第39卷 第1期 电力系统保护与控制 Vol.39 No.1 2011年1月1日 Power System Protection and Control Jan.1, 2011
电力系统扰动后稳态频率预测快速算法
赵茜茜，王晓茹
（西南交通大学电气工程学院，四川 成都 610031）
摘要：研究了基于广域量测系统的电力系统频率稳定分析直接法的精度和复杂度，提出了电力系统扰动后稳态频率预测快速算法。利用电力系统仿真软件PSS/E对IEEE50机改进测试系统进行了仿真试验，比较了不同负荷模型方案对系统扰动后稳态频率的影响。通过蒙特卡洛法求解实现了所提出的快速算法，它利用扰动后瞬间的广域量测数据，快速预测出系统扰动后的稳态频率。预测的稳态频率与PSS/E仿真得到稳态频率相比很接近，表明该快速算法求解速度快，精度高。 关键词：电力系统；频率稳定；广域量测系统；直接法；蒙特卡洛法
A fast predictive algorithm for power system post disturbances steady frequency
ZHAO Qian-qian，WANG Xiao-ru
（School of Electrical Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China ）
Abstract ：The accuracy and complexity of power system frequency stability analysis direct methods based on the WAMS (wide area measurement system) are studied，and a fast predictive algorithm for power system post disturbances steady frequency is proposed ．The power system simulation software PSS/E is used to simulate the IEEE’s 50-generator modified test system．The impacts of different load models on power system post disturbances steady frequency are compared．Th e proposed fast algorithm is achieved by using the Monte Carlo method．W AMS data right after disturbances is used to fast predict the steady frequency．System steady frequency by prediction is quite close to the steady frequency by PSS/E simulation．The results prove that the proposed fast algorithm has fast resolving speed and high accuracy．
Key words：power system；frequency stability；wide-area measurement system (WAMS)；direct method；Monte Carlo method 中图分类号： TM71 文献标识码：A 文章编号： 1674-3415(2011)01-0072-06
System ，WAMS ）以同步相量测量技术为基础，为电力系统动态过程实时监测、分析和控制提供信息支持[10-13]。文献[8]在文献[6-7]的基础上，结合了广频率是电力系统运行的一项重要参数，频率稳
定是保证电力系统安全稳定运行的全局性问题。当域量测技术，利用扰动后瞬间的广域量测数据来计系统受到扰动引起功率缺额时，频率就要下降，严算雅可比矩阵，从而预测出系统在扰动后的稳态频重时可能引起频率失稳导致大停电事故。国内外广率，但是该算法中节点注入功率增量表达式是一个泛应用低频减载作为电力系统安全稳定控制的最后近似表达式，不够精确。文献[9]根据直角坐标潮流
[1-3]
一道防线，但是当系统或地区功率短缺严重时，二次型方程及其泰勒展开式，推导了节点注入功率
[4-5]
增量精确表达式，提高了频率稳定预测的精度，从低频减载可能来不及动作从而导致频率崩溃。因
而建立稳态频率预测方程，利用扰动后瞬间系统广此，快速精确地预测系统扰动后的稳态频率，对于
制定紧急控制决策和措施具有十分重要的意义。 域量测数据，计算出系统扰动后的稳态频率，但是
该算法在构建稳态频率预测方程时需要进行大规模电力系统频率稳定分析的直接法不需要进行逐步积
矩阵运算，复杂度较高。 分，它利用雅可比矩阵因子表，近似求取系统加速
本文从理论上对基于广域量测的电力系统频率功率，进而通过代数运算求得系统扰动后的稳态频
率[6-9]。广域测量系统（Wide Area Measurement 稳定分析直接法在精度和复杂度方面进行了对比分析。在此基础上对文献[9]中稳态频率预测方程进行基金项目：国家自然科学基金重大研究计划项目（90610026） 改进，提出一种系统稳态频率预测快速算法。在
0 引言
赵茜茜，等 电力系统扰动后稳态频率预测快速算法 - 73 -
IEEE50机改进测试系统上针对不同的负荷模型进行了仿真试验。进行FORTRAN 编程，通过蒙特卡洛法求解实现了所提出的快速算法，将预测的稳态频率与PSS/E仿真得到稳态频率进行了比较。
数；P aG0+为发电机在扰动后瞬间的加速功率，由广
′、L L ′为N L 、L L 中的元素N L jj 、域量测系统提供；N L
L L jj 减去负荷节点j 上的负荷压变效应后的矩阵。 1.2直角坐标下的直接法
=e +j f ，节点电压以直角坐标表示时，即V i i i
节点注入功率方程为：
n n
⎧
P i =e i ∑(G ij e j −B ij f j ) +f i ∑(G ij f j +B ij e j ) ⎪⎪j =1j =1
（7） ⎨n n
⎪Q i =f i ∑(G ij e j −B ij f j ) −e i ∑(G ij f j +B ij e j ) ⎪j =1j =1⎩
式中：P i 、Q i 为节点i 的有功和无功注入功率；e i 、
1 电力系统频率稳定分析直接法
系统惯性中心频率ωsys 定义为[14]： ωsys =∑(H i ωi )
i =1n
n
∑H
i =1
i
（1）
式中：H i ，ωi 分别为第i 台发电机的惯性时间常数和角频率；n 为系统中的发电机数。 1.1 极坐标下的直接法
=V ∠θ，节节点电压以极坐标表示时，即V i i i
点注入功率方程为：
n
⎧
P i =V i ∑V j (G ij cos θij +B ij sin θij ) ⎪⎪j =1
（2） ⎨n
⎪Q i =V i ∑V j (G ij sin θij −B ij cos θij ) ⎪j =1⎩
式中：P i 、Q i 为节点i 的有功和无功注入功率；V i 、
f i 为节点电压的实部和虚部；G ij 、B ij 为节点导纳矩阵元素的实部和虚部；n 为系统节点数。
对于PV 节点，电压有效值为设定值，则：
V i 2=e i 2+f i 2 （8） 对式（7）和式（8）求增量，根据直角坐标下潮流二次型方程的性质[15-16]，参照修正方程形式表示[9]：
⎡F 1(∆X ) ⎤
⎡∆P ⎤⎡H N ⎤⎢⎥
⎢∆Q ⎥=−⎢J L ⎥⎡∆f ⎤+⎢F 2(∆X ) ⎥ （9）
#⎢2⎥⎣∆e ⎥⎦⎢⎢R S ⎥⎢⎥∆V ⎣⎦⎣⎦
⎣F 2n (∆X ) ⎦
式中：∆P 、∆Q 和∆V 2分别为系统扰动后瞬间到稳态时的有功、无功注入功率增量和电压增量；∆f 、⎡H N ⎤
∆e 为电压虚部和实部增量；⎢J L ⎥与直角坐标潮
⎢R S ⎥⎣⎦
流方程中的雅可比矩阵表达式完全相同，其元素值根据扰动后瞬间的系统广域量测数据结合节点导纳矩阵求出；F i (∆X ) 为关于∆X 的二阶以上的残项。
V j 为节点i 、j 的电压幅值；θij =θi −θj 为节点i 、j 之间的相角差；G ij 、B ij 为节点导纳矩阵元素的
实部和虚部；n 为系统节点数。
对式（2）求增量，参照修正方程形式表示[8]： ⎡∆P ⎤=−⎡H N ⎤⎡∆θ⎤ （3） ⎢⎢⎣∆Q ⎥⎦⎣J L ⎥⎦⎢⎣∆V ⎥⎦
式中：∆P 、∆Q 为系统扰动后瞬间到稳态时的有功和无功注入功率增量；∆θ、∆V 为电压幅值和相⎡H N ⎤与极坐标潮流方程中的雅可比矩阵角增量；⎢⎣J L ⎥⎦
表达式完全相同，其元素值根据扰动后瞬间的系统广域量测数据结合节点导纳矩阵求出。
将扰动产生的发电机节点和负荷节点的功率增量方程代入式（3），考虑负荷的压变及频变效应，得到扰动后系统稳态频率预测方程[8]为：
−K G ⎤⎡∆θ⎤⎡−P aG0+⎤⎡H G N G
⎢H L N L ′−∂P L ∂ω⎥⎢∆V L L ⎥=⎢0⎥ （4） ⎢J L ′−∂Q ∂ω⎥⎢∆⎥⎢0⎥
⎦⎣L ⎣L L ⎦⎣⎦
′jj =N L jj −∂P lj ∂V lj lj ) （5） N L
′jj =L L jj −∂Q lj ∂V lj lj ) （6） L L
式中：下标G 、L 分别表示发电机节点和负荷节点；
∆θ、∆V L L 、∆ω为待求未知量，分别表示系统扰动后瞬间到稳态时的节点电压相位、电压幅值和系统频率的增量；K G 为发电机的频率调节效应系
将扰动产生的发电机节点和负荷节点的功率增量方程代入式（9），考虑负荷的压变及频变效应，得到扰动后系统稳态频率预测方程[9]为： ⎡H G N G −K G ⎤⎢∂P L ⎥⎡F 1(∆X ) ⎤′′H N −⎢L ⎥⎡∆f ⎤⎢F (∆X ) ⎥⎡−P aG0+⎤L
∂ω⎥⎢∆e ⎥−2
⎢=⎢0⎥ ⎢⎥#⎢0⎥⎢∆ω⎥⎢⎢J ′L ′−∂Q L ⎥⎣⎥⎦L ⎦⎢L ⎣F 2n −1(∆X ) ⎦⎣∂ω⎥⎢S 0⎥⎣R ⎦
（10）
′jj =H L jj −∂P lj ∂f lj （11） H L
′jj =N L jj −∂P lj ∂e lj （12） N L
′jj =J L jj −∂Q lj ∂f lj （13） J L
′jj =L L jj −∂Q lj ∂e lj （14） L L
- 74 - 电力系统保护与控制
式中：下标G 、L 分别表示发电机节点和负荷节点；∆f 、∆e 、∆ω为待求未知量，分别表示系统扰动后瞬间到稳态时的节点电压虚部、电压实部和系统频率的增量；K G 为发电机的频率调节效应系数；
P aG0+为发电机在扰动后瞬间的加速功率，由广域量
′、N L ′、J L ′、L L ′为H L 、N L 、J L 、测系统提供；H L
L L 中的元素H L jj 、N L jj 、J L jj 、L L jj 减去负荷节点j 上的负荷压变效应后的矩阵。
1.3 两种算法的精度对比分析
极坐标下的频率稳定分析直接法中，对系统节点功率方程进行泰勒展开求增量，得到增量方程如式（3），增量方程中完全忽略了∆P i 、∆Q i 中二次及其以上的项，以和极坐标潮流计算中的雅可比矩阵形式类似的一阶求导式来构成稳态频率预测方程式（4），不够精确。
直角坐标下的频率稳定分析直接法的稳态频率预测方程式（10）在形式上与直角坐标系统下的潮流方程进行泰勒展开后得到的表达式相同，依据直角坐标下潮流二次型方程的特殊结构特点[16]，对潮流方程进行泰勒展开后，F i (X ) 对X 的二阶偏导数是常数、二阶以上偏导数为零，即F i (∆X ) 中不包含∆X 的高于二阶的项，所以直角坐标下潮流二次型方程的泰勒展开式是一个精确的表达式，没有经过线性化处理，没有任何近似，因此与此形式相同的稳态频率预测方程式（10）也是一个精确表达式，没有任何近似。
1.4 两种算法的复杂度对比分析
假定系统有n 个节点，其中m 个PV 节点，1个平衡节点（节点编号为s ），则PQ 节点数为n -m -1。
极坐标下的稳态频率预测方程式（4）中，设平衡节点为参考节点，参考节点电压的幅值和相角不变，即未知数不包括平衡节点的∆θ和∆V /V ，但增加一个未知数∆ω，因此方程式（4）的未知数和维数都是2n −m −1，这是一个含有2n −m −1个未知数的线性方程组。
直角坐标下的稳态频率预测方程式（10）中，未知数不包括平衡节点的∆f 和∆e ，但增加一个未知数∆ω，F i (∆X ) 是∆X 的二阶部分，式（10）是一个含有2n −1个未知数的非线性方程组。
另外，根据直角坐标系下潮流二次型方程的性[15-16]
，式（10）中F i (∆X ) 的形式与F i (X ) 形式完质
全相同，即：
F i (∆X ) =∆X T J i ∆X （15） 式中：i =2n −1; ∆X =[∆f 1, ∆f 2, …, ∆f s −1, ∆f s +1, …, ∆f n , ∆e 1, ∆e 2, …, ∆e s −1,0, ∆e s +1, …, ∆e n ]T ，∆X T 、∆X 分别
为1×2n 、2n ×1维矩阵；J i 为2n ×2n 常系数实对称稀疏矩阵。
由上述分析可知，构建式（10）要比构建式（4）多做2n −1次(1×2n ) ×(2n ×2n ) ×(2n ×1) 维矩阵连乘，即：
⎧(8n 3−2n ) 次→乘法运算
（16） ⎨32
n n n (8421) 次加法运算−−+→⎩对于一个具有100个节点的系统来说，相当于进行7 999 800次乘法运算、7 959 801次加法运算；在具体编程实现算法的过程中，这样大规模的高维矩阵运算会占用大量计算机内存；而实际的电力系统中又往往包含有成千上万个节点，因此，直角坐标直接法的算法复杂度要高于极坐标直接法。
2 电力系统扰动后稳态频率预测快速算法
2.1 扰动后稳态频率预测快速算法
对于式（10），考虑到∆X T 是∆X 的转置矩阵，其矩阵元素相同；J i 是由节点导纳矩阵元素的实部和虚部构成的稀疏矩阵[15]；凭借稀疏矩阵的特点和节点导纳矩阵中元素对称相同的特性，基于本文1.4节中假定的系统，将式（10）展开，推导出F i (∆X ) 的表达式。
F i (∆X ) 中的有功部分，F i p (∆X ) =∆X T J i P ∆X ，
其中J i P 为有功注入二次型方程中的J i 矩阵；
i P =1,2, " , n ，即共有n 个方程。
当i P =1,2, " , n 且i P ≠s 时，即除平衡节点外的节点的有功部分表达式可以写为： F i P (∆X ) =∆X T J i P ∆X =
∆f i ∆e i
j =1j ≠s 且j ≠i
n j =1j ≠s 且j ≠i
∑
n
(∆e j B ij +∆f j G ij ) +
（17）
(∆e j G ij −∆f j B ij ) +
∑
∆e i 2G ii +∆f i 2G ii
式中：i 为系统中除平衡节点外的所有节点的节点编号，i =1,2, " , n 且i ≠s ；j =1,2, " , n , j ≠s 且j ≠i 。
当i P =s 时，即平衡节点的有功部分表达式可以写为：
F i P =s (∆X ) =0 （18）
F i (∆X ) 中的无功部分，F i Q (∆X ) =∆X T J i Q ∆X ，
其中J i Q 为无功注入二次型方程中的J i 矩阵；i Q =1,2, " , n −m −1，即共有n −m −1个方程。
赵茜茜，等 电力系统扰动后稳态频率预测快速算法 - 75 -
F i Q (∆X ) =∆X T J i Q ∆X =
∆f i ∆e i
j =1j ≠s 且j ≠i
n
在[−b , b ]上反复产生均匀分布的随机取一个b >0，
数(r 1, r 2, ⋅⋅⋅, r n ) 。对于每组随机数(r 1, r 2, ⋅⋅⋅, r n ) 计算
（19）
(x 1+r 1, x 2+r 2, ⋅⋅⋅, x n +r n ) T 的模函数值F 1，直到使
∑
n
(∆e j G ij −∆f j B ij ) −(∆e j B ij +∆f j G ij ) −
∆e B −∆f i 2B ii
式中：i 为系统中j =1,2, " , n , j ≠s 且j ≠i 。
j =1j ≠s 且j ≠i 2i ii
∑
F 1
若连续产生m 组随机数仍不能满足F 1
采用上述蒙特卡洛法求解式（10）时，先以一次增量方程的计算结果作为求解该二次非线性方程
由于一次增量方程的解已经具有一定组的初值X ；
的精确度，在此基础上，权衡设置蒙特卡洛法随机数的生成区间[−b , b ]，从而在最大程度上缩小x i 的
PQ 节点编号；
F i (∆X ) 中的电压部分，F i V (∆X ) =∆X T J i V ∆X ，
其中J i V 为节点电压二次型方程中的J i 矩阵，i V =1,2, " , m ，即共有m 个方程。这是因为取平衡节点为参考节点时，参考节点对应的增量方程只有有功方程而没有电压方程。
F i V (∆X ) =∆X T J i V ∆X =
（20） 22
∆e i +∆f i
式中，i 为系统中PV 节点的编号。
由式（17）~（20）构建直角坐标系下频率稳定
中的F i (∆X ) 部分析直接法稳态频率预测方程式（10）分，不用先建立J i 矩阵，不用经过式（15）的2n −1
次(1×2n ) ×(2n ×2n ) ×(2n ×1) 维矩阵连乘，只需结合广域量测提供的扰动后瞬间的系统参数和系统节点导纳矩阵元素，即可建立整个稳态频率预测方程。 2.2 蒙特卡洛法
本文采用蒙特卡洛法来求解所建立的稳态频率预测方程式（10），式（10）是一个非线性方程组。求解非线性方程组有许多数值方法，最常用的为线性化方法和求函数极小值方法。蒙特卡洛法是一种与一般数值方法有本质区别的计算方法[17]，属于试验数学的一个分支，其研究的问题大致可分为两种类型，一种是问题本身是随机的；另一种是问题本身属于确定性问题，但可以建立它的解与特定随机变量或随机过程的数字特征或分布函数之间的联系，利用随机模拟方法来解决，求解非线性方程组属于第二种类型。蒙特卡洛法具有普适、简洁、高效和精确等优于其他求解非线性方程组的数值方法的特点，它可满足任意设定的精度要求，且不受非线性方程组不同类型的约束。
对于非线性方程组f i (x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x n ) =0，其中i =1,2, ⋅⋅⋅, n 。采用蒙特卡洛法求解非线性方程组一组实根的过程如下[17]。
定义模函数
为F =
取值范围，保障计算的快速性。求解出扰动后瞬间到稳态的频率增量∆ω后，结合广域量测系统提供的扰动后瞬间系统频率ω0+，从而得出系统在扰动后的稳态频率为ω∞=∆ω+ω0+。
3 算例分析
3.1 仿真系统
将本文提出的稳态频率预测快速算法用于IEEE50机改进测试系统，利用PSS/E机电暂态仿真软件进行仿真计算。该系统由文献[18]提供，其中145号母线是平衡母线，恒阻抗负荷所占比例为5.02％，其余均是恒功率负荷。IEEE50机改进测试系统的500 kV主线图如图1所示。
图1 IEEE50机改进测试系统的500 kV主线图 Fig.1 One line diagram of major 500 kV lines in the IEEE’s
50-generator modified test system
；选取初值
X =(x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x n ) T ，并计算模函数值F 0=F ；选
3.2 仿真概述
0 s时线路1-25在母线1端口处发生三相短路故障；为清除故障，在0.15 s时切除该故障线路，由此可能造成系统暂态失稳；选择在0.18 s切除93号发电机。仿真得到系统在不同负荷模型下的系统频率动态曲线如图2所示，扰动后的稳态频率依次是58.323 Hz、58.156 Hz、57.906 Hz和57.875 Hz。
- 76 - 电力系统保护与控制
由表2可以看出，本文提出的稳态频率预测快速算法可以大大减少算法程序整体运算时间，该算法求解快、精度高。
4 结论
直角坐标下的频率稳定分析直接法预测出的稳态频率有较高的精度，但其算法在实际应用时的复杂度也较高。本文基于直角坐标直接法提出了电力系统扰动后稳态频率预测快速算法，进行FORTRAN 编程，通过蒙特卡洛法求解实现了所提出的快速算法。该快速算法不仅能保持原直角坐标直接法的高精度，而且求解速度大大加快。不同负荷模型下的IEEE50机改进测试系统的仿真试验结果也证明了这一点。通过本文提出的电力系统扰动后稳态频率预测快速算法快速准确地预测系统扰动后的稳态频率，在此基础上判定扰动后的系统能否正常运行，然后根据预测结果制定合适的紧急控制策略，以保证电力系统的安全稳定运行，因此该算法对电力系统扰动后的频率安全稳定性分析与紧急控制具有重要的意义。 参考文献
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图2 系统惯性中心频率曲线 Fig.2 System frequency curve of COI
3.3 仿真结果
分别采用极坐标直接法和直角坐标直接法计算系统在不同负荷模型下的扰动后稳态频率，与PSS/E仿真得到的稳态频率比较，结果如表1所示。
表1 切机后仿真与计算的系统稳态频率 Tab.1 System steady frequencies after trip generator by
simulation and calculation
负荷模型 PSS/E仿真结果 100%恒阻抗负荷 100%恒电流负荷 原系统负荷模型 100%恒功率负荷
58.323 Hz 58.156 Hz 57.906 Hz 57.875 Hz
计算结果
极坐标直接法 直角坐标直接法58.484 Hz 58.166 Hz 57.810 Hz 57.640 Hz
58.420 Hz 58.158 Hz 57.842 Hz 57.667 Hz
由表1可以看出，直角坐标直接法的算法精度要高于极坐标直接法，采用直角坐标直接法计算出的稳态频率更接近于实际仿真得到的结果。
应用本文提出的稳态频率预测快速算法构建直角坐标直接法中的稳态频率预测方程组，均采用蒙特卡洛法求解，通过FORTRAN 编程实现算法，算法程序整体运行时间对比如表2所示。计算机配置为Intel Core CPU T2300 1.66 GHz。
表2 算法程序整体运行时间
Tab.2 The whole operation time of the algorithm programs
计算结果
负荷模型
直角坐标直接法
100%恒阻抗负荷 100%恒电流负荷 原系统负荷模型 100%恒功率负荷
本文快速算法
92.500 00 s 91.781 25 s 56.875 00 s 55.921 88 s
算法程序整体运行时间 直角坐标直接法
本文快速算
法 0.437 500 s 0.421 875 s 0.296 875 s 0.281 250 s
58.420 Hz 58.158 Hz 57.842 Hz 57.667 Hz
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赵茜茜（1986-），女，硕士研究生，研究方向为电力系统安全稳定控制；E-mail ：[email protected]
王晓茹（1962-），女，教授，博士生导师，主要从事电力系统保护和安全稳定控制、变电站自动化技术方面的教学与研究工作。
（上接第71页 continued from page 71）
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收稿日期：2010-01-08； 修回日期：2010-04-06 作者简介：
李奎奎（1984-），男，硕士研究生，主要研究方向为电力系统稳定分析与控制；E-mail ：[email protected]
王克文（1964-），男，博士，教授，硕士生导师，主要研究方向为电力系统稳定分析与控制；
邱 磊（1984-），男，硕士研究生，主要研究方向为电力系统稳定分析与控制。
第39卷 第1期 电力系统保护与控制 Vol.39 No.1 2011年1月1日 Power System Protection and Control Jan.1, 2011
电力系统扰动后稳态频率预测快速算法
赵茜茜，王晓茹
（西南交通大学电气工程学院，四川 成都 610031）
摘要：研究了基于广域量测系统的电力系统频率稳定分析直接法的精度和复杂度，提出了电力系统扰动后稳态频率预测快速算法。利用电力系统仿真软件PSS/E对IEEE50机改进测试系统进行了仿真试验，比较了不同负荷模型方案对系统扰动后稳态频率的影响。通过蒙特卡洛法求解实现了所提出的快速算法，它利用扰动后瞬间的广域量测数据，快速预测出系统扰动后的稳态频率。预测的稳态频率与PSS/E仿真得到稳态频率相比很接近，表明该快速算法求解速度快，精度高。 关键词：电力系统；频率稳定；广域量测系统；直接法；蒙特卡洛法
A fast predictive algorithm for power system post disturbances steady frequency
ZHAO Qian-qian，WANG Xiao-ru
（School of Electrical Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China ）
Abstract ：The accuracy and complexity of power system frequency stability analysis direct methods based on the WAMS (wide area measurement system) are studied，and a fast predictive algorithm for power system post disturbances steady frequency is proposed ．The power system simulation software PSS/E is used to simulate the IEEE’s 50-generator modified test system．The impacts of different load models on power system post disturbances steady frequency are compared．Th e proposed fast algorithm is achieved by using the Monte Carlo method．W AMS data right after disturbances is used to fast predict the steady frequency．System steady frequency by prediction is quite close to the steady frequency by PSS/E simulation．The results prove that the proposed fast algorithm has fast resolving speed and high accuracy．
Key words：power system；frequency stability；wide-area measurement system (WAMS)；direct method；Monte Carlo method 中图分类号： TM71 文献标识码：A 文章编号： 1674-3415(2011)01-0072-06
System ，WAMS ）以同步相量测量技术为基础，为电力系统动态过程实时监测、分析和控制提供信息支持[10-13]。文献[8]在文献[6-7]的基础上，结合了广频率是电力系统运行的一项重要参数，频率稳
定是保证电力系统安全稳定运行的全局性问题。当域量测技术，利用扰动后瞬间的广域量测数据来计系统受到扰动引起功率缺额时，频率就要下降，严算雅可比矩阵，从而预测出系统在扰动后的稳态频重时可能引起频率失稳导致大停电事故。国内外广率，但是该算法中节点注入功率增量表达式是一个泛应用低频减载作为电力系统安全稳定控制的最后近似表达式，不够精确。文献[9]根据直角坐标潮流
[1-3]
一道防线，但是当系统或地区功率短缺严重时，二次型方程及其泰勒展开式，推导了节点注入功率
[4-5]
增量精确表达式，提高了频率稳定预测的精度，从低频减载可能来不及动作从而导致频率崩溃。因
而建立稳态频率预测方程，利用扰动后瞬间系统广此，快速精确地预测系统扰动后的稳态频率，对于
制定紧急控制决策和措施具有十分重要的意义。 域量测数据，计算出系统扰动后的稳态频率，但是
该算法在构建稳态频率预测方程时需要进行大规模电力系统频率稳定分析的直接法不需要进行逐步积
矩阵运算，复杂度较高。 分，它利用雅可比矩阵因子表，近似求取系统加速
本文从理论上对基于广域量测的电力系统频率功率，进而通过代数运算求得系统扰动后的稳态频
率[6-9]。广域测量系统（Wide Area Measurement 稳定分析直接法在精度和复杂度方面进行了对比分析。在此基础上对文献[9]中稳态频率预测方程进行基金项目：国家自然科学基金重大研究计划项目（90610026） 改进，提出一种系统稳态频率预测快速算法。在
0 引言
赵茜茜，等 电力系统扰动后稳态频率预测快速算法 - 73 -
IEEE50机改进测试系统上针对不同的负荷模型进行了仿真试验。进行FORTRAN 编程，通过蒙特卡洛法求解实现了所提出的快速算法，将预测的稳态频率与PSS/E仿真得到稳态频率进行了比较。
数；P aG0+为发电机在扰动后瞬间的加速功率，由广
′、L L ′为N L 、L L 中的元素N L jj 、域量测系统提供；N L
L L jj 减去负荷节点j 上的负荷压变效应后的矩阵。 1.2直角坐标下的直接法
=e +j f ，节点电压以直角坐标表示时，即V i i i
节点注入功率方程为：
n n
⎧
P i =e i ∑(G ij e j −B ij f j ) +f i ∑(G ij f j +B ij e j ) ⎪⎪j =1j =1
（7） ⎨n n
⎪Q i =f i ∑(G ij e j −B ij f j ) −e i ∑(G ij f j +B ij e j ) ⎪j =1j =1⎩
式中：P i 、Q i 为节点i 的有功和无功注入功率；e i 、
1 电力系统频率稳定分析直接法
系统惯性中心频率ωsys 定义为[14]： ωsys =∑(H i ωi )
i =1n
n
∑H
i =1
i
（1）
式中：H i ，ωi 分别为第i 台发电机的惯性时间常数和角频率；n 为系统中的发电机数。 1.1 极坐标下的直接法
=V ∠θ，节节点电压以极坐标表示时，即V i i i
点注入功率方程为：
n
⎧
P i =V i ∑V j (G ij cos θij +B ij sin θij ) ⎪⎪j =1
（2） ⎨n
⎪Q i =V i ∑V j (G ij sin θij −B ij cos θij ) ⎪j =1⎩
式中：P i 、Q i 为节点i 的有功和无功注入功率；V i 、
f i 为节点电压的实部和虚部；G ij 、B ij 为节点导纳矩阵元素的实部和虚部；n 为系统节点数。
对于PV 节点，电压有效值为设定值，则：
V i 2=e i 2+f i 2 （8） 对式（7）和式（8）求增量，根据直角坐标下潮流二次型方程的性质[15-16]，参照修正方程形式表示[9]：
⎡F 1(∆X ) ⎤
⎡∆P ⎤⎡H N ⎤⎢⎥
⎢∆Q ⎥=−⎢J L ⎥⎡∆f ⎤+⎢F 2(∆X ) ⎥ （9）
#⎢2⎥⎣∆e ⎥⎦⎢⎢R S ⎥⎢⎥∆V ⎣⎦⎣⎦
⎣F 2n (∆X ) ⎦
式中：∆P 、∆Q 和∆V 2分别为系统扰动后瞬间到稳态时的有功、无功注入功率增量和电压增量；∆f 、⎡H N ⎤
∆e 为电压虚部和实部增量；⎢J L ⎥与直角坐标潮
⎢R S ⎥⎣⎦
流方程中的雅可比矩阵表达式完全相同，其元素值根据扰动后瞬间的系统广域量测数据结合节点导纳矩阵求出；F i (∆X ) 为关于∆X 的二阶以上的残项。
V j 为节点i 、j 的电压幅值；θij =θi −θj 为节点i 、j 之间的相角差；G ij 、B ij 为节点导纳矩阵元素的
实部和虚部；n 为系统节点数。
对式（2）求增量，参照修正方程形式表示[8]： ⎡∆P ⎤=−⎡H N ⎤⎡∆θ⎤ （3） ⎢⎢⎣∆Q ⎥⎦⎣J L ⎥⎦⎢⎣∆V ⎥⎦
式中：∆P 、∆Q 为系统扰动后瞬间到稳态时的有功和无功注入功率增量；∆θ、∆V 为电压幅值和相⎡H N ⎤与极坐标潮流方程中的雅可比矩阵角增量；⎢⎣J L ⎥⎦
表达式完全相同，其元素值根据扰动后瞬间的系统广域量测数据结合节点导纳矩阵求出。
将扰动产生的发电机节点和负荷节点的功率增量方程代入式（3），考虑负荷的压变及频变效应，得到扰动后系统稳态频率预测方程[8]为：
−K G ⎤⎡∆θ⎤⎡−P aG0+⎤⎡H G N G
⎢H L N L ′−∂P L ∂ω⎥⎢∆V L L ⎥=⎢0⎥ （4） ⎢J L ′−∂Q ∂ω⎥⎢∆⎥⎢0⎥
⎦⎣L ⎣L L ⎦⎣⎦
′jj =N L jj −∂P lj ∂V lj lj ) （5） N L
′jj =L L jj −∂Q lj ∂V lj lj ) （6） L L
式中：下标G 、L 分别表示发电机节点和负荷节点；
∆θ、∆V L L 、∆ω为待求未知量，分别表示系统扰动后瞬间到稳态时的节点电压相位、电压幅值和系统频率的增量；K G 为发电机的频率调节效应系
将扰动产生的发电机节点和负荷节点的功率增量方程代入式（9），考虑负荷的压变及频变效应，得到扰动后系统稳态频率预测方程[9]为： ⎡H G N G −K G ⎤⎢∂P L ⎥⎡F 1(∆X ) ⎤′′H N −⎢L ⎥⎡∆f ⎤⎢F (∆X ) ⎥⎡−P aG0+⎤L
∂ω⎥⎢∆e ⎥−2
⎢=⎢0⎥ ⎢⎥#⎢0⎥⎢∆ω⎥⎢⎢J ′L ′−∂Q L ⎥⎣⎥⎦L ⎦⎢L ⎣F 2n −1(∆X ) ⎦⎣∂ω⎥⎢S 0⎥⎣R ⎦
（10）
′jj =H L jj −∂P lj ∂f lj （11） H L
′jj =N L jj −∂P lj ∂e lj （12） N L
′jj =J L jj −∂Q lj ∂f lj （13） J L
′jj =L L jj −∂Q lj ∂e lj （14） L L
- 74 - 电力系统保护与控制
式中：下标G 、L 分别表示发电机节点和负荷节点；∆f 、∆e 、∆ω为待求未知量，分别表示系统扰动后瞬间到稳态时的节点电压虚部、电压实部和系统频率的增量；K G 为发电机的频率调节效应系数；
P aG0+为发电机在扰动后瞬间的加速功率，由广域量
′、N L ′、J L ′、L L ′为H L 、N L 、J L 、测系统提供；H L
L L 中的元素H L jj 、N L jj 、J L jj 、L L jj 减去负荷节点j 上的负荷压变效应后的矩阵。
1.3 两种算法的精度对比分析
极坐标下的频率稳定分析直接法中，对系统节点功率方程进行泰勒展开求增量，得到增量方程如式（3），增量方程中完全忽略了∆P i 、∆Q i 中二次及其以上的项，以和极坐标潮流计算中的雅可比矩阵形式类似的一阶求导式来构成稳态频率预测方程式（4），不够精确。
直角坐标下的频率稳定分析直接法的稳态频率预测方程式（10）在形式上与直角坐标系统下的潮流方程进行泰勒展开后得到的表达式相同，依据直角坐标下潮流二次型方程的特殊结构特点[16]，对潮流方程进行泰勒展开后，F i (X ) 对X 的二阶偏导数是常数、二阶以上偏导数为零，即F i (∆X ) 中不包含∆X 的高于二阶的项，所以直角坐标下潮流二次型方程的泰勒展开式是一个精确的表达式，没有经过线性化处理，没有任何近似，因此与此形式相同的稳态频率预测方程式（10）也是一个精确表达式，没有任何近似。
1.4 两种算法的复杂度对比分析
假定系统有n 个节点，其中m 个PV 节点，1个平衡节点（节点编号为s ），则PQ 节点数为n -m -1。
极坐标下的稳态频率预测方程式（4）中，设平衡节点为参考节点，参考节点电压的幅值和相角不变，即未知数不包括平衡节点的∆θ和∆V /V ，但增加一个未知数∆ω，因此方程式（4）的未知数和维数都是2n −m −1，这是一个含有2n −m −1个未知数的线性方程组。
直角坐标下的稳态频率预测方程式（10）中，未知数不包括平衡节点的∆f 和∆e ，但增加一个未知数∆ω，F i (∆X ) 是∆X 的二阶部分，式（10）是一个含有2n −1个未知数的非线性方程组。
另外，根据直角坐标系下潮流二次型方程的性[15-16]
，式（10）中F i (∆X ) 的形式与F i (X ) 形式完质
全相同，即：
F i (∆X ) =∆X T J i ∆X （15） 式中：i =2n −1; ∆X =[∆f 1, ∆f 2, …, ∆f s −1, ∆f s +1, …, ∆f n , ∆e 1, ∆e 2, …, ∆e s −1,0, ∆e s +1, …, ∆e n ]T ，∆X T 、∆X 分别
为1×2n 、2n ×1维矩阵；J i 为2n ×2n 常系数实对称稀疏矩阵。
由上述分析可知，构建式（10）要比构建式（4）多做2n −1次(1×2n ) ×(2n ×2n ) ×(2n ×1) 维矩阵连乘，即：
⎧(8n 3−2n ) 次→乘法运算
（16） ⎨32
n n n (8421) 次加法运算−−+→⎩对于一个具有100个节点的系统来说，相当于进行7 999 800次乘法运算、7 959 801次加法运算；在具体编程实现算法的过程中，这样大规模的高维矩阵运算会占用大量计算机内存；而实际的电力系统中又往往包含有成千上万个节点，因此，直角坐标直接法的算法复杂度要高于极坐标直接法。
2 电力系统扰动后稳态频率预测快速算法
2.1 扰动后稳态频率预测快速算法
对于式（10），考虑到∆X T 是∆X 的转置矩阵，其矩阵元素相同；J i 是由节点导纳矩阵元素的实部和虚部构成的稀疏矩阵[15]；凭借稀疏矩阵的特点和节点导纳矩阵中元素对称相同的特性，基于本文1.4节中假定的系统，将式（10）展开，推导出F i (∆X ) 的表达式。
F i (∆X ) 中的有功部分，F i p (∆X ) =∆X T J i P ∆X ，
其中J i P 为有功注入二次型方程中的J i 矩阵；
i P =1,2, " , n ，即共有n 个方程。
当i P =1,2, " , n 且i P ≠s 时，即除平衡节点外的节点的有功部分表达式可以写为： F i P (∆X ) =∆X T J i P ∆X =
∆f i ∆e i
j =1j ≠s 且j ≠i
n j =1j ≠s 且j ≠i
∑
n
(∆e j B ij +∆f j G ij ) +
（17）
(∆e j G ij −∆f j B ij ) +
∑
∆e i 2G ii +∆f i 2G ii
式中：i 为系统中除平衡节点外的所有节点的节点编号，i =1,2, " , n 且i ≠s ；j =1,2, " , n , j ≠s 且j ≠i 。
当i P =s 时，即平衡节点的有功部分表达式可以写为：
F i P =s (∆X ) =0 （18）
F i (∆X ) 中的无功部分，F i Q (∆X ) =∆X T J i Q ∆X ，
其中J i Q 为无功注入二次型方程中的J i 矩阵；i Q =1,2, " , n −m −1，即共有n −m −1个方程。
赵茜茜，等 电力系统扰动后稳态频率预测快速算法 - 75 -
F i Q (∆X ) =∆X T J i Q ∆X =
∆f i ∆e i
j =1j ≠s 且j ≠i
n
在[−b , b ]上反复产生均匀分布的随机取一个b >0，
数(r 1, r 2, ⋅⋅⋅, r n ) 。对于每组随机数(r 1, r 2, ⋅⋅⋅, r n ) 计算
（19）
(x 1+r 1, x 2+r 2, ⋅⋅⋅, x n +r n ) T 的模函数值F 1，直到使
∑
n
(∆e j G ij −∆f j B ij ) −(∆e j B ij +∆f j G ij ) −
∆e B −∆f i 2B ii
式中：i 为系统中j =1,2, " , n , j ≠s 且j ≠i 。
j =1j ≠s 且j ≠i 2i ii
∑
F 1
若连续产生m 组随机数仍不能满足F 1
采用上述蒙特卡洛法求解式（10）时，先以一次增量方程的计算结果作为求解该二次非线性方程
由于一次增量方程的解已经具有一定组的初值X ；
的精确度，在此基础上，权衡设置蒙特卡洛法随机数的生成区间[−b , b ]，从而在最大程度上缩小x i 的
PQ 节点编号；
F i (∆X ) 中的电压部分，F i V (∆X ) =∆X T J i V ∆X ，
其中J i V 为节点电压二次型方程中的J i 矩阵，i V =1,2, " , m ，即共有m 个方程。这是因为取平衡节点为参考节点时，参考节点对应的增量方程只有有功方程而没有电压方程。
F i V (∆X ) =∆X T J i V ∆X =
（20） 22
∆e i +∆f i
式中，i 为系统中PV 节点的编号。
由式（17）~（20）构建直角坐标系下频率稳定
中的F i (∆X ) 部分析直接法稳态频率预测方程式（10）分，不用先建立J i 矩阵，不用经过式（15）的2n −1
次(1×2n ) ×(2n ×2n ) ×(2n ×1) 维矩阵连乘，只需结合广域量测提供的扰动后瞬间的系统参数和系统节点导纳矩阵元素，即可建立整个稳态频率预测方程。 2.2 蒙特卡洛法
本文采用蒙特卡洛法来求解所建立的稳态频率预测方程式（10），式（10）是一个非线性方程组。求解非线性方程组有许多数值方法，最常用的为线性化方法和求函数极小值方法。蒙特卡洛法是一种与一般数值方法有本质区别的计算方法[17]，属于试验数学的一个分支，其研究的问题大致可分为两种类型，一种是问题本身是随机的；另一种是问题本身属于确定性问题，但可以建立它的解与特定随机变量或随机过程的数字特征或分布函数之间的联系，利用随机模拟方法来解决，求解非线性方程组属于第二种类型。蒙特卡洛法具有普适、简洁、高效和精确等优于其他求解非线性方程组的数值方法的特点，它可满足任意设定的精度要求，且不受非线性方程组不同类型的约束。
对于非线性方程组f i (x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x n ) =0，其中i =1,2, ⋅⋅⋅, n 。采用蒙特卡洛法求解非线性方程组一组实根的过程如下[17]。
定义模函数
为F =
取值范围，保障计算的快速性。求解出扰动后瞬间到稳态的频率增量∆ω后，结合广域量测系统提供的扰动后瞬间系统频率ω0+，从而得出系统在扰动后的稳态频率为ω∞=∆ω+ω0+。
3 算例分析
3.1 仿真系统
将本文提出的稳态频率预测快速算法用于IEEE50机改进测试系统，利用PSS/E机电暂态仿真软件进行仿真计算。该系统由文献[18]提供，其中145号母线是平衡母线，恒阻抗负荷所占比例为5.02％，其余均是恒功率负荷。IEEE50机改进测试系统的500 kV主线图如图1所示。
图1 IEEE50机改进测试系统的500 kV主线图 Fig.1 One line diagram of major 500 kV lines in the IEEE’s
50-generator modified test system
；选取初值
X =(x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x n ) T ，并计算模函数值F 0=F ；选
3.2 仿真概述
0 s时线路1-25在母线1端口处发生三相短路故障；为清除故障，在0.15 s时切除该故障线路，由此可能造成系统暂态失稳；选择在0.18 s切除93号发电机。仿真得到系统在不同负荷模型下的系统频率动态曲线如图2所示，扰动后的稳态频率依次是58.323 Hz、58.156 Hz、57.906 Hz和57.875 Hz。
- 76 - 电力系统保护与控制
由表2可以看出，本文提出的稳态频率预测快速算法可以大大减少算法程序整体运算时间，该算法求解快、精度高。
4 结论
直角坐标下的频率稳定分析直接法预测出的稳态频率有较高的精度，但其算法在实际应用时的复杂度也较高。本文基于直角坐标直接法提出了电力系统扰动后稳态频率预测快速算法，进行FORTRAN 编程，通过蒙特卡洛法求解实现了所提出的快速算法。该快速算法不仅能保持原直角坐标直接法的高精度，而且求解速度大大加快。不同负荷模型下的IEEE50机改进测试系统的仿真试验结果也证明了这一点。通过本文提出的电力系统扰动后稳态频率预测快速算法快速准确地预测系统扰动后的稳态频率，在此基础上判定扰动后的系统能否正常运行，然后根据预测结果制定合适的紧急控制策略，以保证电力系统的安全稳定运行，因此该算法对电力系统扰动后的频率安全稳定性分析与紧急控制具有重要的意义。 参考文献
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图2 系统惯性中心频率曲线 Fig.2 System frequency curve of COI
3.3 仿真结果
分别采用极坐标直接法和直角坐标直接法计算系统在不同负荷模型下的扰动后稳态频率，与PSS/E仿真得到的稳态频率比较，结果如表1所示。
表1 切机后仿真与计算的系统稳态频率 Tab.1 System steady frequencies after trip generator by
simulation and calculation
负荷模型 PSS/E仿真结果 100%恒阻抗负荷 100%恒电流负荷 原系统负荷模型 100%恒功率负荷
58.323 Hz 58.156 Hz 57.906 Hz 57.875 Hz
计算结果
极坐标直接法 直角坐标直接法58.484 Hz 58.166 Hz 57.810 Hz 57.640 Hz
58.420 Hz 58.158 Hz 57.842 Hz 57.667 Hz
由表1可以看出，直角坐标直接法的算法精度要高于极坐标直接法，采用直角坐标直接法计算出的稳态频率更接近于实际仿真得到的结果。
应用本文提出的稳态频率预测快速算法构建直角坐标直接法中的稳态频率预测方程组，均采用蒙特卡洛法求解，通过FORTRAN 编程实现算法，算法程序整体运行时间对比如表2所示。计算机配置为Intel Core CPU T2300 1.66 GHz。
表2 算法程序整体运行时间
Tab.2 The whole operation time of the algorithm programs
计算结果
负荷模型
直角坐标直接法
100%恒阻抗负荷 100%恒电流负荷 原系统负荷模型 100%恒功率负荷
本文快速算法
92.500 00 s 91.781 25 s 56.875 00 s 55.921 88 s
算法程序整体运行时间 直角坐标直接法
本文快速算
法 0.437 500 s 0.421 875 s 0.296 875 s 0.281 250 s
58.420 Hz 58.158 Hz 57.842 Hz 57.667 Hz
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赵茜茜（1986-），女，硕士研究生，研究方向为电力系统安全稳定控制；E-mail ：[email protected]
王晓茹（1962-），女，教授，博士生导师，主要从事电力系统保护和安全稳定控制、变电站自动化技术方面的教学与研究工作。
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收稿日期：2010-01-08； 修回日期：2010-04-06 作者简介：
李奎奎（1984-），男，硕士研究生，主要研究方向为电力系统稳定分析与控制；E-mail ：[email protected]
王克文（1964-），男，博士，教授，硕士生导师，主要研究方向为电力系统稳定分析与控制；
邱 磊（1984-），男，硕士研究生，主要研究方向为电力系统稳定分析与控制。