“函数奇偶性”怎么教
陶维林 （南京师范大学附属中学 210003）
1 数学上的认识
见木见林，在知识的系统中认识知识，在知识的联系中认识知识。因此，应该在函数的性质中认识函数的奇偶性。
函数的性质指什么？指变化中不变的特征，指函数所具有的各种特点。
函数是两个变量x ，y 间的关系，自然要关心一个变量y 随着另一个变量x 的变化怎样变化（或者不变）这个特点。比如，当自变量x 的值增大时，相应的函数值y 是增大还是减少？——单调性；当自变量x 变号，成为相反数时，相应的函数值y 怎么变化？也变成相反数吗？——函数的奇偶性；当自变量x 每增加一个固定值时，相应的函数值y 是否也增加一个固定的值？——函数的周期性等。这些性质表现在图象（形）上的特征又是什么。
列表如下：
凡是教学概念都应该讲必要性，讲合理性。
当自变量的值x 改变符号成为相反数时，相应的函数值y 怎么变化呢？一种是也变成了相反数，另一种是不变。这是两种“规则”的，当然还有其他“不规则”的，即既不是奇函数也不是偶函数的那种。于是就要把它们区别开来，于是就要产生新概念，这是新概念产生的必要性。新概念应该反映一类事物的本质特征，新概念应该是合理的。那么为什么叫做奇函数，偶函数呢？为什么起这个名字？这个“奇”、“偶”又源自哪里？与“奇、偶”的一个直接联系是奇数、偶数，这是在对整数分类时产生的概念。
如果函数具有“当自变量x 变号成为相反数时，相应的函数值y 也成为相反数”这个特点，表现在图象上是其图象关于原点对称，这是因为点（x ，y ）与点（－x ，－y ）关于原点对称。如果函数具有“当自变量x 变号成为相反数时，相应的函数值y 不变”这个特点，表现在图象上是其图象关于y 轴对称，这是因为点（x ，y ）与点（－x ，y ）关于y 轴对称。 3 奇偶性怎么教
数学上的正确认识，以及概念产生的必要性、合理性的认识是教学设计的重要依据。也就是教师自己首先想明白才能把学生也教明白。
基于以上的分析，应该让学生感受到，在研究函数的最大（小）值、函数的单调性之后将继续研究函数的其他性质。这一点在建立函数概念以及学习过函数的表示法之后，开始研究函数性质时就应该让学生明白。也就是早已画好“导游图”，这个“导游图”起着
“先行组织者”的作用。这也正说明，教学章引言、节引言的必要性和重要性——让学生对这一阶段学习内容有一个宏观的大致的了解。
“一堂课不可能研究函数的所有性质，要一个一个地研究，今天我们来研究函数的另外一种性质。我们已经有经验，研究函数的性质往往借助函数的图象来进行。”
3.1 感受函数奇偶性特征
同学们在初中学习过正比例函数，一次函数，二次函数，反比例函数，现在我们来画
－出它们的图象。如y ＝x ，y ＝x 1，y ＝x 2。（这都是最简单的）类似地，我们继续画出一些函
数的图象。比如，指数都取整数：y ＝x 3，y ＝x 4。
条件许可（比如用几何画板软件或者图形计算器），还可以更多一些的函数图象，如y
－－＝x 5，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 6，y ＝x 7等。
如果条件不许可，则让学生经历列表、描点、绘图的过程。这是对自变量x 变号，函数值是否也变号的体验与感受的过程。既有数量关系上的体验，也有绘制图象、观察图象获得的感受。反思列表、画图的过程，学生可能在列表的过程中已经发现可以“偷懒”，只要计算出一半，另一半很快就可以直接写出来（把相应的函数值改为相反数或者不变，抄一下即可）。这是一个感受、发现函数特征的过程。教师要经常设置过程，让学生在自己的操作中，在自己的观察中获得体验，获得基本经验来学习知识。
教师可以提出问题：“观察这些函数的图象，根据它们的特点，请给它们分分类。”并且问一问“你是依据什么来分类的？”
特征的概括：
象y ＝x 2，y ＝x 4，y ＝x 6，y ＝x 8这样一类函数，图象关于y 轴对称，叫做偶函数。
－象y ＝x 1，y ＝x 1，y ＝x 3，y ＝x 5，y ＝x 7这样一类函数，图象关于原点对称，叫做奇函
数。
2，4，6，8等都是偶数，－1，1，3，5，7等都是奇数，当然前一类函数叫做偶函数好，后一类函数叫做奇函数好。教师可以与学生一起商讨某一类函数起个什么名字好。
这是一个初步定义，暂不出形式化的符号表示，虽不严格，但符合人们认识事物的规律，由粗到精，自然，合情理。
3.2 特征的进一步感受，偶函数的定义
先抓住偶函数特征，奇函数留给学生自己研究。（或者反过来）
“偶函数的图象关于y 轴对称，函数图象的这一特征，表现在数量关系上是什么呢？” f （－1）＝f （1）；
f （－1.5）＝f （1.5）；
f （3.1）＝f （－3.1）；
„„
（教师可以让学生随时填空。）
概括特征（数量关系上）：自变量变号（成为相反数），相应的函数值不变。
“一般化，用符号该怎么表示？”（抽象、概括）
f （－x ）＝f （x ）。
下定义：如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）＝f （x ），那么函数f （x ）就叫做偶函数。
这个设计的特点是，由形到数，由具体到抽象，由特殊到一般，让学生获得足够的关于偶函数特征的体验，核心是概括。
3.3 偶函数概念的应用
“你能举出几个偶函数的例子吗？”
让学生列举偶函数的例子，是为了检测他们是否把握偶函数的本质特征，理解概念的
内涵。可能出现的例子有y ＝|x |，y ＝x 2，y ＝x 4+x 2，甚至y ＝|x |等等。这比教师提出问题，x +1
让学生判断要好。让学生有自己提出问题的机会，而不总是解答教师提出的问题。关键还不在此，在于提出问题时他们必然要抓住特征，构造典型例子。
追问“你为什么举这个例子呢？”挖掘背后的思维过程，迫使他们用概念解释结果，回到依据f （－x ）＝f （x ）上来。
这是一个由一般到特殊的过程，是对新概念的辨析、应用的过程。
教师也可以参与举例。比如y ＝2，y ＝x 3+x 2等，让学生判断。
也可以做练习：f （x ）是偶函数，在（0，+∞）的表达式是f （x ）＝x 2－3x ，写出f （x ）在（－∞，0）上的表达式。
3.5 奇函数的研究交给学生
“类比偶函数，研究奇函数，你能获得哪些结论？”
教师要舍得留下足够的时间，让同学们开展研究。
“主动学习的原则”是教学的一条重要原则。其核心思想是，学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现。
待学生研究之后，组织交流。
对于一般结论f （x ）＝－f （－x ），还应该要求会用自然语言来叙述：“当自变量x 变为相反数时，相应的函数值y 也变为相反数。”
要求举一些奇函数的例子。
3.6 练习，小结。（略）
4 几点认识
4.1 这节课的主要任务是把奇函数、偶函数的概念搞清楚。既是奇函数又是偶函数，不是奇函数也不是偶函数，以及定义域关于原点对称等等，包括某些练习，可以放到下一节课进行。基本概念清楚了，这些都不是困难的事。凡概念教学，应当让学生感受新概念产生的必要性，让学生参与举例，参与概括，参与定义，感受所形成的新概念的合理性。比如让学生体验、感受奇函数、偶函数的本质特征。从认识方法上看，从“数”与“形”两个方面，从具体到抽象，从特殊到一般，让学生有足够的体验，使抽象的概念有具体事例的支撑。从教学方法上看，教师通过设置的问题，让学生开展举例、绘图、操作、观察、归纳等活动，获得基本的经验，让概括变得水到渠成。学生力所能及的事让学生自己去做，学习是学习者自己的体验与感受，教师不要越俎代庖，遵循“学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现”的原则，放手让他们自己研究问题，获得结论，而不是教师的直接告诉。从而让学生逐渐学会提出问题、研究问题，让学生的能力获得充分发展，尤其是思维能力。
4.2 情境的设置应该有利于帮助学生认识数学，不必追求花哨、形式。未必事事都要到生活中找例子。对于来自生活中的例子是否有利于对数学概念的理解要认真思考，不必牵强附会，为情境而情境。心理学研究表明，高中学生的思维特点已经由经验型向理论型转化，而且逐渐以理论型为主。因此，可以直接采用来自数学内部的例子。往后对于奇函数、偶函数的理解可能最好的例子仍然是f （x ）＝x 3，f （x ）＝x 2，而不是什么蝴蝶、太极图。要注意培养学生抽象思维的能力，发展理性精神。
教师要设置一个较为平顺的过程，减少突兀，少强加于人。问题要提得自然——为什么要研究这个问题呢？怎样研究这个问题？为什么起这个名字好？尽可能让学生感受到“数学是自然的”。对于抽象的概念需要足够具体事例的支撑，不宜概括得太匆忙。函数的奇偶性具有一定的抽象性。尤其是符号f （x ）＝f （－x ），f （x ）＝－f （－x ）的认识，需要“多元联系表示”，不仅有数量关系与图形的表示，还应该有自然语言的叙述。如“当自变量变为相反数，而函数值不变的函数是偶函数”，这样可能更能把握特征。
4.3 概念初步形成阶段，知识形成阶段不宜做能力要求高，灵活性大的练习，更不应做技巧强的练习。应该围绕概念的核心做一些辨析练习，以巩固概念，促使他们把基本概念搞清楚，把握其内涵。教科书上的例题、练习是为学生通过练习，理解概念、熟悉知识、掌握方法等而设置的，有时也可以让学生自己举例子，而不仅是解答教科书中的练习题。比如，可以让学生自己举偶函数、奇函数的例子。还可以同桌互相出题、解题。这些无疑都是好办法，可以促进学习活动的开展。我们总是说“提出问题比解决问题更重要”，应当经常让学生有提出问题的机会，而不总是由教师提出问题学生只有解答的份。
“函数奇偶性”怎么教
陶维林 （南京师范大学附属中学 210003）
1 数学上的认识
见木见林，在知识的系统中认识知识，在知识的联系中认识知识。因此，应该在函数的性质中认识函数的奇偶性。
函数的性质指什么？指变化中不变的特征，指函数所具有的各种特点。
函数是两个变量x ，y 间的关系，自然要关心一个变量y 随着另一个变量x 的变化怎样变化（或者不变）这个特点。比如，当自变量x 的值增大时，相应的函数值y 是增大还是减少？——单调性；当自变量x 变号，成为相反数时，相应的函数值y 怎么变化？也变成相反数吗？——函数的奇偶性；当自变量x 每增加一个固定值时，相应的函数值y 是否也增加一个固定的值？——函数的周期性等。这些性质表现在图象（形）上的特征又是什么。
列表如下：
凡是教学概念都应该讲必要性，讲合理性。
当自变量的值x 改变符号成为相反数时，相应的函数值y 怎么变化呢？一种是也变成了相反数，另一种是不变。这是两种“规则”的，当然还有其他“不规则”的，即既不是奇函数也不是偶函数的那种。于是就要把它们区别开来，于是就要产生新概念，这是新概念产生的必要性。新概念应该反映一类事物的本质特征，新概念应该是合理的。那么为什么叫做奇函数，偶函数呢？为什么起这个名字？这个“奇”、“偶”又源自哪里？与“奇、偶”的一个直接联系是奇数、偶数，这是在对整数分类时产生的概念。
如果函数具有“当自变量x 变号成为相反数时，相应的函数值y 也成为相反数”这个特点，表现在图象上是其图象关于原点对称，这是因为点（x ，y ）与点（－x ，－y ）关于原点对称。如果函数具有“当自变量x 变号成为相反数时，相应的函数值y 不变”这个特点，表现在图象上是其图象关于y 轴对称，这是因为点（x ，y ）与点（－x ，y ）关于y 轴对称。 3 奇偶性怎么教
数学上的正确认识，以及概念产生的必要性、合理性的认识是教学设计的重要依据。也就是教师自己首先想明白才能把学生也教明白。
基于以上的分析，应该让学生感受到，在研究函数的最大（小）值、函数的单调性之后将继续研究函数的其他性质。这一点在建立函数概念以及学习过函数的表示法之后，开始研究函数性质时就应该让学生明白。也就是早已画好“导游图”，这个“导游图”起着
“先行组织者”的作用。这也正说明，教学章引言、节引言的必要性和重要性——让学生对这一阶段学习内容有一个宏观的大致的了解。
“一堂课不可能研究函数的所有性质，要一个一个地研究，今天我们来研究函数的另外一种性质。我们已经有经验，研究函数的性质往往借助函数的图象来进行。”
3.1 感受函数奇偶性特征
同学们在初中学习过正比例函数，一次函数，二次函数，反比例函数，现在我们来画
－出它们的图象。如y ＝x ，y ＝x 1，y ＝x 2。（这都是最简单的）类似地，我们继续画出一些函
数的图象。比如，指数都取整数：y ＝x 3，y ＝x 4。
条件许可（比如用几何画板软件或者图形计算器），还可以更多一些的函数图象，如y
－－＝x 5，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 6，y ＝x 7等。
如果条件不许可，则让学生经历列表、描点、绘图的过程。这是对自变量x 变号，函数值是否也变号的体验与感受的过程。既有数量关系上的体验，也有绘制图象、观察图象获得的感受。反思列表、画图的过程，学生可能在列表的过程中已经发现可以“偷懒”，只要计算出一半，另一半很快就可以直接写出来（把相应的函数值改为相反数或者不变，抄一下即可）。这是一个感受、发现函数特征的过程。教师要经常设置过程，让学生在自己的操作中，在自己的观察中获得体验，获得基本经验来学习知识。
教师可以提出问题：“观察这些函数的图象，根据它们的特点，请给它们分分类。”并且问一问“你是依据什么来分类的？”
特征的概括：
象y ＝x 2，y ＝x 4，y ＝x 6，y ＝x 8这样一类函数，图象关于y 轴对称，叫做偶函数。
－象y ＝x 1，y ＝x 1，y ＝x 3，y ＝x 5，y ＝x 7这样一类函数，图象关于原点对称，叫做奇函
数。
2，4，6，8等都是偶数，－1，1，3，5，7等都是奇数，当然前一类函数叫做偶函数好，后一类函数叫做奇函数好。教师可以与学生一起商讨某一类函数起个什么名字好。
这是一个初步定义，暂不出形式化的符号表示，虽不严格，但符合人们认识事物的规律，由粗到精，自然，合情理。
3.2 特征的进一步感受，偶函数的定义
先抓住偶函数特征，奇函数留给学生自己研究。（或者反过来）
“偶函数的图象关于y 轴对称，函数图象的这一特征，表现在数量关系上是什么呢？” f （－1）＝f （1）；
f （－1.5）＝f （1.5）；
f （3.1）＝f （－3.1）；
„„
（教师可以让学生随时填空。）
概括特征（数量关系上）：自变量变号（成为相反数），相应的函数值不变。
“一般化，用符号该怎么表示？”（抽象、概括）
f （－x ）＝f （x ）。
下定义：如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）＝f （x ），那么函数f （x ）就叫做偶函数。
这个设计的特点是，由形到数，由具体到抽象，由特殊到一般，让学生获得足够的关于偶函数特征的体验，核心是概括。
3.3 偶函数概念的应用
“你能举出几个偶函数的例子吗？”
让学生列举偶函数的例子，是为了检测他们是否把握偶函数的本质特征，理解概念的
内涵。可能出现的例子有y ＝|x |，y ＝x 2，y ＝x 4+x 2，甚至y ＝|x |等等。这比教师提出问题，x +1
让学生判断要好。让学生有自己提出问题的机会，而不总是解答教师提出的问题。关键还不在此，在于提出问题时他们必然要抓住特征，构造典型例子。
追问“你为什么举这个例子呢？”挖掘背后的思维过程，迫使他们用概念解释结果，回到依据f （－x ）＝f （x ）上来。
这是一个由一般到特殊的过程，是对新概念的辨析、应用的过程。
教师也可以参与举例。比如y ＝2，y ＝x 3+x 2等，让学生判断。
也可以做练习：f （x ）是偶函数，在（0，+∞）的表达式是f （x ）＝x 2－3x ，写出f （x ）在（－∞，0）上的表达式。
3.5 奇函数的研究交给学生
“类比偶函数，研究奇函数，你能获得哪些结论？”
教师要舍得留下足够的时间，让同学们开展研究。
“主动学习的原则”是教学的一条重要原则。其核心思想是，学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现。
待学生研究之后，组织交流。
对于一般结论f （x ）＝－f （－x ），还应该要求会用自然语言来叙述：“当自变量x 变为相反数时，相应的函数值y 也变为相反数。”
要求举一些奇函数的例子。
3.6 练习，小结。（略）
4 几点认识
4.1 这节课的主要任务是把奇函数、偶函数的概念搞清楚。既是奇函数又是偶函数，不是奇函数也不是偶函数，以及定义域关于原点对称等等，包括某些练习，可以放到下一节课进行。基本概念清楚了，这些都不是困难的事。凡概念教学，应当让学生感受新概念产生的必要性，让学生参与举例，参与概括，参与定义，感受所形成的新概念的合理性。比如让学生体验、感受奇函数、偶函数的本质特征。从认识方法上看，从“数”与“形”两个方面，从具体到抽象，从特殊到一般，让学生有足够的体验，使抽象的概念有具体事例的支撑。从教学方法上看，教师通过设置的问题，让学生开展举例、绘图、操作、观察、归纳等活动，获得基本的经验，让概括变得水到渠成。学生力所能及的事让学生自己去做，学习是学习者自己的体验与感受，教师不要越俎代庖，遵循“学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现”的原则，放手让他们自己研究问题，获得结论，而不是教师的直接告诉。从而让学生逐渐学会提出问题、研究问题，让学生的能力获得充分发展，尤其是思维能力。
4.2 情境的设置应该有利于帮助学生认识数学，不必追求花哨、形式。未必事事都要到生活中找例子。对于来自生活中的例子是否有利于对数学概念的理解要认真思考，不必牵强附会，为情境而情境。心理学研究表明，高中学生的思维特点已经由经验型向理论型转化，而且逐渐以理论型为主。因此，可以直接采用来自数学内部的例子。往后对于奇函数、偶函数的理解可能最好的例子仍然是f （x ）＝x 3，f （x ）＝x 2，而不是什么蝴蝶、太极图。要注意培养学生抽象思维的能力，发展理性精神。
教师要设置一个较为平顺的过程，减少突兀，少强加于人。问题要提得自然——为什么要研究这个问题呢？怎样研究这个问题？为什么起这个名字好？尽可能让学生感受到“数学是自然的”。对于抽象的概念需要足够具体事例的支撑，不宜概括得太匆忙。函数的奇偶性具有一定的抽象性。尤其是符号f （x ）＝f （－x ），f （x ）＝－f （－x ）的认识，需要“多元联系表示”，不仅有数量关系与图形的表示，还应该有自然语言的叙述。如“当自变量变为相反数，而函数值不变的函数是偶函数”，这样可能更能把握特征。
4.3 概念初步形成阶段，知识形成阶段不宜做能力要求高，灵活性大的练习，更不应做技巧强的练习。应该围绕概念的核心做一些辨析练习，以巩固概念，促使他们把基本概念搞清楚，把握其内涵。教科书上的例题、练习是为学生通过练习，理解概念、熟悉知识、掌握方法等而设置的，有时也可以让学生自己举例子，而不仅是解答教科书中的练习题。比如，可以让学生自己举偶函数、奇函数的例子。还可以同桌互相出题、解题。这些无疑都是好办法，可以促进学习活动的开展。我们总是说“提出问题比解决问题更重要”，应当经常让学生有提出问题的机会，而不总是由教师提出问题学生只有解答的份。