学案6 函数的奇偶性与周期性
导学目标： 1. 了解函数奇偶性、周期性的含义.2. 会判断奇偶性，会求函数的周期.3. 会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．
自主梳理
1．函数奇偶性的定义
如果对于函数f (x ) 定义域内任意一个x ，都有______________，则称f (x ) 为奇函数；如果对于函数f (x ) 定义域内任意一个x ，都有____________，则称f (x ) 为偶函数．
2．奇偶函数的性质
(1)f (x ) 为奇函数⇔f (－x ) ＝－f (x ) ⇔f (－x ) ＋f (x ) ＝____； f (x ) 为偶函数⇔f (x ) ＝f (－x ) ＝f (|x |)⇔f (x ) －f (－x ) ＝____.
(2)f (x ) 是偶函数⇔f (x ) 的图象关于____轴对称；f (x ) 是奇函数⇔f (x ) 的图象关于对称．
(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．
3．函数的周期性
(1)定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x ＋T ) ＝________，则称f (x ) 为________函数，其中T 称作f (x ) 的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f (x ) 的________________．
T T
(2)性质： ①f (x ＋T ) ＝f (x ) 常常写作f (x ＋) ＝f (x ) ．
22
②如果T 是函数y ＝f (x ) 的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0) 也是y ＝f (x ) 的周期，即f (x ＋kT ) ＝f (x ) ．
1
③若对于函数f (x ) 的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a ) ＝－f (x ) 或f (x ＋a ) ＝f (x
f (x )
1
＋a ) a 是常数且a ≠0) ，则f (x ) 是以______为一个周期的周期函数．
f (x )自我检测
1．已知函数f (x ) ＝(m －1) x 2＋(m －2) x ＋(m 2－7m ＋12) 为偶函数，则m 的值是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．(2011·茂名月考) 如果奇函数f (x ) 在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f (x ) 在区间[－7，－3]上是 ( )
A ．增函数且最小值是－5 B ．增函数且最大值是－5 C ．减函数且最大值是－5 D ．减函数且最小值是－5
1
3．函数y ＝x － ( )
x
A ．关于原点对称
B ．关于直线y ＝－x 对称 C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y ＝x 对称 4．(2009·江西改编) 已知函数f (x ) 是(－∞，＋∞) 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2) ＝f (x ) ，且当x ∈[0,2)时，f (x ) ＝log 2(x ＋1) ，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为 ( )
A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2
(x ＋1)(x ＋a )
5．(2011·开封模拟) 设函数f (x ) ＝为奇函数，则a ＝________.
x
探究点一 函数奇偶性的判定 例1 判断下列函数的奇偶性．
1－x 11
(1)f (x ) ＝(x ＋1) ；(2)f (x ) ＝x () ；
1＋x 2－12
2
⎧x ＋x ， x
⎪－x ＋x ，x >0.⎩
变式迁移1 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x ) ＝x 2－x 3；
(2)f (x ) x －11－x ；
4－x (3)f (x ) ＝|x ＋3|－3
探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用
例2 函数y ＝f (x )(x ≠0) 是奇函数，且当x ∈(0，＋∞) 时是增函数，若f (1)＝0，求不等式1
f [x (x －)]
2
变式迁移2 (2011·承德模拟) 已知函数f (x ) ＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2) ＋f (x )
探究点三 函数性质的综合应用 例3 (2009·山东) 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ，满足f (x －4) ＝－f (x ) ，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x ) ＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.
变式迁移3 定义在R 上的函数f (x ) 是偶函数，且f (x ) ＝f (2－x ) ．若f (x ) 在区间[1,2]上是减函数，则f (x )(
)
A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数
转化与化归思想的应用
例 (12分) 函数f (x ) 的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2) ＝f (x 1) ＋f (x 2) ．
(1)求f (1)的值；
(2)判断f (x ) 的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1) ＋f (2x －6) ≤3，且f (x ) 在(0，＋∞) 上是增函数，求x 的取值范围． 【答题模板】
解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2) ＝f (x 1) ＋f (x 2) ， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.[2分] (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1) ＋f (－1) ，
1
∴f (－1) f (1)＝0.[4分]
2
令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x ) ＝f (－1) ＋f (x ) ， ∴f (－x ) ＝f (x ) ，∴f (x ) 为偶函数．[6分] (3)依题设有f (4×4) ＝f (4)＋f (4)＝2， f (16×4) ＝f (16)＋f (4)＝3，[7分] ∵f (3x ＋1) ＋f (2x －6) ≤3，
即f ((3x ＋1)(2x －6)) ≤f (64)[8分] ∵f (x ) 为偶函数，
∴f (|(3x ＋1)(2x －6|)≤f (64)．[10分]
又∵f (x ) 在(0，＋∞) 上是增函数，f (x ) 的定义域为D. ∴0
711
解上式，得3
333711
∴x 的取值范围为{x |－x
333
【突破思维障碍】
在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f (g (x )) ≤f (a ) 的形式，但思维障碍在于f (x ) 在(0，＋∞) 上是增函数，g (x ) 是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f ”，若能结合(2)中f (x ) 是偶函数的结论，则有f (g (x )) ＝f (|g (x )|)，又若能注意到f (x ) 的定义域为{x |x ≠0}，这才能有|g (x )|>0，从而得出0
【易错点剖析】
在(3)中，由f (|(3x ＋1)·(2x －6)|)≤f (64)脱掉“f ”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x |x ≠0}，易出现0≤|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，导致结果错误．
1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x ) 为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f (－x ) ＝－f (x ) 或f (－x ) ＝f (x ) 是定义域上的恒等式．
2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需
f (－x )
要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x ) ＝±f (x ) ⇔f (－x )±f (x ) ＝0⇔＝
f (x )
±1(f (x ) ≠0) ．
3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．
1
4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f (x ) ，若有f (x ＋a ) ＝－f (x ) 或f (x ＋a ) ＝或f (x
f (x )
1
＋a ) a 为常数且a ≠0) ，则f (x ) 的一个周期为2
a
f (x )
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·吉林模拟) 已知f (x ) ＝ax ＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值为
( )
11A B.
3311C. D 222．(2010·银川一中高三年级第四次月考) 已知定义域为{x |x ≠0}的函数f (x ) 为偶函数，且f (x )
f (x )
在区间(－∞，0) 上是增函数，若f (－3) ＝0，则
x
A ．(－3,0) ∪(0,3)
B ．(－∞，－3) ∪(0,3)
C ．(－∞，－3) ∪(3，＋∞) D ．(－3,0) ∪(3，＋∞)
1
3．(2011·鞍山月考) 已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2) ＝－，当1≤x ≤2
f (x )
时，f (x ) ＝x －2，则f (6.5)等于 ( )
A ．4.5 B ．－4.5 C ．0.5 D ．－0.5 4．(2010·山东) 设f (x ) 为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x ) ＝2x ＋2x ＋b (b 为常数) ，则f (－1) 等于 ( )
A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3
5．设函数f (x ) 满足：①y ＝f (x ＋1) 是偶函数；②在[1，＋∞) 上为增函数，则f (－1) 与f (2)大小关系是 ( )
A ．f (－1)>f (2) B ．f (－1)
x －1，x >0，⎧⎪
6．(2010·辽宁部分重点中学5月联考) 若函数f (x ) ＝⎨a ， x ＝0，
⎪⎩x ＋b ，x
是奇函数，则a ＋b ＝
________.
7．(2011·咸阳月考) 设函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，若f (x ) 满足f (x ＋3) ＝f (x ) ，且f (1)>1，2m －3f (2)＝，则m 的取值范围是________．
m ＋1
8．已知函数f (x ) 是R 上的偶函数，g (x ) 是R 上的奇函数，且g (x ) ＝f (x －1) ，若f (2)＝2，则f (2 010)的值为________．
三、解答题(共38分) 9．(12分)(2011·汕头模拟) 已知f (x ) 是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x ) 在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，f (x ) ≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x ) 的表达式．
10．(12分) 设函数f (x ) ＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3) (1)证明f (x ) 是偶函数； (2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f (x ) 的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x ) 是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．
a
11．(14分)(2011·舟山调研) 已知函数f (x ) ＝x 2＋(x ≠0，常数a ∈R ) ．
x
(1)讨论函数f (x ) 的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f (x ) 在[2，＋∞) 上为增函数，求实数a 的取值范围．
答案 自主梳理
1．f (－x ) ＝－f (x ) f (－x ) ＝f(x) 2．(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反
3．(1)f(x) 周期 最小正周期 (2)③2a 自我检测
1．B [因为f(x) 为偶函数，所以奇次项系数为0，即m －2＝0，m ＝2.] 2．A [奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．] 3．A [由f(－x) ＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称．]
4．C [f (－2 012)＋f (2 011)＝f (2 012)＋f (2 011)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1) ＝1.] 5．－1
解析 ∵f (－1) ＝0，∴f (1)＝2(a ＋1) ＝0，
x 2-1
∴a ＝－1. 代入检验f(x)＝是奇函数，故a ＝－1.
x
课堂活动区
例1 解题导引 判断函数奇偶性的方法．
(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称) ．
(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y 轴对称，则f(x) 为偶函数．
(3)基本函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．
解 (1)定义域要求
1-x
≥0且x ≠－1， 1+x
∴－1
(2)函数定义域为(－∞，0) ∪(0，＋∞) ．
1+)
2-x -122x 12x 1
+) x (-) ＝－x (＝x x 21-22-12
11＝x (x +) ＝f(x)．
2-12
∵f(－x ) ＝－x (
∴f(x) 是偶函数． (3)函数定义域为R .
∵f (－x ) ＝log 2(－x ＋x ＋1)
1
＝log 2＝－log 2(x ＋x ＋1) x x ＋1
1
＝－f (x ) ，
∴f (x ) 是奇函数．
(4)函数的定义域为(－∞，0) ∪(0，＋∞) ． 当x 0，则
f (－x ) ＝－(－x ) 2－x ＝－(x 2＋x ) ＝－f (x ) ； 当x >0时，－x
f (－x ) ＝(－x ) 2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x ) ＝－f (x ) ．
∴对任意x ∈(－∞，0) ∪(0，＋∞) 都有f (－x ) ＝－f (x ) ． 故f (x ) 为奇函数．
变式迁移1 解 (1)由于f (－1) ＝2，f (1)＝0，f (－1) ≠f (1)，f (－1) ≠－f (1)，从而函数f (x ) 既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f (x ) 的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f (－1) ＝f (1)＝0，f (－1) ＝－f (1)＝0，∴f (x ) 既是奇函数又是偶函数．
⎧4－x 2≥0⎪(3)由⎨得，f (x ) 定义域为[－2,0) ∪(0,2]．
⎪|x ＋3|≠3⎩
∴定义域关于原点对称，
4－x 4－x 又f (x ) ＝f (－x ) ＝－
x x
∴f (－x ) ＝－f (x ) ∴f (x ) 为奇函数．
例2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．
在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反． 解 ∵y ＝f (x ) 为奇函数，且在(0，＋∞) 上为增函数， ∴y ＝f (x ) 在(－∞，0) 上单调递增， 且由f (1)＝0得f (－1) ＝0.
1
若f [x (x －)]
21x (x －>0
21
则即0
21
x (x －)
2
⎧⎨⎩
1171－171
解得
244
⎧x (x －2)
1
若f [x (x －)]
x (x －⎩2
1
1
由x (x －－1，解得x ∈∅.
2
∴原不等式的解集是
1171－171
{x |x
2
变式迁移2 (－2，)
3
解析 易知f (x ) 在R 上为单调递增函数，且f (x ) 为奇函数，故f (mx －2) ＋f (x )
⎧⎪h (－2)
此时，只需⎨即可，解得x ∈(－2．
3⎪h (2)
例3 解题导引 解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，
画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．
－8
解析 因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4) ＝－f (x ) ，所以f (4－x ) ＝f (x ) ．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4) ＝－f (x ) 知f (x －8) ＝f (x ) ，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x ) 在区间[0,2]上是增函数，所以f (x ) 在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x ) ＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1
8.
变式迁移3 B [∵f (x ) ＝f (2－x ) ，∴f (x ＋1) ＝f (1－x ) ． ∴x ＝1为函数f (x ) 的一条对称轴．
又f (x ＋2) ＝f [2－(x ＋2)] ＝f (－x ) ＝f (x ) ，
∴2是函数f (x ) 的一个周期．
根据已知条件画出函数简图的一部分，如右图：
由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．] 课后练习区
1⎧⎧⎪a ＝3⎪a －1＝－2a
1．B [依题意得⎨，∴⎨，
⎪b ＝0⎩⎪⎩b ＝0
1
∴a ＋b .]
3
2．
D
f (x )
[由已知条件，可得函数f (x ) 的图象大致为右图，故
x
1
3．D [由f (x ＋2)
f (x )1
得f (x ＋4) ＝f (x ) ，那么f (x ) 的周期是4，得f (6.5)＝f (2.5)．因为f (x ) 是偶函数，
f (x ＋2)
则f (2.5)＝f (－2.5) ＝f (1.5)．而1≤x ≤2时，f (x ) ＝x －2，
∴f (1.5)＝－0.5. 由上知：f (6.5)＝－0.5.]
4．D [因为奇函数f (x ) 在x ＝0有定义，所以f (0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1. ∴f (x ) ＝2x ＋2x －1，f (1)＝3，
从而f (－1) ＝－f (1)＝－3.]
5．A [由y ＝f (x ＋1) 是偶函数，得到y ＝f (x ) 的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1) ＝f (3)． 又f (x ) 在[1，＋∞) 上为单调增函数， ∴f (3)>f (2)，即f (－1)>f (2)．] 6．1
解析 ∵f (x ) 是奇函数，且x ∈R ，∴f (0)＝0，即a ＝0. 又f (－1) ＝－f (1)，∴b －1＝－(1－1) ＝0，即b ＝1，因此a ＋b ＝1.
2
7．－1
3
解析 ∵f (x ＋3) ＝f (x ) ，∴f (2)＝f (－1＋3) ＝f (－1) ． ∵f (x ) 为奇函数，且f (1)>1，
2m －3
∴f (－1) ＝－f (1)
m ＋1
2
解得：－1
3
8．2
解析 由g (x ) ＝f (x －1) ，得g (－x ) ＝f (－x －1) ， 又g (x ) 为R 上的奇函数，∴g (－x ) ＝－g (x ) ， ∴f (－x －1) ＝－f (x －1) ， 即f (x －1) ＝－f (－x －1) ，
用x ＋1替换x ，得f (x ) ＝－f (－x －2) ．
又f (x ) 是R 上的偶函数，∴f (x ) ＝－f (x ＋2) ． ∴f (x ) ＝f (x ＋4) ，即f (x ) 的周期为4. ∴f (2 010)＝f (4×502＋2) ＝f (2)＝2.
9．解 由题意，当3≤x ≤6时，设f (x ) ＝a (x －5) 2＋3， ∵f (6)＝2，∴2＝a (6－5) 2＋3. ∴a ＝－1.
∴f (x ) ＝－(x －5) 2＋3(3≤x ≤6) ．…………………………………………………………(3分) ∴f (3)＝－(3－5) 2＋3＝－1. 又∵f (x ) 为奇函数，∴f (0)＝0.
∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1) 两点．
1
∴f (x ) ＝－x (0≤x ≤3) ．…………………………………………………………………(6分)
3
当－3≤x ≤0时，－x ∈[0,3]，
11
∴f (－x ) －x ) .
33
1
又f (－x ) ＝－f (x ) ，∴f (x ) ＝－.
3
1
∴f (x ) ＝－x (－3≤x ≤3) ．………………………………………………………………(9分)
3
当－6≤x ≤－3时，3≤－x ≤6，
∴f (－x ) ＝－(－x －5) 2＋3＝－(x ＋5) 2＋3. 又f (－x ) ＝－f (x ) ，∴f (x ) ＝(x ＋5) 2－3.
⎧⎪1
∴f (x ) ＝⎨－3x －3
⎪⎩－(x －5)＋3， 3≤x ≤6.
2
(x ＋5)2－3， －6≤x ≤－3，
10．解 (1)f (－x ) ＝(－x ) 2－2|－x |－1
＝x 2－2|x |－1＝f (x ) ，
即f (－x ) ＝f (x ) ．∴f (x ) 是偶函数．………………………………………………………(2分)
(2)当x ≥0时，f (x ) ＝x －2x －1＝(x －1) －2， 当x
2
⎧⎪(x －1)－2， x ≥0，
即f (x ) ＝⎨ 2
⎪(x ＋1)－2， x
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．
……………………………………(6分) (3)由(2)中函数图象可知，函数f (x ) 的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]． f (x ) 在区间[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．……………(8分) (4)当x ≥0时，函数f (x ) ＝(x －1) 2－2的最小值为－2，最大值为f (3)＝2； 当x
故函数f (x ) 的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(12分) 11．解 (1)当a ＝0时，f (x ) ＝x 2对任意x ∈(－∞，0) ∪(0，＋∞) ， 有f (－x ) ＝(－x ) 2＝x 2＝f (x ) ，
∴f (x ) 为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)
a
当a ≠0时，f (x ) ＝x 2＋(x ≠0，常数a ∈R ) ，
x
若x ＝±1时，则f (－1) ＋f (1)＝2≠0； ∴f (－1) ≠－f (1)，又f (－1) ≠f (1)
∴函数f (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分) 综上所述，当a ＝0时，f (x ) 为偶函数；
当a ≠0时，f (x ) 为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分) (2)设2≤x 1
a a 2
f (x 1) －f (x 2) ＝x 2＋－x －1
x 12x 2
x 1－x 2＝[x x (x ＋x ) －a ]，………………………………………………………………(10分)
x 1x 21212
要使f (x ) 在x ∈[2，＋∞) 上为增函数，必须使f (x 1) －f (x 2)
∵x 1－x 24，即a 4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16，
∴a 的取值范围为(－∞，16]．…………………………………………………………(14分)
学案6 函数的奇偶性与周期性
导学目标： 1. 了解函数奇偶性、周期性的含义.2. 会判断奇偶性，会求函数的周期.3. 会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．
自主梳理
1．函数奇偶性的定义
如果对于函数f (x ) 定义域内任意一个x ，都有______________，则称f (x ) 为奇函数；如果对于函数f (x ) 定义域内任意一个x ，都有____________，则称f (x ) 为偶函数．
2．奇偶函数的性质
(1)f (x ) 为奇函数⇔f (－x ) ＝－f (x ) ⇔f (－x ) ＋f (x ) ＝____； f (x ) 为偶函数⇔f (x ) ＝f (－x ) ＝f (|x |)⇔f (x ) －f (－x ) ＝____.
(2)f (x ) 是偶函数⇔f (x ) 的图象关于____轴对称；f (x ) 是奇函数⇔f (x ) 的图象关于对称．
(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．
3．函数的周期性
(1)定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x ＋T ) ＝________，则称f (x ) 为________函数，其中T 称作f (x ) 的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f (x ) 的________________．
T T
(2)性质： ①f (x ＋T ) ＝f (x ) 常常写作f (x ＋) ＝f (x ) ．
22
②如果T 是函数y ＝f (x ) 的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0) 也是y ＝f (x ) 的周期，即f (x ＋kT ) ＝f (x ) ．
1
③若对于函数f (x ) 的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a ) ＝－f (x ) 或f (x ＋a ) ＝f (x
f (x )
1
＋a ) a 是常数且a ≠0) ，则f (x ) 是以______为一个周期的周期函数．
f (x )自我检测
1．已知函数f (x ) ＝(m －1) x 2＋(m －2) x ＋(m 2－7m ＋12) 为偶函数，则m 的值是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．(2011·茂名月考) 如果奇函数f (x ) 在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f (x ) 在区间[－7，－3]上是 ( )
A ．增函数且最小值是－5 B ．增函数且最大值是－5 C ．减函数且最大值是－5 D ．减函数且最小值是－5
1
3．函数y ＝x － ( )
x
A ．关于原点对称
B ．关于直线y ＝－x 对称 C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y ＝x 对称 4．(2009·江西改编) 已知函数f (x ) 是(－∞，＋∞) 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2) ＝f (x ) ，且当x ∈[0,2)时，f (x ) ＝log 2(x ＋1) ，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为 ( )
A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2
(x ＋1)(x ＋a )
5．(2011·开封模拟) 设函数f (x ) ＝为奇函数，则a ＝________.
x
探究点一 函数奇偶性的判定 例1 判断下列函数的奇偶性．
1－x 11
(1)f (x ) ＝(x ＋1) ；(2)f (x ) ＝x () ；
1＋x 2－12
2
⎧x ＋x ， x
⎪－x ＋x ，x >0.⎩
变式迁移1 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x ) ＝x 2－x 3；
(2)f (x ) x －11－x ；
4－x (3)f (x ) ＝|x ＋3|－3
探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用
例2 函数y ＝f (x )(x ≠0) 是奇函数，且当x ∈(0，＋∞) 时是增函数，若f (1)＝0，求不等式1
f [x (x －)]
2
变式迁移2 (2011·承德模拟) 已知函数f (x ) ＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2) ＋f (x )
探究点三 函数性质的综合应用 例3 (2009·山东) 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ，满足f (x －4) ＝－f (x ) ，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x ) ＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.
变式迁移3 定义在R 上的函数f (x ) 是偶函数，且f (x ) ＝f (2－x ) ．若f (x ) 在区间[1,2]上是减函数，则f (x )(
)
A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数
转化与化归思想的应用
例 (12分) 函数f (x ) 的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2) ＝f (x 1) ＋f (x 2) ．
(1)求f (1)的值；
(2)判断f (x ) 的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1) ＋f (2x －6) ≤3，且f (x ) 在(0，＋∞) 上是增函数，求x 的取值范围． 【答题模板】
解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2) ＝f (x 1) ＋f (x 2) ， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.[2分] (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1) ＋f (－1) ，
1
∴f (－1) f (1)＝0.[4分]
2
令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x ) ＝f (－1) ＋f (x ) ， ∴f (－x ) ＝f (x ) ，∴f (x ) 为偶函数．[6分] (3)依题设有f (4×4) ＝f (4)＋f (4)＝2， f (16×4) ＝f (16)＋f (4)＝3，[7分] ∵f (3x ＋1) ＋f (2x －6) ≤3，
即f ((3x ＋1)(2x －6)) ≤f (64)[8分] ∵f (x ) 为偶函数，
∴f (|(3x ＋1)(2x －6|)≤f (64)．[10分]
又∵f (x ) 在(0，＋∞) 上是增函数，f (x ) 的定义域为D. ∴0
711
解上式，得3
333711
∴x 的取值范围为{x |－x
333
【突破思维障碍】
在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f (g (x )) ≤f (a ) 的形式，但思维障碍在于f (x ) 在(0，＋∞) 上是增函数，g (x ) 是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f ”，若能结合(2)中f (x ) 是偶函数的结论，则有f (g (x )) ＝f (|g (x )|)，又若能注意到f (x ) 的定义域为{x |x ≠0}，这才能有|g (x )|>0，从而得出0
【易错点剖析】
在(3)中，由f (|(3x ＋1)·(2x －6)|)≤f (64)脱掉“f ”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x |x ≠0}，易出现0≤|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，导致结果错误．
1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x ) 为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f (－x ) ＝－f (x ) 或f (－x ) ＝f (x ) 是定义域上的恒等式．
2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需
f (－x )
要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x ) ＝±f (x ) ⇔f (－x )±f (x ) ＝0⇔＝
f (x )
±1(f (x ) ≠0) ．
3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．
1
4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f (x ) ，若有f (x ＋a ) ＝－f (x ) 或f (x ＋a ) ＝或f (x
f (x )
1
＋a ) a 为常数且a ≠0) ，则f (x ) 的一个周期为2
a
f (x )
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·吉林模拟) 已知f (x ) ＝ax ＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值为
( )
11A B.
3311C. D 222．(2010·银川一中高三年级第四次月考) 已知定义域为{x |x ≠0}的函数f (x ) 为偶函数，且f (x )
f (x )
在区间(－∞，0) 上是增函数，若f (－3) ＝0，则
x
A ．(－3,0) ∪(0,3)
B ．(－∞，－3) ∪(0,3)
C ．(－∞，－3) ∪(3，＋∞) D ．(－3,0) ∪(3，＋∞)
1
3．(2011·鞍山月考) 已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2) ＝－，当1≤x ≤2
f (x )
时，f (x ) ＝x －2，则f (6.5)等于 ( )
A ．4.5 B ．－4.5 C ．0.5 D ．－0.5 4．(2010·山东) 设f (x ) 为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x ) ＝2x ＋2x ＋b (b 为常数) ，则f (－1) 等于 ( )
A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3
5．设函数f (x ) 满足：①y ＝f (x ＋1) 是偶函数；②在[1，＋∞) 上为增函数，则f (－1) 与f (2)大小关系是 ( )
A ．f (－1)>f (2) B ．f (－1)
x －1，x >0，⎧⎪
6．(2010·辽宁部分重点中学5月联考) 若函数f (x ) ＝⎨a ， x ＝0，
⎪⎩x ＋b ，x
是奇函数，则a ＋b ＝
________.
7．(2011·咸阳月考) 设函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，若f (x ) 满足f (x ＋3) ＝f (x ) ，且f (1)>1，2m －3f (2)＝，则m 的取值范围是________．
m ＋1
8．已知函数f (x ) 是R 上的偶函数，g (x ) 是R 上的奇函数，且g (x ) ＝f (x －1) ，若f (2)＝2，则f (2 010)的值为________．
三、解答题(共38分) 9．(12分)(2011·汕头模拟) 已知f (x ) 是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x ) 在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，f (x ) ≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x ) 的表达式．
10．(12分) 设函数f (x ) ＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3) (1)证明f (x ) 是偶函数； (2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f (x ) 的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x ) 是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．
a
11．(14分)(2011·舟山调研) 已知函数f (x ) ＝x 2＋(x ≠0，常数a ∈R ) ．
x
(1)讨论函数f (x ) 的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f (x ) 在[2，＋∞) 上为增函数，求实数a 的取值范围．
答案 自主梳理
1．f (－x ) ＝－f (x ) f (－x ) ＝f(x) 2．(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反
3．(1)f(x) 周期 最小正周期 (2)③2a 自我检测
1．B [因为f(x) 为偶函数，所以奇次项系数为0，即m －2＝0，m ＝2.] 2．A [奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．] 3．A [由f(－x) ＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称．]
4．C [f (－2 012)＋f (2 011)＝f (2 012)＋f (2 011)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1) ＝1.] 5．－1
解析 ∵f (－1) ＝0，∴f (1)＝2(a ＋1) ＝0，
x 2-1
∴a ＝－1. 代入检验f(x)＝是奇函数，故a ＝－1.
x
课堂活动区
例1 解题导引 判断函数奇偶性的方法．
(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称) ．
(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y 轴对称，则f(x) 为偶函数．
(3)基本函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．
解 (1)定义域要求
1-x
≥0且x ≠－1， 1+x
∴－1
(2)函数定义域为(－∞，0) ∪(0，＋∞) ．
1+)
2-x -122x 12x 1
+) x (-) ＝－x (＝x x 21-22-12
11＝x (x +) ＝f(x)．
2-12
∵f(－x ) ＝－x (
∴f(x) 是偶函数． (3)函数定义域为R .
∵f (－x ) ＝log 2(－x ＋x ＋1)
1
＝log 2＝－log 2(x ＋x ＋1) x x ＋1
1
＝－f (x ) ，
∴f (x ) 是奇函数．
(4)函数的定义域为(－∞，0) ∪(0，＋∞) ． 当x 0，则
f (－x ) ＝－(－x ) 2－x ＝－(x 2＋x ) ＝－f (x ) ； 当x >0时，－x
f (－x ) ＝(－x ) 2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x ) ＝－f (x ) ．
∴对任意x ∈(－∞，0) ∪(0，＋∞) 都有f (－x ) ＝－f (x ) ． 故f (x ) 为奇函数．
变式迁移1 解 (1)由于f (－1) ＝2，f (1)＝0，f (－1) ≠f (1)，f (－1) ≠－f (1)，从而函数f (x ) 既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f (x ) 的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f (－1) ＝f (1)＝0，f (－1) ＝－f (1)＝0，∴f (x ) 既是奇函数又是偶函数．
⎧4－x 2≥0⎪(3)由⎨得，f (x ) 定义域为[－2,0) ∪(0,2]．
⎪|x ＋3|≠3⎩
∴定义域关于原点对称，
4－x 4－x 又f (x ) ＝f (－x ) ＝－
x x
∴f (－x ) ＝－f (x ) ∴f (x ) 为奇函数．
例2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．
在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反． 解 ∵y ＝f (x ) 为奇函数，且在(0，＋∞) 上为增函数， ∴y ＝f (x ) 在(－∞，0) 上单调递增， 且由f (1)＝0得f (－1) ＝0.
1
若f [x (x －)]
21x (x －>0
21
则即0
21
x (x －)
2
⎧⎨⎩
1171－171
解得
244
⎧x (x －2)
1
若f [x (x －)]
x (x －⎩2
1
1
由x (x －－1，解得x ∈∅.
2
∴原不等式的解集是
1171－171
{x |x
2
变式迁移2 (－2，)
3
解析 易知f (x ) 在R 上为单调递增函数，且f (x ) 为奇函数，故f (mx －2) ＋f (x )
⎧⎪h (－2)
此时，只需⎨即可，解得x ∈(－2．
3⎪h (2)
例3 解题导引 解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，
画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．
－8
解析 因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4) ＝－f (x ) ，所以f (4－x ) ＝f (x ) ．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4) ＝－f (x ) 知f (x －8) ＝f (x ) ，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x ) 在区间[0,2]上是增函数，所以f (x ) 在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x ) ＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1
8.
变式迁移3 B [∵f (x ) ＝f (2－x ) ，∴f (x ＋1) ＝f (1－x ) ． ∴x ＝1为函数f (x ) 的一条对称轴．
又f (x ＋2) ＝f [2－(x ＋2)] ＝f (－x ) ＝f (x ) ，
∴2是函数f (x ) 的一个周期．
根据已知条件画出函数简图的一部分，如右图：
由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．] 课后练习区
1⎧⎧⎪a ＝3⎪a －1＝－2a
1．B [依题意得⎨，∴⎨，
⎪b ＝0⎩⎪⎩b ＝0
1
∴a ＋b .]
3
2．
D
f (x )
[由已知条件，可得函数f (x ) 的图象大致为右图，故
x
1
3．D [由f (x ＋2)
f (x )1
得f (x ＋4) ＝f (x ) ，那么f (x ) 的周期是4，得f (6.5)＝f (2.5)．因为f (x ) 是偶函数，
f (x ＋2)
则f (2.5)＝f (－2.5) ＝f (1.5)．而1≤x ≤2时，f (x ) ＝x －2，
∴f (1.5)＝－0.5. 由上知：f (6.5)＝－0.5.]
4．D [因为奇函数f (x ) 在x ＝0有定义，所以f (0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1. ∴f (x ) ＝2x ＋2x －1，f (1)＝3，
从而f (－1) ＝－f (1)＝－3.]
5．A [由y ＝f (x ＋1) 是偶函数，得到y ＝f (x ) 的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1) ＝f (3)． 又f (x ) 在[1，＋∞) 上为单调增函数， ∴f (3)>f (2)，即f (－1)>f (2)．] 6．1
解析 ∵f (x ) 是奇函数，且x ∈R ，∴f (0)＝0，即a ＝0. 又f (－1) ＝－f (1)，∴b －1＝－(1－1) ＝0，即b ＝1，因此a ＋b ＝1.
2
7．－1
3
解析 ∵f (x ＋3) ＝f (x ) ，∴f (2)＝f (－1＋3) ＝f (－1) ． ∵f (x ) 为奇函数，且f (1)>1，
2m －3
∴f (－1) ＝－f (1)
m ＋1
2
解得：－1
3
8．2
解析 由g (x ) ＝f (x －1) ，得g (－x ) ＝f (－x －1) ， 又g (x ) 为R 上的奇函数，∴g (－x ) ＝－g (x ) ， ∴f (－x －1) ＝－f (x －1) ， 即f (x －1) ＝－f (－x －1) ，
用x ＋1替换x ，得f (x ) ＝－f (－x －2) ．
又f (x ) 是R 上的偶函数，∴f (x ) ＝－f (x ＋2) ． ∴f (x ) ＝f (x ＋4) ，即f (x ) 的周期为4. ∴f (2 010)＝f (4×502＋2) ＝f (2)＝2.
9．解 由题意，当3≤x ≤6时，设f (x ) ＝a (x －5) 2＋3， ∵f (6)＝2，∴2＝a (6－5) 2＋3. ∴a ＝－1.
∴f (x ) ＝－(x －5) 2＋3(3≤x ≤6) ．…………………………………………………………(3分) ∴f (3)＝－(3－5) 2＋3＝－1. 又∵f (x ) 为奇函数，∴f (0)＝0.
∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1) 两点．
1
∴f (x ) ＝－x (0≤x ≤3) ．…………………………………………………………………(6分)
3
当－3≤x ≤0时，－x ∈[0,3]，
11
∴f (－x ) －x ) .
33
1
又f (－x ) ＝－f (x ) ，∴f (x ) ＝－.
3
1
∴f (x ) ＝－x (－3≤x ≤3) ．………………………………………………………………(9分)
3
当－6≤x ≤－3时，3≤－x ≤6，
∴f (－x ) ＝－(－x －5) 2＋3＝－(x ＋5) 2＋3. 又f (－x ) ＝－f (x ) ，∴f (x ) ＝(x ＋5) 2－3.
⎧⎪1
∴f (x ) ＝⎨－3x －3
⎪⎩－(x －5)＋3， 3≤x ≤6.
2
(x ＋5)2－3， －6≤x ≤－3，
10．解 (1)f (－x ) ＝(－x ) 2－2|－x |－1
＝x 2－2|x |－1＝f (x ) ，
即f (－x ) ＝f (x ) ．∴f (x ) 是偶函数．………………………………………………………(2分)
(2)当x ≥0时，f (x ) ＝x －2x －1＝(x －1) －2， 当x
2
⎧⎪(x －1)－2， x ≥0，
即f (x ) ＝⎨ 2
⎪(x ＋1)－2， x
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．
……………………………………(6分) (3)由(2)中函数图象可知，函数f (x ) 的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]． f (x ) 在区间[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．……………(8分) (4)当x ≥0时，函数f (x ) ＝(x －1) 2－2的最小值为－2，最大值为f (3)＝2； 当x
故函数f (x ) 的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(12分) 11．解 (1)当a ＝0时，f (x ) ＝x 2对任意x ∈(－∞，0) ∪(0，＋∞) ， 有f (－x ) ＝(－x ) 2＝x 2＝f (x ) ，
∴f (x ) 为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)
a
当a ≠0时，f (x ) ＝x 2＋(x ≠0，常数a ∈R ) ，
x
若x ＝±1时，则f (－1) ＋f (1)＝2≠0； ∴f (－1) ≠－f (1)，又f (－1) ≠f (1)
∴函数f (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分) 综上所述，当a ＝0时，f (x ) 为偶函数；
当a ≠0时，f (x ) 为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分) (2)设2≤x 1
a a 2
f (x 1) －f (x 2) ＝x 2＋－x －1
x 12x 2
x 1－x 2＝[x x (x ＋x ) －a ]，………………………………………………………………(10分)
x 1x 21212
要使f (x ) 在x ∈[2，＋∞) 上为增函数，必须使f (x 1) －f (x 2)
∵x 1－x 24，即a 4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16，
∴a 的取值范围为(－∞，16]．…………………………………………………………(14分)