3.如何判断一个数列是等差数列

一轮复习 19---------如何判断一个数列是等差数列知识点归纳

判断或证明数列是等差数列的方法有：

(1)定义法：a n +1-a n =常数（n ∈N *）⇔{a n }为等差数列；

【注】①求出的常数即为公差d ;

②n 的范围, n ∈N *, a n +1-a n n ≥2, a n -a n -1 (2)中项公式法：2a n +1=a n +a n +2（n ∈N *）⇔{a n }为等差数列；

（关于n 的“一次函数”） ⇔{a n }为等差数列；(3)通项公式法：a n =pn +q （n ∈N *）

（缺常数项的“二次函数”）⇔{a n }为等(4)前n 项求和法：S n =An 2+Bn （n ∈N *）

差数列；

例1 (1)在数列{a n }中, a 1=1, a n +1=2a n +2, b n =n a n , 证明:数列{b n }是等差数列. 2n -1(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n -S n -1+2S n ⋅S n -1=0(n ≥2)，证明:⎨⎧1⎫⎬为等差数列. S ⎩n ⎭

*例2 已知正项数列{a n }n ∈N , a n >0的前n 项和为S n ,

满足=a n +1, ()

求证: {a n }为等差数列.

例3已知数列{a n }的通项公式是a n =2n -1, 若数列

b {b n }满足4b 1-14b 2-1 4b n -1=(a n +1)n (n ∈N *), 证明: {b n }是等差数列.

练习:

1. 已知数列{a n }是等差数列，则使{b n }为等差数列的数列是( )

（A ）b n =a n （B ）b n =

2. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，b n =

求证：数列{b n }是等差数列.

3. 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =pna n (n ∈N +) ，a 1=a 2. ⑴求常数p 的值；

⑵求证：数列{a n }是等差数列. 12 （C ）b n =-a n （D ）b n =a n a n S n (n ∈N +) . n

4. 已知函数f (x ) =x ，数列{a n }满足a 1=1，a n +1=f (a n ) (n ∈N *) 3x +1求证：数列⎨

⎧1⎫⎬是等差数列 a ⎩n ⎭

5. 已知数列{a n }中，a 1=满足b n =31，数列a n =2-, (n ≥2, n ∈N *), 数列{b n } 5a n -11（n ∈N *）. a n -1

(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的最大项与最小项，并说明理由.

6. 已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λan －1＋λ－2(n ≥2)．当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式

10.

11.

12.

设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于任意的正整数n 都有S n =证明:{a n }是等差数列.

n (a 1+a n ) 2

设{a n }是等差数列，求证：以b n =等差数列。 a 1+a 2+ +a n n ∈N *为通项公式的数列{b n }为n