待定系数法分解因式
待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。 这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。 例1
分解因式 思路1
因为
所以设原式的分解式是求出m, n,的值。 解法1
因为
所以可设
比较系数，得
由①、②解得
∴
把
代入③式也成立。
然后展开，利用多项式的恒等，
思路2 前面同思路1，然后给x,y 取特殊值，求出m,n 的值。 解法2
因为
所以可设
因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y
都成立，那么无妨令
得
令
得
或
解①、②得
把它们分别代入恒等式检验，得
∴
说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。 例2
分解因式积。 解
设
思路 本题是关于x 的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之
由恒等式性质有：
由①、③解得
∴
说明
若设原式
代入②中，②式成立。
由待定系数法解题知关于a 与b
的方程组无解，故设原式
例3 在关于x 的二次三项式中，
当时，其值为10，求这个二次三项式。
思路1 先设出关于x 的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒待式的性质。 解法1 设关于x
的二次三项式为
把已知条件分别代入，得时，其值为0；
当
时，其值为0；
当
解得
故所求的二次三项为 思路2
根据已知后再求出a 的值。 解法2
由已知条件知当次三项式为
时，其值0
这一条件可设二次三项式为然
时，这个二次三项式的值都为0，故可设这个二
解得
即
是奇数，证明这个多项
故所求的二次三项式为
例4
已知多项式
说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。
的系数都是整数。
若
式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。
证明：设
（m,n,r 都是整数）。
比较系数，得
因为
在①式中令
由
，得是奇数，得
是奇数，则
与d 都为奇数，那么mr 也是奇数，由奇
②
是奇数。而m
为奇数，故
是偶数，所以
数的性质得出m,r 也都是奇数。
是偶数。这样②的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的。
因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。 例5
已知
能被
整除，求证：
思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。
证明：设
展开，比较系数，得
由①、②，得
代入③、④得：
∴
， ，
例6若a
是自然数，且的值是一个质数，求这个质数。
思路：因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a 的值。进而解决问题。 解：由待定系数法可解得
由于a 是自然数，且
∴
解得
当
当
∴
时，时，
是一个质数，
不是质数。
是质数。 =11 .
练习
A 级
1
、分解因式2
、若多项式
3
、二次三项式当
时其值为-3，当
_______. 能被
整除，则n=_______.
时其值为2，当
能被
B 级
5、多项式
6、若多项式
7
、若多项式
也是0。 8
、求证：
不能分解为两个一次因式的积。
时其值为5 ，整除？
这个二次三项式是_______. 4、m, n
是什么数时，多项式
能分解为两个一次因式的积，则k=_____. 能被
当
整除，则
_______.
2 时的值均为0，则当x=_____时，多项式的值
参考答案或提示：
1.
提示：设原式
比较两边系数，得
由①、②解得 将
∴原式2、-4。
提示：设原式
= 比较系数，得
代入③式成立。
由①、②解得
代入③得 3
、
提示：设二次三项式为 把已知条件代入，得
解得
∴所求二次三项式为4.
设
比较系数，得
解得
∴当m=-11，n=4
已知多项式能被5.-2
提示：设原式
比较系数，得
整除。
.
解得
6.-7
提示：设原式
比较系数，得
解得
∴7.3.
提示：设原式
比较系数，得
解得c=3. ∴当x=3时，多项式的值也是0. 8.
设原式
且
展开后比较系数，得
⎧2m +n =1⎪
⎨3m -n =14⎪m n =15⎩
由④、
⑤得代入③，再由①、
③得
将上述
入②得.
而这与③矛盾，即方程组无解。故命题得证。
待定系数法分解因式
待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。 这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。 例1
分解因式 思路1
因为
所以设原式的分解式是求出m, n,的值。 解法1
因为
所以可设
比较系数，得
由①、②解得
∴
把
代入③式也成立。
然后展开，利用多项式的恒等，
思路2 前面同思路1，然后给x,y 取特殊值，求出m,n 的值。 解法2
因为
所以可设
因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y
都成立，那么无妨令
得
令
得
或
解①、②得
把它们分别代入恒等式检验，得
∴
说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。 例2
分解因式积。 解
设
思路 本题是关于x 的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之
由恒等式性质有：
由①、③解得
∴
说明
若设原式
代入②中，②式成立。
由待定系数法解题知关于a 与b
的方程组无解，故设原式
例3 在关于x 的二次三项式中，
当时，其值为10，求这个二次三项式。
思路1 先设出关于x 的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒待式的性质。 解法1 设关于x
的二次三项式为
把已知条件分别代入，得时，其值为0；
当
时，其值为0；
当
解得
故所求的二次三项为 思路2
根据已知后再求出a 的值。 解法2
由已知条件知当次三项式为
时，其值0
这一条件可设二次三项式为然
时，这个二次三项式的值都为0，故可设这个二
解得
即
是奇数，证明这个多项
故所求的二次三项式为
例4
已知多项式
说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。
的系数都是整数。
若
式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。
证明：设
（m,n,r 都是整数）。
比较系数，得
因为
在①式中令
由
，得是奇数，得
是奇数，则
与d 都为奇数，那么mr 也是奇数，由奇
②
是奇数。而m
为奇数，故
是偶数，所以
数的性质得出m,r 也都是奇数。
是偶数。这样②的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的。
因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。 例5
已知
能被
整除，求证：
思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。
证明：设
展开，比较系数，得
由①、②，得
代入③、④得：
∴
， ，
例6若a
是自然数，且的值是一个质数，求这个质数。
思路：因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a 的值。进而解决问题。 解：由待定系数法可解得
由于a 是自然数，且
∴
解得
当
当
∴
时，时，
是一个质数，
不是质数。
是质数。 =11 .
练习
A 级
1
、分解因式2
、若多项式
3
、二次三项式当
时其值为-3，当
_______. 能被
整除，则n=_______.
时其值为2，当
能被
B 级
5、多项式
6、若多项式
7
、若多项式
也是0。 8
、求证：
不能分解为两个一次因式的积。
时其值为5 ，整除？
这个二次三项式是_______. 4、m, n
是什么数时，多项式
能分解为两个一次因式的积，则k=_____. 能被
当
整除，则
_______.
2 时的值均为0，则当x=_____时，多项式的值
参考答案或提示：
1.
提示：设原式
比较两边系数，得
由①、②解得 将
∴原式2、-4。
提示：设原式
= 比较系数，得
代入③式成立。
由①、②解得
代入③得 3
、
提示：设二次三项式为 把已知条件代入，得
解得
∴所求二次三项式为4.
设
比较系数，得
解得
∴当m=-11，n=4
已知多项式能被5.-2
提示：设原式
比较系数，得
整除。
.
解得
6.-7
提示：设原式
比较系数，得
解得
∴7.3.
提示：设原式
比较系数，得
解得c=3. ∴当x=3时，多项式的值也是0. 8.
设原式
且
展开后比较系数，得
⎧2m +n =1⎪
⎨3m -n =14⎪m n =15⎩
由④、
⑤得代入③，再由①、
③得
将上述
入②得.
而这与③矛盾，即方程组无解。故命题得证。