一、计算或证明下面各题 1、设A n 是如下一点集：
1⎤⎡
... ，，m =0, 1, 2， A 2m +1=⎢0, 2-⎥2m +1⎣⎦1⎤⎡
... ，，m =1, 2， A 2m =⎢0, 1+⎥2m ⎦⎣
试确定{A n }的上极限和下极限。
2、证明：lim = A m 与= A m 。
n →∞
n =1m =n ∞
∞
∞∞
n →∞
n =1m =n
3、证明：单调集列是收敛的，若{A n }增加，则lim A n = A n ；若{A n }减少，
n →∞
n =1
∞
则lim A n = A n 。
n →∞
n =1
∞
⎛n -1⎫
4、设{A n }是一列集合，作A 1=B 1，B n =A n - B ν⎪，n >1。证明：{B n }是一
⎝ν⎭
列互不相交的集，而且 B ν= A ν，1≤n ≤∞。
ν=1
ν=1
∞
∞
5、设F 1、F 2是R 1中两个互不相交的闭集。证明：存在两个互不相交的开集G 1、
G 2, 使G 1⊃F 1、G 2⊃F 2。
6、证明：设S 1、S 2都可测，则S 1 S 2也可则，并且当S i S j =∅时，对于任意
***
集合T 总有m [T (S 1 S 2)]=m (T S 1)+m (T S 2)。
7、证明：设{S i }是一列互不相交的可测集，则 S i 也是可测集，且
i =1
∞
⎛∞⎫∞
m S i ⎪=∑mS i 。 ⎝i =1⎭i =1
8、证明：设E 是任一可测集，则一定存在G δ型集G ，使G ⊃E ，且m (G -E )=0。 9、设S 1, S 2,..., S n ，是一些互不相交的可测集合，E i ⊂S i , i =1, 2, 3,..., n 。求证：
m *(E 1 E 2 ... E n )=m *E 1+m *E 2+... +m *E n 。
10、设A,B ⊂R P 且m *B
m *(A B ) =mA +m *B -m *（A B ）。
11、证明：若E 可测，则对于任意ε>0，恒有开集G 几闭集F ，使F ⊂E ⊂G , 而
m (G -E )
12、证明：设E ⊂R q ，存在两侧两列可测集{A n }，{B n },使得A n ⊂E ⊂B n 且
m (B n -A n )→0(n →∞)，则E 可测。
1]， 13、设E 是[0, 1]中可测集，若m (E )=1，证明：对任意可测集A ⊂[0，
m (E A )=m (A )。
14、证明：设mE 0, 存在子集E δ⊂E , 使{f n (x )}在E δ上一致收敛, 且
m (E \E δ)
15、设{f n (x )}是E 上一列a . e . 有限的可测函数，则对∀δ>0, 存在闭子集F δ⊂E , 使f (x ) 在F δ上一致收敛, 且m (E \F δ)
17、设函数列{f n (x )}(n =1, 2,... )在有界集E 上“基本上”一致收敛于f (x )，证 明：{f n }a . e . 收敛于f 。
18、设函数列{f n }在E 上依测度收敛于f ，且f n (x )≤g n (x )a . e . 与E ，n =1, 2,... 。
试证：f (x )≤g (x )在E 上几乎处处成立。
19、设在E 上f n (x )⇒f (x )，且f n (x )≤f n +1(x )几乎处处成立，n =1, 2,... ，则几乎 处处有f n (x )收敛于f (x )。
20、设在E 上f n (x )⇒f (x )，且f n (x )=g n (x )a . e . 成立，n =1, 2,... ，则有
g n (x )⇒f (x )。
21、设mE
{f }在E 上a . e . 收敛于f 。
n i
23、证明：设mE
24、设f n (x )⇒f (x )，f n (x )⇒g (x )，则f (x )=g (x )在E 上几乎处处成立。 25、设E ⊂R 1, f (x )是E 上a . e . 有限的可测函数。证明：存在定义在R 1上的一列
连续函数{g n }，使得lim g n (x )=f (x )a . e . E 。
n →∞
26、设mE
n
27、设{f n }是E 上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。 28、若E ⊂R n ，对∀ε>0，存在开集G , 使得E ⊂G 且满足 m *(G -E )
二、用集合表示下面的结论：
{x :f n (x )有界}： {x :f n (x )有界}：
{x :lim f (x )=0}：
{x :lim f (x )≠0或不存在}：
n →∞
n
n →∞
n
三、写出下列定义或定理： 上极限： 下极限：
P 0的δ领域： 紧集： 自密集： 完备集：
L 外侧度：
外侧度的三条基本性质:
E 的L 测度：
σ代数：
由∑生成的σ代数：
G δ型集： F δ型集：
可测函数： 简单函数：
可测函数与简单函数的关系：
叶果洛夫定理：
鲁津定理：
函数列{f n }依测度收敛于f ：
非负简单函数的勒贝格积分：
非负可测函数的勒贝格积分：
列维定理：
逐项积分定理：
法图引理：
一般可测函数勒贝格积分：
积分绝对连续性：
积分的可数可加性：
勒贝格控住收敛定理：
一、计算或证明下面各题 1、设A n 是如下一点集：
1⎤⎡
... ，，m =0, 1, 2， A 2m +1=⎢0, 2-⎥2m +1⎣⎦1⎤⎡
... ，，m =1, 2， A 2m =⎢0, 1+⎥2m ⎦⎣
试确定{A n }的上极限和下极限。
2、证明：lim = A m 与= A m 。
n →∞
n =1m =n ∞
∞
∞∞
n →∞
n =1m =n
3、证明：单调集列是收敛的，若{A n }增加，则lim A n = A n ；若{A n }减少，
n →∞
n =1
∞
则lim A n = A n 。
n →∞
n =1
∞
⎛n -1⎫
4、设{A n }是一列集合，作A 1=B 1，B n =A n - B ν⎪，n >1。证明：{B n }是一
⎝ν⎭
列互不相交的集，而且 B ν= A ν，1≤n ≤∞。
ν=1
ν=1
∞
∞
5、设F 1、F 2是R 1中两个互不相交的闭集。证明：存在两个互不相交的开集G 1、
G 2, 使G 1⊃F 1、G 2⊃F 2。
6、证明：设S 1、S 2都可测，则S 1 S 2也可则，并且当S i S j =∅时，对于任意
***
集合T 总有m [T (S 1 S 2)]=m (T S 1)+m (T S 2)。
7、证明：设{S i }是一列互不相交的可测集，则 S i 也是可测集，且
i =1
∞
⎛∞⎫∞
m S i ⎪=∑mS i 。 ⎝i =1⎭i =1
8、证明：设E 是任一可测集，则一定存在G δ型集G ，使G ⊃E ，且m (G -E )=0。 9、设S 1, S 2,..., S n ，是一些互不相交的可测集合，E i ⊂S i , i =1, 2, 3,..., n 。求证：
m *(E 1 E 2 ... E n )=m *E 1+m *E 2+... +m *E n 。
10、设A,B ⊂R P 且m *B
m *(A B ) =mA +m *B -m *（A B ）。
11、证明：若E 可测，则对于任意ε>0，恒有开集G 几闭集F ，使F ⊂E ⊂G , 而
m (G -E )
12、证明：设E ⊂R q ，存在两侧两列可测集{A n }，{B n },使得A n ⊂E ⊂B n 且
m (B n -A n )→0(n →∞)，则E 可测。
1]， 13、设E 是[0, 1]中可测集，若m (E )=1，证明：对任意可测集A ⊂[0，
m (E A )=m (A )。
14、证明：设mE 0, 存在子集E δ⊂E , 使{f n (x )}在E δ上一致收敛, 且
m (E \E δ)
15、设{f n (x )}是E 上一列a . e . 有限的可测函数，则对∀δ>0, 存在闭子集F δ⊂E , 使f (x ) 在F δ上一致收敛, 且m (E \F δ)
17、设函数列{f n (x )}(n =1, 2,... )在有界集E 上“基本上”一致收敛于f (x )，证 明：{f n }a . e . 收敛于f 。
18、设函数列{f n }在E 上依测度收敛于f ，且f n (x )≤g n (x )a . e . 与E ，n =1, 2,... 。
试证：f (x )≤g (x )在E 上几乎处处成立。
19、设在E 上f n (x )⇒f (x )，且f n (x )≤f n +1(x )几乎处处成立，n =1, 2,... ，则几乎 处处有f n (x )收敛于f (x )。
20、设在E 上f n (x )⇒f (x )，且f n (x )=g n (x )a . e . 成立，n =1, 2,... ，则有
g n (x )⇒f (x )。
21、设mE
{f }在E 上a . e . 收敛于f 。
n i
23、证明：设mE
24、设f n (x )⇒f (x )，f n (x )⇒g (x )，则f (x )=g (x )在E 上几乎处处成立。 25、设E ⊂R 1, f (x )是E 上a . e . 有限的可测函数。证明：存在定义在R 1上的一列
连续函数{g n }，使得lim g n (x )=f (x )a . e . E 。
n →∞
26、设mE
n
27、设{f n }是E 上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。 28、若E ⊂R n ，对∀ε>0，存在开集G , 使得E ⊂G 且满足 m *(G -E )
二、用集合表示下面的结论：
{x :f n (x )有界}： {x :f n (x )有界}：
{x :lim f (x )=0}：
{x :lim f (x )≠0或不存在}：
n →∞
n
n →∞
n
三、写出下列定义或定理： 上极限： 下极限：
P 0的δ领域： 紧集： 自密集： 完备集：
L 外侧度：
外侧度的三条基本性质:
E 的L 测度：
σ代数：
由∑生成的σ代数：
G δ型集： F δ型集：
可测函数： 简单函数：
可测函数与简单函数的关系：
叶果洛夫定理：
鲁津定理：
函数列{f n }依测度收敛于f ：
非负简单函数的勒贝格积分：
非负可测函数的勒贝格积分：
列维定理：
逐项积分定理：
法图引理：
一般可测函数勒贝格积分：
积分绝对连续性：
积分的可数可加性：
勒贝格控住收敛定理：