[直线的点斜式方程]

3.2.1 直线的点斜式方程

学习目标：

1、理解直线的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； 2、能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；

3、通过体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

重点：直线的点斜式方程与斜截式方程； 难点：直线的点斜式方程与斜截式方程的应用。 【问题提出】

1、在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？

已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率）可以确定一条直线；已知两点也可以确定一条直线。

2、若两条不同直线的斜率都存在，如何判定这两条直线相互平行、垂直？

板书：l1//l2

k1k2;l1l2k1k21

l3、已知直线l经过已知点P0(x0,y0)，并且它的斜率为k。求直线的方程。

（那么什么是直线的方程呢？多媒体展示概念） 【合作探究一】

直线方程的概念：如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线. 1、直线的点斜式方程

（多媒体展示最开始的问题3）

l已知直线l经过已知点P0(x0,y0)，并且它的斜率为k。求直线的方程。

设点P(x,y)是直线l上不同于点P0(x0,y0) 的任意一点。因为直线l的斜率为k， 由斜率公式得

yy0

k

xx0

即

yy0k(xx0)（1）

由上述推导过程我们可知：

过点P0(x0,y0)，斜率为k的直线l上的每一点的坐标都满足方程（1）； 反过来，我们还可以验证

坐标满足方程（1）的每一点都在过点P0(x0,y0)，斜率为k的直线l上。 我们把这个由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程，叫做直线的点斜式方程。 【问题】

经过点P

0(x0,y0) tan00，当直线的l的倾斜角是0时，即k0，这时直线l与x轴平行或重合。

即：l的方程为 yy00或yy0

当直线的l的倾斜角是90时，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合。 即：l的方程为 xx00或xx0

【例1】直线l经过点P0(2,3)，且倾斜角45，求直线l的点斜式方程，并画

出直线l。

（由学生板书过程并且画出图形，师生共同批改）

解：直线l经过点P0(2,3)，斜率ktan451，带入点斜式方程得

y3x2

画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1,y1)，例如，取x11,y14，得P1的坐标为(1,4)，过P0,P1的直线即为所求，如图

【强化练习】

1、写出下列直线的点斜式方程：

（1）经过点A(3,1)，斜率是2； 答案：y12(x3) （2）经过点B(2,2)，倾斜角是30； 答案：y2(x2) （3）经过点C(0,3)，倾斜角是0； 答案：y3

（4）经过点D(4,2)，倾斜角是120。 答案：y2(x4) 2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜率和倾斜角： （1）

1212

y2x1；

（2）y23x3。 【合作探究二】 2、直线的斜截式方程

如果已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为P(0,b)，代入直线的点斜式方程，得

ybk(x0)

即

ykxb （2）

我们把直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距。方程（2）由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程（2）叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 【思考】

观察方程ykxb，它的形式具体什么特点？

我们发现，左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。

（问：那么截距是距离吗？答案：不是，因为截距是一个实数，是直线与坐标轴交点的数值，它可正可负可为零，因此它不是距离。） 【例】

求斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。 答案：y5x4 【强化练习】

3、写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率是

3

x2 ，在y轴上的截距是2； 答案：y

22

（2）斜率是2，在y轴上的截距是4。 答案：y2x4 【典例讲解】

例3、已知直线l1:yk1xb1，l2:yk2xb2，试讨论：

（1）l1//l2的条件是什么？ （2）l1l2的条件是什么？

解：（1）若l1//l2，则k1k2，此时l1,l2与y轴的交点不同，即b1b2；反之，

k1k2，且b1b2时，l1//l2。

（2）若l1l2，则k1k21；反之，k1k21时，l1l2。 于是我们得到，对于直线

l1:yk1xb1，l2:yk2xb2，

l1//l2k1k2，且b1b2；

l1l2k1k21。

【强化练习】

4、判断下列各直线是否平行或垂直： （1）l1:y（2）l1:y

1

x3,25x,3

l2:y

1

x2； 答案：平行 2

3

l2:yx。 答案：垂直

5

【小结与作业】

想一想：本节课你学习了什么？你学到了什么？ 直线的点斜式方程：yy0

k(xx0)

ykxb 直线的斜截式方程：

作业：完成配套练习册题目。

3.2.1

直线的点斜式方程 嘉祥县萌山高级中学 曹向光

3.2.1 直线的点斜式方程

学习目标：

1、理解直线的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； 2、能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；

3、通过体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

重点：直线的点斜式方程与斜截式方程； 难点：直线的点斜式方程与斜截式方程的应用。 【问题提出】

1、在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？

已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率）可以确定一条直线；已知两点也可以确定一条直线。

2、若两条不同直线的斜率都存在，如何判定这两条直线相互平行、垂直？

板书：l1//l2

k1k2;l1l2k1k21

l3、已知直线l经过已知点P0(x0,y0)，并且它的斜率为k。求直线的方程。

（那么什么是直线的方程呢？多媒体展示概念） 【合作探究一】

直线方程的概念：如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线. 1、直线的点斜式方程

（多媒体展示最开始的问题3）

l已知直线l经过已知点P0(x0,y0)，并且它的斜率为k。求直线的方程。

设点P(x,y)是直线l上不同于点P0(x0,y0) 的任意一点。因为直线l的斜率为k， 由斜率公式得

yy0

k

xx0

即

yy0k(xx0)（1）

由上述推导过程我们可知：

过点P0(x0,y0)，斜率为k的直线l上的每一点的坐标都满足方程（1）； 反过来，我们还可以验证

坐标满足方程（1）的每一点都在过点P0(x0,y0)，斜率为k的直线l上。 我们把这个由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程，叫做直线的点斜式方程。 【问题】

经过点P

0(x0,y0) tan00，当直线的l的倾斜角是0时，即k0，这时直线l与x轴平行或重合。

即：l的方程为 yy00或yy0

当直线的l的倾斜角是90时，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合。 即：l的方程为 xx00或xx0

【例1】直线l经过点P0(2,3)，且倾斜角45，求直线l的点斜式方程，并画

出直线l。

（由学生板书过程并且画出图形，师生共同批改）

解：直线l经过点P0(2,3)，斜率ktan451，带入点斜式方程得

y3x2

画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1,y1)，例如，取x11,y14，得P1的坐标为(1,4)，过P0,P1的直线即为所求，如图

【强化练习】

1、写出下列直线的点斜式方程：

（1）经过点A(3,1)，斜率是2； 答案：y12(x3) （2）经过点B(2,2)，倾斜角是30； 答案：y2(x2) （3）经过点C(0,3)，倾斜角是0； 答案：y3

（4）经过点D(4,2)，倾斜角是120。 答案：y2(x4) 2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜率和倾斜角： （1）

1212

y2x1；

（2）y23x3。 【合作探究二】 2、直线的斜截式方程

如果已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为P(0,b)，代入直线的点斜式方程，得

ybk(x0)

即

ykxb （2）

我们把直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距。方程（2）由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程（2）叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 【思考】

观察方程ykxb，它的形式具体什么特点？

我们发现，左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。

（问：那么截距是距离吗？答案：不是，因为截距是一个实数，是直线与坐标轴交点的数值，它可正可负可为零，因此它不是距离。） 【例】

求斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。 答案：y5x4 【强化练习】

3、写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率是

3

x2 ，在y轴上的截距是2； 答案：y

22

（2）斜率是2，在y轴上的截距是4。 答案：y2x4 【典例讲解】

例3、已知直线l1:yk1xb1，l2:yk2xb2，试讨论：

（1）l1//l2的条件是什么？ （2）l1l2的条件是什么？

解：（1）若l1//l2，则k1k2，此时l1,l2与y轴的交点不同，即b1b2；反之，

k1k2，且b1b2时，l1//l2。

（2）若l1l2，则k1k21；反之，k1k21时，l1l2。 于是我们得到，对于直线

l1:yk1xb1，l2:yk2xb2，

l1//l2k1k2，且b1b2；

l1l2k1k21。

【强化练习】

4、判断下列各直线是否平行或垂直： （1）l1:y（2）l1:y

1

x3,25x,3

l2:y

1

x2； 答案：平行 2

3

l2:yx。 答案：垂直

5

【小结与作业】

想一想：本节课你学习了什么？你学到了什么？ 直线的点斜式方程：yy0

k(xx0)

ykxb 直线的斜截式方程：

作业：完成配套练习册题目。

3.2.1

直线的点斜式方程 嘉祥县萌山高级中学 曹向光