22.2一元二次方程求根法
1 直接开平方法
运用开平方法解形如（x+m ）2=n（n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
2 通过根据平方根的意义解形如x =n，知识迁移到根据平方根的意义解形如
（x+m）2=n（n ≥0）的方程．
教学过程
问题1．填空
（1）x 2-8x+______=（x-______）2； （2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；
（3）x 2+px+_____=（x+______）2．
x 2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±
例1：解方程：x 2+4x+4=1
练习： 1．若x 2-4x+p=（x+q）2，那么p 、q 的值分别是（ ）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
2．方程3x 2+9=0的根为（ ）．
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
3．用配方法解方程x 2-2x+1=0正确的解法是（ ）． 3
A．（x-1281）=，x=± 393
3
B．（x-128）=-，原方程无解 39
22522-）=，x 1=+，x 2
= 393
33 C．（x-
D．（x-2251）=1，x 1=，x 2=- 333
二、填空题
2 1．若8x -16=0，则x 的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．如果a 、b
b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______．
三、综合提高题
1．解关于x 的方程（x+m）2=n ．
22.2.2 配方法
通过复习可直接化成x 2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
重难点关键
1．重点：讲清“直接降次有困难，如x 2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．
2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
教学过程
一、解下列方程
（1）3x 2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x 2+16x+16=9
老师点评：上面的方程都能化成x 2=p或（mx+n）2=p （p ≥0）的形式，那么可得
x=
． mx+n=
p ≥0）
如：4x 2+16x+16=（2x+4）2
例1．按以上的方程完成x 2-36x+70=0的解题．
2 老师点评：x 2-36x=-70，x 2-36x+182=-70+324，（x-18）=254，x-18=
，
或
，x 1≈34，x 2≈2．
可以验证x 1≈34，x 2≈2都是原方程的根，但x ≈34不合题意，所以道路的宽应为2． 例2．解下列关于x 的方程
（1）x 2+2x-35=0 （2）2x 2-4x-1=0
解：（1）x 2-2x=35
x 2-2x+12=35+1
（x-1）2=36 x-1=±6
x-1=6，x-1=-6
x 1=7，x 2=-5
可以，验证x 1=7，x 2=-5都是x 2+2x-35=0的两根．
11=0 x 2-2x= 22
13 x 2-2x+12=+1 （x-1）2= 22 （2）x 2-2x-
x-1=
x 2
=1-22 x 1
=1+
可以验证：x 1
=1+x 2
=1- 22
练习：
1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．
A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3
2．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A．x 2-8x+（-4）2=31 B．x 2-8x+（-4）2=1
C．x 2+8x+42=1 D．x 2-4x+4=-11
3．如果m x 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）．
A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9
二、填空题
1．方程x 2+4x-5=0的解是________．
x 2-x -2 2．代数式的值为0，则x 的值为________． x 2-1
3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，•所以求出z 的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．
（学生活动）解下列方程：
（1）x 2-8x+7=0 （2）x 2+4x+1=0
．
例1．解下列方程
（1）x 2+6x+5=0 （2）2x 2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方．
解：（1）移项，得：x 2+6x=-5
配方：x 2+6x+32=-5+32（x+3）2=4
由此可得：x+3=±2，即x 1=-1，x 2=-5
（2）移项，得：2x 2+6x=-2
二次项系数化为1，得：x 2+3x=-1
配方x 2+3x+（32335）=-1+（）2（x+）2= 2224
由此可得x+333=
±，即x 1
=-，x 2
=-- 222222
（3）去括号，整理得：x 2+4x-1=0
移项，得x 2+4x=1
配方，得（x+2）2=5
x+2=
x 1
，x 2
练习
4x-2=0应把它先变形为（ ）． 3
182 A．（x-）2= B．（x-）2=0 393
18110 C．（x-）2= D．（x-）2= 3939 1．配方法解方程2x 2-
2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．
A．x 2+1=0 B．（2x+1）2=0
C．（2x+1）2+3=0 D．（1x-a ）2=a 2
3．已知x 2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）．
A．1 B．2 C．-1 D．-2
二、填空题
1．如果x 2+4x-5=0，则x=_______．
2．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．
3．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．
三、综合提高题
1．用配方法解方程．
（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2
2．已知：x 2+4x+y2-6y+13=0，求
22.2.3 公式法
一、复习引入
（学生活动）用配方法解下列方程 x -2y 的值． x 2+y 2
（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52
如果这个一元二次方程是一般形式a x 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax +bx+c=0（a ≠0）且b -4ac ≥0，试推导它的两个根x 1
22
x 2
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：a x 2+bx=-c
b c x=- a a
b b 2c b 2 配方，得：x 2+x+（）=-+（）a 2a a 2a 二次项系数化为1，得x 2+
b 2b 2-4ac 即（x+）= 22a 4a
∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0
b 2-4ac ∴≥0 4a 2
b 直接开平方，得：x+=
± 2a 即
-b +-b - ∴x 1
=x 2
= 2a 2a
由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•
-b ±将a 、b 、c 代入式子
x=就得到方程的根． 2a
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
2 （1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1
b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
x=-(-4) 4±2 ==2⨯242
x 2
∴x 1
（2）将方程化为一般形式
3x 2-5x-2=0
a=3，b=-5，c=-2
b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0
x=-(-5) ±5±7 =2⨯36
1 3 x 1=2，x 2=-
（3）将方程化为一般形式
3x 2-11x+9=0
a=3，b=-11，c=9
b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0
∴
=11+11x 2
= 66 ∴x 1
=
（3）a=4，b=-3，c=1
b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．
一、练习
1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．
A ．
．
D．
C ．
2
2
的根是（ ）．
A ．x 1
x 2
．x 1=6，x 2
C ．x 1
x 2
．x 1=x2
3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．
3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．
22.2一元二次方程求根法
1 直接开平方法
运用开平方法解形如（x+m ）2=n（n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
2 通过根据平方根的意义解形如x =n，知识迁移到根据平方根的意义解形如
（x+m）2=n（n ≥0）的方程．
教学过程
问题1．填空
（1）x 2-8x+______=（x-______）2； （2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；
（3）x 2+px+_____=（x+______）2．
x 2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±
例1：解方程：x 2+4x+4=1
练习： 1．若x 2-4x+p=（x+q）2，那么p 、q 的值分别是（ ）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
2．方程3x 2+9=0的根为（ ）．
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
3．用配方法解方程x 2-2x+1=0正确的解法是（ ）． 3
A．（x-1281）=，x=± 393
3
B．（x-128）=-，原方程无解 39
22522-）=，x 1=+，x 2
= 393
33 C．（x-
D．（x-2251）=1，x 1=，x 2=- 333
二、填空题
2 1．若8x -16=0，则x 的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．如果a 、b
b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______．
三、综合提高题
1．解关于x 的方程（x+m）2=n ．
22.2.2 配方法
通过复习可直接化成x 2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
重难点关键
1．重点：讲清“直接降次有困难，如x 2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．
2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
教学过程
一、解下列方程
（1）3x 2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x 2+16x+16=9
老师点评：上面的方程都能化成x 2=p或（mx+n）2=p （p ≥0）的形式，那么可得
x=
． mx+n=
p ≥0）
如：4x 2+16x+16=（2x+4）2
例1．按以上的方程完成x 2-36x+70=0的解题．
2 老师点评：x 2-36x=-70，x 2-36x+182=-70+324，（x-18）=254，x-18=
，
或
，x 1≈34，x 2≈2．
可以验证x 1≈34，x 2≈2都是原方程的根，但x ≈34不合题意，所以道路的宽应为2． 例2．解下列关于x 的方程
（1）x 2+2x-35=0 （2）2x 2-4x-1=0
解：（1）x 2-2x=35
x 2-2x+12=35+1
（x-1）2=36 x-1=±6
x-1=6，x-1=-6
x 1=7，x 2=-5
可以，验证x 1=7，x 2=-5都是x 2+2x-35=0的两根．
11=0 x 2-2x= 22
13 x 2-2x+12=+1 （x-1）2= 22 （2）x 2-2x-
x-1=
x 2
=1-22 x 1
=1+
可以验证：x 1
=1+x 2
=1- 22
练习：
1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．
A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3
2．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A．x 2-8x+（-4）2=31 B．x 2-8x+（-4）2=1
C．x 2+8x+42=1 D．x 2-4x+4=-11
3．如果m x 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）．
A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9
二、填空题
1．方程x 2+4x-5=0的解是________．
x 2-x -2 2．代数式的值为0，则x 的值为________． x 2-1
3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，•所以求出z 的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．
（学生活动）解下列方程：
（1）x 2-8x+7=0 （2）x 2+4x+1=0
．
例1．解下列方程
（1）x 2+6x+5=0 （2）2x 2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方．
解：（1）移项，得：x 2+6x=-5
配方：x 2+6x+32=-5+32（x+3）2=4
由此可得：x+3=±2，即x 1=-1，x 2=-5
（2）移项，得：2x 2+6x=-2
二次项系数化为1，得：x 2+3x=-1
配方x 2+3x+（32335）=-1+（）2（x+）2= 2224
由此可得x+333=
±，即x 1
=-，x 2
=-- 222222
（3）去括号，整理得：x 2+4x-1=0
移项，得x 2+4x=1
配方，得（x+2）2=5
x+2=
x 1
，x 2
练习
4x-2=0应把它先变形为（ ）． 3
182 A．（x-）2= B．（x-）2=0 393
18110 C．（x-）2= D．（x-）2= 3939 1．配方法解方程2x 2-
2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．
A．x 2+1=0 B．（2x+1）2=0
C．（2x+1）2+3=0 D．（1x-a ）2=a 2
3．已知x 2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）．
A．1 B．2 C．-1 D．-2
二、填空题
1．如果x 2+4x-5=0，则x=_______．
2．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．
3．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．
三、综合提高题
1．用配方法解方程．
（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2
2．已知：x 2+4x+y2-6y+13=0，求
22.2.3 公式法
一、复习引入
（学生活动）用配方法解下列方程 x -2y 的值． x 2+y 2
（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52
如果这个一元二次方程是一般形式a x 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax +bx+c=0（a ≠0）且b -4ac ≥0，试推导它的两个根x 1
22
x 2
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：a x 2+bx=-c
b c x=- a a
b b 2c b 2 配方，得：x 2+x+（）=-+（）a 2a a 2a 二次项系数化为1，得x 2+
b 2b 2-4ac 即（x+）= 22a 4a
∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0
b 2-4ac ∴≥0 4a 2
b 直接开平方，得：x+=
± 2a 即
-b +-b - ∴x 1
=x 2
= 2a 2a
由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•
-b ±将a 、b 、c 代入式子
x=就得到方程的根． 2a
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
2 （1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1
b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
x=-(-4) 4±2 ==2⨯242
x 2
∴x 1
（2）将方程化为一般形式
3x 2-5x-2=0
a=3，b=-5，c=-2
b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0
x=-(-5) ±5±7 =2⨯36
1 3 x 1=2，x 2=-
（3）将方程化为一般形式
3x 2-11x+9=0
a=3，b=-11，c=9
b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0
∴
=11+11x 2
= 66 ∴x 1
=
（3）a=4，b=-3，c=1
b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．
一、练习
1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．
A ．
．
D．
C ．
2
2
的根是（ ）．
A ．x 1
x 2
．x 1=6，x 2
C ．x 1
x 2
．x 1=x2
3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．
3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．