中学数学教学参考 2003年第3期
竞赛园地
21
平移变换及其应用
湖北省武汉市第三初级中学 桂文通
(本讲适合初中)
前苏联数学家亚格龙将几何学定义为:几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科. 我们把几何图形的运动叫做“几何变换”, 常见的几何变换有平移、对称与旋转, 它们都是“保距变换”, 即一个几何图形运动到一个新的位置时, 这个图形上任意两点的距离保持不变. 本文就平移变换在解竞赛题中的应用加以介绍.
说明, 以上两例都是通过平移将分散的条件进行集中.
2 综合运用
例3 如图3, 设P 、Q 为线段
B C 上的两定点, 且B P =CQ , A
为B C 外一动点, 当A 运动∠BA =∠CA Q 时, :等的两角所对的线段相等, 可平移QC , 使QC 成为B P , 则A 1P =A C 、∠CA Q =∠PA 1B =∠BA P.
∴B 、P 、A 、A 1四点共圆, 易证AB =A 1P =A C , ∴△AB C 是等腰三角形.
说明:通过平移三角形, 使相等角的对边为同一线段, 从而利用四点共圆推出边与边的关系.
例4 如图4, A 、B 两村之间有两条平行的河(一条河宽为a , 河岸分别为l 1、l 2, 另一河宽为b , 河岸分别为l 3、
l 4) , 从A 到B 要修两条垂直
1 基础知识
平移变换是使图形F 1一距离得到图形F 2. 质:
(1) (2) .
例1 图1, 六边形
AB CD EF 中, AB ∥D E 、B C ∥EF 、CD ∥A F , 对边之差EF -B C =AB -D E =CD -A F >0, 求
证:该六边形各内角都相等.
导析:由已知条件中的对边
互相平行、各对边之差相等的条件, 可以利用平移变换, 将各对边之差的线段表示出来.
将AB 沿B C 平移到PC , 有PC ∥D E , 再将CD 沿
D E 平移到ER , 且R 在PC 上, 过A 、P 作线段A Q 交ER 于Q , 易证△PQ R 是等边三角形, 再由平行四边形
于河岸的桥, 要使路程最近, 请你设计修桥地点, 并说明理由.
(1986年宿州市初中数学竞赛
题)
导析:若桥分别为M 1M 、N 1N , 则从A 到B 走的路线是A M 1M N N 1B , 而M 1M =a 、N 1N =b. 要使路
程最近, 只需A M 1+M N +N 1B 最短, 此时三线段应在同一平行方向上, 不妨设想先“过桥”, 即平移M 1M 于A A 1、平移N 1N 于B 1B , 从A 1到B 1是余下的路程, 连A 1B 1的线段是最短的. 此时线段A 1B 1与河岸l 2、l 3的交点M 、
N 就是修桥的位置.
说明:要善于将实际问题数学化, 注意“最短路程”的内在含义.
例5 已知平面上n 条直线两两相交, 求证:它们
的交角中至少有一个角不大于.
n
的性质推出六边形各内角都等于120°.
例2 如图2, 在矩形AB CD 内有任一点M , 证明:存在一个四边形, 使其边长分别等于M 到A 、
B 、C 、D 的距离, 对角线互相垂
直, 且长度分别等于AB 、B C 的长.
导析:要使与M 点的有关的
四条线段MA 、MB 、M C 、MD 集中成为一个四边形的边, 平移△AB M , 使AB 与DC 重合, 连结M M 1, 可证四边形DM CM 1是所求的四边形.
22
竞赛园地
中学数学教学参考
2003年第3期
60°, E 、M 、F 、N 分别为AB 、B C 、CD 、DA 的中点, 已) . 知B C =7, M N =3, 则EF 的值为(
(1997年全国初中数学联赛试题)
(1994年天津市初中数学竞赛题)
导析:平面上n 条直线两两相交最多有角4[(n
-1) +(n -2) +…+2+1]=2n (n -1) 个. 在平面上
任意取一点O , 将n 条直线平移, 使它们都过O 点, 成为交于O 点的n 条直线, 于是这n 条直线将以O
为顶点的周角分为2n 个. 不妨设这2n 个角为α1, α2, …, α2n , 由平行线性质得, 这2n 个角中的每一个都与
2n (n -1) 个交角中的一个相等. 若这2n 个角中的每
=n
A. 4 B. 4
C. 5 D. 62
2. 如图6, 正方形O PQ R 内接△AB C , 已知
△A OR 、△BO P 、△CRQ 的面积分别为S 1=1、S 2=3、
) . S 3=1, 那么正方形O PQ R 的边长是(
(1991年全国初中数学联赛
一角都大于
n
360°, 产生矛盾.
, 则a 1+a 2+…+a 2n >2n 试题)
A. B. C. 2 D. 3
3. 已知六边形内角都是120°, 19、9, 厘米.
(“)
说明:平移后直接证明难以入手, 我们可以坚持“正难则反”的原则.
例6 如图5, △AB C 的周长为1992cm , 一只小松鼠位于
AB 上(点A 、B 除外) 的P 点,
小松鼠首先由点P 沿平行于
B C 的方向跑到A C 边上的点P 1
. AB CD 的顶点A 作它的两条高E , A F ⊥CD , E 、F 为垂足, 若EF =a 、AB =b ,
后, 立即改变方向, 再沿平行于
AB 的方向奔跑, B 则点A 到△A EF 的垂心的距离为.
5. 在等腰△AB C 的两腰AB 、A C 上分别取点E 、F , 使A E =CF , 已知B C =2, 求证:EF ≥1.
(1990年西安市初中数学竞赛题)
上的点P 2后, 的方向奔跑, 3, 又立即改变方向, 再沿平行于B C , ……, 此后可按上述规律一直跑下去, 问小松鼠能否返回到点P. 如果能再回到点
P , 那么至少要跑多少路程?
(1992年武汉市初中数学竞赛题)
6. 在△AB C 中, BD 、CE 分别平分∠AB C 、
∠A CB , 且BD =CE , 求证:△AB C 是等腰三角形. (斯坦纳—雷米欧司定理)
7. 过△AB C 的重心任作一条直线把这个三角形
导析:若P 是AB 的中点, 易知P 3与P 重合, 此时小松鼠走的路程是△AB C 的三条中位线长度之和,
即.
2
若P 不是AB 的中点, 如图5, PP 1∥B C , P 1、P 2、P 3、P 4、P 5、P 6、P 7……为依次按题设方式产生的点, 则P 1P 2∥AB 、P 2P 3∥CA 、P 3P 4∥B C 、P 4P 5∥AB 、P 5P 6∥A C 、P 6P 7∥B C 、…, 所以△P 3P 2B 可以通过平移△A P 1P 得到, △P 4CP 5可以通过平移△P 3P 2B 得到, △A P 7P 6可以通过平移△P 4CP 5得到. 所以A P =A P 6、A P 1=A P 7, 即P 6与P 重合, P 7与P 1重合. 所以小松鼠最多经过6次转向, 就回到P 点, 总路程为PP 1+P 1P 2+P 2P 3+P 3P 4+P 4P 5+P 5P =B P 2+A P 3+A P 1+CP 2+B P 3+CP 1=(A P 3+B P 3) +(A P 1
+CP 1) +(CP 2+B P 2) =AB +B C +CA =1992cm .
) 的规律找到解题的突说明:从点P i (i =1、2、…
分成两部分, 试证:这两部分面积之差不大于整个三角形面积的
. 9
(1979年安徽省竞赛题)
答案与提示
1. 选A , 过点N 分别作N G ∥AB 、N H ∥CD. 2. 选C , 将△CRQ 沿B C 方向平移, 使RQ 与O P
重合.
3. 填42, 解法同例1. 4. 填
22
b -a , 过点C 作CG ∥A E 交A D 于点
G , 再证ECFH 、A HFG 分别为平行四边形.
5. 作平行四边形AB CD , 过点E 作EG ∥B C 交CD 于点G , 并连结GF.
破口.
6. 将BD 沿B E 的方向平移至EF 的位置, 连结D F 、CF , 再用反证法进行证明.
3 强化训练
1. 在梯形AB CD 中, A D ∥B C , ∠B =30°, ∠C =
7. 见本刊2002年第5期
《三角形重心的性质及其
应用》一文中例3.
中学数学教学参考 2003年第3期
竞赛园地
21
平移变换及其应用
湖北省武汉市第三初级中学 桂文通
(本讲适合初中)
前苏联数学家亚格龙将几何学定义为:几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科. 我们把几何图形的运动叫做“几何变换”, 常见的几何变换有平移、对称与旋转, 它们都是“保距变换”, 即一个几何图形运动到一个新的位置时, 这个图形上任意两点的距离保持不变. 本文就平移变换在解竞赛题中的应用加以介绍.
说明, 以上两例都是通过平移将分散的条件进行集中.
2 综合运用
例3 如图3, 设P 、Q 为线段
B C 上的两定点, 且B P =CQ , A
为B C 外一动点, 当A 运动∠BA =∠CA Q 时, :等的两角所对的线段相等, 可平移QC , 使QC 成为B P , 则A 1P =A C 、∠CA Q =∠PA 1B =∠BA P.
∴B 、P 、A 、A 1四点共圆, 易证AB =A 1P =A C , ∴△AB C 是等腰三角形.
说明:通过平移三角形, 使相等角的对边为同一线段, 从而利用四点共圆推出边与边的关系.
例4 如图4, A 、B 两村之间有两条平行的河(一条河宽为a , 河岸分别为l 1、l 2, 另一河宽为b , 河岸分别为l 3、
l 4) , 从A 到B 要修两条垂直
1 基础知识
平移变换是使图形F 1一距离得到图形F 2. 质:
(1) (2) .
例1 图1, 六边形
AB CD EF 中, AB ∥D E 、B C ∥EF 、CD ∥A F , 对边之差EF -B C =AB -D E =CD -A F >0, 求
证:该六边形各内角都相等.
导析:由已知条件中的对边
互相平行、各对边之差相等的条件, 可以利用平移变换, 将各对边之差的线段表示出来.
将AB 沿B C 平移到PC , 有PC ∥D E , 再将CD 沿
D E 平移到ER , 且R 在PC 上, 过A 、P 作线段A Q 交ER 于Q , 易证△PQ R 是等边三角形, 再由平行四边形
于河岸的桥, 要使路程最近, 请你设计修桥地点, 并说明理由.
(1986年宿州市初中数学竞赛
题)
导析:若桥分别为M 1M 、N 1N , 则从A 到B 走的路线是A M 1M N N 1B , 而M 1M =a 、N 1N =b. 要使路
程最近, 只需A M 1+M N +N 1B 最短, 此时三线段应在同一平行方向上, 不妨设想先“过桥”, 即平移M 1M 于A A 1、平移N 1N 于B 1B , 从A 1到B 1是余下的路程, 连A 1B 1的线段是最短的. 此时线段A 1B 1与河岸l 2、l 3的交点M 、
N 就是修桥的位置.
说明:要善于将实际问题数学化, 注意“最短路程”的内在含义.
例5 已知平面上n 条直线两两相交, 求证:它们
的交角中至少有一个角不大于.
n
的性质推出六边形各内角都等于120°.
例2 如图2, 在矩形AB CD 内有任一点M , 证明:存在一个四边形, 使其边长分别等于M 到A 、
B 、C 、D 的距离, 对角线互相垂
直, 且长度分别等于AB 、B C 的长.
导析:要使与M 点的有关的
四条线段MA 、MB 、M C 、MD 集中成为一个四边形的边, 平移△AB M , 使AB 与DC 重合, 连结M M 1, 可证四边形DM CM 1是所求的四边形.
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竞赛园地
中学数学教学参考
2003年第3期
60°, E 、M 、F 、N 分别为AB 、B C 、CD 、DA 的中点, 已) . 知B C =7, M N =3, 则EF 的值为(
(1997年全国初中数学联赛试题)
(1994年天津市初中数学竞赛题)
导析:平面上n 条直线两两相交最多有角4[(n
-1) +(n -2) +…+2+1]=2n (n -1) 个. 在平面上
任意取一点O , 将n 条直线平移, 使它们都过O 点, 成为交于O 点的n 条直线, 于是这n 条直线将以O
为顶点的周角分为2n 个. 不妨设这2n 个角为α1, α2, …, α2n , 由平行线性质得, 这2n 个角中的每一个都与
2n (n -1) 个交角中的一个相等. 若这2n 个角中的每
=n
A. 4 B. 4
C. 5 D. 62
2. 如图6, 正方形O PQ R 内接△AB C , 已知
△A OR 、△BO P 、△CRQ 的面积分别为S 1=1、S 2=3、
) . S 3=1, 那么正方形O PQ R 的边长是(
(1991年全国初中数学联赛
一角都大于
n
360°, 产生矛盾.
, 则a 1+a 2+…+a 2n >2n 试题)
A. B. C. 2 D. 3
3. 已知六边形内角都是120°, 19、9, 厘米.
(“)
说明:平移后直接证明难以入手, 我们可以坚持“正难则反”的原则.
例6 如图5, △AB C 的周长为1992cm , 一只小松鼠位于
AB 上(点A 、B 除外) 的P 点,
小松鼠首先由点P 沿平行于
B C 的方向跑到A C 边上的点P 1
. AB CD 的顶点A 作它的两条高E , A F ⊥CD , E 、F 为垂足, 若EF =a 、AB =b ,
后, 立即改变方向, 再沿平行于
AB 的方向奔跑, B 则点A 到△A EF 的垂心的距离为.
5. 在等腰△AB C 的两腰AB 、A C 上分别取点E 、F , 使A E =CF , 已知B C =2, 求证:EF ≥1.
(1990年西安市初中数学竞赛题)
上的点P 2后, 的方向奔跑, 3, 又立即改变方向, 再沿平行于B C , ……, 此后可按上述规律一直跑下去, 问小松鼠能否返回到点P. 如果能再回到点
P , 那么至少要跑多少路程?
(1992年武汉市初中数学竞赛题)
6. 在△AB C 中, BD 、CE 分别平分∠AB C 、
∠A CB , 且BD =CE , 求证:△AB C 是等腰三角形. (斯坦纳—雷米欧司定理)
7. 过△AB C 的重心任作一条直线把这个三角形
导析:若P 是AB 的中点, 易知P 3与P 重合, 此时小松鼠走的路程是△AB C 的三条中位线长度之和,
即.
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若P 不是AB 的中点, 如图5, PP 1∥B C , P 1、P 2、P 3、P 4、P 5、P 6、P 7……为依次按题设方式产生的点, 则P 1P 2∥AB 、P 2P 3∥CA 、P 3P 4∥B C 、P 4P 5∥AB 、P 5P 6∥A C 、P 6P 7∥B C 、…, 所以△P 3P 2B 可以通过平移△A P 1P 得到, △P 4CP 5可以通过平移△P 3P 2B 得到, △A P 7P 6可以通过平移△P 4CP 5得到. 所以A P =A P 6、A P 1=A P 7, 即P 6与P 重合, P 7与P 1重合. 所以小松鼠最多经过6次转向, 就回到P 点, 总路程为PP 1+P 1P 2+P 2P 3+P 3P 4+P 4P 5+P 5P =B P 2+A P 3+A P 1+CP 2+B P 3+CP 1=(A P 3+B P 3) +(A P 1
+CP 1) +(CP 2+B P 2) =AB +B C +CA =1992cm .
) 的规律找到解题的突说明:从点P i (i =1、2、…
分成两部分, 试证:这两部分面积之差不大于整个三角形面积的
. 9
(1979年安徽省竞赛题)
答案与提示
1. 选A , 过点N 分别作N G ∥AB 、N H ∥CD. 2. 选C , 将△CRQ 沿B C 方向平移, 使RQ 与O P
重合.
3. 填42, 解法同例1. 4. 填
22
b -a , 过点C 作CG ∥A E 交A D 于点
G , 再证ECFH 、A HFG 分别为平行四边形.
5. 作平行四边形AB CD , 过点E 作EG ∥B C 交CD 于点G , 并连结GF.
破口.
6. 将BD 沿B E 的方向平移至EF 的位置, 连结D F 、CF , 再用反证法进行证明.
3 强化训练
1. 在梯形AB CD 中, A D ∥B C , ∠B =30°, ∠C =
7. 见本刊2002年第5期
《三角形重心的性质及其
应用》一文中例3.