第八章 梁的强度与刚度
第二十四讲 梁的正应力 截面的二次矩 第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一） 第二十六讲 弯曲正应力强度计算（二） 第二十七讲 弯曲切应力简介 第二十八讲 梁的变形概述 提高梁的强度和刚度
第二十四讲 纯弯曲时梁的正应力 常用截面的二次矩
目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。
教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。
教学难点：平行移轴定理及其应用。
教学内容：
第八章 平面弯曲梁的强度与刚度计算
§8-1 纯弯曲时梁的正应力
一、 纯弯曲概念：
１、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。
２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。
二、纯弯曲时梁的正应力：
１、中性层和中性轴的概念：
中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：
以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。
３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：
（１）、任一点正应力的计算公式：
（２）、最大正应力的计算公式：
其中：M---截面上的弯矩； IZ---截面对中性轴(z轴)的惯性矩；
到中性轴的距离。
说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。
所求应力的点 y---
§8-2 常用截面的二次矩 平行移轴定理
一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：
１、矩形截面：
２、圆形截面和圆环形截面：
圆形截面
圆环形截面
其中：
３、型钢：
型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。
二、组合截面的二次矩 平行移轴定理
１、平行移轴定理：
截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴之间的距离平方的乘积。
IZ1=IZ+aA
２、例题：
例1：试求图示T形截面对其形心轴 的惯性矩。
解：1、求T形截面的形心座标yc
2
2、求截面对形心轴z轴的惯性矩
第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一）
目的要求：掌握塑性材料弯曲 正应力强度计算。
教学重点：弯曲正应力强度条件的应用。
教学难点：弯曲正应力强度条件的理解。
教学内容：
§8-3 弯曲正应力强度计算
一、 弯曲正应力强度条件：
１、 对于塑性材料，一般截面对中性轴上下对称，最大拉、压应力相等，而塑性材料的抗拉、压强度又相等。所以塑性材料的弯曲正应力强度条件为：
（1）、强度校核
（2）、截面设计
（3）、确定许可荷载
２、 弯曲正应力强度计算的步为：
(１)、 画梁的弯矩图，找出最大弯矩（危险截面）。
(２)、 利用弯曲正应力强度条件求解。
二、例题：
例1：简支矩形截面木梁如图所示，L=5m,承受均布载荷q=3.6kN/m，木材顺 纹许用应力［σ］＝10MPa，梁截面的高宽比h/b=2，试选择梁的截面尺寸。
解：画出梁的弯矩图如图，最大弯矩在梁中点。
由
得
矩形截面弯曲截面系数：
h=2b=0.238m
最后取h=240mm,b=120mm
例2：悬臂梁AB如图，型号为No.18号式字钢。已知［σ］＝170MPa，L=1.2m 不计梁的自重，试求自由端集中力F的最大许可值［F］。
解：画出梁的恋矩图如图。
由M图知：Mmax=FL=1.2F
查No.18号工字钢型钢表得
Wz=185cm3
由
得
Mmax≤Wz[σ]
1.2F≤185×10-6×170×106
[F]=26.2×103N=26.2kN
第二十六讲 弯曲正应力强度计算（二）
目的要求：掌握脆性材料的弯曲正应力强度计算。
教学重点：脆性材料的弯曲正应力强度计算。
教学难点：脆性材料的正应力分布规律及弯曲正应力强度条件的建立。
教学内容：
一、 脆性材料梁的弯曲正应力分析
1、脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，例如T字形截面梁（图）。
2、脆性材料的弯曲正应力强度计算中，脆性材料的抗拉强度和抗压强度不等，抗拉能力远小于抗压能力，弯曲正应力强度计算要分别早找出最大拉应力和最大压应力。
３、 由于脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，上下边沿点到中性轴的距离不等，因此最大拉、压应力不一定发生在弯矩绝对值最大处，要全面竟进行分析。
三、 例题：
例1：如图所示的矩形截面外伸梁，b=100mm，h=200mm，P1=10kN， P2=20kN，[σ]=10MPa，试校核此梁的强度。
解：1、作梁的弯矩图如图
（b）
由梁的弯矩图可得：
2、强度校核
σmax>[σ]
即：此梁的强度不够。
例2：T型截面铸铁梁如图，Iz=136×104mm4,y1=30mm,y2=50mm,铁铸的抗拉许用应力[σt]＝30MPa，抗压许用应力[σc]＝160MPa，F=2.5kN,q=2kN/m，试校核梁的强度。
解：（1）求出梁的支座反力为
FA=0.75kN,FB=3.75kN
（2）作梁的弯矩图如图（b）
（3）分别校核B、C截面
B截面
可见最大拉应力发生在C截 的
下边缘。以上校核知：梁 的正
应力强度满足。
C截面
可见最大拉应力发生在C截 的下边缘。以上校核知：梁 的正应力强度满足。
第二十七讲 弯曲切应力简介
目的要求：掌握弯曲切应力的强度计算。
教学重点：最大弯曲切应力的计算。
教学难点：弯曲切应力公式的理解。
教学内容：
§8-4 弯曲切应力简介
一、 弯曲切应力：
１、 梁横截面上的剪力由
弯曲切应力组成。
２、 梁横截面上的弯曲切
应力成二次抛物线规律分布，中
性
轴处最大，上下边沿点为零。
（如图）
三、 最大弯曲切应力的计算：
１、 矩形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的1、5倍
２、 圆形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的三分之四
３、 工字钢：最大弯曲切应力有两种算法 （１）、 公式：
（２）、 认为最大弯曲切应力近似等于腹板的平均切应力。
四、 弯曲切应力的强度计算：
１、 强度条件：
τmax ≤[τ]
[τ]---梁所用材料的许用切应力 ２、 例题：
例１：如图所示简支梁，许用正应力[σ]=140MPa，许用切应力
[τ]=80MPa，试选择工字钢型号。
解：
（１）由平衡方程求出支座反力
FA=6kN, FB=54kN
（２）画出剪力图弯矩图
（３）由正应力强度条件选择型号
查型钢表：选用No.12.6号工字钢。
Wz=77.529cm3,h=126mm，δ=8.4mm, b=5mm
（４）切应力校核
故需重选。
重选No.14号工字钢，h=140mm,δ=9.1mm,b=5.5mm。
虽然大于许用应力，但不超过５％，设计规范允许。故可选用No.14工字钢。
第二十八讲 梁的变形概述 提高梁的强度和刚
度的措施
目的要求：掌握叠加法计算梁的变形。
教学重点：叠加法计算梁的变形。
教学难点：提高梁的强度和刚度的措施的理解。
教学内容：
§8-5 梁的变形概述
概念：
１、挠度和转角：梁变形后杆件的轴线由直线变为一条曲线。梁横截面的形心在铅垂方向的位移称为挠度。挠度向上为正，向下为负。梁横截面转动的角度称为转角，转角逆时针转动为正，顺时针转动为负。
２、挠曲线方程：梁各点的挠度若能表达成坐标的函数，其函数表达式称为挠曲线方程。
挠曲线方程 ｗ＝ｆ(ｘ)
挠曲线方程对坐标的一阶导数等于转角方程。
§8-6 用叠加法计算梁的变形
一、 叠加原理：在弹性范围内，多个载荷引起的某量值（例如挠度），等于每单个载荷引起的某量值（挠度）的叠加。
二、 用叠加法计算梁的变形：
１、步骤：将梁分为各个简单载荷作用下的几个梁，简单载荷作用下梁的变形（挠度和转角）可查表得到。然后再叠加。 ２、例题：
例1：用叠加法求(a)图所示梁的最大挠度yc和最大转角θc。 解：图(a)可分解为(b)、（c）两种情况的叠加，分别查表得
三、梁的刚度条件：梁的刚度计算以挠度为主
梁的刚度条件：
ωmax≤[ω]
θmax≤[θ]
1、刚度校核
2、截面设计
3、确定许可荷载
在设计梁时，一般是先按强度条件选择截面或许可荷载，再用刚度条件校核，若不满足，再按刚度条件设计。
§8-7 提高梁的强度和刚度的措施
一、 合理安排梁的支承：
例如剪支梁受均布载荷，若将两端的支座均向内移动0.2L，则最大弯矩只有原来最大弯矩的五分之一。（图）
二、 合理布置载荷：
将集中力变为分布力将减小最大弯矩的值。（图）
三、 选择合理的截面：
１、截面的布置应该尽可能远离中性轴。工字形、槽形和箱形截面都是很好的选择。
２、脆性材料的抗拉能力和抗压能力不等，应选择上下不对称的截面，例如T字形截面。
第八章 梁的强度与刚度
第二十四讲 梁的正应力 截面的二次矩 第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一） 第二十六讲 弯曲正应力强度计算（二） 第二十七讲 弯曲切应力简介 第二十八讲 梁的变形概述 提高梁的强度和刚度
第二十四讲 纯弯曲时梁的正应力 常用截面的二次矩
目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。
教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。
教学难点：平行移轴定理及其应用。
教学内容：
第八章 平面弯曲梁的强度与刚度计算
§8-1 纯弯曲时梁的正应力
一、 纯弯曲概念：
１、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。
２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。
二、纯弯曲时梁的正应力：
１、中性层和中性轴的概念：
中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：
以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。
３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：
（１）、任一点正应力的计算公式：
（２）、最大正应力的计算公式：
其中：M---截面上的弯矩； IZ---截面对中性轴(z轴)的惯性矩；
到中性轴的距离。
说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。
所求应力的点 y---
§8-2 常用截面的二次矩 平行移轴定理
一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：
１、矩形截面：
２、圆形截面和圆环形截面：
圆形截面
圆环形截面
其中：
３、型钢：
型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。
二、组合截面的二次矩 平行移轴定理
１、平行移轴定理：
截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴之间的距离平方的乘积。
IZ1=IZ+aA
２、例题：
例1：试求图示T形截面对其形心轴 的惯性矩。
解：1、求T形截面的形心座标yc
2
2、求截面对形心轴z轴的惯性矩
第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一）
目的要求：掌握塑性材料弯曲 正应力强度计算。
教学重点：弯曲正应力强度条件的应用。
教学难点：弯曲正应力强度条件的理解。
教学内容：
§8-3 弯曲正应力强度计算
一、 弯曲正应力强度条件：
１、 对于塑性材料，一般截面对中性轴上下对称，最大拉、压应力相等，而塑性材料的抗拉、压强度又相等。所以塑性材料的弯曲正应力强度条件为：
（1）、强度校核
（2）、截面设计
（3）、确定许可荷载
２、 弯曲正应力强度计算的步为：
(１)、 画梁的弯矩图，找出最大弯矩（危险截面）。
(２)、 利用弯曲正应力强度条件求解。
二、例题：
例1：简支矩形截面木梁如图所示，L=5m,承受均布载荷q=3.6kN/m，木材顺 纹许用应力［σ］＝10MPa，梁截面的高宽比h/b=2，试选择梁的截面尺寸。
解：画出梁的弯矩图如图，最大弯矩在梁中点。
由
得
矩形截面弯曲截面系数：
h=2b=0.238m
最后取h=240mm,b=120mm
例2：悬臂梁AB如图，型号为No.18号式字钢。已知［σ］＝170MPa，L=1.2m 不计梁的自重，试求自由端集中力F的最大许可值［F］。
解：画出梁的恋矩图如图。
由M图知：Mmax=FL=1.2F
查No.18号工字钢型钢表得
Wz=185cm3
由
得
Mmax≤Wz[σ]
1.2F≤185×10-6×170×106
[F]=26.2×103N=26.2kN
第二十六讲 弯曲正应力强度计算（二）
目的要求：掌握脆性材料的弯曲正应力强度计算。
教学重点：脆性材料的弯曲正应力强度计算。
教学难点：脆性材料的正应力分布规律及弯曲正应力强度条件的建立。
教学内容：
一、 脆性材料梁的弯曲正应力分析
1、脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，例如T字形截面梁（图）。
2、脆性材料的弯曲正应力强度计算中，脆性材料的抗拉强度和抗压强度不等，抗拉能力远小于抗压能力，弯曲正应力强度计算要分别早找出最大拉应力和最大压应力。
３、 由于脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，上下边沿点到中性轴的距离不等，因此最大拉、压应力不一定发生在弯矩绝对值最大处，要全面竟进行分析。
三、 例题：
例1：如图所示的矩形截面外伸梁，b=100mm，h=200mm，P1=10kN， P2=20kN，[σ]=10MPa，试校核此梁的强度。
解：1、作梁的弯矩图如图
（b）
由梁的弯矩图可得：
2、强度校核
σmax>[σ]
即：此梁的强度不够。
例2：T型截面铸铁梁如图，Iz=136×104mm4,y1=30mm,y2=50mm,铁铸的抗拉许用应力[σt]＝30MPa，抗压许用应力[σc]＝160MPa，F=2.5kN,q=2kN/m，试校核梁的强度。
解：（1）求出梁的支座反力为
FA=0.75kN,FB=3.75kN
（2）作梁的弯矩图如图（b）
（3）分别校核B、C截面
B截面
可见最大拉应力发生在C截 的
下边缘。以上校核知：梁 的正
应力强度满足。
C截面
可见最大拉应力发生在C截 的下边缘。以上校核知：梁 的正应力强度满足。
第二十七讲 弯曲切应力简介
目的要求：掌握弯曲切应力的强度计算。
教学重点：最大弯曲切应力的计算。
教学难点：弯曲切应力公式的理解。
教学内容：
§8-4 弯曲切应力简介
一、 弯曲切应力：
１、 梁横截面上的剪力由
弯曲切应力组成。
２、 梁横截面上的弯曲切
应力成二次抛物线规律分布，中
性
轴处最大，上下边沿点为零。
（如图）
三、 最大弯曲切应力的计算：
１、 矩形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的1、5倍
２、 圆形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的三分之四
３、 工字钢：最大弯曲切应力有两种算法 （１）、 公式：
（２）、 认为最大弯曲切应力近似等于腹板的平均切应力。
四、 弯曲切应力的强度计算：
１、 强度条件：
τmax ≤[τ]
[τ]---梁所用材料的许用切应力 ２、 例题：
例１：如图所示简支梁，许用正应力[σ]=140MPa，许用切应力
[τ]=80MPa，试选择工字钢型号。
解：
（１）由平衡方程求出支座反力
FA=6kN, FB=54kN
（２）画出剪力图弯矩图
（３）由正应力强度条件选择型号
查型钢表：选用No.12.6号工字钢。
Wz=77.529cm3,h=126mm，δ=8.4mm, b=5mm
（４）切应力校核
故需重选。
重选No.14号工字钢，h=140mm,δ=9.1mm,b=5.5mm。
虽然大于许用应力，但不超过５％，设计规范允许。故可选用No.14工字钢。
第二十八讲 梁的变形概述 提高梁的强度和刚
度的措施
目的要求：掌握叠加法计算梁的变形。
教学重点：叠加法计算梁的变形。
教学难点：提高梁的强度和刚度的措施的理解。
教学内容：
§8-5 梁的变形概述
概念：
１、挠度和转角：梁变形后杆件的轴线由直线变为一条曲线。梁横截面的形心在铅垂方向的位移称为挠度。挠度向上为正，向下为负。梁横截面转动的角度称为转角，转角逆时针转动为正，顺时针转动为负。
２、挠曲线方程：梁各点的挠度若能表达成坐标的函数，其函数表达式称为挠曲线方程。
挠曲线方程 ｗ＝ｆ(ｘ)
挠曲线方程对坐标的一阶导数等于转角方程。
§8-6 用叠加法计算梁的变形
一、 叠加原理：在弹性范围内，多个载荷引起的某量值（例如挠度），等于每单个载荷引起的某量值（挠度）的叠加。
二、 用叠加法计算梁的变形：
１、步骤：将梁分为各个简单载荷作用下的几个梁，简单载荷作用下梁的变形（挠度和转角）可查表得到。然后再叠加。 ２、例题：
例1：用叠加法求(a)图所示梁的最大挠度yc和最大转角θc。 解：图(a)可分解为(b)、（c）两种情况的叠加，分别查表得
三、梁的刚度条件：梁的刚度计算以挠度为主
梁的刚度条件：
ωmax≤[ω]
θmax≤[θ]
1、刚度校核
2、截面设计
3、确定许可荷载
在设计梁时，一般是先按强度条件选择截面或许可荷载，再用刚度条件校核，若不满足，再按刚度条件设计。
§8-7 提高梁的强度和刚度的措施
一、 合理安排梁的支承：
例如剪支梁受均布载荷，若将两端的支座均向内移动0.2L，则最大弯矩只有原来最大弯矩的五分之一。（图）
二、 合理布置载荷：
将集中力变为分布力将减小最大弯矩的值。（图）
三、 选择合理的截面：
１、截面的布置应该尽可能远离中性轴。工字形、槽形和箱形截面都是很好的选择。
２、脆性材料的抗拉能力和抗压能力不等，应选择上下不对称的截面，例如T字形截面。