点线面之间的位置关系复习

《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

第19讲 第二章 点线面之间的位置关系 复习

¤学习目标：借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中垂直与平行的判定与性质，能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的命题.

¤例题精讲：

【例1】如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别在其面的对角线A1B、AC上运动，且A1M=AN，求MN的最小值.

解：设AN=x，作NG⊥AB于G点，连MG. ∵BC⊥AB，∴NG∥BC，

又由A1M= AN可得MG⊥AB， ∴ MG∥B1B.

由等角定理知∠MGN=∠B1BC=90°,

x

). NABM=x，MG

1121. ∴ MN

2=NG2+MG

2=x2x)2x21(x

222

1∴ 当x

时，MN2有最小值，MN. 2

【例2】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是AC,BD∴ NG的交点，求证：A1F平面BED．

证明：∵ AA1平面ABCD，∴ A1ABD.

又∵ACBD，∴ BD平面AA1F, 得A1FBD.

取BC中点G，连结FG,B1G， ∴ A1B1//FG.

∵A1B1平面BCC1B1，∴ A1B1BE.

又∵正方形BCC1B1中，E,G分别为CC1,BC的中点， ∴BEB1G，

∴ BE平面A1B1GF, 得A1FBE. 又∵EBBDB， ∴A1F平面BED．

【例3】正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点.

（1）求证：E、F、B、D共面；（2）求证：平面AMN∥平面EFDB.

证明：（1）连接B1D1. ∵ E、F分别是B1C1、C1D1的中点，∴ EF//B1D1.

又 ∵ DD1//BB1且DD1BB1, ∴ BD//B1D1.

根据平行公理4,得到EF//B1D1，所以E、F、B、D共面.

（2）连接AC11,分别交MN、EF于P、Q. 连接AC交BD于O，连接AP、OQ.

由已知可得MN//EF， ∴ MN//平面EFDB.

由已知可得，PQ//AO且PQAO. ∴ AP//OQ,

∴AP//平面EFDB. ∴平面AMN∥平面EFDB.

点评

：证面面平行，可以是“线线平行→线面平行→面面平行”.

【例4】（05年春季高考上海卷.19）已知正三棱锥PABC的体积为大小为60.（1）证明：PABC； （2）求底面中心O到侧面的距离.

解：（1）证明：取BC边的中点D，连接AD、PD，

则ADBC，PDBC，故BC平面APD. ∴ PABC.

（2）由题意可知点O在AD上，POOD. 过点O作OEPD,E为垂足，

连接PO. ∵ BC平面APD， ∴ BCOE，又有OEPD，

∴ OE平面PBC，即OE为点O到侧面的距离.

∵ ADBC，PDBC， ∴ PDA是侧面与底面所成二面角的平面角，即

PDO60. ADFBGA1D1B1EC1C

OEADAD3OD

,AB4h. sin60sin60

131

，解得 ∴ SABC

(4h)2sin602，由体积



22h32

h3，即底面中心O到侧面的距离为3.

点评：立体几何中的证明，我们要牢牢抓住“转化”这一武器，线与线、线与面、面与面之间的垂直与平行，都可互相转化，转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、性质定理等.

设OE=h，则OP

2h,OD

※基础达标

1． （06年四川卷）已知二面角l的大小为60，m,n为异面直线，且m,n，则m,n所成的角为（ ）.

A. 30 B. 60 C. 90 D. 120

2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）.

A．α、β都垂直于平面r

B．α内存在不共线的三点到β的距离相等

C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β

D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β

3．（04年全国卷Ⅱ.文6）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ） .

A．75° B．60° C．45° D．30°

4．（06年福建卷）对于平面和共面的直线m、n,下列说法中正确的是（ ）.

A. 若m,mn,则n∥ B. 若m∥,n∥,则m∥n

C. 若m,n∥,则m∥n D. 若m、n与所成的角相等，则m∥n

5．（07年广东卷）若l，m，n是互不相同的空间直线，，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）.

A．若∥，l，n，则l//n B．若，l，则l

C．若ln，mn，则l∥m D．若l,l//，则

6．（06年天津卷）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1．若二面角CABC1的大小为60，则点C到平面ABC1的距离为_____________．

7．（01京皖春）已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列说法：

① 若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；

② 若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；

③ 若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；

④ 若α∩β＝m，n∥m且nα，nβ，则n∥α且n∥β.

其中正确的说法序号是 （注：把你认为正确的说法的序号都填上）. ．

※能力提高

8．直线a、b、c共点P，且两两成60°角，求c与a、b所确定的平面α所成角的余

弦值.

9．（06年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，

ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.

（1）求证：ACPB； （2）求证：PB//平面AEC；

（3）求二面角EACB的大小.

※探究创新

10．（02年北京理）如图，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，

相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面

矩形的长、宽分别为c

，d

与

a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.

（1）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的正切值；（2）证明：EF∥面ABCD；

（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.已知它的

h体积公式是V=S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明（.注：6

与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）

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《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

第19讲 第二章 点线面之间的位置关系 复习

¤学习目标：借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中垂直与平行的判定与性质，能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的命题.

¤例题精讲：

【例1】如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别在其面的对角线A1B、AC上运动，且A1M=AN，求MN的最小值.

解：设AN=x，作NG⊥AB于G点，连MG. ∵BC⊥AB，∴NG∥BC，

又由A1M= AN可得MG⊥AB， ∴ MG∥B1B.

由等角定理知∠MGN=∠B1BC=90°,

x

). NABM=x，MG

1121. ∴ MN

2=NG2+MG

2=x2x)2x21(x

222

1∴ 当x

时，MN2有最小值，MN. 2

【例2】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是AC,BD∴ NG的交点，求证：A1F平面BED．

证明：∵ AA1平面ABCD，∴ A1ABD.

又∵ACBD，∴ BD平面AA1F, 得A1FBD.

取BC中点G，连结FG,B1G， ∴ A1B1//FG.

∵A1B1平面BCC1B1，∴ A1B1BE.

又∵正方形BCC1B1中，E,G分别为CC1,BC的中点， ∴BEB1G，

∴ BE平面A1B1GF, 得A1FBE. 又∵EBBDB， ∴A1F平面BED．

【例3】正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点.

（1）求证：E、F、B、D共面；（2）求证：平面AMN∥平面EFDB.

证明：（1）连接B1D1. ∵ E、F分别是B1C1、C1D1的中点，∴ EF//B1D1.

又 ∵ DD1//BB1且DD1BB1, ∴ BD//B1D1.

根据平行公理4,得到EF//B1D1，所以E、F、B、D共面.

（2）连接AC11,分别交MN、EF于P、Q. 连接AC交BD于O，连接AP、OQ.

由已知可得MN//EF， ∴ MN//平面EFDB.

由已知可得，PQ//AO且PQAO. ∴ AP//OQ,

∴AP//平面EFDB. ∴平面AMN∥平面EFDB.

点评

：证面面平行，可以是“线线平行→线面平行→面面平行”.

【例4】（05年春季高考上海卷.19）已知正三棱锥PABC的体积为大小为60.（1）证明：PABC； （2）求底面中心O到侧面的距离.

解：（1）证明：取BC边的中点D，连接AD、PD，

则ADBC，PDBC，故BC平面APD. ∴ PABC.

（2）由题意可知点O在AD上，POOD. 过点O作OEPD,E为垂足，

连接PO. ∵ BC平面APD， ∴ BCOE，又有OEPD，

∴ OE平面PBC，即OE为点O到侧面的距离.

∵ ADBC，PDBC， ∴ PDA是侧面与底面所成二面角的平面角，即

PDO60. ADFBGA1D1B1EC1C

OEADAD3OD

,AB4h. sin60sin60

131

，解得 ∴ SABC

(4h)2sin602，由体积



22h32

h3，即底面中心O到侧面的距离为3.

点评：立体几何中的证明，我们要牢牢抓住“转化”这一武器，线与线、线与面、面与面之间的垂直与平行，都可互相转化，转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、性质定理等.

设OE=h，则OP

2h,OD

※基础达标

1． （06年四川卷）已知二面角l的大小为60，m,n为异面直线，且m,n，则m,n所成的角为（ ）.

A. 30 B. 60 C. 90 D. 120

2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）.

A．α、β都垂直于平面r

B．α内存在不共线的三点到β的距离相等

C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β

D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β

3．（04年全国卷Ⅱ.文6）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ） .

A．75° B．60° C．45° D．30°

4．（06年福建卷）对于平面和共面的直线m、n,下列说法中正确的是（ ）.

A. 若m,mn,则n∥ B. 若m∥,n∥,则m∥n

C. 若m,n∥,则m∥n D. 若m、n与所成的角相等，则m∥n

5．（07年广东卷）若l，m，n是互不相同的空间直线，，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）.

A．若∥，l，n，则l//n B．若，l，则l

C．若ln，mn，则l∥m D．若l,l//，则

6．（06年天津卷）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1．若二面角CABC1的大小为60，则点C到平面ABC1的距离为_____________．

7．（01京皖春）已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列说法：

① 若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；

② 若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；

③ 若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；

④ 若α∩β＝m，n∥m且nα，nβ，则n∥α且n∥β.

其中正确的说法序号是 （注：把你认为正确的说法的序号都填上）. ．

※能力提高

8．直线a、b、c共点P，且两两成60°角，求c与a、b所确定的平面α所成角的余

弦值.

9．（06年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，

ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.

（1）求证：ACPB； （2）求证：PB//平面AEC；

（3）求二面角EACB的大小.

※探究创新

10．（02年北京理）如图，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，

相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面

矩形的长、宽分别为c

，d

与

a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.

（1）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的正切值；（2）证明：EF∥面ABCD；

（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.已知它的

h体积公式是V=S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明（.注：6

与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）

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