选修2-21.5定积分的概念

第18、19课时 周一、周二2010-3-22、23

课题：1.5 定积分的概念

三维目标：

知识与技能：

⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；

⒉借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分． 3.理解掌握定积分的几何意义和性质；

过程与方法：

通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。

情感态度与价值观：

通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景

问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面积？比如浙江 省的国土面积。

此问题在学生九年级中已有涉及，在九 年级时学生了解过以下求不规则面积的方法：

方法1 将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位面积”。。

方法2 将图形从内外两个方面用规则图形(或规则图形的组合)逼近。 方法3 将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔“点”(如小石子等小颗粒)，当点数P足够大时，统计落入不规则图形中的点 数A，则图形的面积与正方形面积的比约为。

方法4“称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P(正方形区域内细沙重)、A(所求图形内细沙重)，则所求图形的面积与正方形面积的比是重量之比。

二．合作探究

问题一 曲边梯形的面积

如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线yf(x)的一段，我们把由直线xa,xb(ab),y0和曲线yf(x)所围成的图

形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？

探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？ （分割） 提出自己的看法，同伴之间进行交流。

探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。（近似代替）、（求和）

写出面积求和式。老师①巡视，给予指导，即时纠正学生中的运算错误。②及时实物投影 ③比较三种求和式的优劣，规定近似代替的原则。

探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？ （取极限） 写出分割无限多时，相应的数学含义。

探究4：采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？（夹逼定理的意义）

例如：求图中阴影部分是由抛物线yx2，直线x1以及x轴所围成的平面图形的面积S。

思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？

（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边

图形”面积的问题？

分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边

是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”

的思想的应用．

把区间0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积． 解： （1）．分割 在区间0,1上等间隔地插入n1个点，将区间0,1等分成n

0,



112n1，，„，,,1 nn

nn

记第i个区间为

i1i

,(i1,2,,n)，其长度为 nn

ii11x

nnn

n

分别过上述n1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作： S1，S2，„，Sn 显然，S（2）近似代替

记fxx，如图所示，当n很大，即x很小时，在区间

2

2

S

i

i1

i1i

,nn

上，可

以认为函数fxx的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为

它近似

的等于左端点

i1

处的函数值n

i1f，从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似的代替小曲边梯

ni1i

用小矩形的面积Si近似的代替Si，即在局部范围内“以,上，

nn

形的曲边（如图）．这样，在区间直代取”，则有

i1i1i11

SiSifxx(i1,2,,n) ①

nnnn

（3）求和

n

i1i11

由①，上图中阴影部分的面积Sn为SnSifx

nnni1i1i1

n

n

2

22

= = = = 从而得到S的近似值SSn= （4）取极限

分别将区间0,1等分8，16，20，„等份（如图），可以看到，当n趋向于无穷大时，即x趋向于0时，

111

Sn11趋向于S，从而有

3n2n

1111i11

SlimSnlimflim11 nnn3n2n3nni1

从数值上看出这一变化趋势：

n

问题：如果不是在区间的两个端点取，而是在每一个区间中间取任意一点作为高，会有怎样的结果？

★求曲边梯形面积的四个步骤

:

第一步：分割．在区间a,b中任意插入n1各分点，将它们等分成n个小区间

xi1,xii1,2,,n，区间xi1,xi的长度xixixi1，

第二步：近似代替。“以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面

积的近似值．

第三步：求和．

第四步：取极限。

（说明：最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值）

问题二 汽车行驶的路程

汽车以速度v组匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为Svt．如果汽车作变速直线运动，在时

刻t的速度为vtt22（单位：km/h），那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S（单位：km）是多少？

分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[0,1]分成n个小区间，在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S（单位：km）的近似值，最后让n趋紧于无穷大就得到S（单位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）． 解：1．分割

在时间区间0,1上等间隔地插入n1个点，将区间0,1等分成n个小区间：

112i1in1

i，，„ 记第个区间为0,,,1,(i1,2,,n)其长度为tnnnnnn

112n1

把汽车在时间段0,，,，„，,1上行驶的路程分别记作：S1，S2，„，Sn

nnnn

显然，S

（2）近似代替

当n很大，即t很小时，在区间

i1i

,上，可以认为函数vtt22的值变化很小，近似的等于nn

2

i1i1i1

一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值v2，从物理意义上看，即nnn

i1i1i

使汽车在时间段处的速度,(i1,2,,n)上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻

nnn

i1i1

v2作匀速直线运动，

nn

即在局部小范围内“以匀速代变速”于是用小矩形的面积Si近似的代替Si，则有

2

i121i1212i1SiSiv(i1,2,,n) ① t2

nnnnnn

（3）求和 由①得，

2ni1i112

SnSivt

i1i1ni1nnn

n

n

= =

= =

从而得到S的近似值SSn（4）取极限

当n趋向于无穷大时，即t趋向于0时，Sn1

n

1311

12趋向于S， n2n

从而有SlimSnlim

n

n

nv



i1

1

1115i1lim11n2 n3n2n3

与由直线t0,t1,v0和曲线

思考 结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S

vt22所围成的曲边梯形的面积有什么关系？

归纳得到 一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为vvt，那么我们也可以采用分割、近似代

替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤t≤b内所作的位移S．

问题三 定积分的概念

从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，

nn

11

Slimfixlimfi Slimvitlimi

x0nt0n

i1i1ni1i1n

n

n

事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限

☆定积分的概念

一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点

ax0x1x2xi1xixnb

将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间xi1,xi上取一点ii1,2,,n，作和式：

fix

i1

i1

nn

ba

fi n

当n）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。记为：



b

a

f(x)dx 即f(x)dx=lim

a

b

n

n

i1

ba

fi n

其中函数f(x)叫做 ，x叫做 变量，区间[a,b]为 区间，b积分 ，a积分 。

说明：（1）定积分



b

a

f(x)dx是一个常数

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间a,b；②近似代替：取点ixi1,xi；③求

nbbaba

和： f(i)；④取极限：f(x)dxlimfiannni1i1

n

（3）曲边图形面积：S

fxdx；变速运动路程S

a

b

t2

t1

v(t)dt

☆定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数f(x)连续且恒有

f(x)0。那么定积分f(x)dx表示由直线xa,xb

a

b

（ab），y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积。

☆定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 性质2 性质3

1dxba

a

b



b

b

ab

kf(x)dxkf(x)dx （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）

a

1

b

[f

a(x)f2(x)]dx

c

b

1

a

f(x)dx

b

2

a

x （定积分的线性性质） f( x) d ba c

b

性质4

f(x)dx

a

a

f(x)dx

c

(f)x其中d(x

（定积分对积分区间的可加性）

说明：①推广： ②推广:

[f(x)f(x)f

a

1

2

b

m

(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)

a

a

a

bbb



b

a

f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx

a

c1

ck

c1c2

b

③性质解释：

S曲边梯形AMNBS曲边梯形AMPCS曲边梯形CPNB

三．典例分析

例1.利用定积分定义，证明

1dxba，其中a,b均为常数且a

a

b

例2 用定积分表示阴影部分的面积（不要求计算）

例3．（1）计算定积分



2

1

(x1)dx （2）(x1)dx

2

2

四．巩固提高

1、定积分

cdx （c为常数）的几何意义是a

b

2、由y=sinx, x=0,x=3、定积分



,y=0所围成图形的面积写成定积分的形式是 2



b

a

f(x)dx的大小 （ ）

A、与f(x)和积分区间a,b有关，与i的取法无关 B、与f(x)有关，与区间a,b及i的取法无关 C、与f(x)和i的取法有关，与积分区间a,b无关 D、与f(x)、区间a,b和i的取法都有关 4、下列等式成立的个数是（ ） ①



1

f(t)dtf(x)dx ②sinxdxsinxdxsinxdx

1



202



2



③



a

a

xdx2x ④

a

4xdx2dx

2

2

A、1 B、2 C、3 D、4 5、计算下列定积分 (1)



2

xdx (2)

3

2

2

4xdx (3)(1x)dx(x1)dx

1

2

12

五 思悟小结

知识：定积分概念、几何意义

题型：定义求定积分，几何意义的应用 思想：以直代曲

第18、19课时 周一、周二2010-3-22、23

课题：1.5 定积分的概念

三维目标：

知识与技能：

⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；

⒉借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分． 3.理解掌握定积分的几何意义和性质；

过程与方法：

通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。

情感态度与价值观：

通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景

问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面积？比如浙江 省的国土面积。

此问题在学生九年级中已有涉及，在九 年级时学生了解过以下求不规则面积的方法：

方法1 将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位面积”。。

方法2 将图形从内外两个方面用规则图形(或规则图形的组合)逼近。 方法3 将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔“点”(如小石子等小颗粒)，当点数P足够大时，统计落入不规则图形中的点 数A，则图形的面积与正方形面积的比约为。

方法4“称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P(正方形区域内细沙重)、A(所求图形内细沙重)，则所求图形的面积与正方形面积的比是重量之比。

二．合作探究

问题一 曲边梯形的面积

如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线yf(x)的一段，我们把由直线xa,xb(ab),y0和曲线yf(x)所围成的图

形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？

探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？ （分割） 提出自己的看法，同伴之间进行交流。

探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。（近似代替）、（求和）

写出面积求和式。老师①巡视，给予指导，即时纠正学生中的运算错误。②及时实物投影 ③比较三种求和式的优劣，规定近似代替的原则。

探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？ （取极限） 写出分割无限多时，相应的数学含义。

探究4：采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？（夹逼定理的意义）

例如：求图中阴影部分是由抛物线yx2，直线x1以及x轴所围成的平面图形的面积S。

思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？

（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边

图形”面积的问题？

分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边

是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”

的思想的应用．

把区间0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积． 解： （1）．分割 在区间0,1上等间隔地插入n1个点，将区间0,1等分成n

0,



112n1，，„，,,1 nn

nn

记第i个区间为

i1i

,(i1,2,,n)，其长度为 nn

ii11x

nnn

n

分别过上述n1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作： S1，S2，„，Sn 显然，S（2）近似代替

记fxx，如图所示，当n很大，即x很小时，在区间

2

2

S

i

i1

i1i

,nn

上，可

以认为函数fxx的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为

它近似

的等于左端点

i1

处的函数值n

i1f，从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似的代替小曲边梯

ni1i

用小矩形的面积Si近似的代替Si，即在局部范围内“以,上，

nn

形的曲边（如图）．这样，在区间直代取”，则有

i1i1i11

SiSifxx(i1,2,,n) ①

nnnn

（3）求和

n

i1i11

由①，上图中阴影部分的面积Sn为SnSifx

nnni1i1i1

n

n

2

22

= = = = 从而得到S的近似值SSn= （4）取极限

分别将区间0,1等分8，16，20，„等份（如图），可以看到，当n趋向于无穷大时，即x趋向于0时，

111

Sn11趋向于S，从而有

3n2n

1111i11

SlimSnlimflim11 nnn3n2n3nni1

从数值上看出这一变化趋势：

n

问题：如果不是在区间的两个端点取，而是在每一个区间中间取任意一点作为高，会有怎样的结果？

★求曲边梯形面积的四个步骤

:

第一步：分割．在区间a,b中任意插入n1各分点，将它们等分成n个小区间

xi1,xii1,2,,n，区间xi1,xi的长度xixixi1，

第二步：近似代替。“以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面

积的近似值．

第三步：求和．

第四步：取极限。

（说明：最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值）

问题二 汽车行驶的路程

汽车以速度v组匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为Svt．如果汽车作变速直线运动，在时

刻t的速度为vtt22（单位：km/h），那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S（单位：km）是多少？

分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[0,1]分成n个小区间，在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S（单位：km）的近似值，最后让n趋紧于无穷大就得到S（单位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）． 解：1．分割

在时间区间0,1上等间隔地插入n1个点，将区间0,1等分成n个小区间：

112i1in1

i，，„ 记第个区间为0,,,1,(i1,2,,n)其长度为tnnnnnn

112n1

把汽车在时间段0,，,，„，,1上行驶的路程分别记作：S1，S2，„，Sn

nnnn

显然，S

（2）近似代替

当n很大，即t很小时，在区间

i1i

,上，可以认为函数vtt22的值变化很小，近似的等于nn

2

i1i1i1

一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值v2，从物理意义上看，即nnn

i1i1i

使汽车在时间段处的速度,(i1,2,,n)上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻

nnn

i1i1

v2作匀速直线运动，

nn

即在局部小范围内“以匀速代变速”于是用小矩形的面积Si近似的代替Si，则有

2

i121i1212i1SiSiv(i1,2,,n) ① t2

nnnnnn

（3）求和 由①得，

2ni1i112

SnSivt

i1i1ni1nnn

n

n

= =

= =

从而得到S的近似值SSn（4）取极限

当n趋向于无穷大时，即t趋向于0时，Sn1

n

1311

12趋向于S， n2n

从而有SlimSnlim

n

n

nv



i1

1

1115i1lim11n2 n3n2n3

与由直线t0,t1,v0和曲线

思考 结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S

vt22所围成的曲边梯形的面积有什么关系？

归纳得到 一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为vvt，那么我们也可以采用分割、近似代

替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤t≤b内所作的位移S．

问题三 定积分的概念

从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，

nn

11

Slimfixlimfi Slimvitlimi

x0nt0n

i1i1ni1i1n

n

n

事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限

☆定积分的概念

一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点

ax0x1x2xi1xixnb

将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间xi1,xi上取一点ii1,2,,n，作和式：

fix

i1

i1

nn

ba

fi n

当n）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。记为：



b

a

f(x)dx 即f(x)dx=lim

a

b

n

n

i1

ba

fi n

其中函数f(x)叫做 ，x叫做 变量，区间[a,b]为 区间，b积分 ，a积分 。

说明：（1）定积分



b

a

f(x)dx是一个常数

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间a,b；②近似代替：取点ixi1,xi；③求

nbbaba

和： f(i)；④取极限：f(x)dxlimfiannni1i1

n

（3）曲边图形面积：S

fxdx；变速运动路程S

a

b

t2

t1

v(t)dt

☆定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数f(x)连续且恒有

f(x)0。那么定积分f(x)dx表示由直线xa,xb

a

b

（ab），y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积。

☆定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 性质2 性质3

1dxba

a

b



b

b

ab

kf(x)dxkf(x)dx （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）

a

1

b

[f

a(x)f2(x)]dx

c

b

1

a

f(x)dx

b

2

a

x （定积分的线性性质） f( x) d ba c

b

性质4

f(x)dx

a

a

f(x)dx

c

(f)x其中d(x

（定积分对积分区间的可加性）

说明：①推广： ②推广:

[f(x)f(x)f

a

1

2

b

m

(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)

a

a

a

bbb



b

a

f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx

a

c1

ck

c1c2

b

③性质解释：

S曲边梯形AMNBS曲边梯形AMPCS曲边梯形CPNB

三．典例分析

例1.利用定积分定义，证明

1dxba，其中a,b均为常数且a

a

b

例2 用定积分表示阴影部分的面积（不要求计算）

例3．（1）计算定积分



2

1

(x1)dx （2）(x1)dx

2

2

四．巩固提高

1、定积分

cdx （c为常数）的几何意义是a

b

2、由y=sinx, x=0,x=3、定积分



,y=0所围成图形的面积写成定积分的形式是 2



b

a

f(x)dx的大小 （ ）

A、与f(x)和积分区间a,b有关，与i的取法无关 B、与f(x)有关，与区间a,b及i的取法无关 C、与f(x)和i的取法有关，与积分区间a,b无关 D、与f(x)、区间a,b和i的取法都有关 4、下列等式成立的个数是（ ） ①



1

f(t)dtf(x)dx ②sinxdxsinxdxsinxdx

1



202



2



③



a

a

xdx2x ④

a

4xdx2dx

2

2

A、1 B、2 C、3 D、4 5、计算下列定积分 (1)



2

xdx (2)

3

2

2

4xdx (3)(1x)dx(x1)dx

1

2

12

五 思悟小结

知识：定积分概念、几何意义

题型：定义求定积分，几何意义的应用 思想：以直代曲