尺规作图
【知识回顾】
1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本, 最常用的尺规作图, 通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
2、五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段；
2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线；
5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a .
求作：线段AB ，使AB = a . 作法：
（1） 作射线AP ；
（2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。
（2）题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN.
求作：点O ，使MO=NO（即O 是MN 的中点）. 作法：
（１）分别以M 、N 为圆心，大于 M
的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ 交MN 于O ．
则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。
（3）题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB ，
求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。 作法：
（
1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，
分别交OA ，OB 于M ，N ；
（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。
则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
第1页，共 6 页
（4）题目四：作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AOB 。 求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOB
②
③
①
作法：
（1）作射线O ’A ’；
（2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； （4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’； （5）连接O ’N ’并延长到B ’。 则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。
（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。 已知：如图，P 是直线AB 上一点。
求作：直线CD ，是CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。
P
作法：
（1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ；
（2）分别以M 、N 为圆心，大于
1
MN 的长为半径画弧，两弧交于点Q ； 2
（3）过D 、Q 作直线CD 。 则直线CD 是求作的直线。
（6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 已知：如图，直线AB 及外一点P 。
P
求作：直线CD ，使CD 经过点P ，
且CD ⊥AB 。
A
B
第2页，共 6 页
作法：
（1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ； （2）分别以M 、N 圆心，大于
1
MN 长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q ； 2
（3）过P 、Q 作直线CD 。
则直线CD 就是所求作的直线。
（5）题目七：已知三边作三角形。 已知：如图，线段a ，b ，c.
求作：△ABC ，使AB = c，AC = b，BC = a.
作法：
（1） 作线段AB = c；
（2） 以A 为圆心，以b 为半径作弧，
以B 为圆心，以a 为半径作弧与 前弧相交于C ； （3） 连接AC ，BC 。
则△ABC 就是所求作的三角形。
题目八：已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段m ，n, ∠α.
求作：△ABC ，使∠A=∠α，AB=m，AC=n. 作法：
（1） 作∠A=∠α；
（2） 在AB 上截取AB=m ,AC=n； （3） 连接BC 。
则△ABC 就是所求作的三角形。
题目九：已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，∠α，∠β，线段m .
求作：△ABC ，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m. 作法：
（1） 作线段AB=m； （2） 在AB 的同旁
作∠A=∠α，作∠B=∠β， ∠A 与∠B 的另一边相交于C 。
则△ABC 就是所求作的图形（三角形）。
第3页，共 6 页
【考点练习】
1、如图:107国道OA 和320国道OB 在某市相交于点O, 在∠AOB 的内部有工厂C 和D, 现要修建一个货站P, 使P 到OA 、OB 的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P 的位置(不写作法, 保留作图痕迹, 写出结论)
2、三条公路两两相交，交点分别为A ，B ，C ，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？用尺规作图作出所有可能的加油站地址。
3、过点C 作一条线平行于AB 。
4、如图，平行四边形纸条ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点。张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形ABEF 沿EF 翻折，得到一个V 字形图案。请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A1B1FE ；(用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹) 。
5、如图，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠AOB 画在方格纸上，请用利用格点和直尺(无刻度) 作出∠AOB 的平分线。
第4页，共 6 页
6、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题, 在版面设计过程中需将一个半圆面三等分, 请你帮助他设计一个合理的等分方案，图中AB 为直径，O 为圆心(要求用尺规作图, 保留作图痕迹) 。
7、
已知线段AB 和CD ，如下图，求作一线段，使它的长度等于AB ＋2CD.
8、如图，已知∠A 、∠B ，求作一个角，使它等于∠A-∠B.
9、如图，画一个等腰△ABC ，使得底边BC=a ，它的高AD=h
第5页，共 6 页
10、如图，有A ，B ，C 三个村庄，现要修建一所希望小学，•使三个村庄到学校的距离相等，学校的地址应选在什么地方？请你在图中画出学校的位置并说明理由（•保留作图痕迹）．
11、如图，A 、B 两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？ （2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ 请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．
. B
A
12、如图，A 为∠MON 内一点，试在OM 、ON 边上分别作出一点B 、C ，使△ABC 的周长最小．
13、如图，已知两点P 、Q 在锐角∠AOB 内，分别在OA 、OB 上求点M 、N ，使PM ＋MN ＋NQ 最短．
.
B
18．如图所示，EFGH 是一矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A 、B 两点位置上，试问：怎样撞击黑球A ，使黑球先碰撞台边EF 反弹后再击中白球B ？
第6页，共 6 页
尺规作图
【知识回顾】
1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本, 最常用的尺规作图, 通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
2、五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段；
2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线；
5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a .
求作：线段AB ，使AB = a . 作法：
（1） 作射线AP ；
（2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。
（2）题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN.
求作：点O ，使MO=NO（即O 是MN 的中点）. 作法：
（１）分别以M 、N 为圆心，大于 M
的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ 交MN 于O ．
则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。
（3）题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB ，
求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。 作法：
（
1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，
分别交OA ，OB 于M ，N ；
（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。
则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
第1页，共 6 页
（4）题目四：作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AOB 。 求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOB
②
③
①
作法：
（1）作射线O ’A ’；
（2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； （4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’； （5）连接O ’N ’并延长到B ’。 则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。
（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。 已知：如图，P 是直线AB 上一点。
求作：直线CD ，是CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。
P
作法：
（1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ；
（2）分别以M 、N 为圆心，大于
1
MN 的长为半径画弧，两弧交于点Q ； 2
（3）过D 、Q 作直线CD 。 则直线CD 是求作的直线。
（6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 已知：如图，直线AB 及外一点P 。
P
求作：直线CD ，使CD 经过点P ，
且CD ⊥AB 。
A
B
第2页，共 6 页
作法：
（1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ； （2）分别以M 、N 圆心，大于
1
MN 长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q ； 2
（3）过P 、Q 作直线CD 。
则直线CD 就是所求作的直线。
（5）题目七：已知三边作三角形。 已知：如图，线段a ，b ，c.
求作：△ABC ，使AB = c，AC = b，BC = a.
作法：
（1） 作线段AB = c；
（2） 以A 为圆心，以b 为半径作弧，
以B 为圆心，以a 为半径作弧与 前弧相交于C ； （3） 连接AC ，BC 。
则△ABC 就是所求作的三角形。
题目八：已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段m ，n, ∠α.
求作：△ABC ，使∠A=∠α，AB=m，AC=n. 作法：
（1） 作∠A=∠α；
（2） 在AB 上截取AB=m ,AC=n； （3） 连接BC 。
则△ABC 就是所求作的三角形。
题目九：已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，∠α，∠β，线段m .
求作：△ABC ，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m. 作法：
（1） 作线段AB=m； （2） 在AB 的同旁
作∠A=∠α，作∠B=∠β， ∠A 与∠B 的另一边相交于C 。
则△ABC 就是所求作的图形（三角形）。
第3页，共 6 页
【考点练习】
1、如图:107国道OA 和320国道OB 在某市相交于点O, 在∠AOB 的内部有工厂C 和D, 现要修建一个货站P, 使P 到OA 、OB 的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P 的位置(不写作法, 保留作图痕迹, 写出结论)
2、三条公路两两相交，交点分别为A ，B ，C ，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？用尺规作图作出所有可能的加油站地址。
3、过点C 作一条线平行于AB 。
4、如图，平行四边形纸条ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点。张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形ABEF 沿EF 翻折，得到一个V 字形图案。请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A1B1FE ；(用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹) 。
5、如图，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠AOB 画在方格纸上，请用利用格点和直尺(无刻度) 作出∠AOB 的平分线。
第4页，共 6 页
6、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题, 在版面设计过程中需将一个半圆面三等分, 请你帮助他设计一个合理的等分方案，图中AB 为直径，O 为圆心(要求用尺规作图, 保留作图痕迹) 。
7、
已知线段AB 和CD ，如下图，求作一线段，使它的长度等于AB ＋2CD.
8、如图，已知∠A 、∠B ，求作一个角，使它等于∠A-∠B.
9、如图，画一个等腰△ABC ，使得底边BC=a ，它的高AD=h
第5页，共 6 页
10、如图，有A ，B ，C 三个村庄，现要修建一所希望小学，•使三个村庄到学校的距离相等，学校的地址应选在什么地方？请你在图中画出学校的位置并说明理由（•保留作图痕迹）．
11、如图，A 、B 两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？ （2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ 请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．
. B
A
12、如图，A 为∠MON 内一点，试在OM 、ON 边上分别作出一点B 、C ，使△ABC 的周长最小．
13、如图，已知两点P 、Q 在锐角∠AOB 内，分别在OA 、OB 上求点M 、N ，使PM ＋MN ＋NQ 最短．
.
B
18．如图所示，EFGH 是一矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A 、B 两点位置上，试问：怎样撞击黑球A ，使黑球先碰撞台边EF 反弹后再击中白球B ？
第6页，共 6 页