心理统计学

心理统计学重难点考点归纳整理

一、描述统计

（一）统计图表 1）统计图 次数分布图：

①直方图：用以矩阵的面积表示连续性随即变量次数分布的图形。

②次数多边形图：一种表示连续性随机变量次数分布的线形图，属于次数分布图。 ③累加次数分布图：分为：累加直方图和累加曲线图；

其中累加曲线的形状大约有三种：一种是曲线的上枝长于下枝（正偏态），另一种是下枝长于上枝（负偏态），第三种是上枝，下枝长度相当（正态分布）。 其他统计图：条形图：用于离散型数据资料； 圆形图：用于间断性资料；

线形图：更多用于连续性资料，凡预表示两个变量之间的函数关系，或描述某种现象在时间上的发展趋势，或一种现象随另一种现象变化的情况，用这种方法比较好。 散点图： 2）统计表

①简单次数分布表 ②分组次数分布表

③相对次数分布表：将次数分布表中各组的实际次数转化为相对次数，即用频数比率表示。 ④累加次数分布表

⑤双列次数分布表：对有联系的两列变量用同一个表来表示其次数分布。

（二）集中量数 1）算术平均数M

=

∑X

i =1

n

i

N

优点：反应灵敏；计算严密；计算简单；简明易解；适合于进一步用代数方法演算；较少受抽样变动的影响；

缺点：受极端数据的影响；若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数； 计算和运用平均数的原则：同质性原则；平均数与个体数值相结合的原则；平均数与标准差。方差相结合原则； 性质：

①在一组数据中每个变量与平均数之差的总和等于零

②在一组数据中，每一个数都加上一个常数C ，所得的平均数为原来的平均数加常数C ③在一组数据中，每一个数都乘以一个常数C ，所得的平均数为原来的平均数乘以常数C

2) 中数：Md 按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数，即这组数据中，一般数据比它大，一般数据比它小。注意计算方法；

3) 众数：Mo 是指在次数分布中出现次数最多的那个数值； 三者的关系：正偏态分布中，M>Md>Mo 负偏态分布中，M

Mo=3Md-2M（自己推导一下） （三）差异量数

差异量数就是对一组数据的变异性，即离中趋势特点进行度量和描述的统计量，也称为离散量数。

1）离差与平均差

离差：分布中的某点到均值得距离，其符号表示了某分数与均值之间的位置关系，而数值表示了它们之间的绝对距离。所有的离差之和始终为零。

x =X -μ

X ∑平均差：次数分布中所有原始数据与平均数绝对离差的平均值。A . D . =

i

-n

2）方差与标准差

（1）总体的方差和标准差

方差：每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，即离均差平方后的均数。

22

作为样本统计量用符号s 表示，作为总体参数用符号σ表示，也叫均方。σ=

2

SS N

标准差：方差的平方根

作为样本统计量用符号s 表示，作为总体参数用符号σ

表示。σ=

（2）样本的方差和标准差

样本的变异性往往比它来自的总体的变异性要小。为了校正样本数据带来的偏差，在计算样本方差时，我们用自由度来矫正样本误差，从而有利于对总体参数更好的无偏差估计：

S 2=

SS

S =n -

1

（3）性质

①每一个观测值都加一个相同的常数C 之后，计算得到的标准差等于原来的标准差；

②每一个观测值都乘以一个相同的常数C ，所得到的标准差等于原标准差乘以这个常数。

3）变异系数

当遇到下列情况时，不能用绝对差异量来比较不同样本的离散程度，而应当使用相对差异量数，最常用的就是差异系数。

①两个或两个以上样本所使用的观测工具不同，所测的特质相同 ②两个或两个以上样本使用的是同种观测工具，所测的特质相同，但样本间水平差异较大

差异系数：一种最常用的相对差异量，为标准差对平均数的百分比CV =

s

⨯100% 注 题目：变异系数与标准差的区别于联系?

标准差反映了一个次数分布的离散程度, 当对同一个特质, 使用同一种测量工具进行测量, 所测样本水平比较接近时, 直接比较标准差的大小即可以知道样本间离散程度的大小; 但是当遇到下列情况, 则不能直接比较标准差: (1)两个或两个以上的样本所使用的观测工具不同, 所测的特质不同; (2)两个或两个以上的样本使用的是同一种观测工具, 测量的也是同一种特质, 但样本间的水平相差较大;

在第一种情况下, 标准差的单位不同, 显然不能直接进行比较; 第二种情况下, 虽然标准差单位相同, 但样本的水平不同, 通常情况下, 平均数的值较大, 其标准差的值一般也较大; 平均数的值越小, 其标准差的值也越小;

（四）相对量数

1）百分位数：第P 百分位数就是指在其值为P 的数值以下，包括分布中全部数据的百分之p, 其符号是Pp ；

2）百分等级：常模团体中低于该分数的人所占总体的百分比；百分位数的逆运算； 3）标准分数 （1）定义

标准分数：以标准差为单位表示一个原始分数在团体中所处位置的相对位置量数，也叫Z 分数

Z =离平均数有多远，即表示原始分数在平均数以上或以下几个标准差的位置。

X - s

（2）性质

①Z 分数无实际单位，是以平均数为参照点，以标准差为单位的一个相对量 ②一组原始分数转换得到的Z 分数可正可负，所有原始分数的Z 分数之和为零 ③原始数据的Z 分数的标准差为1

④若原始分数呈正态分布，则转换得到的所有Z 分数均值为0，标准差为1的标准正态分布

（3）优点

①可比性——不同性质的成绩，一经转换为标准分数，就可在同一背景下比较； ②可加性——不同性质的原始数据具有相同的参照点，因此可相加；

③明确性——知道了标准分数，利用标准正态分布表就能知道其百分等级；

④稳定性——转换成标准分数之后，规定了标准差为1，保证了不同性质分数在总分数中权重一样。 （4）缺点

①标准分数过于抽象不易理解；

②在非正态分布下，分布形态不同的分数，仍然不能进行比较，也不能相加求和；

（五）相关量数

相关系数：两列变量间相关程度的数字表现形式

作为样本的统计量用r 表示，作为总体参数一般用ρ表示。 正相关：两列变量变动方向相同 负相关：两列变量中有一列变量变动时，另一列变量呈现出与前一列变量方向相反的变动

零相关：两列变量之间没有关系，各自按照自己的规律或无规律变化

1）积差相关 （1）前提

①数据要成对出现，即若干个体中每个个体都有两种不同的观测值，并且每队数据与其它对子相互独立,N 应不小于30对；

②两列变量各自总体的分布都是正态的，至少接近正态；

③两个相关的变量是连续变量，也即两列数据都是测量数据； ④两列变量之间的关系应是直线性的； （2）公式（注意协方差：∑xy/N）

r xy ∑XY -X Y

2）等级相关（就是Spearman 等级相关）

适用范围

适用于只有两列变量，而且是等级变量性质的具有线性关系的资料，若原始数据为等比或等距，则先转化为顺序型数据 3）肯德尔等级相关

（1）肯德尔W 系数（等级评定法） 也叫肯德尔和谐系数，原始数据资料的获得一般采用等级评定法，即让K 个被试对N 件实物进行等级评定。其原理是评价者评价的一致性除以最大变异可能性。

W =

∑R

2i

-

(∑R i )

2

123

K (N -N )12

R i ：评价对象获得的K 个等级之和，

N ：等级评定的对象的数目， K ：等级评定者的数目。 （2）肯德尔U 系数#

其与肯德尔W 系数所处理的问题相同，但评价者采用对偶比较法，即将N 件事物两两配对分别进行比较。

U =

8

(

∑r ij -K ∑r ij

2

N (n -1) ⋅K (K -1)

)+1

r ij 为对偶比较记录表中i>j格中的择优分数。 当完全一致时U=1.

当完全不一致时，U=-1/K(K为奇数)

U=-1/(K-1) (K为偶数) 4) 点二列相关与二列相关

（

1）点二列相关

适用于一列数据为等距或等比数据, 而且其总体分布为正态，另一列为离散型二分称名变量。多用于评价是非类测验题组成的测验的内部一致性等问题;

r pb =

p -q

s t

p 是与二分称名变量的一个值对应的连续变量的平均数，q 是与二分称名变量的另一个

值对应的连续变量的平均数，p 与q 是二分称名变量两个值各自所占的比率，s t 是连续变量的标准差

（2）二列相关

适用于两列变量都是正态等距变量，但其中一列变量被人为地分成两类。r b =

p -q pq

⋅

s t y

注: 两者之间的区别: 二分变量是否为正态分布, 总的原则是, 如果不是十分明确, 观测数据

的分布形态是否为正态分布, 这是不管观测数据代表的是一个真正的二分变量还是基于正态分布的人为的二分变量, 都用点二列相关; 当确认数据分布形态为正态分布, 都应选用二列相关;

5) Ф相关

适用于两个变量都是只有两个点值或只表示某些质的属性。

r Φ=

d

其中a 、b 、c 、d 分别为四格表中左上、右上、左下、右下的数据 具体见卡方检验

二．推断统计

（一）推断统计的数学基础 （略）

（二）参数估计

1）点估计，区间估计，与标准误 （1）一个良好估计量的标准：（1）无偏性：即用多个样本的统计量作为总体参数的估计值，其偏差的平均值为0；例如，用样本平均数作为总体平均数μ的估计值，就是无偏性；因为

22

无限多个样本平均数X 与μ的偏差之和为零；但方差S 2不是σ的无偏估计，σ 的无偏估计是：S n-1=∑x /（N-1）

2

2

（2）有效性：当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，无偏估计变异量小者有效性高，变异大者有效性底，即方差越小越好；例如μ的估计量有Mo,Md,X 但是，只有X 是变异量最小。

（3）一致性：即当样本无限增大，估计值应能够越来越接近它所估计的总体参数，估计值越来越精确，逐渐接近于真值；即当N →∞，X →μ, S n-1→σ;

2

2

(4)充分性：指一个容量为n 的样本统计量，是否充分地反映了全部n 个数据所反映的总体信息。例如X 能反映所有数据所代表的总体的信息，故X 的充分性高；二Mo ，Md 只反映了部分数据所反映的总体信息，充分性低； （2）区间估计：

区间估计的原理是根据样本分布理论，应样本分布的标准误计算区间长度，解释总体参数落入某置信区间可能的概率； 2）总体平均数的估计

3）标准差与方差的估计（可以先算出方差的区间，再求标准差的区间） （三）假设检验

1）假设检验的原理：

（1）两类假设

备则假设：因变量的变化、差异却是是由于自变量的作用

往往是我们对研究结果的预期，用H 1表示。

虚无假设：实际上什么也没有发生，我们所预计的改变、差异、处理效果都不存在观察到的差异只是随机误差在起作用，用H 0表示。

（2）小概率原理

小概率原理：小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。 两类错误

Ⅰ型错误：当虚无假设正确时，我们拒绝了它所犯的错误，也叫α错误。

Ⅱ型错误：当虚无假设是错误的时候，我们没有拒绝所犯的错误，也叫β错误。 两类检验的关系

①α+β不一定等于1

②在其他条件不变的情况下，α与β不可能同时减小或增大 （4）检验的方向性

单侧检验：强调某一方向的检验，显著性的百分等级为α

双侧检验：只强调差异不强调方向性的检验，显著性百分等级为α/2 2）样本与总体平均数差异的检验 3）两样本平均数差异的检验 4）方差齐性的检验：

（1）样本方差与总体方差

当从正态分布的总体中随机抽取容量为n 的样本时，其样本方差与总体方差比值服从χ分布：χ=

2

2

ns 2

σ02

由自由度df =n -1查χ表，依据显著性水平判断

2

（2）两个样本方差之间 ①独立样本F =

2s 大

s

2小

其中当两样本自由度相差不大时可用s n 代替s n -1查表时

df 1=n 1-1, df 2=n 2-1（双侧检验）

②相关样本

2

2t =

其中df =n -2

5）相关系数的显著性检验

①积差相关

a. 当ρ

=0时：t =

其中df =n -2

b. 当ρ≠0时：先通过查表将r 和ρ转化为费舍Z r 和Z ρ然后进行

Z 检验。Z =

Z -Z （四）方差分析

1）方差分析的原理与基本过程

方差分析的基本假定(1) 总体正态分布，也就是要求样本必须来自正态分布的总体；

（2）变异的相互独立性，总变异可以分解成为几个来源不同的部分，这几个部分的来源必须明确，而且彼此要相互独立；

(3)各实验处理内的方差要一致，各实验处理内的方差彼此应无显著差异，这是方差分析中最为重要的基本假定。

22

方差分析中的方差齐性检验:Fmax=Smax/Smin (07年考过大题) 2）完全随机设计的方差分析 自由度计算：

df T =N -1df B =k -1

df W =k (n -1)=N -k

F =

MS B

式中查表示的分子与分母的自由度就是 MS W

查F 表时查单侧表

注意利用样本统计两进行方差分析的例子 3）随机区组设计的方差分析

自由度的计算：dfT=N-1; dfB=k-1

dfw=dfR+dfE drR=n-1 ;dfE=(k-1)(n-1); 注意SSR 的公式 4）事后检验

为什么不能用t 检验？ 会使α错误的概率明显增加。

使用的方法N-K 检验法；HSD 检验法；详见《甘怡群》P135和《张厚粲》P290； 5）二因素分析 （1）基本概念：

一个2*3的两因素实验设计，A 因素有两个水平，B 因素有三个水平； 当忽略b 因素个水平的差异，只取A 因素的A1水平和A2水平计算方差时，得到A 因素的主效应；同理B 因素的主效应；

当一个因素的不同水平在另一个因素不同水平上的变化趋势不一致时，就产生了交互作用； (2)事后比较

对二因素方差分析进行事后比较, 其中主效应的检验与单因素方差分析原理相同, 但是交互作用的事后比较, 则包含事后整体检验和事后多重比较两种情况;

第一, 二因素方差分析主效应显著后, 不一定要进行事后多重比较, 进行事后多重比较的前提是有三个以上的水平;

第二, 多因素交互效应显著后, 对主效应必须进行事后比较; 这里的多因素是指3个或三个以上的水平, 由于不能确定是哪几个水平建有显著差异, 因此必须进行事后比较; 另外, 对主效应的进一步解释, 需要通过多重比较分析;

主效应的检验是在忽略其他因素的情况下检验一个因素的处理效应;

第三, 交互效应的事后比较, 包括限定提条件的主效应的整体比较(单纯主效应比较, 上面说到了), 和达到显著性水平后, 该限定条件的主效应的事后多重比较(了解)

注: 交互作用不显著, 检验每个因素的主效应就很重要, 但若交互作用显著, 则对每个因素的主效应的检验, 意义就不大了;

另外, 主效应的事后比较与主效应的检验是两回事;

主效应的事后比较是指一个因素不同水平间(一般至少3个) 确定到底哪几个间存在显著差异;

主效应的检验, 就和单因素的检验原理相同;

（五）回归分析

1）一元线性回归分析 （1）最小二乘法：

=a +bX Y Y

X -X )(Y -Y )(∑其中：b =，a =Y -bX ∑(X -X )

2

（2）回归系数与相关系数的关系： r=b y ∙x ∙b x ∙y

（3）线性回归的基本假设：①线性关系假设：X,Y 在总体上具有线性关系； ②正态性假设：Y 服从正态分布；

③独立性假设：有两个意思：一个是某一个X 对应的一组Y 值和与另一个X 对应的一组Y 值之间没有关系，彼此独立；另一个就是，误差项独立，不同的X 所产生的误差之间应相互独立，且与自变量也应独立； ④误差等分散性假设：特定X 水平的误差，除了呈随机化的常态分布，其变异量也应相等，称为误差等分散性；

2) 一元线性回归方程的检验 1）方差分析法F =

MS R

MS E

2

2

其中SS T =

∑(Y -Y )=∑Y

-

(∑Y )

n

2

而其df T =n -1

-Y SS R =∑Y

()

2

2

⎡X )⎤(∑22

⎥其df R =1 =b ⎢∑X -

n ⎢⎥

⎣⎦

SS E =SS T -SS R 其df E =n -2

b

（2）回归系数检验t =

其中SE b =

SE b

而

s XY =准差

为中心Y

值上下波动的标Y

（在知道相关系数时s XY =s Y ）

3）测定系数r =

2

∑Y -(Y ˆ-)

2

2

=

SS R

RR T

2

就是说相关系数的平房等于回归平方和在总平方和中所占的比例，如果说r =0.64，表明变异量Y 的变异中有64%是由变量X 引起的，或者说有64%可以由X 的变异解释。所以r 叫做测定系数；

4）一元线性回归方程的应用

回归分析的目的，就是在测定自变量X 与因变量Y 的关系为显著相关后，借助于你和的较优回归模型来预测在自变量X 为一定值时因变量Y 的发展变化。当我们根据给出的X 值而预测得到点估计Y 时，Y 只代表了预测值的中点，而计算在特定置信区间内的区间估计则依靠以下公式：

2

Y p ±t α⋅s XY n 很大时近似为1其中t 的自由度取

n-2，Y p 为对应该X P 的方程解出的点估计Y 值；

一般计算时使用Y p ±t α∙S YX ，其中s XY =

（六）卡方检验 卡方检验的假设：（1）分类相互排斥，互不包容； （2）观测值相对独立；

（3）期望次数的大小：每个单元格中期望次数至少在5以上，分类中不超过20%的类别的理论次数可以小于5。 单元格人数过少时处理方法：（1）单元格合并法

（2）增加样本数 （3）去除样本法 （4）使用校正公式

基本公式

χ2=∑

(f o -f e )

f e

2

其中f o 为观察次数；f e 为理论期望次数

公式的适用范围要求观察彼此之间独立，并且单位格的理论期望次数不能小于5（小于5时可与相邻的组合并） 1）拟合度检验

2

χ匹配度检验是用样本数据来检验总体分布的形状或比率，以确定与假设的总体性质的匹配度。

df =C -1其中C 为分类数

2）独立性检验 2

χ独立性检验帮助我们考察多种因素的不同分类之间是否独立。它是检验行和列两个变量彼此有无关联的一种统计方法，适用于命名型变量和顺序型变量。

df =(C -1)(R -1)其中C 和R 分别为行列分类数

（七）非参数检验

1）独立样本均值差异的非参数检验

1）秩和检验法

①两样本容量均小于10

将容量较小的样本的各数据等级求和，T 值检验表中的临界值比较。 ②两样本容量均大于10

Z =

T -μT

σT

n 1(n 1+n 1+1)其中μT =而

σT =2（2）中数检验法

①将两个样本数据混合从小到大排列 ②求混合排列的中数

③分别找出每个样本中大于和小于中数的数据的个数，列成四格表（中数本身不在内） ④对四格表卡方检验公式进行计算

2）相关样本均值差异的非参数检验

（1）符号检验法

①对子数小于25（实得r 值大于表中r 的临界值时，说明差异无统计学意义；） 对于样本每对数据之差来记录符号，求出正负号分别的个数，用其中较小的个数作为观

测值r 对照临界值表检验

②对子数大于25 Z =r -μ

σ其中μ=

1n 而σ= 2（2）维尔克松检验法（符号等级检验法）实得T 值大于表中T 的临界值时，说明差异无统计学意义

①对子数小于25时

a. 把相关样本对应数据之差值按照绝对值从小到大排列

b. 在各等级前加上原来差值的正负号

c. 分别求出正号等级和负号等级的秩和，取其中较小的值作为T

d. 由n 值查表检验T

②对子数大于25时 Z =T -μT

σT

其中μT =n (n +1)而

σT = 4 11

心理统计学重难点考点归纳整理

一、描述统计

（一）统计图表 1）统计图 次数分布图：

①直方图：用以矩阵的面积表示连续性随即变量次数分布的图形。

②次数多边形图：一种表示连续性随机变量次数分布的线形图，属于次数分布图。 ③累加次数分布图：分为：累加直方图和累加曲线图；

其中累加曲线的形状大约有三种：一种是曲线的上枝长于下枝（正偏态），另一种是下枝长于上枝（负偏态），第三种是上枝，下枝长度相当（正态分布）。 其他统计图：条形图：用于离散型数据资料； 圆形图：用于间断性资料；

线形图：更多用于连续性资料，凡预表示两个变量之间的函数关系，或描述某种现象在时间上的发展趋势，或一种现象随另一种现象变化的情况，用这种方法比较好。 散点图： 2）统计表

①简单次数分布表 ②分组次数分布表

③相对次数分布表：将次数分布表中各组的实际次数转化为相对次数，即用频数比率表示。 ④累加次数分布表

⑤双列次数分布表：对有联系的两列变量用同一个表来表示其次数分布。

（二）集中量数 1）算术平均数M

=

∑X

i =1

n

i

N

优点：反应灵敏；计算严密；计算简单；简明易解；适合于进一步用代数方法演算；较少受抽样变动的影响；

缺点：受极端数据的影响；若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数； 计算和运用平均数的原则：同质性原则；平均数与个体数值相结合的原则；平均数与标准差。方差相结合原则； 性质：

①在一组数据中每个变量与平均数之差的总和等于零

②在一组数据中，每一个数都加上一个常数C ，所得的平均数为原来的平均数加常数C ③在一组数据中，每一个数都乘以一个常数C ，所得的平均数为原来的平均数乘以常数C

2) 中数：Md 按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数，即这组数据中，一般数据比它大，一般数据比它小。注意计算方法；

3) 众数：Mo 是指在次数分布中出现次数最多的那个数值； 三者的关系：正偏态分布中，M>Md>Mo 负偏态分布中，M

Mo=3Md-2M（自己推导一下） （三）差异量数

差异量数就是对一组数据的变异性，即离中趋势特点进行度量和描述的统计量，也称为离散量数。

1）离差与平均差

离差：分布中的某点到均值得距离，其符号表示了某分数与均值之间的位置关系，而数值表示了它们之间的绝对距离。所有的离差之和始终为零。

x =X -μ

X ∑平均差：次数分布中所有原始数据与平均数绝对离差的平均值。A . D . =

i

-n

2）方差与标准差

（1）总体的方差和标准差

方差：每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，即离均差平方后的均数。

22

作为样本统计量用符号s 表示，作为总体参数用符号σ表示，也叫均方。σ=

2

SS N

标准差：方差的平方根

作为样本统计量用符号s 表示，作为总体参数用符号σ

表示。σ=

（2）样本的方差和标准差

样本的变异性往往比它来自的总体的变异性要小。为了校正样本数据带来的偏差，在计算样本方差时，我们用自由度来矫正样本误差，从而有利于对总体参数更好的无偏差估计：

S 2=

SS

S =n -

1

（3）性质

①每一个观测值都加一个相同的常数C 之后，计算得到的标准差等于原来的标准差；

②每一个观测值都乘以一个相同的常数C ，所得到的标准差等于原标准差乘以这个常数。

3）变异系数

当遇到下列情况时，不能用绝对差异量来比较不同样本的离散程度，而应当使用相对差异量数，最常用的就是差异系数。

①两个或两个以上样本所使用的观测工具不同，所测的特质相同 ②两个或两个以上样本使用的是同种观测工具，所测的特质相同，但样本间水平差异较大

差异系数：一种最常用的相对差异量，为标准差对平均数的百分比CV =

s

⨯100% 注 题目：变异系数与标准差的区别于联系?

标准差反映了一个次数分布的离散程度, 当对同一个特质, 使用同一种测量工具进行测量, 所测样本水平比较接近时, 直接比较标准差的大小即可以知道样本间离散程度的大小; 但是当遇到下列情况, 则不能直接比较标准差: (1)两个或两个以上的样本所使用的观测工具不同, 所测的特质不同; (2)两个或两个以上的样本使用的是同一种观测工具, 测量的也是同一种特质, 但样本间的水平相差较大;

在第一种情况下, 标准差的单位不同, 显然不能直接进行比较; 第二种情况下, 虽然标准差单位相同, 但样本的水平不同, 通常情况下, 平均数的值较大, 其标准差的值一般也较大; 平均数的值越小, 其标准差的值也越小;

（四）相对量数

1）百分位数：第P 百分位数就是指在其值为P 的数值以下，包括分布中全部数据的百分之p, 其符号是Pp ；

2）百分等级：常模团体中低于该分数的人所占总体的百分比；百分位数的逆运算； 3）标准分数 （1）定义

标准分数：以标准差为单位表示一个原始分数在团体中所处位置的相对位置量数，也叫Z 分数

Z =离平均数有多远，即表示原始分数在平均数以上或以下几个标准差的位置。

X - s

（2）性质

①Z 分数无实际单位，是以平均数为参照点，以标准差为单位的一个相对量 ②一组原始分数转换得到的Z 分数可正可负，所有原始分数的Z 分数之和为零 ③原始数据的Z 分数的标准差为1

④若原始分数呈正态分布，则转换得到的所有Z 分数均值为0，标准差为1的标准正态分布

（3）优点

①可比性——不同性质的成绩，一经转换为标准分数，就可在同一背景下比较； ②可加性——不同性质的原始数据具有相同的参照点，因此可相加；

③明确性——知道了标准分数，利用标准正态分布表就能知道其百分等级；

④稳定性——转换成标准分数之后，规定了标准差为1，保证了不同性质分数在总分数中权重一样。 （4）缺点

①标准分数过于抽象不易理解；

②在非正态分布下，分布形态不同的分数，仍然不能进行比较，也不能相加求和；

（五）相关量数

相关系数：两列变量间相关程度的数字表现形式

作为样本的统计量用r 表示，作为总体参数一般用ρ表示。 正相关：两列变量变动方向相同 负相关：两列变量中有一列变量变动时，另一列变量呈现出与前一列变量方向相反的变动

零相关：两列变量之间没有关系，各自按照自己的规律或无规律变化

1）积差相关 （1）前提

①数据要成对出现，即若干个体中每个个体都有两种不同的观测值，并且每队数据与其它对子相互独立,N 应不小于30对；

②两列变量各自总体的分布都是正态的，至少接近正态；

③两个相关的变量是连续变量，也即两列数据都是测量数据； ④两列变量之间的关系应是直线性的； （2）公式（注意协方差：∑xy/N）

r xy ∑XY -X Y

2）等级相关（就是Spearman 等级相关）

适用范围

适用于只有两列变量，而且是等级变量性质的具有线性关系的资料，若原始数据为等比或等距，则先转化为顺序型数据 3）肯德尔等级相关

（1）肯德尔W 系数（等级评定法） 也叫肯德尔和谐系数，原始数据资料的获得一般采用等级评定法，即让K 个被试对N 件实物进行等级评定。其原理是评价者评价的一致性除以最大变异可能性。

W =

∑R

2i

-

(∑R i )

2

123

K (N -N )12

R i ：评价对象获得的K 个等级之和，

N ：等级评定的对象的数目， K ：等级评定者的数目。 （2）肯德尔U 系数#

其与肯德尔W 系数所处理的问题相同，但评价者采用对偶比较法，即将N 件事物两两配对分别进行比较。

U =

8

(

∑r ij -K ∑r ij

2

N (n -1) ⋅K (K -1)

)+1

r ij 为对偶比较记录表中i>j格中的择优分数。 当完全一致时U=1.

当完全不一致时，U=-1/K(K为奇数)

U=-1/(K-1) (K为偶数) 4) 点二列相关与二列相关

（

1）点二列相关

适用于一列数据为等距或等比数据, 而且其总体分布为正态，另一列为离散型二分称名变量。多用于评价是非类测验题组成的测验的内部一致性等问题;

r pb =

p -q

s t

p 是与二分称名变量的一个值对应的连续变量的平均数，q 是与二分称名变量的另一个

值对应的连续变量的平均数，p 与q 是二分称名变量两个值各自所占的比率，s t 是连续变量的标准差

（2）二列相关

适用于两列变量都是正态等距变量，但其中一列变量被人为地分成两类。r b =

p -q pq

⋅

s t y

注: 两者之间的区别: 二分变量是否为正态分布, 总的原则是, 如果不是十分明确, 观测数据

的分布形态是否为正态分布, 这是不管观测数据代表的是一个真正的二分变量还是基于正态分布的人为的二分变量, 都用点二列相关; 当确认数据分布形态为正态分布, 都应选用二列相关;

5) Ф相关

适用于两个变量都是只有两个点值或只表示某些质的属性。

r Φ=

d

其中a 、b 、c 、d 分别为四格表中左上、右上、左下、右下的数据 具体见卡方检验

二．推断统计

（一）推断统计的数学基础 （略）

（二）参数估计

1）点估计，区间估计，与标准误 （1）一个良好估计量的标准：（1）无偏性：即用多个样本的统计量作为总体参数的估计值，其偏差的平均值为0；例如，用样本平均数作为总体平均数μ的估计值，就是无偏性；因为

22

无限多个样本平均数X 与μ的偏差之和为零；但方差S 2不是σ的无偏估计，σ 的无偏估计是：S n-1=∑x /（N-1）

2

2

（2）有效性：当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，无偏估计变异量小者有效性高，变异大者有效性底，即方差越小越好；例如μ的估计量有Mo,Md,X 但是，只有X 是变异量最小。

（3）一致性：即当样本无限增大，估计值应能够越来越接近它所估计的总体参数，估计值越来越精确，逐渐接近于真值；即当N →∞，X →μ, S n-1→σ;

2

2

(4)充分性：指一个容量为n 的样本统计量，是否充分地反映了全部n 个数据所反映的总体信息。例如X 能反映所有数据所代表的总体的信息，故X 的充分性高；二Mo ，Md 只反映了部分数据所反映的总体信息，充分性低； （2）区间估计：

区间估计的原理是根据样本分布理论，应样本分布的标准误计算区间长度，解释总体参数落入某置信区间可能的概率； 2）总体平均数的估计

3）标准差与方差的估计（可以先算出方差的区间，再求标准差的区间） （三）假设检验

1）假设检验的原理：

（1）两类假设

备则假设：因变量的变化、差异却是是由于自变量的作用

往往是我们对研究结果的预期，用H 1表示。

虚无假设：实际上什么也没有发生，我们所预计的改变、差异、处理效果都不存在观察到的差异只是随机误差在起作用，用H 0表示。

（2）小概率原理

小概率原理：小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。 两类错误

Ⅰ型错误：当虚无假设正确时，我们拒绝了它所犯的错误，也叫α错误。

Ⅱ型错误：当虚无假设是错误的时候，我们没有拒绝所犯的错误，也叫β错误。 两类检验的关系

①α+β不一定等于1

②在其他条件不变的情况下，α与β不可能同时减小或增大 （4）检验的方向性

单侧检验：强调某一方向的检验，显著性的百分等级为α

双侧检验：只强调差异不强调方向性的检验，显著性百分等级为α/2 2）样本与总体平均数差异的检验 3）两样本平均数差异的检验 4）方差齐性的检验：

（1）样本方差与总体方差

当从正态分布的总体中随机抽取容量为n 的样本时，其样本方差与总体方差比值服从χ分布：χ=

2

2

ns 2

σ02

由自由度df =n -1查χ表，依据显著性水平判断

2

（2）两个样本方差之间 ①独立样本F =

2s 大

s

2小

其中当两样本自由度相差不大时可用s n 代替s n -1查表时

df 1=n 1-1, df 2=n 2-1（双侧检验）

②相关样本

2

2t =

其中df =n -2

5）相关系数的显著性检验

①积差相关

a. 当ρ

=0时：t =

其中df =n -2

b. 当ρ≠0时：先通过查表将r 和ρ转化为费舍Z r 和Z ρ然后进行

Z 检验。Z =

Z -Z （四）方差分析

1）方差分析的原理与基本过程

方差分析的基本假定(1) 总体正态分布，也就是要求样本必须来自正态分布的总体；

（2）变异的相互独立性，总变异可以分解成为几个来源不同的部分，这几个部分的来源必须明确，而且彼此要相互独立；

(3)各实验处理内的方差要一致，各实验处理内的方差彼此应无显著差异，这是方差分析中最为重要的基本假定。

22

方差分析中的方差齐性检验:Fmax=Smax/Smin (07年考过大题) 2）完全随机设计的方差分析 自由度计算：

df T =N -1df B =k -1

df W =k (n -1)=N -k

F =

MS B

式中查表示的分子与分母的自由度就是 MS W

查F 表时查单侧表

注意利用样本统计两进行方差分析的例子 3）随机区组设计的方差分析

自由度的计算：dfT=N-1; dfB=k-1

dfw=dfR+dfE drR=n-1 ;dfE=(k-1)(n-1); 注意SSR 的公式 4）事后检验

为什么不能用t 检验？ 会使α错误的概率明显增加。

使用的方法N-K 检验法；HSD 检验法；详见《甘怡群》P135和《张厚粲》P290； 5）二因素分析 （1）基本概念：

一个2*3的两因素实验设计，A 因素有两个水平，B 因素有三个水平； 当忽略b 因素个水平的差异，只取A 因素的A1水平和A2水平计算方差时，得到A 因素的主效应；同理B 因素的主效应；

当一个因素的不同水平在另一个因素不同水平上的变化趋势不一致时，就产生了交互作用； (2)事后比较

对二因素方差分析进行事后比较, 其中主效应的检验与单因素方差分析原理相同, 但是交互作用的事后比较, 则包含事后整体检验和事后多重比较两种情况;

第一, 二因素方差分析主效应显著后, 不一定要进行事后多重比较, 进行事后多重比较的前提是有三个以上的水平;

第二, 多因素交互效应显著后, 对主效应必须进行事后比较; 这里的多因素是指3个或三个以上的水平, 由于不能确定是哪几个水平建有显著差异, 因此必须进行事后比较; 另外, 对主效应的进一步解释, 需要通过多重比较分析;

主效应的检验是在忽略其他因素的情况下检验一个因素的处理效应;

第三, 交互效应的事后比较, 包括限定提条件的主效应的整体比较(单纯主效应比较, 上面说到了), 和达到显著性水平后, 该限定条件的主效应的事后多重比较(了解)

注: 交互作用不显著, 检验每个因素的主效应就很重要, 但若交互作用显著, 则对每个因素的主效应的检验, 意义就不大了;

另外, 主效应的事后比较与主效应的检验是两回事;

主效应的事后比较是指一个因素不同水平间(一般至少3个) 确定到底哪几个间存在显著差异;

主效应的检验, 就和单因素的检验原理相同;

（五）回归分析

1）一元线性回归分析 （1）最小二乘法：

=a +bX Y Y

X -X )(Y -Y )(∑其中：b =，a =Y -bX ∑(X -X )

2

（2）回归系数与相关系数的关系： r=b y ∙x ∙b x ∙y

（3）线性回归的基本假设：①线性关系假设：X,Y 在总体上具有线性关系； ②正态性假设：Y 服从正态分布；

③独立性假设：有两个意思：一个是某一个X 对应的一组Y 值和与另一个X 对应的一组Y 值之间没有关系，彼此独立；另一个就是，误差项独立，不同的X 所产生的误差之间应相互独立，且与自变量也应独立； ④误差等分散性假设：特定X 水平的误差，除了呈随机化的常态分布，其变异量也应相等，称为误差等分散性；

2) 一元线性回归方程的检验 1）方差分析法F =

MS R

MS E

2

2

其中SS T =

∑(Y -Y )=∑Y

-

(∑Y )

n

2

而其df T =n -1

-Y SS R =∑Y

()

2

2

⎡X )⎤(∑22

⎥其df R =1 =b ⎢∑X -

n ⎢⎥

⎣⎦

SS E =SS T -SS R 其df E =n -2

b

（2）回归系数检验t =

其中SE b =

SE b

而

s XY =准差

为中心Y

值上下波动的标Y

（在知道相关系数时s XY =s Y ）

3）测定系数r =

2

∑Y -(Y ˆ-)

2

2

=

SS R

RR T

2

就是说相关系数的平房等于回归平方和在总平方和中所占的比例，如果说r =0.64，表明变异量Y 的变异中有64%是由变量X 引起的，或者说有64%可以由X 的变异解释。所以r 叫做测定系数；

4）一元线性回归方程的应用

回归分析的目的，就是在测定自变量X 与因变量Y 的关系为显著相关后，借助于你和的较优回归模型来预测在自变量X 为一定值时因变量Y 的发展变化。当我们根据给出的X 值而预测得到点估计Y 时，Y 只代表了预测值的中点，而计算在特定置信区间内的区间估计则依靠以下公式：

2

Y p ±t α⋅s XY n 很大时近似为1其中t 的自由度取

n-2，Y p 为对应该X P 的方程解出的点估计Y 值；

一般计算时使用Y p ±t α∙S YX ，其中s XY =

（六）卡方检验 卡方检验的假设：（1）分类相互排斥，互不包容； （2）观测值相对独立；

（3）期望次数的大小：每个单元格中期望次数至少在5以上，分类中不超过20%的类别的理论次数可以小于5。 单元格人数过少时处理方法：（1）单元格合并法

（2）增加样本数 （3）去除样本法 （4）使用校正公式

基本公式

χ2=∑

(f o -f e )

f e

2

其中f o 为观察次数；f e 为理论期望次数

公式的适用范围要求观察彼此之间独立，并且单位格的理论期望次数不能小于5（小于5时可与相邻的组合并） 1）拟合度检验

2

χ匹配度检验是用样本数据来检验总体分布的形状或比率，以确定与假设的总体性质的匹配度。

df =C -1其中C 为分类数

2）独立性检验 2

χ独立性检验帮助我们考察多种因素的不同分类之间是否独立。它是检验行和列两个变量彼此有无关联的一种统计方法，适用于命名型变量和顺序型变量。

df =(C -1)(R -1)其中C 和R 分别为行列分类数

（七）非参数检验

1）独立样本均值差异的非参数检验

1）秩和检验法

①两样本容量均小于10

将容量较小的样本的各数据等级求和，T 值检验表中的临界值比较。 ②两样本容量均大于10

Z =

T -μT

σT

n 1(n 1+n 1+1)其中μT =而

σT =2（2）中数检验法

①将两个样本数据混合从小到大排列 ②求混合排列的中数

③分别找出每个样本中大于和小于中数的数据的个数，列成四格表（中数本身不在内） ④对四格表卡方检验公式进行计算

2）相关样本均值差异的非参数检验

（1）符号检验法

①对子数小于25（实得r 值大于表中r 的临界值时，说明差异无统计学意义；） 对于样本每对数据之差来记录符号，求出正负号分别的个数，用其中较小的个数作为观

测值r 对照临界值表检验

②对子数大于25 Z =r -μ

σ其中μ=

1n 而σ= 2（2）维尔克松检验法（符号等级检验法）实得T 值大于表中T 的临界值时，说明差异无统计学意义

①对子数小于25时

a. 把相关样本对应数据之差值按照绝对值从小到大排列

b. 在各等级前加上原来差值的正负号

c. 分别求出正号等级和负号等级的秩和，取其中较小的值作为T

d. 由n 值查表检验T

②对子数大于25时 Z =T -μT

σT

其中μT =n (n +1)而

σT = 4 11