一、思考题
1．什么是有效数字? 如何辨别有效数字的位数?
答：该数值的从其第一个不是零的数字起到最末一位数的全部数字就称为有效数字。
数字左边的0不是有效数字，数字中间和右边的0是有效数字。如3.8600为五位有效数字，0.0038是二位有效数字，1002为四位有效数字。
2．最终报告时，测量不确定度取几位有效数字?
答：在报告测量结果时，不确定度U 或u c (y )都只能是1～2位有效数字。也就是说，报告的测量不确定度最多为2位有效数字。
建议：当第1位有效数字是1或2时，应保留2位有效数字。除此之外，对测量要求不高的情况可以保留1位有效数字。测量要求较高时，一般取2位有效数字。
3．什么是通用的数字修约规则?
答：通用的修约规则为：以保留数字的末位为单位，末位后的数字大于O.5者，末位进一；末位后的数字小于0.5者，末位不变(即舍弃末位后的数字) ；末位后的数字恰为0.5者，使末位为偶数(即当末位为奇数时，末位进一；当末位为偶数时，末位不变) 。我们可以简捷地记成：“四舍六人，逢五取偶”。
报告测量不确定度时按通用规则数字修约举例：
u c =0.568mV ，应写成u c =0.57mV u c =0.6mV ； u c =O.56lmV ，应写成u c =O.56mV ；
U =10.5nm ，应写成U =10nm ； U =10.5001nm ，应写成U =11nm ；
U =11.5×10-3取二位有效数字，应写成U =12×Lo -5； 取一位有效数字，应写成U U =1×10-4；
U =1235687μA ，取一位有效数字，应写成U =1×lO -6μA=1A。
修约注意事项：不可连续修约，例如：要将7.691499修约到四位有效数字，应一次修约为7.691. 若采取7.691499---7.6915---7.692是不对的。
为了保险起见，也可将不确定度的末位后的数字全都进位而不是舍去。
例如：u c =10.27m Ω，报告时取二位有效数字，为保险起见可取u c =1lm Ω 【案例】某计量检定员经测量得到被测量估计值为y =5012.53mV ，U =1.32mV ，在报告时，她取不确定度为一位有效数字U =2mV ，测量结果为y ±U =5013mV ±2mV ；核验员检查结果认为她把不确定度写错了，核验员认为不确定度取一位有效数字应该是U =1mV
【案例分析】依据JJF 1059—1999规定：为了保险起见，可将不确定度的末位后的数字全都进位而不是舍去。该计量检定员采取保险的原则，给出测量不确定度和相应的测量结果是允许的，应该说她的处理是正确的。而核验员采用通用的数据修约规则处理测量不确定度的有效数字也没有错。这种情况下应该尊重该检定员的意见。
4．如何确定最终报告的测量结果最佳估计值的有效位数? 答：报告测量结果的最佳估计值的有效位数的确定：
测量结果(即被测量的最佳估计值) 的末位一般应修约到与其测量不确定度的末位对齐。即同样单位情况下，如果有小数点，则小数点后的位数一样；如果是整数，则末位一致。
例如：①y =6.3250g ，u c =0.25g ，则被测量估计值应写成y =6.32g ；
②y =1039.56mV ，U =10mV ，则被测量估计值应写成y =1040mV ； ③y =1.50005ms ，U =10015ns ；
首先将y 和U 变换成相同的计量单位μs ，然后对不确定度修约：对U =10.015μs 修约，取二位有效数字为U =10μs ，然后对被测量的估计值修约：对
y =1.50005ms=1500.05μs 修约，使其末位与U 的末位相对齐，得最佳估计值y =l500μs 。
则测量结果为y ±U =1500μs ±lO μs 。
【案例】某计量检定员在对检定数据处理中，从计算器上读得的测量结果为
1235687μA ，他觉得这个数据位数显得很多，所以证书上报告时将测量结果简化写成
y =l×10
-6
μA =1A 。
【案例分析】依据JJF 1059一1999规定最终报告的测量结果最佳估计值的末位应与其不确定度的末位对齐，而不确定度的有效位数一般应为一位或二位。计量检定员处理数据时应该计算每个测量结果的扩展不确定度，并根据不确定度的位数确定测量结果最佳估计值的有效位数。案例中的做法是不正确的。例如上例中，如果U =1μA ，则测量结果y =1235687μA ，其末位与扩展不确定度的末位已经一致，不需要修约。不能写成1A 。
5．完整的测量结果应报告哪些内容? 答：(1)完整的测量结果应包含：
①被测量的最佳估计值，通常是多次测量的算术平均值或由函数式计算得到的输出量的估计值；
②测量不确定度，说明该测量结果的分散性或测量结果所在的具有一定概率的统计包含区间。
例如：测量结果表示为：Y ＝y ±U (k =2)。其中Y 是被测量的测量结果，y 是被测
量的最佳估计值，U 是测量结果的扩展不确定度，k 是包含因子，k =2说明测量结果在y ±U 区间内的概率约为95％。
(2)在报告测量结果的测量不确定度时，应对测量不确定度有充分详细的说明，以便人们可以正确利用该测量结果。不确定度的优点是具有可传播性，就是如果第二次测量中使用了第一次测量的测量结果，那么，第一次测量的不确定度可以作为第二次测量的一个不确定度分量。因此给出不确定度时，要求具有充分的信息，以便下一次测量能够评定出其标准不确定分量。
6．如何报告测量结果及其扩展不确定度? 答：一、完整的测量结果应包含两个量值：
（1）被测量的最佳估计值，通常由多次测量的算术平均值给出。 （2）描述该测量结果分散性的值，即测量不确定度。
二、合成标准不确定度的报告形式：
1. 当用合成标准不确定度报告测量结果的不确定度时，应注意报告： （1） 明确说明被测量的定义；
（2） 要给出被测量Y 的估计值y 及其合成标准不确定度u c (y )，必要时还应给出其有效
自由度νeff ；
（3） 必要时可给出相对合成标准不确定度u crel (y )
2. 测量结果及其合成标准不确定度的报告可用以下3种形式之一：
例如，标准砝码的质量为m s ，测量结果为100.021 47g，合成标准不确定度u c (m s )为O.35mg ，则报告形式有：
①m s =100.021 47g；u c (m s )=0.35mg。
②m s =100.021 47(35)g；括号内的数是合成标准不确定度，其末位与前面结果的末位数 对齐。这种形式主要在公布常数或常量时使用。
③m s =100.021 47(O.00035)g；括号内的数是合成标准不确定度，与前面结果有相同计量 单位。
一般，不提倡采用m s =（100.021 47±O.00035)g 的形式表示测量结果及其合成标准不确定度，因为这种形式习惯上表示由扩展不确定度的一个统计包含区间。 三、用扩展不确定度报告测量结果．
1．当用扩展不确定度报告测量结果的不确定度时，应注意报告： （1）明确说明被测量的定义；
（2）要给出被测量Y 的估计值y 及其扩展不确定度U (y )或U P (y )； （3）必要时可给出相对扩展不确定度U rel (y )
（4）对于U 要给出包含因子k 值。必要时说明扩展不确定度的自由度（扩展不确定度的自
由度就是指合成标准不确定度的有效自由度）。对于U P 的P 值，k P 值和有效自由度νeff 。 2．测量结果及其扩展不确定度的报告形式 扩展不确定度的报告有U 或U P 两种。 (1)U =ku c (y )的报告
例如：标准砝码的质量为m s ，测量结果为100.021 47g，合成标准不确定度u c (m s )为O.35mg ，取包含因子k =2, U =ku c (y )2×0.35mg=0.70mg。 U 可用以下两种形式之一报告： ①m s =100.021 47g；U =0.70mg，k =2。 ②m s =(100.021 47±0．000 70)g；k =2。 (2) U P =k P u c (y )的报告
例如：标准砝码的质量为m s ，测量结果为100.021 47g，合成标准不确定度u c (m s )为 O.35mg ，νeff =9，按P =95％，查t 分布值表得志k P =t 95(9)=2.26，
U 95=2. 26×O.35mg=0.79mg。
则U P 可用以下四种形式之一报告：
①m s =100.021 47g；U 95=0. 79mg , νeff =9。
②m s = (100.021 47±0.000 79)g，νeff =9，括号内第二项为U 95的值。
③m s =100.021 47(79)g，νeff =9，括号内为U 95的值，其末位与前面结果末位数对齐。 ④m s =100.021 47(0.000 79)g，νeff =9，括号内为U 95的值，与前面结果有相同的计量单位。
在给出测量结果及扩展不确定U P 时，推荐使用②的形式，并可做详细说明如下：
m s = (100.021 47±0.000 79)g,式中，正负号后的值为扩展不确定度U 95=k 95u c (y )，而
合成标准不确定度u c (m s )=0.35mg，自由度νeff =9，包含因子k P =t 95(9)=2.26，从而具有约为95％概率的包含区间。
【案例】 元素钾、氧、氢的相对原子质量(A τ) 表示为：A τ(K )=39．0983(1)，A τ(O )= 15.9943(3)，A τ(K )=1.00794(7)，这样的表示方法正确吗?
【案例分析】 这种表示方法是可以的，但缺少了必要的说明，因此不完全正确。国际上1993年公布的元素相对原子质量A τ表中，就采用了这种表示方法，并说明“括号中的数是元素相对原子质量的标准不确定度，其数字与相对原子质量的末位一致。”也就是说，
A τ(K )39.0983(1)表明：A τ(K )=39.0983，u =(A τ(K ))=0.000l 。如果没有说明，就可能
会误认为是扩展不确定度，会在使用时造成很大的影响。 (3)相对不确定度的报告形式举例
①m s =100.021 47g；U =0.70×10，k =2。
-6
②m s =100.021 47g；U 95rel =0.79×10, νeff =9
-6
③m s =100.021 47(1±0. 79×10-6)g ；P =95％，νeff =9，括号内第二项为相对扩展不确定度U rel 。
二、选择题(单选)
1．将2.5499修约为二位有效数字的正确写法是（D ）。 A．2.50 B．2.55 C．2.6 D．2.5
2．以下在证书上给出的k =2的扩展不确定度中(B ) 的表示方式是正确的。 A．U =0.00800mg B．U τ=8×10-3 C．U =523.8μm D．0.0000008m
3．相对扩展不确定度的以下表示中(C ) 是不正确的。 A．m s =100.021 47g；U rel =0. 70×10-6，k =2 B．m s =100.021 47(1±0. 79×10-6)g ；p =0.95，νrel =9 C．m s = (100.021 47g±0. 79×10-6) ，k =2 D．m s =100.021 47g；U 95rel =O.70×10-6，k =2 4．U 95表示(D ) 。
A．包含概率大约为95的测量结果的不确定度
B．k =2的测量结果的总不确定度
C．由不确定度分量合成得到的测量结果的不确定度
D．包含概率为规定的p =0.95的测量结果的扩展不确定度 三、选择题(多选)
1．以下数字中（AC ）为三位有效数字。
A ．0.0700 B．5×10-3 C．30.4 D．0.005
2．标准砝码的质量为m s ，测量得到的最佳估计值为100.021 47g，合成标准不确定度
u c (m s )为0.35mg ，取包含因子k =2，以下表示的测量结果中(ABD ) 是正确的
A ．m s =100.021 47g；U =0.70mg ，k =2 B ．m s = (100.021 47±O．00070)g ；k =2 C．m s =100.021 47g；u c (m s )=O.35mg，k =2 D．m s =100.021 47g；u c (m s )=0.35mg
一、思考题
1．什么是有效数字? 如何辨别有效数字的位数?
答：该数值的从其第一个不是零的数字起到最末一位数的全部数字就称为有效数字。
数字左边的0不是有效数字，数字中间和右边的0是有效数字。如3.8600为五位有效数字，0.0038是二位有效数字，1002为四位有效数字。
2．最终报告时，测量不确定度取几位有效数字?
答：在报告测量结果时，不确定度U 或u c (y )都只能是1～2位有效数字。也就是说，报告的测量不确定度最多为2位有效数字。
建议：当第1位有效数字是1或2时，应保留2位有效数字。除此之外，对测量要求不高的情况可以保留1位有效数字。测量要求较高时，一般取2位有效数字。
3．什么是通用的数字修约规则?
答：通用的修约规则为：以保留数字的末位为单位，末位后的数字大于O.5者，末位进一；末位后的数字小于0.5者，末位不变(即舍弃末位后的数字) ；末位后的数字恰为0.5者，使末位为偶数(即当末位为奇数时，末位进一；当末位为偶数时，末位不变) 。我们可以简捷地记成：“四舍六人，逢五取偶”。
报告测量不确定度时按通用规则数字修约举例：
u c =0.568mV ，应写成u c =0.57mV u c =0.6mV ； u c =O.56lmV ，应写成u c =O.56mV ；
U =10.5nm ，应写成U =10nm ； U =10.5001nm ，应写成U =11nm ；
U =11.5×10-3取二位有效数字，应写成U =12×Lo -5； 取一位有效数字，应写成U U =1×10-4；
U =1235687μA ，取一位有效数字，应写成U =1×lO -6μA=1A。
修约注意事项：不可连续修约，例如：要将7.691499修约到四位有效数字，应一次修约为7.691. 若采取7.691499---7.6915---7.692是不对的。
为了保险起见，也可将不确定度的末位后的数字全都进位而不是舍去。
例如：u c =10.27m Ω，报告时取二位有效数字，为保险起见可取u c =1lm Ω 【案例】某计量检定员经测量得到被测量估计值为y =5012.53mV ，U =1.32mV ，在报告时，她取不确定度为一位有效数字U =2mV ，测量结果为y ±U =5013mV ±2mV ；核验员检查结果认为她把不确定度写错了，核验员认为不确定度取一位有效数字应该是U =1mV
【案例分析】依据JJF 1059—1999规定：为了保险起见，可将不确定度的末位后的数字全都进位而不是舍去。该计量检定员采取保险的原则，给出测量不确定度和相应的测量结果是允许的，应该说她的处理是正确的。而核验员采用通用的数据修约规则处理测量不确定度的有效数字也没有错。这种情况下应该尊重该检定员的意见。
4．如何确定最终报告的测量结果最佳估计值的有效位数? 答：报告测量结果的最佳估计值的有效位数的确定：
测量结果(即被测量的最佳估计值) 的末位一般应修约到与其测量不确定度的末位对齐。即同样单位情况下，如果有小数点，则小数点后的位数一样；如果是整数，则末位一致。
例如：①y =6.3250g ，u c =0.25g ，则被测量估计值应写成y =6.32g ；
②y =1039.56mV ，U =10mV ，则被测量估计值应写成y =1040mV ； ③y =1.50005ms ，U =10015ns ；
首先将y 和U 变换成相同的计量单位μs ，然后对不确定度修约：对U =10.015μs 修约，取二位有效数字为U =10μs ，然后对被测量的估计值修约：对
y =1.50005ms=1500.05μs 修约，使其末位与U 的末位相对齐，得最佳估计值y =l500μs 。
则测量结果为y ±U =1500μs ±lO μs 。
【案例】某计量检定员在对检定数据处理中，从计算器上读得的测量结果为
1235687μA ，他觉得这个数据位数显得很多，所以证书上报告时将测量结果简化写成
y =l×10
-6
μA =1A 。
【案例分析】依据JJF 1059一1999规定最终报告的测量结果最佳估计值的末位应与其不确定度的末位对齐，而不确定度的有效位数一般应为一位或二位。计量检定员处理数据时应该计算每个测量结果的扩展不确定度，并根据不确定度的位数确定测量结果最佳估计值的有效位数。案例中的做法是不正确的。例如上例中，如果U =1μA ，则测量结果y =1235687μA ，其末位与扩展不确定度的末位已经一致，不需要修约。不能写成1A 。
5．完整的测量结果应报告哪些内容? 答：(1)完整的测量结果应包含：
①被测量的最佳估计值，通常是多次测量的算术平均值或由函数式计算得到的输出量的估计值；
②测量不确定度，说明该测量结果的分散性或测量结果所在的具有一定概率的统计包含区间。
例如：测量结果表示为：Y ＝y ±U (k =2)。其中Y 是被测量的测量结果，y 是被测
量的最佳估计值，U 是测量结果的扩展不确定度，k 是包含因子，k =2说明测量结果在y ±U 区间内的概率约为95％。
(2)在报告测量结果的测量不确定度时，应对测量不确定度有充分详细的说明，以便人们可以正确利用该测量结果。不确定度的优点是具有可传播性，就是如果第二次测量中使用了第一次测量的测量结果，那么，第一次测量的不确定度可以作为第二次测量的一个不确定度分量。因此给出不确定度时，要求具有充分的信息，以便下一次测量能够评定出其标准不确定分量。
6．如何报告测量结果及其扩展不确定度? 答：一、完整的测量结果应包含两个量值：
（1）被测量的最佳估计值，通常由多次测量的算术平均值给出。 （2）描述该测量结果分散性的值，即测量不确定度。
二、合成标准不确定度的报告形式：
1. 当用合成标准不确定度报告测量结果的不确定度时，应注意报告： （1） 明确说明被测量的定义；
（2） 要给出被测量Y 的估计值y 及其合成标准不确定度u c (y )，必要时还应给出其有效
自由度νeff ；
（3） 必要时可给出相对合成标准不确定度u crel (y )
2. 测量结果及其合成标准不确定度的报告可用以下3种形式之一：
例如，标准砝码的质量为m s ，测量结果为100.021 47g，合成标准不确定度u c (m s )为O.35mg ，则报告形式有：
①m s =100.021 47g；u c (m s )=0.35mg。
②m s =100.021 47(35)g；括号内的数是合成标准不确定度，其末位与前面结果的末位数 对齐。这种形式主要在公布常数或常量时使用。
③m s =100.021 47(O.00035)g；括号内的数是合成标准不确定度，与前面结果有相同计量 单位。
一般，不提倡采用m s =（100.021 47±O.00035)g 的形式表示测量结果及其合成标准不确定度，因为这种形式习惯上表示由扩展不确定度的一个统计包含区间。 三、用扩展不确定度报告测量结果．
1．当用扩展不确定度报告测量结果的不确定度时，应注意报告： （1）明确说明被测量的定义；
（2）要给出被测量Y 的估计值y 及其扩展不确定度U (y )或U P (y )； （3）必要时可给出相对扩展不确定度U rel (y )
（4）对于U 要给出包含因子k 值。必要时说明扩展不确定度的自由度（扩展不确定度的自
由度就是指合成标准不确定度的有效自由度）。对于U P 的P 值，k P 值和有效自由度νeff 。 2．测量结果及其扩展不确定度的报告形式 扩展不确定度的报告有U 或U P 两种。 (1)U =ku c (y )的报告
例如：标准砝码的质量为m s ，测量结果为100.021 47g，合成标准不确定度u c (m s )为O.35mg ，取包含因子k =2, U =ku c (y )2×0.35mg=0.70mg。 U 可用以下两种形式之一报告： ①m s =100.021 47g；U =0.70mg，k =2。 ②m s =(100.021 47±0．000 70)g；k =2。 (2) U P =k P u c (y )的报告
例如：标准砝码的质量为m s ，测量结果为100.021 47g，合成标准不确定度u c (m s )为 O.35mg ，νeff =9，按P =95％，查t 分布值表得志k P =t 95(9)=2.26，
U 95=2. 26×O.35mg=0.79mg。
则U P 可用以下四种形式之一报告：
①m s =100.021 47g；U 95=0. 79mg , νeff =9。
②m s = (100.021 47±0.000 79)g，νeff =9，括号内第二项为U 95的值。
③m s =100.021 47(79)g，νeff =9，括号内为U 95的值，其末位与前面结果末位数对齐。 ④m s =100.021 47(0.000 79)g，νeff =9，括号内为U 95的值，与前面结果有相同的计量单位。
在给出测量结果及扩展不确定U P 时，推荐使用②的形式，并可做详细说明如下：
m s = (100.021 47±0.000 79)g,式中，正负号后的值为扩展不确定度U 95=k 95u c (y )，而
合成标准不确定度u c (m s )=0.35mg，自由度νeff =9，包含因子k P =t 95(9)=2.26，从而具有约为95％概率的包含区间。
【案例】 元素钾、氧、氢的相对原子质量(A τ) 表示为：A τ(K )=39．0983(1)，A τ(O )= 15.9943(3)，A τ(K )=1.00794(7)，这样的表示方法正确吗?
【案例分析】 这种表示方法是可以的，但缺少了必要的说明，因此不完全正确。国际上1993年公布的元素相对原子质量A τ表中，就采用了这种表示方法，并说明“括号中的数是元素相对原子质量的标准不确定度，其数字与相对原子质量的末位一致。”也就是说，
A τ(K )39.0983(1)表明：A τ(K )=39.0983，u =(A τ(K ))=0.000l 。如果没有说明，就可能
会误认为是扩展不确定度，会在使用时造成很大的影响。 (3)相对不确定度的报告形式举例
①m s =100.021 47g；U =0.70×10，k =2。
-6
②m s =100.021 47g；U 95rel =0.79×10, νeff =9
-6
③m s =100.021 47(1±0. 79×10-6)g ；P =95％，νeff =9，括号内第二项为相对扩展不确定度U rel 。
二、选择题(单选)
1．将2.5499修约为二位有效数字的正确写法是（D ）。 A．2.50 B．2.55 C．2.6 D．2.5
2．以下在证书上给出的k =2的扩展不确定度中(B ) 的表示方式是正确的。 A．U =0.00800mg B．U τ=8×10-3 C．U =523.8μm D．0.0000008m
3．相对扩展不确定度的以下表示中(C ) 是不正确的。 A．m s =100.021 47g；U rel =0. 70×10-6，k =2 B．m s =100.021 47(1±0. 79×10-6)g ；p =0.95，νrel =9 C．m s = (100.021 47g±0. 79×10-6) ，k =2 D．m s =100.021 47g；U 95rel =O.70×10-6，k =2 4．U 95表示(D ) 。
A．包含概率大约为95的测量结果的不确定度
B．k =2的测量结果的总不确定度
C．由不确定度分量合成得到的测量结果的不确定度
D．包含概率为规定的p =0.95的测量结果的扩展不确定度 三、选择题(多选)
1．以下数字中（AC ）为三位有效数字。
A ．0.0700 B．5×10-3 C．30.4 D．0.005
2．标准砝码的质量为m s ，测量得到的最佳估计值为100.021 47g，合成标准不确定度
u c (m s )为0.35mg ，取包含因子k =2，以下表示的测量结果中(ABD ) 是正确的
A ．m s =100.021 47g；U =0.70mg ，k =2 B ．m s = (100.021 47±O．00070)g ；k =2 C．m s =100.021 47g；u c (m s )=O.35mg，k =2 D．m s =100.021 47g；u c (m s )=0.35mg