以圆心为C (0,1)．
因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 414b c (b ＋c )(14c b
b ＋c ) ＝b ＋c 5.
因为b ，c >0， 4c b 4c b c
b b
c
＝4. 当且仅当4c b ＝b
c
时等号成立．
由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝2141
3，c ＝3b ＋c 取得最小值9.
(2)由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋11
a ＝2b ，n ＝a ＋b 2a ，
∴m ＋n ＝2(a ＋b ) ≥4ab ＝4. 命题点2 求参数的值或取值范围
例4 已知a >0，b >031a ＋b ≥m
a ＋3b m 的最大值为( )
A ．9 B ．12 C ．18 D ．24
答案 B
)
31m
解析 由＋≥
a b a ＋3b
319b a
得m ≤(a ＋3b )(＋6.
a b a b 9b a
又＋6≥9＋6＝12， a b ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.
思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子) 变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得
14
m n ＝4a 1，则( )
m n 3A. 294
5B. 325D. 6
x 2＋ax ＋11
(2)已知函数f (x ) ＝(a ∈R ) ，若对于任意x ∈N *，f (x ) ≥3恒成立，则a 的取值范围是
x ＋1________________________________________________________________________． 8
答案 (1)A (2)[－，＋∞)
3
解析 (1)由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， 所以q 2－q －2＝0， 解得q ＝2或q ＝－1(舍去) ． a m a n ＝4a 1，所以q m 所以2m
＋n －2
＋n －2
＝16，
＝24，所以m ＋n ＝6.
14114＋＝(m ＋n )()
m n 6m n 1n 4m ＝(5＋) 6m n 1
≥(5＋6
3＝. m n 2
n 4m
当且仅当
m n
143故的最小值等于. m n 2
x 2＋ax ＋118(2)对任意x ∈N ，f (x ) ≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋) ＋3.
x x ＋1
*
817
设g (x ) ＝x x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝x 3∵g (2)>g (3)，∴g (x ) min ＝
1788
. ∴－(x ＋＋3≤ 3x 3
88
∴a ≥－，故a 的取值范围是[－，＋∞) ．
33题型三 不等式的实际应用
例5 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：x 2
千米/时) ．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋) 升，司机的工资是每小时
36014元．
(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；
(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 130
解 (1)设所用时间为t ，
x
130x 2130
y 2×(2＋＋14×x ∈[50,100]．
x 360x
130×182×130所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝，x ∈[50,100]．
x 360234013
(或y ＝x ，x ∈[50,100]) ．
x 18130×182×130
(2)y ＝≥2610，
x 360130×182×130
当且仅当，
x 360即x ＝1810，等号成立．
故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元． 思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围) 内求解．
某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x ) ，
110000
当年产量不足80千件时，C (x ) ＝x 2＋10x (万元) ．当年产量不小于80千件时，C (x ) ＝51x ＋
3x －1450(万元) ．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L (x )(万元) 关于年产量x (千件) 的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)当0
1
L (x ) ＝1000x ×0.05－x 2＋10x ) －250
31
2＋40x －250.
3当x ≥80时，
10000
L (x ) ＝1000x ×0.05－(51x ＋－1450) －250
x 10000
＝1200－(x ＋．
x
⎧∴L (x ) ＝⎨10000
1200－(x ＋)(x ≥80). ⎩x
对称轴为x ＝60，
1
－x 2＋40x －250(0
1
(2)当0
3
即当x ＝60时，L (x ) 最大＝950(万元) ． 10000
当x ≥80时，L (x ) ＝1200－(x ＋x ≤1200－210000＝1000(万元) ，
当且仅当x ＝100时，L (x ) 最大＝1000(万元) ， 综上所述，当x ＝100时，年获利最大．
9．忽视最值取得的条件致误
12
典例 (1)已知x >0，y >0，且1，则x ＋y 的最小值是________．
x y 3
(2)函数y ＝1－2x －(x
x
12
易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝≥2
x y ≥2，∴x ＋y ≥xy ≥2，得(x ＋y ) min ＝42.
3
(2)没有注意到x
x
，∴xy xy
解析 (1)∵x >0，y >0，
12∴x ＋y ＝(x ＋y )(＋x y
y 2x ＝3≥3＋22(当且仅当y 2x 时取等号) ， x y
∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y ) min ＝3＋22.
33(2)∵x
6y 的最小值为1＋22
答案 (1)3＋2 (2)1＋
2温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；
(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．
[方法与技巧]
1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式) 的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．
2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，
a ＋b 2a 2＋b 2a ＋b 例如：ab ≤(≤ab ≤222
的条件和等号成立的条件．
m 3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋m >0)的单调性． x
[失误与防范]
1．使用基本不等式求最值，“一正
”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． a ＋b a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立23(－2x )1＋6，当且仅当x ＝－－x
A 组 专项基础训练
(时间：35分钟)
1．下列不等式一定成立的是( )
A ．lg(x 214x (x >0)
B ．sin x ＋1
sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )
C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )
D. 1
x ＋1x ∈R )
答案 C
解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x 12＝x ，
所以lg(x 2＋14≥lg x (x >0)，
故选项A 不正确；
运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，
而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，
故选项B 不正确；
由基本不等式可知，选项C 正确；
当x ＝01
x ＋11，故选项D 不正确．
2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b b ＋a 2”成立的(
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b ) 2≥0，
即a 2＋b 2≥2ab a b b ＋a 2⇔ab >0，
所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b b a ≥2”的必要不充分条件，故选B.
3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝14a ＋b 的最小值是( )
A. 72 B ．4
92D ．5
答案 C )
14114解析 依题意，得＋＝(a ＋b ) a b 2a b
1b 4a 1＝[5＋(＋＋22a b 2
a ＋b ＝2，⎧⎪b 4a 当且仅当⎨a ＝b ⎪⎩a >0，b >0，
149即. a b 2
4．(2014·重庆) 若log 4(3a ＋4b ) ＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )
A ．6＋3
C ．6＋3
答案 D B ．7＋23 D ．7＋43 b 4a 9) ＝， a b 2 24即a ＝，b 33
⎧ab >0，⎪解析 由题意得⎨ab ≥0，
⎪⎩3a ＋4b >0，
又log 4(3a ＋4b ) ＝log 2，
所以log 4(3a ＋4b ) ＝log 4ab ， ⎧a >0，⎪所以⎨ ⎪b >0.⎩
43所以3a ＋4b ＝ab ＋1. a b
433a 4b 所以a ＋b ＝(a ＋b )(＝7＋ a b b a
≥7＋27＋43， b a
3a 4b 当且仅当D. b a
5．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( )
A ．8
C ．2
答案 A
21解析 由x ＋2y －xy ＝0，得1，且x >0，y >0. x y
214y x ∴x ＋2y ＝(x ＋2y ) ×() ＝＋＋4≥4＋4＝8. x y x y
6．(2015·陕西) 设f (x ) ＝ln x, 0＜a ＜b ，若p ＝f ab ) ，q ＝f ⎛a ＋b 1，r (f (a ) ＋f (b )) ，则下列关2⎝2B ．4 D ．0
系式中正确的是( )
A ．q ＝r ＜p
C ．p ＝r ＜q
答案 C
a ＋b 解析 ∵0＜a ＜b ，∴ab ， 2又∵f (x ) ＝ln x 在(0，＋∞) 上为增函数，
故f ⎛a ＋b ⎝2⎭＞f (ab ) ，即q ＞p . B ．q ＝r ＞p D ．p ＝r ＞q
11又r f (a ) ＋f (b )) ＝a ＋ln b ) 22
111＝ln a ＋b ＝ln(ab ) 222
＝f (ab ) ＝p .
故p ＝r ＜q . 选C.
7．已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A. 22B ．2
D ．2 2
答案 D
解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ，
∴4xy －(x ＋2y ) ≤4xy －2xy ，
∴4≤4xy －2xy ， 即(2xy －2xy ＋1) ≥0，
∴2xy ≥2，∴xy ≥2.
11198．若正数a ，b 满足1＋( ) a b a －1b －1
A ．1
C ．9
答案 B
11a 19解析 ∵正数a ，b ＋1，∴b ＝>0，解得a >1.同理可得b >1，所以a b a －1a －1b －1
191＋9(a －1) ≥2a a －1a －1－1a －114·9(a －1)＝6，当且仅当9(a －1) ，即a 3a －1a －1B ．6 D ．16
等号成立，所以最小值为6. 故选B.
29．若当x >－3时，不等式a ≤x ＋a 的取值范围是________． x ＋3
答案 (－∞，2－3]
22解析 设f (x ) ＝x ＋＝(x ＋3) ＋3， x ＋3x ＋3
因为x >－3，所以x ＋3>0，
故f (x ) ≥2
＝2－3，
当且仅当x 2－3时等号成立，
所以a 的取值范围是(－∞，22－3]．
10．若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－8]
4解析 分离变量得－(4＋a ) ＝3x ＋4，得a ≤－8. 3
11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.
(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；
11(2)求的最小值． x y
解 (1)∵x >0，y >0，
∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥10xy .
∵2x ＋5y ＝20，
∴10xy ≤20，xy ≤10，
当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．
⎧⎧⎪2x ＋5y ＝20，⎪x ＝5，因此有⎨解得⎨ ⎪2x ＝5y ，⎪⎩⎩y ＝2，2(x ＋3)×－3 x ＋3
此时xy 有最大值10.
∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy ) ≤lg10＝1.
∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.
(2)∵x >0，y >0，
11112x ＋5y ＋∴⎛x y ⎝x y 20
＝1⎛7＋5y y 20⎝x ＋2x y ⎫⎭≥120⎛⎝7＋2 x 2x
y ⎭ ＝7＋210
20
当且仅当5y 2
x ＝x
y 时，等号成立．
⎧2x ＋5y ＝20，
由⎪⎨⎪5y ＝2x
⎩x y ⎧1010－20解得⎪x ＝⎨3，⎪⎩y ＝20－10
3.
∴17＋x 1
y 10
20.
B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)
12．设x ，y 均为正实数，且33
2＋x ＋2＋y 1，则xy 的最小值为( )
A ．4 B ．3
C ．9 D ．16
答案 D
解析 由3
2＋x ＋3
2＋y 1得xy ＝8＋x ＋y ，
∵x ，y 均为正实数，
∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立) ，
即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，
即xy ≥16，∴xy 的最小值为16.
13．已知m >0，a m 2＋1
1>a 2>0，则使得m |a i x －2|(i ＝1,2) 恒成立的x 的取值范围是(
A ．[0，2
a 1 B ．[0，2a 2C ．[0，4
a 1 D ．[0，4a 2答案 C
解析 因为m 2＋11
m m ＋m 2(当且仅当m ＝1时等号成立) ，
所以要使不等式恒成立，
则2≥|a i x －2|(i ＝1,2) 恒成立，
即－2≤a i x －2≤2，所以0≤a i x ≤4， )
因为a 1>a 2>0，
⎧所以⎨40≤x ≤，⎩a 240≤x ≤a 1 4即0≤x ≤， a 1
4所以使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，]，故选C. a 1
14．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]
x 2＋4y 2解析 ∵2xy ＝6－(x ＋4y ) ，而2xy ≤ 222
x 2＋4y 2∴6－(x ＋4y ) ≤， 222
∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号) ．
又∵(x ＋2y ) 2＝6＋2xy ≥0，
即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12
(当且仅当x ＝－2y 时取等号) ．
综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.
1115．设a >0，b >0是3a 与3b 的等比中项，则＋的最小值为________． a b
答案 4
解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a b ＝3， ＋
∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，
1111＋(a ＋b ) ∴⎛a b ⎝a b b a ＝2≥2＋2a b 4， a b
1当且仅当a ＝b ＝时，等号成立． 2
16．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计) ，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *) 的旅
1游人数f (t )(万人) 近似地满足f (t ) ＝4＋，而人均消费g (t )(元) 近似地满足g (t ) ＝120－|t －20|. t
(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元) 与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *) 的函数关系式；
(2)求该城市旅游日收益的最小值．
1解 (1)W (t ) ＝f (t ) g (t ) ＝(4＋－|t －20|) t
⎧＝⎨140559－4t ，20
(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100401＋4t ＋ 1≤t ≤20，t 100≥401＋t 4t 441(t ＝5时取最小值) ． t
140当t ∈(20,30]时，因为W (t ) ＝559＋4t 递减， t
2所以t ＝30时，W (t ) 有最小值W (30)＝ 3
所以t ∈[1,30]时，W (t ) 的最小值为441万元．
a ＋b
1．ab ≤
2
(1)基本不等式成立的条件：(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ) ． b a
(2)≥2(a ，b 同号) ． a b (3)ab ≤⎛
a ＋b 2
⎝2 (a ，b ∈R ) ．
a 2＋b 2⎛a ＋b 2(4)2⎝2 (a ，b ∈R ) ． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数
a ＋b 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个
2正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＋y p .(简记：积定和最小) p 2
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当xy .(简记：和定积最大)
4【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1
(1)函数y ＝x ＋2.( × )
x
4π
(2)函数f (x ) ＝cos x ＋x ∈(0的最小值等于4.( × )
cos x 2x y
(3)“x >0且y >02”的充要条件．( × )
y x 1
(4)若a >0，则a 3＋a .( × )
a
a ＋b
(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与ab 有相同的成立条件．( ×
)
2
1．(教材改编) 设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 C ．81 答案 C
x ＋y
解析 ∵x >0，y >0，xy ，
2x ＋y 2
即xy ≤(＝81，
2
当且仅当x ＝y ＝9时，(xy ) max ＝81.
2．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) 11A. ≤ ab 4≥2 答案 D
11
解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立) ，即ab ≤2，ab ≤4，A ，
ab 411a ＋b 4
C 不成立；＝≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b ) 2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项
a b ab ab D 成立．
1
3．若函数f (x ) ＝x ＋(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )
x －2A ．12 C ．3 答案 C
B ．1＋3 D ．4 11B. ＋1 a b D ．a 2＋b 2≥8 B ．77 D ．82
1
解析 当x >2时，x －2>0，f (x ) ＝(x －2) ＋2≥x －2＝
1
(x －2)×2＝4，当且仅当x －2
x －2
1
x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x ) 取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C. x －2
4．(教材改编) 若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________． 答案 25m 2
解析 设矩形的一边为x m ， 1
则另一边为×(20－2x ) ＝(10－x )m ，
2x ＋(10－x )2
∴y ＝x (10－x ) ≤]＝25，
2当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.
5．(教材改编) 已知x ，y ∈R ，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案
116
＋
11
解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤() 2＝，
416
⎧x 2
1
当且仅当x ＝4y ＝，即⎨21
y ⎩8
1
时，(xy ) max ＝
1
. 16
题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 配凑法求最值
51
例1 (1)已知x
44x －5x 2＋2
(2)函数y x >1)的最小值为________．
x －1x －1
(3)函数y 的最大值为________．
x ＋3＋x －11
答案 (1)1 3＋2 55
解析 (1)因为x 0，
41
则f (x ) ＝4x －2＋4x －5
1
＝－(5－4x ＋) ＋3≤－2＋3＝1.
5－4x
1
当且仅当5－4x ＝，即x ＝1时，等号成立．
5－4x 1
故f (x ) ＝4x －2＋1.
4x －5x 2＋2(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3(2)y ＝＝x －1x －1(x －1)2＋2(x －1)＋3＝x －13
＝(x －1) 2≥3＋2.
x －1
3
当且仅当(x －1) ＝，即x ＝3＋1时，等号成立．
(x －1)(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1， t t
所以y ＝＝t ＋1＋3＋t t ＋t ＋4当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 1
当t >0，即x >1时，y ＝，
4t ＋1t
4
因为t ＋2＝4(当且仅当t ＝2时取等号) ，
t 11
所以y ＝≤
45t ＋1t
1
即y 的最大值为当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值) ．
5
思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
命题点2 常数代换或消元法求最值
例2 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． 1|a |
(2)(高考改编) 设a ＋b ＝2，b >0取最小值时，a 的值为________．
2|a |b 答案 (1)5 (2)－2
13
解析 (1)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得＋＝1，
5y 5x 13
∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(＋)
5y 5x 943x 12y 1312＝＋＋＝5. 555y 5x 55
3x 12y 1
(当且仅当＝，即x ＝1，y ＝时，等号成立) ，
5y 5x 2∴3x ＋4y 的最小值是5. 方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝1
∵x >0，y >0，∴y >
5
19413(y ＋4y
5559y
∴3x ＋4y ＝4y ＝4y
5y －15y －11391
＝＋4(y ) 5515
y －513≥＋25
＝5， 2515
3y
， 5y －1
1
当且仅当y ∴(3x ＋4y ) min ＝5.
2(2)∵a ＋b ＝2， ∴＝＝
1|a |2|a |＋＝ 2|a |b 4|a |b a ＋b |a |
4|a |b
a b |a |a ＋＋＋24|a |4|a |b 4|a |
a
1， 4|a |b 4|a |
b |a |
当且仅当＝
4|a |b 又a ＋b ＝2，b >0， ∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，
1|a |
2|a |b
思维升华
条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
11m －
(1)已知x ，y ∈(0，＋∞) ，2x 3＝(y ，若＋(m >0)的最小值为3，则m 等于( )
2x y
A ．2 C ．3
B ．2 D ．4
(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 (1)D (2)6
1－
解析 (1)由2x 3＝() y 得x ＋y ＝3，
21m 11m ＋(x ＋y )(x y 3x y 1y mx ＝(1＋m ＋) 3x y 1
≥(1＋m ＋) ， 3y mx
(当且仅当)
x y 1
∴(1＋m ＋m ) ＝3， 3解得m ＝4. 故选D. 9－3y
(2)由已知得x ＝1＋y 方法一 (消元法) ∵x >0，y >0，∴y
∴x ＋3y ＝＋3y ＝
1＋y 1＋y
3(1＋y )2－6(1＋y )＋1212
＝＋(3y ＋3) －6
1＋y 1＋y ≥12(3y ＋3)－6＝6， 1＋y
12
当且仅当＝3y ＋3，
1＋y 即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y ) min ＝6. 方法二 ∵x >0，y >0，
11x ＋3y 2
9－(x ＋3y ) ＝xy ＝x ·(3y ) () ，
332当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18) ≥0， 又∵t >0，∴t ≥6.
故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y ) min ＝6.
题型二 基本不等式与学科知识的综合
命题点1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题
41
例3 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则b c 值是( ) A ．9 B ．8 C ．4
D ．2
(2)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋11
a ，n ＝a b 则m ＋n 的最小值是(A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
答案 (1)A (2)B
解析 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1) 2＝6， 所以圆心为C (0,1)．
因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 414b c (b ＋c )(14c b
b ＋c ) ＝b ＋c 5.
因为b ，c >0， 4c b 4c b c
b b
c
＝4. 当且仅当4c b ＝b
c
时等号成立．
由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝2141
3，c ＝3b ＋c 取得最小值9.
(2)由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋11
a ＝2b ，n ＝a ＋b 2a ，
∴m ＋n ＝2(a ＋b ) ≥4ab ＝4. 命题点2 求参数的值或取值范围
例4 已知a >0，b >031a ＋b ≥m
a ＋3b m 的最大值为( )
A ．9 B ．12 C ．18 D ．24
答案 B
)
31m
解析 由＋≥
a b a ＋3b
319b a
得m ≤(a ＋3b )(＋6.
a b a b 9b a
又＋6≥9＋6＝12， a b ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.
思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子) 变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得
14
m n ＝4a 1，则( )
m n 3A. 294
5B. 325D. 6
x 2＋ax ＋11
(2)已知函数f (x ) ＝(a ∈R ) ，若对于任意x ∈N *，f (x ) ≥3恒成立，则a 的取值范围是
x ＋1________________________________________________________________________． 8
答案 (1)A (2)[－，＋∞)
3
解析 (1)由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， 所以q 2－q －2＝0， 解得q ＝2或q ＝－1(舍去) ． a m a n ＝4a 1，所以q m 所以2m
＋n －2
＋n －2
＝16，
＝24，所以m ＋n ＝6.
14114＋＝(m ＋n )()
m n 6m n 1n 4m ＝(5＋) 6m n 1
≥(5＋6
3＝. m n 2
n 4m
当且仅当
m n
143故的最小值等于. m n 2
x 2＋ax ＋118(2)对任意x ∈N ，f (x ) ≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋) ＋3.
x x ＋1
*
817
设g (x ) ＝x x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝x 3∵g (2)>g (3)，∴g (x ) min ＝
1788
. ∴－(x ＋＋3≤ 3x 3
88
∴a ≥－，故a 的取值范围是[－，＋∞) ．
33题型三 不等式的实际应用
例5 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：x 2
千米/时) ．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋) 升，司机的工资是每小时
36014元．
(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；
(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 130
解 (1)设所用时间为t ，
x
130x 2130
y 2×(2＋＋14×x ∈[50,100]．
x 360x
130×182×130所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝，x ∈[50,100]．
x 360234013
(或y ＝x ，x ∈[50,100]) ．
x 18130×182×130
(2)y ＝≥2610，
x 360130×182×130
当且仅当，
x 360即x ＝1810，等号成立．
故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元． 思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围) 内求解．
某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x ) ，
110000
当年产量不足80千件时，C (x ) ＝x 2＋10x (万元) ．当年产量不小于80千件时，C (x ) ＝51x ＋
3x －1450(万元) ．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L (x )(万元) 关于年产量x (千件) 的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)当0
1
L (x ) ＝1000x ×0.05－x 2＋10x ) －250
31
2＋40x －250.
3当x ≥80时，
10000
L (x ) ＝1000x ×0.05－(51x ＋－1450) －250
x 10000
＝1200－(x ＋．
x
⎧∴L (x ) ＝⎨10000
1200－(x ＋)(x ≥80). ⎩x
对称轴为x ＝60，
1
－x 2＋40x －250(0
1
(2)当0
3
即当x ＝60时，L (x ) 最大＝950(万元) ． 10000
当x ≥80时，L (x ) ＝1200－(x ＋x ≤1200－210000＝1000(万元) ，
当且仅当x ＝100时，L (x ) 最大＝1000(万元) ， 综上所述，当x ＝100时，年获利最大．
9．忽视最值取得的条件致误
12
典例 (1)已知x >0，y >0，且1，则x ＋y 的最小值是________．
x y 3
(2)函数y ＝1－2x －(x
x
12
易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝≥2
x y ≥2，∴x ＋y ≥xy ≥2，得(x ＋y ) min ＝42.
3
(2)没有注意到x
x
，∴xy xy
解析 (1)∵x >0，y >0，
12∴x ＋y ＝(x ＋y )(＋x y
y 2x ＝3≥3＋22(当且仅当y 2x 时取等号) ， x y
∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y ) min ＝3＋22.
33(2)∵x
6y 的最小值为1＋22
答案 (1)3＋2 (2)1＋
2温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；
(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．
[方法与技巧]
1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式) 的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．
2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，
a ＋b 2a 2＋b 2a ＋b 例如：ab ≤(≤ab ≤222
的条件和等号成立的条件．
m 3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋m >0)的单调性． x
[失误与防范]
1．使用基本不等式求最值，“一正
”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． a ＋b a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立23(－2x )1＋6，当且仅当x ＝－－x
A 组 专项基础训练
(时间：35分钟)
1．下列不等式一定成立的是( )
A ．lg(x 214x (x >0)
B ．sin x ＋1
sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )
C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )
D. 1
x ＋1x ∈R )
答案 C
解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x 12＝x ，
所以lg(x 2＋14≥lg x (x >0)，
故选项A 不正确；
运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，
而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，
故选项B 不正确；
由基本不等式可知，选项C 正确；
当x ＝01
x ＋11，故选项D 不正确．
2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b b ＋a 2”成立的(
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b ) 2≥0，
即a 2＋b 2≥2ab a b b ＋a 2⇔ab >0，
所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b b a ≥2”的必要不充分条件，故选B.
3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝14a ＋b 的最小值是( )
A. 72 B ．4
92D ．5
答案 C )
14114解析 依题意，得＋＝(a ＋b ) a b 2a b
1b 4a 1＝[5＋(＋＋22a b 2
a ＋b ＝2，⎧⎪b 4a 当且仅当⎨a ＝b ⎪⎩a >0，b >0，
149即. a b 2
4．(2014·重庆) 若log 4(3a ＋4b ) ＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )
A ．6＋3
C ．6＋3
答案 D B ．7＋23 D ．7＋43 b 4a 9) ＝， a b 2 24即a ＝，b 33
⎧ab >0，⎪解析 由题意得⎨ab ≥0，
⎪⎩3a ＋4b >0，
又log 4(3a ＋4b ) ＝log 2，
所以log 4(3a ＋4b ) ＝log 4ab ， ⎧a >0，⎪所以⎨ ⎪b >0.⎩
43所以3a ＋4b ＝ab ＋1. a b
433a 4b 所以a ＋b ＝(a ＋b )(＝7＋ a b b a
≥7＋27＋43， b a
3a 4b 当且仅当D. b a
5．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( )
A ．8
C ．2
答案 A
21解析 由x ＋2y －xy ＝0，得1，且x >0，y >0. x y
214y x ∴x ＋2y ＝(x ＋2y ) ×() ＝＋＋4≥4＋4＝8. x y x y
6．(2015·陕西) 设f (x ) ＝ln x, 0＜a ＜b ，若p ＝f ab ) ，q ＝f ⎛a ＋b 1，r (f (a ) ＋f (b )) ，则下列关2⎝2B ．4 D ．0
系式中正确的是( )
A ．q ＝r ＜p
C ．p ＝r ＜q
答案 C
a ＋b 解析 ∵0＜a ＜b ，∴ab ， 2又∵f (x ) ＝ln x 在(0，＋∞) 上为增函数，
故f ⎛a ＋b ⎝2⎭＞f (ab ) ，即q ＞p . B ．q ＝r ＞p D ．p ＝r ＞q
11又r f (a ) ＋f (b )) ＝a ＋ln b ) 22
111＝ln a ＋b ＝ln(ab ) 222
＝f (ab ) ＝p .
故p ＝r ＜q . 选C.
7．已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A. 22B ．2
D ．2 2
答案 D
解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ，
∴4xy －(x ＋2y ) ≤4xy －2xy ，
∴4≤4xy －2xy ， 即(2xy －2xy ＋1) ≥0，
∴2xy ≥2，∴xy ≥2.
11198．若正数a ，b 满足1＋( ) a b a －1b －1
A ．1
C ．9
答案 B
11a 19解析 ∵正数a ，b ＋1，∴b ＝>0，解得a >1.同理可得b >1，所以a b a －1a －1b －1
191＋9(a －1) ≥2a a －1a －1－1a －114·9(a －1)＝6，当且仅当9(a －1) ，即a 3a －1a －1B ．6 D ．16
等号成立，所以最小值为6. 故选B.
29．若当x >－3时，不等式a ≤x ＋a 的取值范围是________． x ＋3
答案 (－∞，2－3]
22解析 设f (x ) ＝x ＋＝(x ＋3) ＋3， x ＋3x ＋3
因为x >－3，所以x ＋3>0，
故f (x ) ≥2
＝2－3，
当且仅当x 2－3时等号成立，
所以a 的取值范围是(－∞，22－3]．
10．若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－8]
4解析 分离变量得－(4＋a ) ＝3x ＋4，得a ≤－8. 3
11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.
(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；
11(2)求的最小值． x y
解 (1)∵x >0，y >0，
∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥10xy .
∵2x ＋5y ＝20，
∴10xy ≤20，xy ≤10，
当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．
⎧⎧⎪2x ＋5y ＝20，⎪x ＝5，因此有⎨解得⎨ ⎪2x ＝5y ，⎪⎩⎩y ＝2，2(x ＋3)×－3 x ＋3
此时xy 有最大值10.
∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy ) ≤lg10＝1.
∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.
(2)∵x >0，y >0，
11112x ＋5y ＋∴⎛x y ⎝x y 20
＝1⎛7＋5y y 20⎝x ＋2x y ⎫⎭≥120⎛⎝7＋2 x 2x
y ⎭ ＝7＋210
20
当且仅当5y 2
x ＝x
y 时，等号成立．
⎧2x ＋5y ＝20，
由⎪⎨⎪5y ＝2x
⎩x y ⎧1010－20解得⎪x ＝⎨3，⎪⎩y ＝20－10
3.
∴17＋x 1
y 10
20.
B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)
12．设x ，y 均为正实数，且33
2＋x ＋2＋y 1，则xy 的最小值为( )
A ．4 B ．3
C ．9 D ．16
答案 D
解析 由3
2＋x ＋3
2＋y 1得xy ＝8＋x ＋y ，
∵x ，y 均为正实数，
∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立) ，
即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，
即xy ≥16，∴xy 的最小值为16.
13．已知m >0，a m 2＋1
1>a 2>0，则使得m |a i x －2|(i ＝1,2) 恒成立的x 的取值范围是(
A ．[0，2
a 1 B ．[0，2a 2C ．[0，4
a 1 D ．[0，4a 2答案 C
解析 因为m 2＋11
m m ＋m 2(当且仅当m ＝1时等号成立) ，
所以要使不等式恒成立，
则2≥|a i x －2|(i ＝1,2) 恒成立，
即－2≤a i x －2≤2，所以0≤a i x ≤4， )
因为a 1>a 2>0，
⎧所以⎨40≤x ≤，⎩a 240≤x ≤a 1 4即0≤x ≤， a 1
4所以使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，]，故选C. a 1
14．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]
x 2＋4y 2解析 ∵2xy ＝6－(x ＋4y ) ，而2xy ≤ 222
x 2＋4y 2∴6－(x ＋4y ) ≤， 222
∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号) ．
又∵(x ＋2y ) 2＝6＋2xy ≥0，
即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12
(当且仅当x ＝－2y 时取等号) ．
综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.
1115．设a >0，b >0是3a 与3b 的等比中项，则＋的最小值为________． a b
答案 4
解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a b ＝3， ＋
∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，
1111＋(a ＋b ) ∴⎛a b ⎝a b b a ＝2≥2＋2a b 4， a b
1当且仅当a ＝b ＝时，等号成立． 2
16．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计) ，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *) 的旅
1游人数f (t )(万人) 近似地满足f (t ) ＝4＋，而人均消费g (t )(元) 近似地满足g (t ) ＝120－|t －20|. t
(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元) 与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *) 的函数关系式；
(2)求该城市旅游日收益的最小值．
1解 (1)W (t ) ＝f (t ) g (t ) ＝(4＋－|t －20|) t
⎧＝⎨140559－4t ，20
(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100401＋4t ＋ 1≤t ≤20，t 100≥401＋t 4t 441(t ＝5时取最小值) ． t
140当t ∈(20,30]时，因为W (t ) ＝559＋4t 递减， t
2所以t ＝30时，W (t ) 有最小值W (30)＝ 3
所以t ∈[1,30]时，W (t ) 的最小值为441万元．