第２４卷第５期２０１０年１０月
江苏科技大学学报（自然科学版）
Ｖｏｌ．２４Ｎｏ．５基于信息熵的图像阈值选取算法
葛启承，林锦国，肖 迪
（南京工业大学自动化与电气工程学院，江苏南京２１１８１６）
摘 要：阈值法是图像分割的一种重要方法，在图像处理与目标识别中广为应用．信息熵可以表征图像的灰度信息，并用以区分图像中的目标和背景．文中研究了最大熵法的分割效果、对数熵的运算时间，然后使用指数熵代替对数熵，并对二维最大熵法进行了改进，在结合大津法的同时，加入了４邻域外像素灰度的信息．实验结果表明本文所用方法可有效缩短计算时间、突出边缘特征、提高阈值自动选择的准确性和鲁棒性．关键词：图像分割；阈值分割法；阈值选择；熵
中图分类号：ＴＰ３９１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３－４８０７（２０１０）０５－０４８５－０４
Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆｉｍａｇｅｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇｂａｓｅｄｏｎｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｅｎｔｒｏｐｙ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＡｕｔｏｍａｔｉｏｎａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＮａｎｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＮａｎｊｉｎｇＪｉａｎｇｓｕ２１１８１６，Ｃｈｉｎａ）
ＧｅＱｉｃｈｅｎｇ，ＬｉｎＪｉｎｇｕｏ，ＸｉａｏＤｉ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｍｅｔｈｏｄｏｆｉｍａｇｅｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎａｎｄｉｓａｐｐｌｉｅｄｗｉｄｅｌｙｔｏｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ
ａｎｄｏｂｊｅｃｔｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ．Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｅｎｔｒｏｐｙｃａｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｔｈｅｇｒａｙｓｃａｌｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｉｍａｇｅａｎｄａｌｓｏｃａｎｄｉｓ－ｔｉｎｇｕｉｓｈｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｏｂｊｅｃｔｉｖｅｓａｎｄｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ．Ａｆｔｅｒｓｔｕｄｙｉｎｇｔｈｅｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎｅｆｆｅｃｔｏｆｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｅｎｔｒｏｐｙｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅｔｉｍｅｒｅｑｕｉｒｅｄｆｏｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇｔｈｅｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃｅｎｔｒｏｐｙ，ｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｍａｘｉｍｕｍｅｎｔｒｏｐｙｍｅｔｈｏｄｗａｓｉｍｐｒｏｖｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．ＴｈｅｍｅｔｈｏｄｃｏｍｂｉｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅＯｔｓｕｍｅｔｈｏｄ．Ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ，ｉｔｕｓｅｄｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｅｎｔｒｏｐｙｉｎｓｔｅａｄｏｆｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃｅｎｔｒｏｐｙａｎｄｊｏｉｎｅｄｔｈｅｇｒａｙｓｃａｌｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｉｘｅｌｓｏｕｔｓｉｄｅｔｈｅｆｏｕｒ－ｎｅｉｇｈｂｏｒ－ｄｏｍａｉｎ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄｍｅｔｈｏｄｉｓｅｆｆｅｃｔｉｖｅｔｏｒｅｄｕｃｅｔｈｅｃｏｍｐｕｔｉｎｇｔｉｍｅａｎｄｈｉｇｈ－ｌｉｇｈｔｔｈｅｅｄｇｅｓ．Ａｌｓｏ，ｉｔｃａｎｒａｉｓｅｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙａｎｄｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓｏｆｔｈｅａｕｔｏｍａｔｉｃｔｈｒｅｓｈｏｌｄｓｅｌｅｃｔｉｎｇ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｍａｇｅｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ；ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ；ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｓｅｌｅｃｔｉｏｎ；ｅｎｔｒｏｐｙ 图像分割是图像理解与模式识别的前提，也是大多数图像分析及视觉系统的重要组成部［２］
分．阈值分割是图像分割的最常用的方法，通过选取适当的阈值，将原图像中的目标与背景分开，为后续的分类、识别提供依据．图像作为一种信息来源，其像素的灰度分布具有随机性，故人们将信息论的成果引入到图像的处理．文中通过一维、二维最大对数熵法自动选取图像分割的阈值，针对对数熵计算较慢，对比使用了指数熵，而且针对二维最大熵计算时间长的缺点，改进了其算法，增加了Ｏｔｓｕ初选以减少盲目的计算量．
［１］
为一个概率过程，这个过程可用与直觉相一致的方
［３］
法度量．将信息熵的概念引入图像处理中，根据数字图像的每个像素灰度做出统计灰度直方图，设总像素数为Ｍ，灰度级ｉ的象限个数为Ｎｉ，灰度级ｉ出现的概率为ｐｉ，则
ｉ
ｐｉ∑ｐｉ＝１（１）
ｉ
从而得到信息熵
Ｈ（Ｎ）＝Ｅｌｏｇ２＝－∑ｐｉｌｏｇ２ｐｉ（２）
ｉｉ
１ 信息熵的阈值分割应用
２ 最大熵阈值分割
最大熵阈值选取法根据目标和背景２个概率
信息论的基本前提是信息的产生可以被抽象
收稿日期：２０１０－０７－１６
作者简介：葛启承（１９８５—），男，江苏苏州人，硕士研究生，研究方向为图像处理、模式识别等．Ｅ－ｍａｉｌ：ｙｕｗｅｎｔｕｏｃｈｅｎｇ＠１２６．ｃｏｍ
４８６江苏科技大学学报（自然科学版）第２４卷
０１ｔｔ＋１ｔ＋２Ｌ－１分布和定义目
ｔｔｔ１－Ｐｔ１－Ｐｔ１－Ｐｔ
标和背景两类的熵分别为
ＨＢ（ｔ）＝－∑
ｉ＝０ｔ
各像素及其４邻域的４个像素为一个区域，计算出
区域灰度均值图像，这样原始图像中的每一个像素都对应于一个点灰度———区域灰度均值对．设ｎｉ，ｊ为图像中点灰度为ｉ及其区域灰度均值为ｊ的像素个数，ｐｉ，ｊ为点灰度———区域灰度均值对（ｉ，ｊ）发生的概率，则
ｐｉ，ｊ（７）
ＨＷ（ｔ）＝－∑
ｉｉ
ｌｏｇ２Ｐｔ１－Ｐｔｉ＝ｔ＋１１－
Ｌ－１
ｉｉ２ｔｔ
（３）（４）
２．１ 一维最大熵法
使熵ＨＢ（ｔ）＋ＨＷ（ｔ）达到最大可求得最佳阈值ｔ．
式中，Ｎ为图像的大小，如果向量（ｓ，ｔ）是阈值向在一副灰度范围为［０，Ｌ－１］的图像中，熵函数定义为
φ（ｔ）＝ｌｏｇ－Ｈ２Ｐｔ（１－Ｐｔ）ｔ１－Ｐｔ
（５）
式中
Ｐｔ
ｔ
ｔ＝∑ｉ＝０
ｐｉ，Ｈｔ＝－∑ｉ＝０
ｐｉＬ－１
ｌｏｇ２ｐｉ
ＨＬ－１＝－∑ｉ＝０
ｐｉｌｏｇ２ｐｉ
一维最大熵法强调的是系统内部的均匀性，当应用在阈值化分割技术中时，就是搜索使目标和背景内部的灰度分布尽可能均匀的最优阈值［４］
．
让目标和背景的Ｓｈａｎｎｏｎ熵之和取得最大值２时畅２， 对应的灰度值指数信息熵
Ｔ就是所求的最佳阈值．
尽管Ｓｈａｎｎｏｎ信息熵是解决不确定性问题大的一种有效方法，但是它也存在一定的问题
［５］．为
满足实际情况的需要，可定义另一种信息量计算方
法，令一个概率为ｐｉ的事件的信息量为ΔＩ（ｐｉ）＝ｅμｉ
＝ｅ
１－ｐｉ
，此时熵定义为
Ｈ＝Ｅ（ΔＩ）＝∑１－ｐｉ
ｉ
ｐｉｅ
，ＨＢ（ｔ）＝ｔ
∑
ｉ＝０
ｉｔ
ｅ１ｐｔＨＬ－１
ｔ
Ｗ（ｔ）＝∑ｉ１ｐ１－
Ｐｔ
ｉ＝ｔ＋１１－Ｐｔｅ，其中：Ｐｔ＝∑ｉ＝０
ｐｉ，选择
最佳阈值满足Ｔ＝ａｒｇｔ＝０，…，ｍａｘＬ－１
｛ＨＢ（ｔ）＋ＨＷ（ｔ）｝（６）
指数熵改善了用对数定义信息上中的无定义值和零值的问题，克服了对数信息熵的不足．此外，对数运算速度较慢，用指数运算取代对数运算可以大大减少计算时间２畅３ 二维最大熵法
．由于灰度一维最大熵是基于图像原始直方图的，它仅仅利用了点灰度信息而未充分利用图像的空间信息，而二维最大熵综合利用了点灰度特征和区域灰度特征
［６］
，从而较好地表征了图像的信息．
它的基本方法是：以原始灰度图像（Ｌ个灰度级）中
量，那么（ｓ，ｔ）把这个矩阵分割成４个象限，分别设为Ａ，Ｂ，Ｃ和Ｄ．设ＰＡ为Ａ象限的概率总和，ＨＡ为象限Ａ二维熵值，ＨＬ为全部所有像素的二维熵值．则二维最大熵的判别函数为
φ（ｓ，ｔ）＝ｌｏｇ）］ＡＬ－ＨＡ
２［ＰＡ（１－ＰＡＡ１－ＰＡ
（８）
使φ（ｓ，ｔ）为最大的阈值ｓ和ｔ即为所求阈值．其中
ＰＡ＝∑ｉ
∑ｊ
ｐｉ，ｊ
ｉ＝０，１，…，ｓ；ｊ＝０，１，…，ｔ（９）ＨＡ＝－∑ｉ
∑ｊ
ｐｉ，ｊｌｏｇ２ｐｉ，ｊｉ＝０，１，…，ｓ；ｊ＝０，１，…，ｔ（１０）ＨＬ＝－∑∑ｐｉ，ｊｌｏｇ２ｐｉ，ｊ
２畅４ ｉ改进的二维最大熵法
＝０，１，…，ｉ
Ｌ－ｊ１；ｊ＝０，１，…，Ｌ－１
（１１）
以上在计算中只考虑目标的边缘和背景的边缘所在的两个象限，而忽略另外两个象限．事实上，通常情况下，水平或垂直方向的灰度变化相对于对角方向的灰度变化较“缓慢”或连续性“较强”．为克服这一不足，提出新方法创建二维直方图，在３×３的邻域中利用邻域中心的灰度值和４邻域以外的４个像素的灰度平均值，这样既可以避免定义二维熵时所关心的对象位置过于“密切”，又可以提高邻域中心像素的灰度值与所参考灰度值的差异．
设ｆ（ｘ，ｙ）表示灰度级是２５６的图像，ｇ（ｘ，ｙ）表示当前像素（ｘ，ｙ）的３×３邻域内４邻域以外的４个像素的灰度平均值，ｆ（ｘ，ｙ）和ｇ（ｘ，ｙ）可以构成二维直方图．即
ｈ（ｋ，ｍ）＝｛ｆ（ｘ，ｙ）＝ｋ｝∩｛ｇ（ｘ，ｙ）＝ｍ｝
（１２）式中，Ｐ（Ａ）为事件Ａ发生的次数；ｈ（ｋ，ｍ）为ｆ（ｘ，ｙ）＝ｋ并且ｇ（ｘ，ｙ）＝ｍ发生的次数．上式反应的关系可以表示成如图１的矩阵形式．
ｈ（ｋ，ｍ）可用下式归一化
第５期
２５５
２５５
葛启承，等：基于信息熵的图像阈值选取算法
４
４８７
（ｋ，ｍ）＝ｈ（ｋ，ｍ）／∑∑ｈ（ｉ，ｊ）
ｉ＝０
ｊ＝０
（１３）
为Ｏ（Ｌ）．运算速度慢，难以用于实时处理．
１９７９年，Ｏｔｓｕ提出了依据类间距离极大准则来确定区域分割门限
［７］
．该方法具有简单、处理速
度快等特点，是一种常用的自适应阈值选取方法．于是，可以将Ｏｔｓｕ方法和二维最大熵法结合起来，先采用Ｏｔｓｕ法求出一个阈值，然后在此阈值上下
Ｆｉｇ．１ 图Ｑｕａｄｒａｎｔｓ１ 二维直方图矩阵的象限
ｏｆ２－Ｄｈｉｓｔｏｇｒａｍｍａｔｒｉｘ
对不同的象限得到的概率
ＰＢ
ｉｊｉｊｓ２５５
Ｂ＝ｈ（ｉ，ｊ）／∑ｋ＝０∑ｌ＝ｔ＋１ｈ（ｋ，ｌ）０≤ｉ≤ｓ，ｔ＋１≤ｊ≤２５５（１４）
ＰＤ
２５５ｉｊｉｊｔ
Ｄ＝ｈ（ｉ，ｊ）／ｋ∑＝ｓ＋１∑ｌ＝０ｈ（ｋ，ｌ）ｓ＋１≤ｉ≤２５５，０≤ｊ≤ｔ（１５）从二维直方图矩阵的构成上，象限Ａ和象限Ｃ中元素的特性为：图像３×３邻域中心灰度值和Ａ邻域以外的４个像素平均灰度值的差别“不明显”（相对于象限Ｂ和象限Ｄ中的元素），这种特性与目标或背景的内部元素特性接近，那么不妨假设象限Ａ和象限Ｃ分别对应于背景的内部和目标的内部；象限Ｂ和象限Ｄ中的元素的性质为：图像中３×３邻域中心灰度值和４邻域以外的４个像素平均灰度值的差别“明显”（相对于象限Ａ和象限Ｃ中的元素），这种性质与目标的边缘和噪声的性质接近，由对象限Ａ和象限Ｃ的假设，可以认为象限ＢＳｈａｎｎｏｎ和象限条件熵可写作
Ｄ分别对应于背景和目标的边缘和噪声，Ｈ（Ｅ｜Ｂ）＝－ｓ
２５５
∑Ｂ
Ｂ
ｉ＝０∑ｊ＝ｔ＋１ｐｉｊｌｏｇ２ｐｉｊ
（１６）２５５
Ｈ（Ｅ｜Ｏ）＝－ｔ
∑∑ｐＤ
ｉ＝ｓ＋１ｊ＝０ｉｊｌｏｇ２ｐｉｊ
Ｄ
（１７）
综合考虑以上二式，图像的二维Ｓｈａｎｎｏｎ熵可写为
ＨＴ
（ｃ）（ｓ，ｔ）＝（Ｈ（Ｅ｜Ｂ）＋Ｈ（Ｅ｜Ｏ））／２（１８）Ｈ（Ｔ
ｃ）（ｓ，ｔ）的最大值为目标背景分类给出的优化阈值向量（ｓ倡
，ｔ倡
）（ｓ倡，ｔ倡）＝ａｒｇ｛Ｔ０≤ｓ≤２５５，０≤ｍａｘｔ≤２５５Ｈｃ（ｓ，ｔ）｝
（１９）
使ＨＴ
倡
倡
（ｃ）（ｓ，ｔ）最大时的向量（ｓ，ｔ）即实现图像的自动分割２畅５ 结合．Ｏｔｓｕ法的二维最大熵法
为了选择全局最优，上述过程采用穷举搜索获得阈值矢量．显然，计算背景和目标的熵是上述方法中的主要部分．对每一个（ｓ，ｔ），阈值化的计算量
一定小范围内作为初始值使用二维最大熵法，可以缩小二维最大熵的计算量，同时，由于使用了２种不同机理的阈值方法，所以可以提高阈值选取的鲁棒性，使得其对于不同图像的自适应性增强．
３ 实验结果及分析
文中采用ＩＥＥＥ推荐的检测算法性能的Ｌｅｎａ图像进行实验（图２），ｌｅｎａ图像大小为５１２×５１２，灰度级为２５６，从０～２５５．图３为Ｌｅｎａ原图的灰度
直方图，图４～８为Ｌｅｎａ图实验所得的分割结果，图９为ＣａｍｅｒａＭａｎ原图，图１０～１１为ＣａｍｅｒａＭａｎ图实验所得的分割结果．
由图４，５可知，指数熵和对数熵所得的结果相当，但是指数熵计算对于计算机来说花费时间更少（具体各算法所用计算时间可见表１）．对比图６，７可知，改进后的二维最大熵法突出了更多的细节，分割更加精确，更多地考虑了灰度的变化，二者时间上来说差不多．图８所示的综合了Ｏｔｓｕ法的二维最大熵法初始取值更精确，对于分辨率高或者大批量处理的图像来说，计算量可减少很多，
当然它
Ｆｉｇ．２ 图Ｏｒｉｇｉｎａｌ２ ＬｅｎａＬｅｎａ
ｉｍａｇｅ标准ｏｆ Ｆｉｇ图．３３ ＬｅｎａＨｉｓｔｏｇｒａｍ灰度直方ｏｆＬｅｎａ
图４ Ｌｅｎａ一维对数熵 图５ Ｌｅｎａ一维指数熵
Ｆｉｇ．４ Ｓｅｇｍｅｎｔｅｄ分割 分割
ｌｏｇａｒｉｒｔｈｍｉｃｗｉｔｈ１－Ｄ Ｆｉｇ．５ Ｓｅｇｍｅｎｔｅｄｗｉｔｈ
ｍｅｔｈｏｄ
ｅｎｔｒｏｐｙ１－Ｄｅｘｐｏｎｅｎｔａｌ
４８８江苏科技大学学报（自然科学版）第２４卷
表１ Ｌｅｎａ图不同算法所需计算时间比较
Ｔａｂｌｅ１ ＣｏｍｐｕｔｉｎｇｔｉｍｅｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒＬｅｎａ
序号１２３４５
方法一维对数熵法一维指数熵法二维最大熵法改进二维最大熵法结合Ｏｔｓｕ的改进二维最大熵法
计算时间／ｍｓ
３５．１７６．０７２２９．４５３０７．４７１９７．０１
其自适应性，可对比图１０，１１所示．图９的Ｃａｍ－
ｅｒａＭａｎ图像为目标较背景暗，与Ｌｅｎａ图的目标较背景亮有所区别，单纯使用二维最大熵法所得图像为图１０，可见其效果不佳，只有极少数边缘轮廓被检测出来，但是综合了Ｏｔｓｕ法后，其效果有明显提高，将图片中的目标任务有效地分割了出来．
注：表中所列数据为各算法程序计算所需时间，编程工具为ＶｉｓｕａｌＳｔｕｄｉｏ２００８，编程语言为Ｃ＃，电脑配置：Ｉｎｔｅｌ（Ｒ）Ｃｏｒｅ（ＴＭ）２ＣＰＵ４ 结论
１）二维最大熵法较一维最大熵法更为有效；
Ｔ５５００＠１畅６６ＧＨｚ，２畅００ＧＢ内存．
图６ Ｌｅｎａ二维最大熵 图７ Ｌｅｎａ改进二维最大
Ｆｉｇ．６分割 Ｓｅｇｍｅｎｔｅｄ２ｗｉｔｈ Ｆｉｇ熵分割ｅｎｔｒｏｐｙ－Ｄｍａｘｉｍｕｍ．７ Ｓｅｇｍｅｎｔｅｄｗｉｔｈ
ｍｅｔｈｏｄｉｍｐｒｏｖｅｄｍａｘｉｍｕｍ２ｍｅｔｈｏｄ
ｅｎｔｒｏｐｙ
－Ｄ
图８ Ｌｅｎａ二维Ｏｔｓｕ最 图９ ＣａｍｅｒａＭａｎ标准
Ｆｉｇ．８ Ｓｅｇｍｅｎｔｅｄ大熵分割
ｍａｘｉｍｕｍｗｉｔｈ２－Ｄ Ｆｉｇ．９ Ｏｒｉｇｉｎａｌｉｍａｇｅｏｆ
ａｎｄＯｔｓｕｍｅｔｈｏｄ
ｅｎｔｒｏｐｙＣａｍｅｒａｍａｎ
图１０ ＣａｍｅｒａＭａｎ二维 图１１ ＣａｍｅｒａＭａｎ二维
Ｆｉｇ．１０ 最大熵分割Ｓｅｇｍｅｎｔｅｄｉｍｐｒｏｖｅｄｗｉｔｈ Ｆｉｇ．１１ ＳｅｇｍｅｔｅｄＯｔｓｕ最大熵分割
ｗｉｔｈｍａｘｉｍｕｍ２－Ｄｍａｘｉｍｕｍｅｎｔｒｏｐｙ２－Ｄ
ｍｅｔｈｏｄ
ｅｎｔｒｏｐｙａｎｄＯｔｓｕｍｅｔｈｏｄ还有另一个特点是可以提高阈值分割的性能，增强
２）指数熵较对数熵计算时间大幅下降；
３）结合大津法的二维最大熵法增加了阈值选取的准确性和鲁棒法．
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２０９．
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，２００７，３３（１４）：
（责任编辑：贡洪殿）
第２４卷第５期２０１０年１０月
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摘 要：阈值法是图像分割的一种重要方法，在图像处理与目标识别中广为应用．信息熵可以表征图像的灰度信息，并用以区分图像中的目标和背景．文中研究了最大熵法的分割效果、对数熵的运算时间，然后使用指数熵代替对数熵，并对二维最大熵法进行了改进，在结合大津法的同时，加入了４邻域外像素灰度的信息．实验结果表明本文所用方法可有效缩短计算时间、突出边缘特征、提高阈值自动选择的准确性和鲁棒性．关键词：图像分割；阈值分割法；阈值选择；熵
中图分类号：ＴＰ３９１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３－４８０７（２０１０）０５－０４８５－０４
Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆｉｍａｇｅｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇｂａｓｅｄｏｎｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｅｎｔｒｏｐｙ
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ＧｅＱｉｃｈｅｎｇ，ＬｉｎＪｉｎｇｕｏ，ＸｉａｏＤｉ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｍｅｔｈｏｄｏｆｉｍａｇｅｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎａｎｄｉｓａｐｐｌｉｅｄｗｉｄｅｌｙｔｏｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ
ａｎｄｏｂｊｅｃｔｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ．Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｅｎｔｒｏｐｙｃａｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｔｈｅｇｒａｙｓｃａｌｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｉｍａｇｅａｎｄａｌｓｏｃａｎｄｉｓ－ｔｉｎｇｕｉｓｈｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｏｂｊｅｃｔｉｖｅｓａｎｄｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ．Ａｆｔｅｒｓｔｕｄｙｉｎｇｔｈｅｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎｅｆｆｅｃｔｏｆｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｅｎｔｒｏｐｙｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅｔｉｍｅｒｅｑｕｉｒｅｄｆｏｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇｔｈｅｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃｅｎｔｒｏｐｙ，ｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｍａｘｉｍｕｍｅｎｔｒｏｐｙｍｅｔｈｏｄｗａｓｉｍｐｒｏｖｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．ＴｈｅｍｅｔｈｏｄｃｏｍｂｉｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅＯｔｓｕｍｅｔｈｏｄ．Ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ，ｉｔｕｓｅｄｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｅｎｔｒｏｐｙｉｎｓｔｅａｄｏｆｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃｅｎｔｒｏｐｙａｎｄｊｏｉｎｅｄｔｈｅｇｒａｙｓｃａｌｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｉｘｅｌｓｏｕｔｓｉｄｅｔｈｅｆｏｕｒ－ｎｅｉｇｈｂｏｒ－ｄｏｍａｉｎ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄｍｅｔｈｏｄｉｓｅｆｆｅｃｔｉｖｅｔｏｒｅｄｕｃｅｔｈｅｃｏｍｐｕｔｉｎｇｔｉｍｅａｎｄｈｉｇｈ－ｌｉｇｈｔｔｈｅｅｄｇｅｓ．Ａｌｓｏ，ｉｔｃａｎｒａｉｓｅｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙａｎｄｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓｏｆｔｈｅａｕｔｏｍａｔｉｃｔｈｒｅｓｈｏｌｄｓｅｌｅｃｔｉｎｇ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｍａｇｅｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ；ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ；ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｓｅｌｅｃｔｉｏｎ；ｅｎｔｒｏｐｙ 图像分割是图像理解与模式识别的前提，也是大多数图像分析及视觉系统的重要组成部［２］
分．阈值分割是图像分割的最常用的方法，通过选取适当的阈值，将原图像中的目标与背景分开，为后续的分类、识别提供依据．图像作为一种信息来源，其像素的灰度分布具有随机性，故人们将信息论的成果引入到图像的处理．文中通过一维、二维最大对数熵法自动选取图像分割的阈值，针对对数熵计算较慢，对比使用了指数熵，而且针对二维最大熵计算时间长的缺点，改进了其算法，增加了Ｏｔｓｕ初选以减少盲目的计算量．
［１］
为一个概率过程，这个过程可用与直觉相一致的方
［３］
法度量．将信息熵的概念引入图像处理中，根据数字图像的每个像素灰度做出统计灰度直方图，设总像素数为Ｍ，灰度级ｉ的象限个数为Ｎｉ，灰度级ｉ出现的概率为ｐｉ，则
ｉ
ｐｉ∑ｐｉ＝１（１）
ｉ
从而得到信息熵
Ｈ（Ｎ）＝Ｅｌｏｇ２＝－∑ｐｉｌｏｇ２ｐｉ（２）
ｉｉ
１ 信息熵的阈值分割应用
２ 最大熵阈值分割
最大熵阈值选取法根据目标和背景２个概率
信息论的基本前提是信息的产生可以被抽象
收稿日期：２０１０－０７－１６
作者简介：葛启承（１９８５—），男，江苏苏州人，硕士研究生，研究方向为图像处理、模式识别等．Ｅ－ｍａｉｌ：ｙｕｗｅｎｔｕｏｃｈｅｎｇ＠１２６．ｃｏｍ
４８６江苏科技大学学报（自然科学版）第２４卷
０１ｔｔ＋１ｔ＋２Ｌ－１分布和定义目
ｔｔｔ１－Ｐｔ１－Ｐｔ１－Ｐｔ
标和背景两类的熵分别为
ＨＢ（ｔ）＝－∑
ｉ＝０ｔ
各像素及其４邻域的４个像素为一个区域，计算出
区域灰度均值图像，这样原始图像中的每一个像素都对应于一个点灰度———区域灰度均值对．设ｎｉ，ｊ为图像中点灰度为ｉ及其区域灰度均值为ｊ的像素个数，ｐｉ，ｊ为点灰度———区域灰度均值对（ｉ，ｊ）发生的概率，则
ｐｉ，ｊ（７）
ＨＷ（ｔ）＝－∑
ｉｉ
ｌｏｇ２Ｐｔ１－Ｐｔｉ＝ｔ＋１１－
Ｌ－１
ｉｉ２ｔｔ
（３）（４）
２．１ 一维最大熵法
使熵ＨＢ（ｔ）＋ＨＷ（ｔ）达到最大可求得最佳阈值ｔ．
式中，Ｎ为图像的大小，如果向量（ｓ，ｔ）是阈值向在一副灰度范围为［０，Ｌ－１］的图像中，熵函数定义为
φ（ｔ）＝ｌｏｇ－Ｈ２Ｐｔ（１－Ｐｔ）ｔ１－Ｐｔ
（５）
式中
Ｐｔ
ｔ
ｔ＝∑ｉ＝０
ｐｉ，Ｈｔ＝－∑ｉ＝０
ｐｉＬ－１
ｌｏｇ２ｐｉ
ＨＬ－１＝－∑ｉ＝０
ｐｉｌｏｇ２ｐｉ
一维最大熵法强调的是系统内部的均匀性，当应用在阈值化分割技术中时，就是搜索使目标和背景内部的灰度分布尽可能均匀的最优阈值［４］
．
让目标和背景的Ｓｈａｎｎｏｎ熵之和取得最大值２时畅２， 对应的灰度值指数信息熵
Ｔ就是所求的最佳阈值．
尽管Ｓｈａｎｎｏｎ信息熵是解决不确定性问题大的一种有效方法，但是它也存在一定的问题
［５］．为
满足实际情况的需要，可定义另一种信息量计算方
法，令一个概率为ｐｉ的事件的信息量为ΔＩ（ｐｉ）＝ｅμｉ
＝ｅ
１－ｐｉ
，此时熵定义为
Ｈ＝Ｅ（ΔＩ）＝∑１－ｐｉ
ｉ
ｐｉｅ
，ＨＢ（ｔ）＝ｔ
∑
ｉ＝０
ｉｔ
ｅ１ｐｔＨＬ－１
ｔ
Ｗ（ｔ）＝∑ｉ１ｐ１－
Ｐｔ
ｉ＝ｔ＋１１－Ｐｔｅ，其中：Ｐｔ＝∑ｉ＝０
ｐｉ，选择
最佳阈值满足Ｔ＝ａｒｇｔ＝０，…，ｍａｘＬ－１
｛ＨＢ（ｔ）＋ＨＷ（ｔ）｝（６）
指数熵改善了用对数定义信息上中的无定义值和零值的问题，克服了对数信息熵的不足．此外，对数运算速度较慢，用指数运算取代对数运算可以大大减少计算时间２畅３ 二维最大熵法
．由于灰度一维最大熵是基于图像原始直方图的，它仅仅利用了点灰度信息而未充分利用图像的空间信息，而二维最大熵综合利用了点灰度特征和区域灰度特征
［６］
，从而较好地表征了图像的信息．
它的基本方法是：以原始灰度图像（Ｌ个灰度级）中
量，那么（ｓ，ｔ）把这个矩阵分割成４个象限，分别设为Ａ，Ｂ，Ｃ和Ｄ．设ＰＡ为Ａ象限的概率总和，ＨＡ为象限Ａ二维熵值，ＨＬ为全部所有像素的二维熵值．则二维最大熵的判别函数为
φ（ｓ，ｔ）＝ｌｏｇ）］ＡＬ－ＨＡ
２［ＰＡ（１－ＰＡＡ１－ＰＡ
（８）
使φ（ｓ，ｔ）为最大的阈值ｓ和ｔ即为所求阈值．其中
ＰＡ＝∑ｉ
∑ｊ
ｐｉ，ｊ
ｉ＝０，１，…，ｓ；ｊ＝０，１，…，ｔ（９）ＨＡ＝－∑ｉ
∑ｊ
ｐｉ，ｊｌｏｇ２ｐｉ，ｊｉ＝０，１，…，ｓ；ｊ＝０，１，…，ｔ（１０）ＨＬ＝－∑∑ｐｉ，ｊｌｏｇ２ｐｉ，ｊ
２畅４ ｉ改进的二维最大熵法
＝０，１，…，ｉ
Ｌ－ｊ１；ｊ＝０，１，…，Ｌ－１
（１１）
以上在计算中只考虑目标的边缘和背景的边缘所在的两个象限，而忽略另外两个象限．事实上，通常情况下，水平或垂直方向的灰度变化相对于对角方向的灰度变化较“缓慢”或连续性“较强”．为克服这一不足，提出新方法创建二维直方图，在３×３的邻域中利用邻域中心的灰度值和４邻域以外的４个像素的灰度平均值，这样既可以避免定义二维熵时所关心的对象位置过于“密切”，又可以提高邻域中心像素的灰度值与所参考灰度值的差异．
设ｆ（ｘ，ｙ）表示灰度级是２５６的图像，ｇ（ｘ，ｙ）表示当前像素（ｘ，ｙ）的３×３邻域内４邻域以外的４个像素的灰度平均值，ｆ（ｘ，ｙ）和ｇ（ｘ，ｙ）可以构成二维直方图．即
ｈ（ｋ，ｍ）＝｛ｆ（ｘ，ｙ）＝ｋ｝∩｛ｇ（ｘ，ｙ）＝ｍ｝
（１２）式中，Ｐ（Ａ）为事件Ａ发生的次数；ｈ（ｋ，ｍ）为ｆ（ｘ，ｙ）＝ｋ并且ｇ（ｘ，ｙ）＝ｍ发生的次数．上式反应的关系可以表示成如图１的矩阵形式．
ｈ（ｋ，ｍ）可用下式归一化
第５期
２５５
２５５
葛启承，等：基于信息熵的图像阈值选取算法
４
４８７
（ｋ，ｍ）＝ｈ（ｋ，ｍ）／∑∑ｈ（ｉ，ｊ）
ｉ＝０
ｊ＝０
（１３）
为Ｏ（Ｌ）．运算速度慢，难以用于实时处理．
１９７９年，Ｏｔｓｕ提出了依据类间距离极大准则来确定区域分割门限
［７］
．该方法具有简单、处理速
度快等特点，是一种常用的自适应阈值选取方法．于是，可以将Ｏｔｓｕ方法和二维最大熵法结合起来，先采用Ｏｔｓｕ法求出一个阈值，然后在此阈值上下
Ｆｉｇ．１ 图Ｑｕａｄｒａｎｔｓ１ 二维直方图矩阵的象限
ｏｆ２－Ｄｈｉｓｔｏｇｒａｍｍａｔｒｉｘ
对不同的象限得到的概率
ＰＢ
ｉｊｉｊｓ２５５
Ｂ＝ｈ（ｉ，ｊ）／∑ｋ＝０∑ｌ＝ｔ＋１ｈ（ｋ，ｌ）０≤ｉ≤ｓ，ｔ＋１≤ｊ≤２５５（１４）
ＰＤ
２５５ｉｊｉｊｔ
Ｄ＝ｈ（ｉ，ｊ）／ｋ∑＝ｓ＋１∑ｌ＝０ｈ（ｋ，ｌ）ｓ＋１≤ｉ≤２５５，０≤ｊ≤ｔ（１５）从二维直方图矩阵的构成上，象限Ａ和象限Ｃ中元素的特性为：图像３×３邻域中心灰度值和Ａ邻域以外的４个像素平均灰度值的差别“不明显”（相对于象限Ｂ和象限Ｄ中的元素），这种特性与目标或背景的内部元素特性接近，那么不妨假设象限Ａ和象限Ｃ分别对应于背景的内部和目标的内部；象限Ｂ和象限Ｄ中的元素的性质为：图像中３×３邻域中心灰度值和４邻域以外的４个像素平均灰度值的差别“明显”（相对于象限Ａ和象限Ｃ中的元素），这种性质与目标的边缘和噪声的性质接近，由对象限Ａ和象限Ｃ的假设，可以认为象限ＢＳｈａｎｎｏｎ和象限条件熵可写作
Ｄ分别对应于背景和目标的边缘和噪声，Ｈ（Ｅ｜Ｂ）＝－ｓ
２５５
∑Ｂ
Ｂ
ｉ＝０∑ｊ＝ｔ＋１ｐｉｊｌｏｇ２ｐｉｊ
（１６）２５５
Ｈ（Ｅ｜Ｏ）＝－ｔ
∑∑ｐＤ
ｉ＝ｓ＋１ｊ＝０ｉｊｌｏｇ２ｐｉｊ
Ｄ
（１７）
综合考虑以上二式，图像的二维Ｓｈａｎｎｏｎ熵可写为
ＨＴ
（ｃ）（ｓ，ｔ）＝（Ｈ（Ｅ｜Ｂ）＋Ｈ（Ｅ｜Ｏ））／２（１８）Ｈ（Ｔ
ｃ）（ｓ，ｔ）的最大值为目标背景分类给出的优化阈值向量（ｓ倡
，ｔ倡
）（ｓ倡，ｔ倡）＝ａｒｇ｛Ｔ０≤ｓ≤２５５，０≤ｍａｘｔ≤２５５Ｈｃ（ｓ，ｔ）｝
（１９）
使ＨＴ
倡
倡
（ｃ）（ｓ，ｔ）最大时的向量（ｓ，ｔ）即实现图像的自动分割２畅５ 结合．Ｏｔｓｕ法的二维最大熵法
为了选择全局最优，上述过程采用穷举搜索获得阈值矢量．显然，计算背景和目标的熵是上述方法中的主要部分．对每一个（ｓ，ｔ），阈值化的计算量
一定小范围内作为初始值使用二维最大熵法，可以缩小二维最大熵的计算量，同时，由于使用了２种不同机理的阈值方法，所以可以提高阈值选取的鲁棒性，使得其对于不同图像的自适应性增强．
３ 实验结果及分析
文中采用ＩＥＥＥ推荐的检测算法性能的Ｌｅｎａ图像进行实验（图２），ｌｅｎａ图像大小为５１２×５１２，灰度级为２５６，从０～２５５．图３为Ｌｅｎａ原图的灰度
直方图，图４～８为Ｌｅｎａ图实验所得的分割结果，图９为ＣａｍｅｒａＭａｎ原图，图１０～１１为ＣａｍｅｒａＭａｎ图实验所得的分割结果．
由图４，５可知，指数熵和对数熵所得的结果相当，但是指数熵计算对于计算机来说花费时间更少（具体各算法所用计算时间可见表１）．对比图６，７可知，改进后的二维最大熵法突出了更多的细节，分割更加精确，更多地考虑了灰度的变化，二者时间上来说差不多．图８所示的综合了Ｏｔｓｕ法的二维最大熵法初始取值更精确，对于分辨率高或者大批量处理的图像来说，计算量可减少很多，
当然它
Ｆｉｇ．２ 图Ｏｒｉｇｉｎａｌ２ ＬｅｎａＬｅｎａ
ｉｍａｇｅ标准ｏｆ Ｆｉｇ图．３３ ＬｅｎａＨｉｓｔｏｇｒａｍ灰度直方ｏｆＬｅｎａ
图４ Ｌｅｎａ一维对数熵 图５ Ｌｅｎａ一维指数熵
Ｆｉｇ．４ Ｓｅｇｍｅｎｔｅｄ分割 分割
ｌｏｇａｒｉｒｔｈｍｉｃｗｉｔｈ１－Ｄ Ｆｉｇ．５ Ｓｅｇｍｅｎｔｅｄｗｉｔｈ
ｍｅｔｈｏｄ
ｅｎｔｒｏｐｙ１－Ｄｅｘｐｏｎｅｎｔａｌ
４８８江苏科技大学学报（自然科学版）第２４卷
表１ Ｌｅｎａ图不同算法所需计算时间比较
Ｔａｂｌｅ１ ＣｏｍｐｕｔｉｎｇｔｉｍｅｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒＬｅｎａ
序号１２３４５
方法一维对数熵法一维指数熵法二维最大熵法改进二维最大熵法结合Ｏｔｓｕ的改进二维最大熵法
计算时间／ｍｓ
３５．１７６．０７２２９．４５３０７．４７１９７．０１
其自适应性，可对比图１０，１１所示．图９的Ｃａｍ－
ｅｒａＭａｎ图像为目标较背景暗，与Ｌｅｎａ图的目标较背景亮有所区别，单纯使用二维最大熵法所得图像为图１０，可见其效果不佳，只有极少数边缘轮廓被检测出来，但是综合了Ｏｔｓｕ法后，其效果有明显提高，将图片中的目标任务有效地分割了出来．
注：表中所列数据为各算法程序计算所需时间，编程工具为ＶｉｓｕａｌＳｔｕｄｉｏ２００８，编程语言为Ｃ＃，电脑配置：Ｉｎｔｅｌ（Ｒ）Ｃｏｒｅ（ＴＭ）２ＣＰＵ４ 结论
１）二维最大熵法较一维最大熵法更为有效；
Ｔ５５００＠１畅６６ＧＨｚ，２畅００ＧＢ内存．
图６ Ｌｅｎａ二维最大熵 图７ Ｌｅｎａ改进二维最大
Ｆｉｇ．６分割 Ｓｅｇｍｅｎｔｅｄ２ｗｉｔｈ Ｆｉｇ熵分割ｅｎｔｒｏｐｙ－Ｄｍａｘｉｍｕｍ．７ Ｓｅｇｍｅｎｔｅｄｗｉｔｈ
ｍｅｔｈｏｄｉｍｐｒｏｖｅｄｍａｘｉｍｕｍ２ｍｅｔｈｏｄ
ｅｎｔｒｏｐｙ
－Ｄ
图８ Ｌｅｎａ二维Ｏｔｓｕ最 图９ ＣａｍｅｒａＭａｎ标准
Ｆｉｇ．８ Ｓｅｇｍｅｎｔｅｄ大熵分割
ｍａｘｉｍｕｍｗｉｔｈ２－Ｄ Ｆｉｇ．９ Ｏｒｉｇｉｎａｌｉｍａｇｅｏｆ
ａｎｄＯｔｓｕｍｅｔｈｏｄ
ｅｎｔｒｏｐｙＣａｍｅｒａｍａｎ
图１０ ＣａｍｅｒａＭａｎ二维 图１１ ＣａｍｅｒａＭａｎ二维
Ｆｉｇ．１０ 最大熵分割Ｓｅｇｍｅｎｔｅｄｉｍｐｒｏｖｅｄｗｉｔｈ Ｆｉｇ．１１ ＳｅｇｍｅｔｅｄＯｔｓｕ最大熵分割
ｗｉｔｈｍａｘｉｍｕｍ２－Ｄｍａｘｉｍｕｍｅｎｔｒｏｐｙ２－Ｄ
ｍｅｔｈｏｄ
ｅｎｔｒｏｐｙａｎｄＯｔｓｕｍｅｔｈｏｄ还有另一个特点是可以提高阈值分割的性能，增强
２）指数熵较对数熵计算时间大幅下降；
３）结合大津法的二维最大熵法增加了阈值选取的准确性和鲁棒法．
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（责任编辑：贡洪殿）