处理共点力平衡问题的常见方法
物体的共点力平衡问题，涉及力的概念、受力分析、力的合成与分解、列方程运算等多方面数学、物理知识和能力的应用，是高考中的热点。对于刚入学的高一新生来说，这个部分是一大难点。笔者结合自己多年的教学经验以及对学生常错易错点分析，现将处理共点力平衡问题的常见方法总结如下：
1、三力平衡问题的解决方法：力的合成法、分解法、相似三角形法
（1）、力的合成法：物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反;
【例1】. （2008年·广东卷）如图1甲所示，质量为m 的物体悬挂在轻质支架上，斜梁OB 与竖直方向的夹角为θ。设水平横梁OA 和斜梁OB 作用于O 点的弹力分别为F1和F2，以下结果正确的是（ ）
图1甲
mg mg
A.F1=mgsinθ B.F1= sin q C.F2=mgcosθ D.F2=cos q
【解析】根据三力平衡特点，任意两个力的合力与第三个力等大反向，可作出如图1乙所示矢量图，由三角形知识可得F1=mgtanθ,F2=mg/cosθ,故D 正确,A 、B 、C 错误。
图1乙
（2）力的分解法：在实际问题中，一般根据力产生的实际作用效果分解。
【例2】如图2甲所示，质量为m 的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO 与斜面间的倾角β多大时，AO 所受压力最小。
图2甲
【解析】虽然题目问的是挡板AO 的受力情况，但若直接以挡板为研究对象，因挡板所受力均为未知力，将无法得出结论。
以球为研究对象。球所受重力mg 产生的效果有两个：对斜面产生了压力F N1，对挡板产生了压力F N2。根据得力产生的效果将重力分解，如图2乙所示。
当挡板与斜面的夹角β由图示位置变化时，F N1大小改变，但方向不变，始终与斜面垂直；F N2的大小、方向均改变（图中画出一系列虚线表示变化的F N2）。由图可看出，当F N2与F N1垂直即β=90°时，挡板AO 所受压力最小，最小压力
F N2min=mgsinα。
如图2乙
（3）、相似三角形法: 这种方法主要用来解决三力平衡的问题。根据平衡条件并结合力的合成与分解的方法，把三个平衡力转化为三角形的三条边，利用力的三角形与空间的三角形的相似规律求解.
【例3】 固定在水平面上的光滑半球半径为R ，球心0的正上方C 处固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球置于半球面上A 点，另一端绕过定滑轮，如图3甲所示，现将小球缓慢地从A 点拉向B 点，则此过程中小
的压力大小F N 、细线的拉力大小F T 的变化情况是
A 、F N 不变、F T 不变 B. F N 不变、F T 变大
C ，F N 不变、F T 变小 D. F N 变大、F T 变小
【解析 】小球受力如图3乙所示，根据平衡条件知，小球所受支持力
拉力F T ' F N 球对半球( ) 和细线 ' 的合力F 跟重力是一对平衡力，即F =G . 根据几何关系知，力三角形FAF N 与几何三角形 COA 相似. 设滑轮到半球顶点B 的距离为h, 线长AC 为L ，则有F N '
R =G
R +h =F T
G 、R 、h 均不变, L 减小，L , 由于小球从A 点移向B 点的过程中，故F N 大'
小不变，F T 减小. 所以正确答案为C 选项.
2. 解多个共点力作用下物体平衡问题的方法：正交分解法。
物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解: F x 合=0F y 合=0, . 为方便计算，建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则.
【例4】如图所示，重力为500N 的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200N 的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止。不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。
【解析】人和重物静止，所受合力皆为零，对物分析得到，绳拉力F 等于物重200N ；人受四个力作用，将绳的拉力分解，即可求解。
如图所示，将绳的拉力分解得
水平分力
Fx=Fcos60°=200
×
竖直分力 N=100N
Fy=Fsin60°=200
×N =100N
在x 轴上，F ′与Fx 二力平衡
所以静摩擦力F ′=Fx =100N
在y 轴上，三力平衡得地面对人支持力
FN =G－Fy =（500－100）N=100（5
－）N
3. 研究对象的灵活选择–––整体法与隔离法
选择研究对象是解决物理问题的首要环节．在很多物理问题中，研究对象的选择方案是多样的，研究对象的选取方法不同会影响求解的繁简程度。隔离法与整体法都是物理解题的基本方法。
隔离法就是将研究对象从其周围的环境中隔离出来单独进行研究，这个研究对象
可以是一个物体，也可以是物体的一个部分，广义的隔离法还包括将一个物理过程从
其全过程中隔离出来。
整体法是将几个物体看作一个整体，或将看上去具有明显不同性质和特点的几个物理过程作为一个整体过程来处理。隔离法和整体法看上去相互对立，但两者在本质上是统一的，因为将几个物体看作一个整体之后，还是要将它们与周围的环境隔离开来的。
通常在分析外力对系统的作用时，用整体法；在分析系统内各物体（各部分）间相互作用时，用隔离法．解题中应遵循“先整体、后隔离”的原则。
【例5. 】在粗糙水平面上有一个三角形木块a ，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m1和m2的两个木块b 和c ，如图所示，已知m1＞m2，三木块均处于静止，则粗糙地面对于三角形木块（ ）
A ．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向右
B ．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向左
C ．有摩擦力作用，但摩擦力的方向不能确定
D ．没有摩擦力的作用
【解析】由于三物体均静止，故可将三物体视为一个物体，它静止于水平面上，必无摩擦力作用，故选D ．
4.. 求共点力作用下物体平衡的极值问题的方法 :解析法、图解法
1）解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。通常我们会用到的数学知识有：二次函数极值、均分定理求极值、讨论分式极值、三角函数极值以及几何法求极值；
2）、图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力
矢量三角形，然后根据图进行动态分析，确定最大值和最小值。这种方法比较简便，
而且很直观。
【例6】、重为G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的力F 使得木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向如何？
【解析】：
方法一：解析法。木块在运动中受到摩擦力的作用，要减小摩擦力，应当使作用力F 斜向上与水平方向的夹角为θ时，F 的值最小。
木块受力分析如图所示，由平衡条件可知：
F cosθ－μ fN=0，
F sin θ+fN－G=0 ，解得：F=μG/cos+μsinθ
令tanψ=μ，sinψ=μ/（
（+μ2+μ2） ，cosψ=1/） ，
+μ2cosθ+μsinθ=（）（cosθcosψ+ sin θsinψ）= （+μ2）cos （θ－ψ），
） 可见，当θ=ψ=arctanμ时，F 有最小值为Fmin=μG/（+μ2
方法二：图解分析。因为Ff=μFN，所以不论FN 如何改变，Ff 与FN 的合力F1的方向都不会发生改变，如图6、7所示，合力F1与竖直方向的夹角一定为ψ=arctan（Ff/FN）=arctanμ，可见，F1、F 、G 三力平衡，应该构成一个封闭的三角形，当改变F 与水平方向的夹角时，F1和F 的大小都会发生改变，而且F1和F 方向垂直时F 的值最小。由几何关系可得：
Fmin=G/sinψ=μG/（+μ2）
处理共点力平衡问题的常见方法
物体的共点力平衡问题，涉及力的概念、受力分析、力的合成与分解、列方程运算等多方面数学、物理知识和能力的应用，是高考中的热点。对于刚入学的高一新生来说，这个部分是一大难点。笔者结合自己多年的教学经验以及对学生常错易错点分析，现将处理共点力平衡问题的常见方法总结如下：
1、三力平衡问题的解决方法：力的合成法、分解法、相似三角形法
（1）、力的合成法：物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反;
【例1】. （2008年·广东卷）如图1甲所示，质量为m 的物体悬挂在轻质支架上，斜梁OB 与竖直方向的夹角为θ。设水平横梁OA 和斜梁OB 作用于O 点的弹力分别为F1和F2，以下结果正确的是（ ）
图1甲
mg mg
A.F1=mgsinθ B.F1= sin q C.F2=mgcosθ D.F2=cos q
【解析】根据三力平衡特点，任意两个力的合力与第三个力等大反向，可作出如图1乙所示矢量图，由三角形知识可得F1=mgtanθ,F2=mg/cosθ,故D 正确,A 、B 、C 错误。
图1乙
（2）力的分解法：在实际问题中，一般根据力产生的实际作用效果分解。
【例2】如图2甲所示，质量为m 的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO 与斜面间的倾角β多大时，AO 所受压力最小。
图2甲
【解析】虽然题目问的是挡板AO 的受力情况，但若直接以挡板为研究对象，因挡板所受力均为未知力，将无法得出结论。
以球为研究对象。球所受重力mg 产生的效果有两个：对斜面产生了压力F N1，对挡板产生了压力F N2。根据得力产生的效果将重力分解，如图2乙所示。
当挡板与斜面的夹角β由图示位置变化时，F N1大小改变，但方向不变，始终与斜面垂直；F N2的大小、方向均改变（图中画出一系列虚线表示变化的F N2）。由图可看出，当F N2与F N1垂直即β=90°时，挡板AO 所受压力最小，最小压力
F N2min=mgsinα。
如图2乙
（3）、相似三角形法: 这种方法主要用来解决三力平衡的问题。根据平衡条件并结合力的合成与分解的方法，把三个平衡力转化为三角形的三条边，利用力的三角形与空间的三角形的相似规律求解.
【例3】 固定在水平面上的光滑半球半径为R ，球心0的正上方C 处固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球置于半球面上A 点，另一端绕过定滑轮，如图3甲所示，现将小球缓慢地从A 点拉向B 点，则此过程中小
的压力大小F N 、细线的拉力大小F T 的变化情况是
A 、F N 不变、F T 不变 B. F N 不变、F T 变大
C ，F N 不变、F T 变小 D. F N 变大、F T 变小
【解析 】小球受力如图3乙所示，根据平衡条件知，小球所受支持力
拉力F T ' F N 球对半球( ) 和细线 ' 的合力F 跟重力是一对平衡力，即F =G . 根据几何关系知，力三角形FAF N 与几何三角形 COA 相似. 设滑轮到半球顶点B 的距离为h, 线长AC 为L ，则有F N '
R =G
R +h =F T
G 、R 、h 均不变, L 减小，L , 由于小球从A 点移向B 点的过程中，故F N 大'
小不变，F T 减小. 所以正确答案为C 选项.
2. 解多个共点力作用下物体平衡问题的方法：正交分解法。
物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解: F x 合=0F y 合=0, . 为方便计算，建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则.
【例4】如图所示，重力为500N 的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200N 的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止。不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。
【解析】人和重物静止，所受合力皆为零，对物分析得到，绳拉力F 等于物重200N ；人受四个力作用，将绳的拉力分解，即可求解。
如图所示，将绳的拉力分解得
水平分力
Fx=Fcos60°=200
×
竖直分力 N=100N
Fy=Fsin60°=200
×N =100N
在x 轴上，F ′与Fx 二力平衡
所以静摩擦力F ′=Fx =100N
在y 轴上，三力平衡得地面对人支持力
FN =G－Fy =（500－100）N=100（5
－）N
3. 研究对象的灵活选择–––整体法与隔离法
选择研究对象是解决物理问题的首要环节．在很多物理问题中，研究对象的选择方案是多样的，研究对象的选取方法不同会影响求解的繁简程度。隔离法与整体法都是物理解题的基本方法。
隔离法就是将研究对象从其周围的环境中隔离出来单独进行研究，这个研究对象
可以是一个物体，也可以是物体的一个部分，广义的隔离法还包括将一个物理过程从
其全过程中隔离出来。
整体法是将几个物体看作一个整体，或将看上去具有明显不同性质和特点的几个物理过程作为一个整体过程来处理。隔离法和整体法看上去相互对立，但两者在本质上是统一的，因为将几个物体看作一个整体之后，还是要将它们与周围的环境隔离开来的。
通常在分析外力对系统的作用时，用整体法；在分析系统内各物体（各部分）间相互作用时，用隔离法．解题中应遵循“先整体、后隔离”的原则。
【例5. 】在粗糙水平面上有一个三角形木块a ，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m1和m2的两个木块b 和c ，如图所示，已知m1＞m2，三木块均处于静止，则粗糙地面对于三角形木块（ ）
A ．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向右
B ．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向左
C ．有摩擦力作用，但摩擦力的方向不能确定
D ．没有摩擦力的作用
【解析】由于三物体均静止，故可将三物体视为一个物体，它静止于水平面上，必无摩擦力作用，故选D ．
4.. 求共点力作用下物体平衡的极值问题的方法 :解析法、图解法
1）解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。通常我们会用到的数学知识有：二次函数极值、均分定理求极值、讨论分式极值、三角函数极值以及几何法求极值；
2）、图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力
矢量三角形，然后根据图进行动态分析，确定最大值和最小值。这种方法比较简便，
而且很直观。
【例6】、重为G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的力F 使得木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向如何？
【解析】：
方法一：解析法。木块在运动中受到摩擦力的作用，要减小摩擦力，应当使作用力F 斜向上与水平方向的夹角为θ时，F 的值最小。
木块受力分析如图所示，由平衡条件可知：
F cosθ－μ fN=0，
F sin θ+fN－G=0 ，解得：F=μG/cos+μsinθ
令tanψ=μ，sinψ=μ/（
（+μ2+μ2） ，cosψ=1/） ，
+μ2cosθ+μsinθ=（）（cosθcosψ+ sin θsinψ）= （+μ2）cos （θ－ψ），
） 可见，当θ=ψ=arctanμ时，F 有最小值为Fmin=μG/（+μ2
方法二：图解分析。因为Ff=μFN，所以不论FN 如何改变，Ff 与FN 的合力F1的方向都不会发生改变，如图6、7所示，合力F1与竖直方向的夹角一定为ψ=arctan（Ff/FN）=arctanμ，可见，F1、F 、G 三力平衡，应该构成一个封闭的三角形，当改变F 与水平方向的夹角时，F1和F 的大小都会发生改变，而且F1和F 方向垂直时F 的值最小。由几何关系可得：
Fmin=G/sinψ=μG/（+μ2）