２００７，２７Ａ（２）：２６３—２６８删‰程铷
席福宝
（北京理工大学数学系数学物理学报带合作行为的平均场模型的依全变差稳定性半北京１０００８１）
摘要；该文考虑一个带合作行为的平均场模型的稳定性问题．应用耦合方法，建立了相应于这
个平均场模型的扩散过程的依全变差稳定性．
关键词：稳定性；全变差；平均场模型；耦合．
ＭＲ（２０００）主题分类：６０Ｊ６０中图分类号：０２１１．６２；０２１１．６３文献标识码ｔＡ
文章编号ｔ１００３－３９９８（２００７）０２－２６３－０６
１引言
考虑由如下随机微分方程（ＳＤＥ）描述的平均场模型：对于ｉ＝１，２，…，Ⅳ
ｄｚ｛（ｔ）＝［ａｚｉ０）一ｚ？＠）一ｅ（ｚｉ（￡）一茁（￡））］ｄｔ－Ｉ－ａｄＷｉ（ｔ），
其中Ⅳ是一个正整数，（１．１）ｚ（ｔ）：＝Ｎ－１Ｅｚ，（ｔ）；常数Ｑ＞０，Ｅ＞０，ｏｒ＞ｏ；而ｗ（ｔ）＝
５＝１
（Ｖｎ（ｔ），ｗｊ（ｔ），…，Ｖ‰（￡））＋是一个标准的Ⅳ维Ｗｉｅｎｅｒ过程．如果Ａ为向量或矩阵，我们用Ａ４表示其转置．虽然（１．１）式中的系数既不满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件也不满足线性增长条件，但随机微分方程（１．１）在冗Ⅳ上仍具有唯一解ｚ（ｔ）：＝（ｚ１（ｔ），ｚ２（ｔ），…，茹Ⅳ（ｔ））’。利用截割法和解的不爆炸性，这一断言可由标准方法证明．然而，我们这里略去这些证明细节．
在（１．１）式的右边有一项为一ｅ（％（ｔ）一虿（ｔ）），它使得分量耽（ｔ）有趋于总体ｘ（ｔ）＝（ｚ１（ｔ），Ｘ２（ｔ），…，ＸＮ（￡））＋的算术平均值的倾向．因此，（１．１）式定义了一个各分量之间具有合作行为的简单平均场模型．有关这种平均场模型的详细解释，可参见文献【１】及其参考文献．如上这种建模方法在统计物理中被称为平均场方法，它具有很广泛的应用．在统计物理中经常用平均场模型去近似原来的复杂模型，称之为平均场近似．事实上，各种各样的平均场模型已被很多作者进行了很多研究［１－４】．然而，这些文献中关于平均场进行的研究主要集中在诸如大数定律和中心极限定理等相关内容．
另一方面，随机微分方程的稳定性也受到了广泛关注．例如，文献［５—７】研究了如下意义下的依分布稳定性：当时间参数趋于无穷大时，相应的扩散过程解的转移概率弱收敛于某一概率测度．而文献［８—９］考虑了依全变差稳定性和依全变差收敛于平稳解的速度．由于依全变差收敛蕴涵弱收敛，所以依全变差稳定意味着依分布稳定．为得到依全变差收敛的结果，文献［８－９］应用了耦合方法．无须多言，耦合方法在很多研究领域都是有效的也是有力的．
收稿日期；２００４－１２－２５；修订日期，２００６－１２－１５
Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｉｆｂ＠ｂｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ｝基金项目：国家自然科学基金（１０６７１０３７）和北京理工大学基础研究基金资助
数学物理学报Ｖｂｌ．２７Ａ
关于耦合方法的背景和更多应用，参见文献［１肛１１］以及相关主题的文献．当然，研究由随机微分方程决定的平均场模型的稳定性是很有意义的．应用耦合方法，我们在本文中研究由（１．１）式决定的平均场模型的依全变差稳定性．
显然，随机微分方程（１．１）的解ｘ（ｔ）＝（Ｘｌ（ｔ），ｚ２（ｔ），…，ｚⅣ（￡））’是一个扩散过程．我们用｛Ｐ（￡，ｚ，Ａ）：ｔ≥０，ｚ∈ＲⅣ，Ａ∈召（ＲⅣ）】．表示这一扩散过程的转移概率族．
定义１．１如果存在一个概率测度７ｒ（．）使得对于每个ｚ∈ＲⅣ，当ｔ—ｏ。时，转移概率Ｐ（ｔ，。，・）依全变差收敛于丌（．），则称扩散过程ｘ（ｔ）是依全变差稳定的．
注１．２如果将上面的依全变差收敛换为弱收敛，则得到依分布稳定的概念．文献【５—７］研究了退化扩散和具有线性漂移的随机扩散的依分布稳定性．我们在本文中研究由（１．１）式决定的具有非线性漂移的扩散过程ｘ（ｔ）的依全变差稳定性．由于依全变差收敛蕴涵弱收敛，所以依全变差稳定意味着依分布稳定．进一步，如果一个一般的马氏过程是依全变差稳定的，则也称它是遍历的（参见文献［１２，第５节】）．
现在我们将相应于如上平均场模型的扩散过程ｘ（ｔ）＝（ｚｌ（￡），ｚ２（ｔ），…，ｚⅣ（ｔ））’的稳定性结果叙述如下
定理１．３扩散过程ｘ（ｔ）是依全变差稳定的．
为说明上述结果的应用，我们讨论两个有用的例子．事实上，这两个例子已被成功地用于研究化学系统的淬火问题（参见文献［１３，第１３节】）．
例１．４取Ｎ＝１，考虑１维系统．现在随机微分方程（１．１）归结为
ｄｘ（ｔ）＝ｐｚ（￡）一Ｘ３（￡）］出－４－ａｄＷ（ｔ），（１．２）
其中ｗ（ｔ）是一个标准的１维Ｗｉｅｎｅｒ过程．由随机微分方程（１．２）定义的模型被称为带白噪声扰动的ＳｃｈｌＳｇｌ模型，它是研究淬火问题的合适模型（参见文献［１３，第１３．１节］）．另一方面，随机微分方程（１．２）也可用于描述带白噪声扰动的非简谐振子的运动行为．显然，（１．２）式的解是一个１维扩散过程．应用定理１．３，我们得知这个扩散过程ｘ（ｔ）是依全变差稳定的．
例１．５取Ｎ＝２，考虑２维系统．现在随机微分方程（１．１）归结为
』ｄｚｌ（ｔ）＝陋１（ｔ）一ｚ潮一Ｅ（ｚｌ（ｔ）咱（ｔ））］ｄｔ＋ａｄＷｌ（ｔ），ｌ、７
ｄｘ２（ｔ）＝［ａｘ２（ｔ）一ｚ２＠）一Ｅ（ｚ２＠）一ｘｌ（ｔ））］ｄｔ＋ａｄＷ２（ｔ），（１．３）
其中ｗ（ｔ）＝（眦（ｔ），ｗｊ（￡））。是一个标准的２维Ｗｉｅｎｅｒ过程．在统计物理中，由随机微分方程（１．３）定义的模型被称为带白噪声扰动的双匣扩散Ｓｃｈｌ５９ｌ模型，它被用于研究多维系统或非均匀系统的淬火问题（参见文献［１３，第１３．３匍）．另外，采用这种建模方法使得人们避免用十分复杂的随机偏微分方程，从而使问题易于解决（参见文献［１３，第１３．３节］）．当然，（１．３）式的解ｚ（ｔ）＝（ｚｌ（ｔ），Ｘ２（￡））’是一个２维扩散过程．应用定理１．３，我们得知这个２维扩散过程ｚ（ｔ）是依全变差稳定的．
注１．６在下一节我们将主要应用文献【１肚１１】中给出的耦合方法证明由（１．１）式定义的平均场模型是依全变差稳定的．从证明过程可以看出：耦合方法不仅适用于模型（１．１）而且也适用于很多类似模型．特别地，著名的Ｏｒｎｓｔｅｉｎ－Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ过程就是一个此类模型．Ｏｒｎｓｔｅｉｎ－Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ过程作为Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程的解，是物理中一个很基本也很有用的重要模型［１３１．
Ｎｏ．２席福宝：带合作行为的平均场模型的依全变差稳定性２６５２定理１．３的证明
№叩（１Ｘ—ｌ－－２７－３１－－善计Ｌ。ｚⅣ一ｚ未，一。（ｚⅣ一虿）／
那么，随机微分方程（１．１）可改写为
另一方面，（２．１）式的扩散过程解ｘ（ｔ）：＝（ｚｌ（￡），ｚ２（￡），…，。Ⅳ（￡））４所对应的微分算子为
Ｌ＝三△＋∑ｂ一３－Ｅ（铲ｚ）］去，（２．２）
７，ｐ＞０，ｆ（ｘ）≥１，紧集ＣｃＲⅣ，以及ＲⅣ上的二阶连续可微函数ｙ（ｚ）≥０使得
（２．３）ＬＶ（ｘ）≤一７ｆ（ｘ）＋Ｚｌｃ（ｘ），ｚ∈ＲⅣ，
其中Ｌ是（２．２）式定义的算子，而／ｃ表示集Ｃ的示性函数．为此，定义Ｈ：（釜ｋ１２）１／２，ｔ＝１
Ｎ
令ｙ（ｚ）＝∑ｋ１２．通过一些初等计算，我们得到
川垆等２备Ｎ两０２脚）＋孕Ｎ％一ｚ｝＿Ｅ（矿＿）］去脚）
＝矿Ⅳ们ｃＱ－Ｅ，若％２。２吾瓤４＂专（∑戤）
≤一ｅ）∑瓤一号（∑瓤）１２擎∑瓤２２
ｌ＝ｌ、ｌ＝ｔ＝上
＝Ｕ２Ｎ＋２ａｌｘｌ２一寺坩，
而此式蕴涵（２．３）式．引理证毕．Ｉｃ（ｘ，Ｙ）＝０－２（，一２（ｚ一可）（ｚ一可）‘／Ｉｚ一可１２），
数学物理学报Ｖｂｌ．２７Ａ
础Ｍ＝∞。ｃ圳，
其中Ｊ表示Ｎ×Ｎ单位矩阵．那么，我们得知＠（ｔ），可（ｔ））的反射耦合满足冗２Ⅳ的ＳＤＥ
ｄ（ｉ；筹）＝（：譬鬈；；）ｄｔ＋７－ｃｚ＠，，可ｃｔ，，ｄＢ＠，，
（ｚ（ｔ），影（ｔ））是成功的．即证明对于任意的ｚ，Ｙ∈ＲⅣ
，ｃ２．４，其中７－（ｚ，耖）７．（。，可）‘＝ｎ（ｚ，可），Ｂ（ｔ）是一个标准的２Ｎ维Ｗｉｅｎｅｒ过程．用Ｐ（刚）表示耦合＠（ｔ），可（ｔ））从（ｚ，Ｙ）出发的分布，而用Ｅ（。，Ⅳ）表示相应的期望．现在我们证明反射耦合Ｐ（而鲫ｐ＜。。）＝１，（２．５）
其中Ｔ＝ｉｎｆ｛ｔ：ｘ（ｔ）＝剪（ｔ）】ｒ是耦合时间．仿文献【１１］，对于ｚ，Ｙ∈ＲＮ，令
Ａ（ｘ，Ｙ）＝矿歹＋盯２Ｉ一２ｃ（ｘ，剪），
Ａ（ｘ，Ｙ）＝（ｚ—Ｙ，Ａ（ｘ，可）（ｚ一可））／ｌｚ一可１２，
Ｂ（ｘ，Ｙ）＝（ｚ—Ｙ，６（ｚ）一６（可）），
其中（・，・）ＲⅣ表示上的内积．容易验证ｚ≠Ｙ，
台＠，秒）＝（Ｑ—ｅ）∑（玩一肌）２一Ｅ（ｘｔ—ｙｉ）２（ｚ；＋ｘｉｙｉ＋！，；）
ｉ＝１ｔ＝１
ⅣＮ
＋景∑∑（戤～肌）（％一约）．
再注意到
ｚ；＋观玑＋可；２三Ｘｉ－－玑）２，
Ｘｉ－－虢）（％一彩）≤三（Ｘｉ－－瓠）２＋（巧一彩）２］，
我们就有
雪（。，耖）≤（Ｑ—ｅ）∑（ｚｔ－Ｙｉ）２一丢∑（ｚｔ一玑）４ｔ＝１ｔ＝１
ＮＮ
＋南∑∑№一玑）２＋（ｘｊ一协）２］．
容易证明（２．６）
∑（妒∥≥专（∑（霉刊２）．驴Ｎ刊４≥专（娄ｃ霉刊２）２．
将此式代入（２．６）式，我们得到
雪ｃ哪，≤。善Ｎｃ搦一训２一去（砉ｃ甄一¨２）２＝ＱＩｚ一卯一去Ｉｚ一卯．ｃ２∽
Ｎｏ．２席福宝：带合作行为的平均场模型的依全变差稳定性２６７另一方面，容易看出ｔｒＡ（ｘ，Ｙ）＝４ａ２和万（ｚ，Ｙ）＝４ａ２．因此，我们从（２．７）式推得
（ｔ以（ｚ，可）一万（。，Ⅳ）＋２§（ｚ，删万（ｚ，Ⅳ）≤旦２０－２Ｉｘ－Ｖ［２一丽１Ｉｚ一水
由此可知对每个ｒ∈（０，ｏｏ）有
ｓｕｐ｛（ｔｒＡ＠，”）一万（ｚ，∥）＋２雪（ｚ，可））／万＠，ｙ）：Ｉｘ－－ｙＩ＝ｒ）≤荔ｉｒ２一丽１
，ｙ（ｒ）＝杀ｒ２一丽１７．４，Ｑ（ｒ）＝４仃２，，．４．据此事实和才（ｚ，Ｙ）＝４０＂２，我们可选择文献【１１，第４节］所定义的函数７（ｒ），ａ（ｒ），ｃ（ｒ），，（ｒ）和夕（ｒ）如下
∞）＝ｅｘｐ（赤一杀）ｅ印（杀正丽１ｒ４），
价一ｘｐ（杀一赤）』’ｅｘｐ（赤ｓ４一啬ｓ２）如
卅，＝去／１唧（赤ｓ４一岳ｓ２）ｄｓ／１ｅｘｐ（啬Ⅱ２一面１≯钍４）ｄ‘
显然在（０，００）上Ｑ（ｒ）＞０，且有，（。。）＝ＯＧ和ｇ（ｏ）＜Ｏｏ．因此，应用文献［１１，定理４．２】，我们证得如下引理．
引理２．２反射耦合（ｚ（ｔ），可（ｔ））是成功的．
推论２．３丌（・）是扩散过程ｘ（ｔ）的唯一不变测度．
证假如ｘ（ｔ）还有另一个不变测度ｐ（・），类似于文献【ｌＯ］，由引理２．２得
ｌＩｐ（・）一７ｒ（・）ｌｌｖａｒ≤／ｄｐ（ｚ）／ｄｒ（ｙ）Ｉ］Ｐ（ｔ，ｚ，・）一Ｐ＠，Ｙ，・）ｌ［ｖａｒ
≤２／ｄｐ＠）／ｄ７ｒ（剪）Ｐ（茹，耖’（Ｔ＞ｔ）一０
其中”ＩＩｖａｒ表示全变差范数．推论证毕．（当ｔ一∞时），Ｉ
定理１．３的证明应用引理２．１和引理２．２，又类似于文献【１０】，我们得到
Ｐ＠，ｚ，・）一霄（・）ＩＩⅥⅡ＝ｌｉＰ（ｔ，ｚ，・）一／ｄ丌（可）Ｐｉｔ，可，・）ｌｆｖａｒ
≤／ｄ丌（∥）｜｜Ｐ（￡，ｚ，・）一Ｐ＠，∥，・）ｌｌｖａｒ
＜２／ｄ丌（秒）Ｐ（ｚ＇可）（Ｔ＞￡）一。（当ｔ＿ｏ。时）
定理１．３证毕．
参考文献
…１
【２１２ＤａｗｓｏｎＤＡ．Ｃｒｉｔｉｃａｌｄｙｎａｍｉｃｓａｎｄｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎｓｆｏｒａｍｅａｎ－ｆｉｅｌｄｍｏｄｅｌｏｆｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅｂｅｈａｖｉｏｒ．ＪＳｔａｔｉｓｔＰｈｙｓ，１９８３，３１：２９－８５ＤａｗｓｏｎＤＡ，ＺｈｅｎｇＸ．Ｌａｗｏｆｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｓａｎｄｃｅｎｔｒａｌｌｉｍｉｔｔｈｅｏｒｅｍｆｏｒｕｎｂｏｕｎｄｅｄｊｕｍｐｍｅａｎ－ｆｉｅｌｄ
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ＳｔａｂｉｌｉｔｙｉｎＴｏｔａｌＶａｒｉａｔｉｏｎｆｏｒａＭｅａｎ－ＦｉｅｌｄＭｏｄｅｌｏｆ
ＣｏｏｐｅｒａｔｉｖｅＢｅｈａｖｉｏｒ
ＸｉＦｕｂａｏ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔＤ，Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＢｅｉｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅＤ，Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎ９１０００８１）
ｍｅａｎ—ｆｉｅｌｄｍｏｄｅｌｏｆＡｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｔｈｅａｕｔｈｏｒｃｏｎｓｉｄｅｒｓｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒａ
ｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅｂｅｈａｖｉｏｒ．Ａｐｐｌｙｉｎｇｔｈｅｃｏｕｐｌｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓ，ｔｈｅａｕｔｈｏｒｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｓｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｉｎｔｏｔａｌｖａｒｉａｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｄｉｆｆｕｓｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｔｏｔｈｅｍｅａｎ－ｆｉｅｌｄｍｏｄｅｌ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；Ｔｏｔａｌｖａｒｉａｔｉｏｎ；Ｍｅａｎ－ｆｉｅｌｄｍｏｄｅｌ；Ｃｏｕｐｌｉｎｇ．
ＭＲ（２０００）ＳｕｂｊｅｃｔＣｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ：６０Ｊ６０
带合作行为的平均场模型的依全变差稳定性
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：席福宝， Xi Fubao北京理工大学数学系,北京,100081数学物理学报ACTA MATHEMATICA SCIENTIA2007,27(2)
参考文献(13条)
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引用本文格式：席福宝. Xi Fubao 带合作行为的平均场模型的依全变差稳定性[期刊论文]-数学物理学报 2007(2)
２００７，２７Ａ（２）：２６３—２６８删‰程铷
席福宝
（北京理工大学数学系数学物理学报带合作行为的平均场模型的依全变差稳定性半北京１０００８１）
摘要；该文考虑一个带合作行为的平均场模型的稳定性问题．应用耦合方法，建立了相应于这
个平均场模型的扩散过程的依全变差稳定性．
关键词：稳定性；全变差；平均场模型；耦合．
ＭＲ（２０００）主题分类：６０Ｊ６０中图分类号：０２１１．６２；０２１１．６３文献标识码ｔＡ
文章编号ｔ１００３－３９９８（２００７）０２－２６３－０６
１引言
考虑由如下随机微分方程（ＳＤＥ）描述的平均场模型：对于ｉ＝１，２，…，Ⅳ
ｄｚ｛（ｔ）＝［ａｚｉ０）一ｚ？＠）一ｅ（ｚｉ（￡）一茁（￡））］ｄｔ－Ｉ－ａｄＷｉ（ｔ），
其中Ⅳ是一个正整数，（１．１）ｚ（ｔ）：＝Ｎ－１Ｅｚ，（ｔ）；常数Ｑ＞０，Ｅ＞０，ｏｒ＞ｏ；而ｗ（ｔ）＝
５＝１
（Ｖｎ（ｔ），ｗｊ（ｔ），…，Ｖ‰（￡））＋是一个标准的Ⅳ维Ｗｉｅｎｅｒ过程．如果Ａ为向量或矩阵，我们用Ａ４表示其转置．虽然（１．１）式中的系数既不满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件也不满足线性增长条件，但随机微分方程（１．１）在冗Ⅳ上仍具有唯一解ｚ（ｔ）：＝（ｚ１（ｔ），ｚ２（ｔ），…，茹Ⅳ（ｔ））’。利用截割法和解的不爆炸性，这一断言可由标准方法证明．然而，我们这里略去这些证明细节．
在（１．１）式的右边有一项为一ｅ（％（ｔ）一虿（ｔ）），它使得分量耽（ｔ）有趋于总体ｘ（ｔ）＝（ｚ１（ｔ），Ｘ２（ｔ），…，ＸＮ（￡））＋的算术平均值的倾向．因此，（１．１）式定义了一个各分量之间具有合作行为的简单平均场模型．有关这种平均场模型的详细解释，可参见文献【１】及其参考文献．如上这种建模方法在统计物理中被称为平均场方法，它具有很广泛的应用．在统计物理中经常用平均场模型去近似原来的复杂模型，称之为平均场近似．事实上，各种各样的平均场模型已被很多作者进行了很多研究［１－４】．然而，这些文献中关于平均场进行的研究主要集中在诸如大数定律和中心极限定理等相关内容．
另一方面，随机微分方程的稳定性也受到了广泛关注．例如，文献［５—７】研究了如下意义下的依分布稳定性：当时间参数趋于无穷大时，相应的扩散过程解的转移概率弱收敛于某一概率测度．而文献［８—９］考虑了依全变差稳定性和依全变差收敛于平稳解的速度．由于依全变差收敛蕴涵弱收敛，所以依全变差稳定意味着依分布稳定．为得到依全变差收敛的结果，文献［８－９］应用了耦合方法．无须多言，耦合方法在很多研究领域都是有效的也是有力的．
收稿日期；２００４－１２－２５；修订日期，２００６－１２－１５
Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｉｆｂ＠ｂｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ｝基金项目：国家自然科学基金（１０６７１０３７）和北京理工大学基础研究基金资助
数学物理学报Ｖｂｌ．２７Ａ
关于耦合方法的背景和更多应用，参见文献［１肛１１］以及相关主题的文献．当然，研究由随机微分方程决定的平均场模型的稳定性是很有意义的．应用耦合方法，我们在本文中研究由（１．１）式决定的平均场模型的依全变差稳定性．
显然，随机微分方程（１．１）的解ｘ（ｔ）＝（Ｘｌ（ｔ），ｚ２（ｔ），…，ｚⅣ（￡））’是一个扩散过程．我们用｛Ｐ（￡，ｚ，Ａ）：ｔ≥０，ｚ∈ＲⅣ，Ａ∈召（ＲⅣ）】．表示这一扩散过程的转移概率族．
定义１．１如果存在一个概率测度７ｒ（．）使得对于每个ｚ∈ＲⅣ，当ｔ—ｏ。时，转移概率Ｐ（ｔ，。，・）依全变差收敛于丌（．），则称扩散过程ｘ（ｔ）是依全变差稳定的．
注１．２如果将上面的依全变差收敛换为弱收敛，则得到依分布稳定的概念．文献【５—７］研究了退化扩散和具有线性漂移的随机扩散的依分布稳定性．我们在本文中研究由（１．１）式决定的具有非线性漂移的扩散过程ｘ（ｔ）的依全变差稳定性．由于依全变差收敛蕴涵弱收敛，所以依全变差稳定意味着依分布稳定．进一步，如果一个一般的马氏过程是依全变差稳定的，则也称它是遍历的（参见文献［１２，第５节】）．
现在我们将相应于如上平均场模型的扩散过程ｘ（ｔ）＝（ｚｌ（￡），ｚ２（ｔ），…，ｚⅣ（ｔ））’的稳定性结果叙述如下
定理１．３扩散过程ｘ（ｔ）是依全变差稳定的．
为说明上述结果的应用，我们讨论两个有用的例子．事实上，这两个例子已被成功地用于研究化学系统的淬火问题（参见文献［１３，第１３节】）．
例１．４取Ｎ＝１，考虑１维系统．现在随机微分方程（１．１）归结为
ｄｘ（ｔ）＝ｐｚ（￡）一Ｘ３（￡）］出－４－ａｄＷ（ｔ），（１．２）
其中ｗ（ｔ）是一个标准的１维Ｗｉｅｎｅｒ过程．由随机微分方程（１．２）定义的模型被称为带白噪声扰动的ＳｃｈｌＳｇｌ模型，它是研究淬火问题的合适模型（参见文献［１３，第１３．１节］）．另一方面，随机微分方程（１．２）也可用于描述带白噪声扰动的非简谐振子的运动行为．显然，（１．２）式的解是一个１维扩散过程．应用定理１．３，我们得知这个扩散过程ｘ（ｔ）是依全变差稳定的．
例１．５取Ｎ＝２，考虑２维系统．现在随机微分方程（１．１）归结为
』ｄｚｌ（ｔ）＝陋１（ｔ）一ｚ潮一Ｅ（ｚｌ（ｔ）咱（ｔ））］ｄｔ＋ａｄＷｌ（ｔ），ｌ、７
ｄｘ２（ｔ）＝［ａｘ２（ｔ）一ｚ２＠）一Ｅ（ｚ２＠）一ｘｌ（ｔ））］ｄｔ＋ａｄＷ２（ｔ），（１．３）
其中ｗ（ｔ）＝（眦（ｔ），ｗｊ（￡））。是一个标准的２维Ｗｉｅｎｅｒ过程．在统计物理中，由随机微分方程（１．３）定义的模型被称为带白噪声扰动的双匣扩散Ｓｃｈｌ５９ｌ模型，它被用于研究多维系统或非均匀系统的淬火问题（参见文献［１３，第１３．３匍）．另外，采用这种建模方法使得人们避免用十分复杂的随机偏微分方程，从而使问题易于解决（参见文献［１３，第１３．３节］）．当然，（１．３）式的解ｚ（ｔ）＝（ｚｌ（ｔ），Ｘ２（￡））’是一个２维扩散过程．应用定理１．３，我们得知这个２维扩散过程ｚ（ｔ）是依全变差稳定的．
注１．６在下一节我们将主要应用文献【１肚１１】中给出的耦合方法证明由（１．１）式定义的平均场模型是依全变差稳定的．从证明过程可以看出：耦合方法不仅适用于模型（１．１）而且也适用于很多类似模型．特别地，著名的Ｏｒｎｓｔｅｉｎ－Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ过程就是一个此类模型．Ｏｒｎｓｔｅｉｎ－Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ过程作为Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程的解，是物理中一个很基本也很有用的重要模型［１３１．
Ｎｏ．２席福宝：带合作行为的平均场模型的依全变差稳定性２６５２定理１．３的证明
№叩（１Ｘ—ｌ－－２７－３１－－善计Ｌ。ｚⅣ一ｚ未，一。（ｚⅣ一虿）／
那么，随机微分方程（１．１）可改写为
另一方面，（２．１）式的扩散过程解ｘ（ｔ）：＝（ｚｌ（￡），ｚ２（￡），…，。Ⅳ（￡））４所对应的微分算子为
Ｌ＝三△＋∑ｂ一３－Ｅ（铲ｚ）］去，（２．２）
７，ｐ＞０，ｆ（ｘ）≥１，紧集ＣｃＲⅣ，以及ＲⅣ上的二阶连续可微函数ｙ（ｚ）≥０使得
（２．３）ＬＶ（ｘ）≤一７ｆ（ｘ）＋Ｚｌｃ（ｘ），ｚ∈ＲⅣ，
其中Ｌ是（２．２）式定义的算子，而／ｃ表示集Ｃ的示性函数．为此，定义Ｈ：（釜ｋ１２）１／２，ｔ＝１
Ｎ
令ｙ（ｚ）＝∑ｋ１２．通过一些初等计算，我们得到
川垆等２备Ｎ两０２脚）＋孕Ｎ％一ｚ｝＿Ｅ（矿＿）］去脚）
＝矿Ⅳ们ｃＱ－Ｅ，若％２。２吾瓤４＂专（∑戤）
≤一ｅ）∑瓤一号（∑瓤）１２擎∑瓤２２
ｌ＝ｌ、ｌ＝ｔ＝上
＝Ｕ２Ｎ＋２ａｌｘｌ２一寺坩，
而此式蕴涵（２．３）式．引理证毕．Ｉｃ（ｘ，Ｙ）＝０－２（，一２（ｚ一可）（ｚ一可）‘／Ｉｚ一可１２），
数学物理学报Ｖｂｌ．２７Ａ
础Ｍ＝∞。ｃ圳，
其中Ｊ表示Ｎ×Ｎ单位矩阵．那么，我们得知＠（ｔ），可（ｔ））的反射耦合满足冗２Ⅳ的ＳＤＥ
ｄ（ｉ；筹）＝（：譬鬈；；）ｄｔ＋７－ｃｚ＠，，可ｃｔ，，ｄＢ＠，，
（ｚ（ｔ），影（ｔ））是成功的．即证明对于任意的ｚ，Ｙ∈ＲⅣ
，ｃ２．４，其中７－（ｚ，耖）７．（。，可）‘＝ｎ（ｚ，可），Ｂ（ｔ）是一个标准的２Ｎ维Ｗｉｅｎｅｒ过程．用Ｐ（刚）表示耦合＠（ｔ），可（ｔ））从（ｚ，Ｙ）出发的分布，而用Ｅ（。，Ⅳ）表示相应的期望．现在我们证明反射耦合Ｐ（而鲫ｐ＜。。）＝１，（２．５）
其中Ｔ＝ｉｎｆ｛ｔ：ｘ（ｔ）＝剪（ｔ）】ｒ是耦合时间．仿文献【１１］，对于ｚ，Ｙ∈ＲＮ，令
Ａ（ｘ，Ｙ）＝矿歹＋盯２Ｉ一２ｃ（ｘ，剪），
Ａ（ｘ，Ｙ）＝（ｚ—Ｙ，Ａ（ｘ，可）（ｚ一可））／ｌｚ一可１２，
Ｂ（ｘ，Ｙ）＝（ｚ—Ｙ，６（ｚ）一６（可）），
其中（・，・）ＲⅣ表示上的内积．容易验证ｚ≠Ｙ，
台＠，秒）＝（Ｑ—ｅ）∑（玩一肌）２一Ｅ（ｘｔ—ｙｉ）２（ｚ；＋ｘｉｙｉ＋！，；）
ｉ＝１ｔ＝１
ⅣＮ
＋景∑∑（戤～肌）（％一约）．
再注意到
ｚ；＋观玑＋可；２三Ｘｉ－－玑）２，
Ｘｉ－－虢）（％一彩）≤三（Ｘｉ－－瓠）２＋（巧一彩）２］，
我们就有
雪（。，耖）≤（Ｑ—ｅ）∑（ｚｔ－Ｙｉ）２一丢∑（ｚｔ一玑）４ｔ＝１ｔ＝１
ＮＮ
＋南∑∑№一玑）２＋（ｘｊ一协）２］．
容易证明（２．６）
∑（妒∥≥专（∑（霉刊２）．驴Ｎ刊４≥专（娄ｃ霉刊２）２．
将此式代入（２．６）式，我们得到
雪ｃ哪，≤。善Ｎｃ搦一训２一去（砉ｃ甄一¨２）２＝ＱＩｚ一卯一去Ｉｚ一卯．ｃ２∽
Ｎｏ．２席福宝：带合作行为的平均场模型的依全变差稳定性２６７另一方面，容易看出ｔｒＡ（ｘ，Ｙ）＝４ａ２和万（ｚ，Ｙ）＝４ａ２．因此，我们从（２．７）式推得
（ｔ以（ｚ，可）一万（。，Ⅳ）＋２§（ｚ，删万（ｚ，Ⅳ）≤旦２０－２Ｉｘ－Ｖ［２一丽１Ｉｚ一水
由此可知对每个ｒ∈（０，ｏｏ）有
ｓｕｐ｛（ｔｒＡ＠，”）一万（ｚ，∥）＋２雪（ｚ，可））／万＠，ｙ）：Ｉｘ－－ｙＩ＝ｒ）≤荔ｉｒ２一丽１
，ｙ（ｒ）＝杀ｒ２一丽１７．４，Ｑ（ｒ）＝４仃２，，．４．据此事实和才（ｚ，Ｙ）＝４０＂２，我们可选择文献【１１，第４节］所定义的函数７（ｒ），ａ（ｒ），ｃ（ｒ），，（ｒ）和夕（ｒ）如下
∞）＝ｅｘｐ（赤一杀）ｅ印（杀正丽１ｒ４），
价一ｘｐ（杀一赤）』’ｅｘｐ（赤ｓ４一啬ｓ２）如
卅，＝去／１唧（赤ｓ４一岳ｓ２）ｄｓ／１ｅｘｐ（啬Ⅱ２一面１≯钍４）ｄ‘
显然在（０，００）上Ｑ（ｒ）＞０，且有，（。。）＝ＯＧ和ｇ（ｏ）＜Ｏｏ．因此，应用文献［１１，定理４．２】，我们证得如下引理．
引理２．２反射耦合（ｚ（ｔ），可（ｔ））是成功的．
推论２．３丌（・）是扩散过程ｘ（ｔ）的唯一不变测度．
证假如ｘ（ｔ）还有另一个不变测度ｐ（・），类似于文献【ｌＯ］，由引理２．２得
ｌＩｐ（・）一７ｒ（・）ｌｌｖａｒ≤／ｄｐ（ｚ）／ｄｒ（ｙ）Ｉ］Ｐ（ｔ，ｚ，・）一Ｐ＠，Ｙ，・）ｌ［ｖａｒ
≤２／ｄｐ＠）／ｄ７ｒ（剪）Ｐ（茹，耖’（Ｔ＞ｔ）一０
其中”ＩＩｖａｒ表示全变差范数．推论证毕．（当ｔ一∞时），Ｉ
定理１．３的证明应用引理２．１和引理２．２，又类似于文献【１０】，我们得到
Ｐ＠，ｚ，・）一霄（・）ＩＩⅥⅡ＝ｌｉＰ（ｔ，ｚ，・）一／ｄ丌（可）Ｐｉｔ，可，・）ｌｆｖａｒ
≤／ｄ丌（∥）｜｜Ｐ（￡，ｚ，・）一Ｐ＠，∥，・）ｌｌｖａｒ
＜２／ｄ丌（秒）Ｐ（ｚ＇可）（Ｔ＞￡）一。（当ｔ＿ｏ。时）
定理１．３证毕．
参考文献
…１
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带合作行为的平均场模型的依全变差稳定性
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：席福宝， Xi Fubao北京理工大学数学系,北京,100081数学物理学报ACTA MATHEMATICA SCIENTIA2007,27(2)
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引用本文格式：席福宝. Xi Fubao 带合作行为的平均场模型的依全变差稳定性[期刊论文]-数学物理学报 2007(2)