运动图象、追及相遇问题
一．运动图象
1. 表示函数关系可以用公式，也可以用图像。图像也是描述物理规律的重要方法，不仅在力学中，在电磁学中、热学中也是经常用到的。图像的优点是能够形象、直观地反映出函数关系。
2. 位移和速度都是时间的函数，因此描述物体运动的规律常用位移一时间图像(s—t 图) 和速度一时间图像(v一t 图) 。
3. 对于图像要注意理解它的物理意义，即对图像的纵、横轴表示的是什么物理量，图线的斜率、面积、特殊点、截距代表什么意义都要搞清楚。形状完全相同的图线，在不同的图像(坐标轴的物理量不同) 中意义会完全不同。
4. 下表是对形状一样的x 一t 图和v 一t 图意义上的比较。
例1
如图所示的位移(x ) －时间(t ) 图象和速度(v ) －时间(t ) 图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是
( )
A ．甲车做直线运动，乙车做曲线运动
B ．0～t 1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程 C ．0～t 2时间内，丙、丁两车在t 2时刻相距最远 D ．0～t 2时间内，丙、丁两车的平均速度相等
突破训练1 物体甲的位移与时间图象和物体乙的速度与时间图象分别如图甲、乙所示，则
这两个物体的运动情况是
( )
A ．甲在整个t ＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
B ．甲在整个t ＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m C ．乙在整个t ＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
D ．乙在整个t ＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m
突破训练2 某跳伞运动员从悬停在高空的直升机上跳下，他从跳离飞机到落地的过程中在
空中沿竖直方向运动的v －t 图象如图所示，则下列关于他的运动情况分析正确的是
(
)
A ．0～10 s加速度向下，10 s～15 s加速度向上
B ．0～10 s、10 s～15 s内都在做加速度逐渐减小的变速运动 C ．0～10 s内下落的距离大于100 m D ．10 s～15 s内下落的距离大于75 m
二. 追及与相遇问题
在两物体同直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件是：两物体能否同时到达空间某位置.
1． 分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者) 距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口． 2．能否追上的判断方法
物体B 追赶物体A ：开始时，两个物体相距x 0. 若v A ＝v B 时，x A ＋x 0x B ，则不能追上． 3． 若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．
2
例2. 一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a ＝3 m/s的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v 0＝6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？
(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？
解析
法一 用临界条件求解．
v
(1)当汽车的速度为v ＝6 m/s时，二者相距最远，所用时间为t ＝2 s
a
1
最远距离为Δs ＝v 0t －at 2＝6 m.
2
1
(2)两车距离最近时有v 0t ＝at 2
2
解得t ＝4 s
汽车的速度为v ＝at ＝12 m/s. 法二 用图象法求解．
(1)汽车和自行车的v －t 图象如图所示，由图象可得t ＝2 s 时，二者相距最远．最远距
1
离等于图中阴影部分的面积，即Δs ＝6×2 m＝
6 m.
2
(2)两车距离最近时，即两个v －t 图线下方面积相等时，由图象得此时汽车的速度为v ＝12 m/s.
法三 用数学方法求解．
(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为
1
Δs ＝v 0t －2
2
因二次项系数小于零，
－v 0
当t ＝＝2 s时有最大值，
1⎫⎛2×⎝－2a ⎭
11
最大值Δs m ＝v 0t at 2＝6×2 m－×3×22 m＝6 m.
221
(2)当Δs ＝v 0t 2＝0时相遇
2
得t ＝4 s，汽车的速度为v ＝at ＝12 m/s. 答案 (1)2 s 6 m
(2)12 m/s
——分析追及、相遇问题的常用方法
(1)物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景．
(2)相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系．
(3)极值法：设相遇时间为t ，根据条件列方程，得到关于t 的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ
(4)图象法：将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解．
1． 解题思路和方法
2． 解题技巧
(1)紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式． (2)审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件． 突破训练5 A 、B 两列火车在同一轨道上同向行驶，A 车在前，其速度为v A ＝10 m/s，B 车
在后，其速度为v B ＝30 m/s.因大雾能见度低，B 车在距A 车700 m 时才发现前方有A 车，这时B 车立即刹车，但要经过1 800 mB 车才能停下．问A 车若按原速度前进，两车是否会相撞？说明理由．
巩固练习
1． 一遥控玩具汽车在平直路上运动的位移—时间图象如图所示，则
(
)
A ．15 s内汽车的位移为300 m B ．前10 s内汽车的加速度为3 m/s2 C ．20 s末汽车的速度为－1 m/s D ．前25 s内汽车做单方向直线运动
2． 日本在2013年9月中旬用“艾普西龙”号固体燃料火箭成功发射了一颗卫星．此前多
次发射均告失败．若某次竖直向上发射时火箭发生故障，造成火箭的v －t 图象如图所示，则下述说法正确的是
(
)
A ．0～1 s内火箭匀速上升 B ．1 s～2 s火箭静止不动 C ．3 s末火箭回到出发点 D ．5 s末火箭恰好回到出发点
3.(2013·新课标Ⅰ·19) 如图，直线a 和曲线b 分别是在平直公路上行驶的汽车a 和b 的位移—时间(x －t ) 图线，由图可知
( )
A ．在时刻t 1，a 车追上b 车
B ．在时刻t 2，a 、b 两车运动方向相反
C ．在t 1到t 2这段时间内，b 车的速率先减小后增大 D ．在t 1到t 2这段时间内，b 车的速率一直比a 车的大
4． (2013·海南单科·4) 一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a －t 图象如图所示．下
列v －t 图象中，可能正确描述此物体运动的是
(
)
5． 小球从空中自由下落，与水平地面第一次相碰后弹到某一高度，其速度随时间变化的关
系如图所示，则
(
)
A ．小球反弹起的最大高度为1.25 m B ．碰撞时速度的改变量大小为8 m/s C ．小球是从5 m高度自由下落的 D ．小球第一次反弹前后加速度相同
6． 2012年至2013年上半年，全国大部分地区经历了百年不遇的大旱．某地在实施人工降
雨时，竖直向上发射的气象火箭弹，先以2g 的加速度向上匀加速运动，经时间t 0后，变为匀速运动，再经时间t 0后爆炸．下列关于其爆炸前运动的速度图象(v －t 图) 和加速度图象(a －t 图) 的描述，正确的是(以向上为正方向)
( )
7． 如图所示的x －t 图象和v －t 图象中，给出的四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的
运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是
(
)
A ．图线1表示物体做曲线运动 B ．x －t 图象中t 1时刻v 1>v 2
C ．v －t 图象中0至t 3时间内3和4的平均速度大小相等 D ．两图象中，在t 2、t 4时刻2、4开始反向运动 8． 某物体运动的v －t 图象如图所示，则下列说法正确的是
(
)
A ．物体在第1 s末运动方向发生改变
B ．物体在第2 s内、第3 s内的加速度是相同的 C ．物体在第2 s末返回出发点
D ．物体在第5 s时离出发点最远，且最大位移为0.5 m
9． 汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60 s 内汽车的加速度随时间变化的图线如图
所示．
(1)画出汽车在0～60 s内的v －t 图线； (2)求在这60 s内汽车行驶的路程．
10．如图所示，Ⅰ、Ⅱ分别是甲、乙两小球从同一地点沿同一直线运动的v －t 图线，根据
图线可以判断
(
)
A ．甲、乙两小球做的是初速度方向相反的匀变速直线运动，加速度大小相同，方向
相同
B ．两球在t ＝8 s时相距最远 C ．两球在t ＝2 s时刻速率相等 D ．两球在t ＝8 s时相遇
11．高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为v 0＝
30 m/s，距离s 0＝100 m ，t ＝0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的图象如图甲、乙所示，取运动方向为正方向．通过计算说明两车在0～9 s 内会不会相撞？
12． 甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动．甲车经过乙车旁边时开始以0.5 m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：
(1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离；
(2)乙车追上甲车所用的时间． 13．（09年海南高考题）甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v -t 图像如图所示，图中
∆OPQ 和∆OQT 的面积分别为s 1和s 2(s 2>s 1). 初始时，甲车在乙车前方s 0处。
A ．若s 0=s 1+s 2，两车不会相遇 B ．若s 0
运动图象、追及相遇问题
一．运动图象
1. 表示函数关系可以用公式，也可以用图像。图像也是描述物理规律的重要方法，不仅在力学中，在电磁学中、热学中也是经常用到的。图像的优点是能够形象、直观地反映出函数关系。
2. 位移和速度都是时间的函数，因此描述物体运动的规律常用位移一时间图像(s—t 图) 和速度一时间图像(v一t 图) 。
3. 对于图像要注意理解它的物理意义，即对图像的纵、横轴表示的是什么物理量，图线的斜率、面积、特殊点、截距代表什么意义都要搞清楚。形状完全相同的图线，在不同的图像(坐标轴的物理量不同) 中意义会完全不同。
4. 下表是对形状一样的x 一t 图和v 一t 图意义上的比较。
例1
如图所示的位移(x ) －时间(t ) 图象和速度(v ) －时间(t ) 图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是
( )
A ．甲车做直线运动，乙车做曲线运动
B ．0～t 1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程 C ．0～t 2时间内，丙、丁两车在t 2时刻相距最远 D ．0～t 2时间内，丙、丁两车的平均速度相等
突破训练1 物体甲的位移与时间图象和物体乙的速度与时间图象分别如图甲、乙所示，则
这两个物体的运动情况是
( )
A ．甲在整个t ＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
B ．甲在整个t ＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m C ．乙在整个t ＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
D ．乙在整个t ＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m
突破训练2 某跳伞运动员从悬停在高空的直升机上跳下，他从跳离飞机到落地的过程中在
空中沿竖直方向运动的v －t 图象如图所示，则下列关于他的运动情况分析正确的是
(
)
A ．0～10 s加速度向下，10 s～15 s加速度向上
B ．0～10 s、10 s～15 s内都在做加速度逐渐减小的变速运动 C ．0～10 s内下落的距离大于100 m D ．10 s～15 s内下落的距离大于75 m
二. 追及与相遇问题
在两物体同直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件是：两物体能否同时到达空间某位置.
1． 分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者) 距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口． 2．能否追上的判断方法
物体B 追赶物体A ：开始时，两个物体相距x 0. 若v A ＝v B 时，x A ＋x 0x B ，则不能追上． 3． 若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．
2
例2. 一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a ＝3 m/s的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v 0＝6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？
(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？
解析
法一 用临界条件求解．
v
(1)当汽车的速度为v ＝6 m/s时，二者相距最远，所用时间为t ＝2 s
a
1
最远距离为Δs ＝v 0t －at 2＝6 m.
2
1
(2)两车距离最近时有v 0t ＝at 2
2
解得t ＝4 s
汽车的速度为v ＝at ＝12 m/s. 法二 用图象法求解．
(1)汽车和自行车的v －t 图象如图所示，由图象可得t ＝2 s 时，二者相距最远．最远距
1
离等于图中阴影部分的面积，即Δs ＝6×2 m＝
6 m.
2
(2)两车距离最近时，即两个v －t 图线下方面积相等时，由图象得此时汽车的速度为v ＝12 m/s.
法三 用数学方法求解．
(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为
1
Δs ＝v 0t －2
2
因二次项系数小于零，
－v 0
当t ＝＝2 s时有最大值，
1⎫⎛2×⎝－2a ⎭
11
最大值Δs m ＝v 0t at 2＝6×2 m－×3×22 m＝6 m.
221
(2)当Δs ＝v 0t 2＝0时相遇
2
得t ＝4 s，汽车的速度为v ＝at ＝12 m/s. 答案 (1)2 s 6 m
(2)12 m/s
——分析追及、相遇问题的常用方法
(1)物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景．
(2)相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系．
(3)极值法：设相遇时间为t ，根据条件列方程，得到关于t 的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ
(4)图象法：将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解．
1． 解题思路和方法
2． 解题技巧
(1)紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式． (2)审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件． 突破训练5 A 、B 两列火车在同一轨道上同向行驶，A 车在前，其速度为v A ＝10 m/s，B 车
在后，其速度为v B ＝30 m/s.因大雾能见度低，B 车在距A 车700 m 时才发现前方有A 车，这时B 车立即刹车，但要经过1 800 mB 车才能停下．问A 车若按原速度前进，两车是否会相撞？说明理由．
巩固练习
1． 一遥控玩具汽车在平直路上运动的位移—时间图象如图所示，则
(
)
A ．15 s内汽车的位移为300 m B ．前10 s内汽车的加速度为3 m/s2 C ．20 s末汽车的速度为－1 m/s D ．前25 s内汽车做单方向直线运动
2． 日本在2013年9月中旬用“艾普西龙”号固体燃料火箭成功发射了一颗卫星．此前多
次发射均告失败．若某次竖直向上发射时火箭发生故障，造成火箭的v －t 图象如图所示，则下述说法正确的是
(
)
A ．0～1 s内火箭匀速上升 B ．1 s～2 s火箭静止不动 C ．3 s末火箭回到出发点 D ．5 s末火箭恰好回到出发点
3.(2013·新课标Ⅰ·19) 如图，直线a 和曲线b 分别是在平直公路上行驶的汽车a 和b 的位移—时间(x －t ) 图线，由图可知
( )
A ．在时刻t 1，a 车追上b 车
B ．在时刻t 2，a 、b 两车运动方向相反
C ．在t 1到t 2这段时间内，b 车的速率先减小后增大 D ．在t 1到t 2这段时间内，b 车的速率一直比a 车的大
4． (2013·海南单科·4) 一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a －t 图象如图所示．下
列v －t 图象中，可能正确描述此物体运动的是
(
)
5． 小球从空中自由下落，与水平地面第一次相碰后弹到某一高度，其速度随时间变化的关
系如图所示，则
(
)
A ．小球反弹起的最大高度为1.25 m B ．碰撞时速度的改变量大小为8 m/s C ．小球是从5 m高度自由下落的 D ．小球第一次反弹前后加速度相同
6． 2012年至2013年上半年，全国大部分地区经历了百年不遇的大旱．某地在实施人工降
雨时，竖直向上发射的气象火箭弹，先以2g 的加速度向上匀加速运动，经时间t 0后，变为匀速运动，再经时间t 0后爆炸．下列关于其爆炸前运动的速度图象(v －t 图) 和加速度图象(a －t 图) 的描述，正确的是(以向上为正方向)
( )
7． 如图所示的x －t 图象和v －t 图象中，给出的四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的
运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是
(
)
A ．图线1表示物体做曲线运动 B ．x －t 图象中t 1时刻v 1>v 2
C ．v －t 图象中0至t 3时间内3和4的平均速度大小相等 D ．两图象中，在t 2、t 4时刻2、4开始反向运动 8． 某物体运动的v －t 图象如图所示，则下列说法正确的是
(
)
A ．物体在第1 s末运动方向发生改变
B ．物体在第2 s内、第3 s内的加速度是相同的 C ．物体在第2 s末返回出发点
D ．物体在第5 s时离出发点最远，且最大位移为0.5 m
9． 汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60 s 内汽车的加速度随时间变化的图线如图
所示．
(1)画出汽车在0～60 s内的v －t 图线； (2)求在这60 s内汽车行驶的路程．
10．如图所示，Ⅰ、Ⅱ分别是甲、乙两小球从同一地点沿同一直线运动的v －t 图线，根据
图线可以判断
(
)
A ．甲、乙两小球做的是初速度方向相反的匀变速直线运动，加速度大小相同，方向
相同
B ．两球在t ＝8 s时相距最远 C ．两球在t ＝2 s时刻速率相等 D ．两球在t ＝8 s时相遇
11．高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为v 0＝
30 m/s，距离s 0＝100 m ，t ＝0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的图象如图甲、乙所示，取运动方向为正方向．通过计算说明两车在0～9 s 内会不会相撞？
12． 甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动．甲车经过乙车旁边时开始以0.5 m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：
(1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离；
(2)乙车追上甲车所用的时间． 13．（09年海南高考题）甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v -t 图像如图所示，图中
∆OPQ 和∆OQT 的面积分别为s 1和s 2(s 2>s 1). 初始时，甲车在乙车前方s 0处。
A ．若s 0=s 1+s 2，两车不会相遇 B ．若s 0