1.4课 题：导数在实际生活中的应用
教学目的：
1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法； ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1. 极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0) ，就说f(x0) 是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x0) ，x 0是极大值点
2. 极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0). 就说f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x0) ，x 0是极小值点 3. 极大值与极小值统称为极值
4. 判别f (x 0) 是极大、极小值的方法:
若x 0满足f '(x 0) =0，且在x 0的两侧f (x ) 的导数异号，则x 0是f (x ) 的极值点，，则x 0是f (x ) 的极大值点，f (x 0) 是极值，并且如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左正右负”
如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左负右正”，则x 0是f (x ) 的极小值点，f (x 0) f (x 0) 是极大值；
是极小值
5. 求可导函数f (x ) 的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f ′(x ) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x ) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x ) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x ) 在这个根处无极值
6. 函数的最大值和最小值:在闭区间[a , b ]上连续的函数f (x ) 在[a , b ]上必有最大值与最小值．⑴在开区间(a , b ) 内连续的函数f (x ) 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，是f (x ) 在闭区间[a , b ]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
7. 利用导数求函数的最值步骤:⑴求f (x ) 在(a , b ) 内的极值；⑵将f (x ) 的各极值与f (a ) 、
f (b ) 比较得出函数f (x ) 在[a , b ]上的最值
二、讲解范例：
例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图) ，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
解法一：设箱底边长为
x cm ，则箱高
_60
h =
60-x
cm ，得箱子2
容积
60x 2-x 3
V (x ) =x h = (0
2
2
3x 2
V '(x ) =60x - (0
2
3x 2
令 V '(x ) =60x -＝0，解得 x=0（舍去），x=40，
2
并求得 V(40)=16 000
由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值
答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积
（后面同解法V (x ) =(60-2x ) 2x (0
由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．
3
60x 2-x 32
事实上，可导函数V (x ) =x h =、V (x ) =(60-2x ) x 在各自的定义域中
2
2
都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积
2
S=2πRh+2πR
V
，则 πR 2V 22V 2
S(R)= 2πR + 2πR =+2πR 2
πR R 2V
令 s '(R ) =-2+4πR=0
R
由V=πR h ，得h =
2
解得，
V h=2
π
R
即 h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
S -2πR 2
提示：S =2πRh +2πR ⇒h =
2πR
2
11S -2πR 2
πR 2=(S -2πR 2) R =SR -πR 3 ⇒V (R )=
222πR
V ' (R ) )=0⇒S =6πR 2 ⇒6πR 2=2πRh +2πR 2⇒h =2R ．
例3在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
（1）、如果C(x)＝10x -0. 003x +5x +1000，那么生产多少单位产品时，边际
-6
3
2
C '(x ) 最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
（2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P ＝100－0.01x ，那么怎样定价，可使利润最大？
变式：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q
的函数
关系式为p =25-
1
q ．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 8
分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入R =q ⋅p =q 25-q ⎪=25q -q 2，
⎛⎝1⎫8⎭⎫⎭
18
利润L =R -C = 25q -q 2⎪-(100-4q ) =-q 221q -100(0
⎛⎝
1818
1
L '=-q +21
4
1
令L '=0，即-q +21=0，求得唯一的极值点q =84
4
答：产量为84时，利润L 最大 三、课堂练习：
1. 函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________. 2. 函数f (x )=sin2x －x 在［－
ππ
, ］上的最大值为_____；最小值为_______. 22
3. 将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___.
x 2y 2
4. 使内接椭圆2+2=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____.
a b
5. 在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大 答案：1. －15 2. 四、小结 ：
⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．
⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．
⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单
五、课后作业：
1. 有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？ 解：（1）正方形边长为x , 则V =（8－2x ) ·(5－2x ) x =2(2x 3－13x 2+20x )(0
ππa a
－ 3. 4. 2a
22223
2b 5. R
2
5) 2
5
), V ′=0得x =1 根据实际情况，小盒容积最大是存在的， 2
b
∴当x =1时，容积V 取最大值为18.
2. 一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿
面尺周
l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b . 解：由梯形面积公式，得S =
13 (AD +BC ) h , 其中AD =2DE +BC ，DE =h , BC =b 23
∴AD =
122h +b , ∴S =(h +2b ) h =(h +b ) h ①
2333
h 22=h , AB =CD . ∴l =h ×2+b
cos 30︒3
②
∵CD =
由①得b =
43S S S h , 代入②, ∴l =h +-h =3h + -
3h 3h h 3S S S S
=0,∴h =, 当h 时，l ′>0.
h 233l ′=-
23S
∴h =时，l 取最小值，此时b =S 4
3
1.4课 题：导数在实际生活中的应用
教学目的：
1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法； ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1. 极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0) ，就说f(x0) 是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x0) ，x 0是极大值点
2. 极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0). 就说f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x0) ，x 0是极小值点 3. 极大值与极小值统称为极值
4. 判别f (x 0) 是极大、极小值的方法:
若x 0满足f '(x 0) =0，且在x 0的两侧f (x ) 的导数异号，则x 0是f (x ) 的极值点，，则x 0是f (x ) 的极大值点，f (x 0) 是极值，并且如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左正右负”
如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左负右正”，则x 0是f (x ) 的极小值点，f (x 0) f (x 0) 是极大值；
是极小值
5. 求可导函数f (x ) 的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f ′(x ) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x ) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x ) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x ) 在这个根处无极值
6. 函数的最大值和最小值:在闭区间[a , b ]上连续的函数f (x ) 在[a , b ]上必有最大值与最小值．⑴在开区间(a , b ) 内连续的函数f (x ) 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，是f (x ) 在闭区间[a , b ]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
7. 利用导数求函数的最值步骤:⑴求f (x ) 在(a , b ) 内的极值；⑵将f (x ) 的各极值与f (a ) 、
f (b ) 比较得出函数f (x ) 在[a , b ]上的最值
二、讲解范例：
例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图) ，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
解法一：设箱底边长为
x cm ，则箱高
_60
h =
60-x
cm ，得箱子2
容积
60x 2-x 3
V (x ) =x h = (0
2
2
3x 2
V '(x ) =60x - (0
2
3x 2
令 V '(x ) =60x -＝0，解得 x=0（舍去），x=40，
2
并求得 V(40)=16 000
由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值
答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积
（后面同解法V (x ) =(60-2x ) 2x (0
由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．
3
60x 2-x 32
事实上，可导函数V (x ) =x h =、V (x ) =(60-2x ) x 在各自的定义域中
2
2
都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积
2
S=2πRh+2πR
V
，则 πR 2V 22V 2
S(R)= 2πR + 2πR =+2πR 2
πR R 2V
令 s '(R ) =-2+4πR=0
R
由V=πR h ，得h =
2
解得，
V h=2
π
R
即 h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
S -2πR 2
提示：S =2πRh +2πR ⇒h =
2πR
2
11S -2πR 2
πR 2=(S -2πR 2) R =SR -πR 3 ⇒V (R )=
222πR
V ' (R ) )=0⇒S =6πR 2 ⇒6πR 2=2πRh +2πR 2⇒h =2R ．
例3在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
（1）、如果C(x)＝10x -0. 003x +5x +1000，那么生产多少单位产品时，边际
-6
3
2
C '(x ) 最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
（2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P ＝100－0.01x ，那么怎样定价，可使利润最大？
变式：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q
的函数
关系式为p =25-
1
q ．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 8
分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入R =q ⋅p =q 25-q ⎪=25q -q 2，
⎛⎝1⎫8⎭⎫⎭
18
利润L =R -C = 25q -q 2⎪-(100-4q ) =-q 221q -100(0
⎛⎝
1818
1
L '=-q +21
4
1
令L '=0，即-q +21=0，求得唯一的极值点q =84
4
答：产量为84时，利润L 最大 三、课堂练习：
1. 函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________. 2. 函数f (x )=sin2x －x 在［－
ππ
, ］上的最大值为_____；最小值为_______. 22
3. 将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___.
x 2y 2
4. 使内接椭圆2+2=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____.
a b
5. 在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大 答案：1. －15 2. 四、小结 ：
⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．
⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．
⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单
五、课后作业：
1. 有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？ 解：（1）正方形边长为x , 则V =（8－2x ) ·(5－2x ) x =2(2x 3－13x 2+20x )(0
ππa a
－ 3. 4. 2a
22223
2b 5. R
2
5) 2
5
), V ′=0得x =1 根据实际情况，小盒容积最大是存在的， 2
b
∴当x =1时，容积V 取最大值为18.
2. 一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿
面尺周
l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b . 解：由梯形面积公式，得S =
13 (AD +BC ) h , 其中AD =2DE +BC ，DE =h , BC =b 23
∴AD =
122h +b , ∴S =(h +2b ) h =(h +b ) h ①
2333
h 22=h , AB =CD . ∴l =h ×2+b
cos 30︒3
②
∵CD =
由①得b =
43S S S h , 代入②, ∴l =h +-h =3h + -
3h 3h h 3S S S S
=0,∴h =, 当h 时，l ′>0.
h 233l ′=-
23S
∴h =时，l 取最小值，此时b =S 4
3