相似三角形专题 一、知识概述
(一) 相似三角形
1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．
①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个) 三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个) 三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；
②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；
③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛．
2、相似三角形对应边的比叫做相似比．
①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
②相似比具有顺序性．例如△ABC ∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k ，则△A′B′C′∽△ABC 的相似比 ，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．
3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．
4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线) 分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：
∵DE ‖BC ，∴△ABC ∽△ADE ；
②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；
(二) 相似三角形的判定
1、相似三角形的判定：
判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．
判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．
①有平行线时，用预备定理；
②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角) 时，可考虑利用判定定理1或判定定理2； ③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．
2、直角三角形相似的判定：
斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；
(三) 三角形的重心
1、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
2、三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍．
二、重点难点疑点突破
1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧
正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：
(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角) 一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；
(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边) 一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．
三、两个三角形相似的六种图形：
只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.
四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：
1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线) ，因为这个条件最简单；
2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；
3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；
找另一角 两角对应相等，两三角形相似 a) 已知一对等找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
b) 己知两边对应成比例 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似
找一个直角
找另一角 两角对应相等，两三角形相似 c) 己知一个直找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4
找顶角对应相等 判定定理1
d) 有等腰关 找底角对应相等 判定定理1
判定定理3
e) 相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3
五、“三点定形法”
即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1. 已知:如图, ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.
求证: AE
例2. 如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的
平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF·AB 吗？
说明理由。
例3. 已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交
BC 延长线于F 。 0AC AF BA
求证：CD =DE·DF 。
2
六、过渡法（或叫代换法）
有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．
1、 等量过渡法（等线段代换法）
遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。
例1：如图3，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于E ．求证：DE 2＝BE·CE ．
2、 等比过渡法（等比代换法）
当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
例2：如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，ED
交AB 的延长线于点F ． 求证：
AB DF ． AC AF
3、等积过渡法（等积代换法）
思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
例3：如图5，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的高，G 是DC 延长线上一点，过B 作BE ⊥AG ，垂足为E ，交CD 于点F ．
求证：CD 2＝DF·DG ．
巩固与提高
1． 如图，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且∠ADE=∠C
求证：（1）△ADE ∽△ACB; (2)AD·AB=AE·AC.
（1题图）
2． 如图，△ABC 中，点DE 在边BC 上，且△ADE 是等边三角形，∠BAC=120° 求证： （1）△ADB ∽△CEA;
（2）DE ²=BD·CE;
(3)AB·AC=AD·BC.
（2题图）
3． 如图， 平行四边形ABCD 中，E 为BA 延长线上一点， ∠D=∠ECA.
求证：AD ·EC=AC·EB .
（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）
4． 如图，AD 为△ABC 中∠BAC 的平分线，EF 是AD 的垂直平分线。
求证：FD ²=FC·FB 。
（此题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。）
5．如图，E 是平行四边形的边DA 延长线上一点，EC 交AB 于点G, 交BD 于点F, 求证：FC ²=FG·EF.
（此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。）
6．如图，E 是正方形ABCD 边BC 延长线上一点，连接AE 交CD 于F, 过F 作FM ∥BE 交DE 于M. 求证：FM=CF.
(注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。此题用等比替代可以解决。)
7．如图，△ABC 中，AB=AC,点D 为BC 边中点，CE ∥AB,BE 分别交AD 、AC 于点F 、G ，连接FC. 求证：（1）BF=CF.
(2)BF²=FG·
FE.
8．如图，∠ABC=90°,AD=DB,DE⊥AB,
求证：DC ²=DE·
DF.
9．如图，ABCD 为直角梯形，AB ∥CD,AB ⊥BC,AC ⊥BD 。AD= BD，过E 作EF ∥AB 交AD 于F. 是说明：（1）AF=BE;(2)AF²=AE·
EC.
10．△ABC 中, ∠BAC=90°,AD ⊥BC,E 为AC 中点。
求证：AB:AC=DF:AF。
11．已知，CE 是RT △ABC 斜边AB 上的高，在EC 延长线上任取一点P, 连接AP, 作BG ⊥AP, 垂足为G 交CE 于点D.
试证：CE ²=ED·EP.
(注：此题要用到等积替代，将CE ²用射影定理替代，再化成比例式。
)
，
课后练习：
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
2．如图，梯形ABCD 中，AB∥CD，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ．
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF∥CD交AD 于点E ，若AB=6cm，EF=4cm，求CD 的长．
3．如图，点D ，E 在BC 上，且FD∥AB，FE∥AC．
求证：△ABC∽△FDE．
4．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF⊥AE于F ，试说明：△ABF∽△EAD．
5．已知：P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，且BP=3PC，M 是CD 的中点，试说明：△ADM∽△MCP．
6．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似．
7．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE ．
11
8．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．
（1）求BD 、CD 的长；
（2）过B 作BE⊥DC于E ，求BE 的长．
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相似三角形专题 一、知识概述
(一) 相似三角形
1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．
①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个) 三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个) 三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；
②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；
③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛．
2、相似三角形对应边的比叫做相似比．
①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
②相似比具有顺序性．例如△ABC ∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k ，则△A′B′C′∽△ABC 的相似比 ，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．
3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．
4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线) 分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：
∵DE ‖BC ，∴△ABC ∽△ADE ；
②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；
(二) 相似三角形的判定
1、相似三角形的判定：
判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．
判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．
①有平行线时，用预备定理；
②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角) 时，可考虑利用判定定理1或判定定理2； ③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．
2、直角三角形相似的判定：
斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；
(三) 三角形的重心
1、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
2、三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍．
二、重点难点疑点突破
1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧
正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：
(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角) 一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；
(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边) 一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．
三、两个三角形相似的六种图形：
只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.
四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：
1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线) ，因为这个条件最简单；
2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；
3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；
找另一角 两角对应相等，两三角形相似 a) 已知一对等找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
b) 己知两边对应成比例 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似
找一个直角
找另一角 两角对应相等，两三角形相似 c) 己知一个直找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4
找顶角对应相等 判定定理1
d) 有等腰关 找底角对应相等 判定定理1
判定定理3
e) 相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3
五、“三点定形法”
即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1. 已知:如图, ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.
求证: AE
例2. 如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的
平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF·AB 吗？
说明理由。
例3. 已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交
BC 延长线于F 。 0AC AF BA
求证：CD =DE·DF 。
2
六、过渡法（或叫代换法）
有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．
1、 等量过渡法（等线段代换法）
遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。
例1：如图3，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于E ．求证：DE 2＝BE·CE ．
2、 等比过渡法（等比代换法）
当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
例2：如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，ED
交AB 的延长线于点F ． 求证：
AB DF ． AC AF
3、等积过渡法（等积代换法）
思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
例3：如图5，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的高，G 是DC 延长线上一点，过B 作BE ⊥AG ，垂足为E ，交CD 于点F ．
求证：CD 2＝DF·DG ．
巩固与提高
1． 如图，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且∠ADE=∠C
求证：（1）△ADE ∽△ACB; (2)AD·AB=AE·AC.
（1题图）
2． 如图，△ABC 中，点DE 在边BC 上，且△ADE 是等边三角形，∠BAC=120° 求证： （1）△ADB ∽△CEA;
（2）DE ²=BD·CE;
(3)AB·AC=AD·BC.
（2题图）
3． 如图， 平行四边形ABCD 中，E 为BA 延长线上一点， ∠D=∠ECA.
求证：AD ·EC=AC·EB .
（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）
4． 如图，AD 为△ABC 中∠BAC 的平分线，EF 是AD 的垂直平分线。
求证：FD ²=FC·FB 。
（此题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。）
5．如图，E 是平行四边形的边DA 延长线上一点，EC 交AB 于点G, 交BD 于点F, 求证：FC ²=FG·EF.
（此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。）
6．如图，E 是正方形ABCD 边BC 延长线上一点，连接AE 交CD 于F, 过F 作FM ∥BE 交DE 于M. 求证：FM=CF.
(注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。此题用等比替代可以解决。)
7．如图，△ABC 中，AB=AC,点D 为BC 边中点，CE ∥AB,BE 分别交AD 、AC 于点F 、G ，连接FC. 求证：（1）BF=CF.
(2)BF²=FG·
FE.
8．如图，∠ABC=90°,AD=DB,DE⊥AB,
求证：DC ²=DE·
DF.
9．如图，ABCD 为直角梯形，AB ∥CD,AB ⊥BC,AC ⊥BD 。AD= BD，过E 作EF ∥AB 交AD 于F. 是说明：（1）AF=BE;(2)AF²=AE·
EC.
10．△ABC 中, ∠BAC=90°,AD ⊥BC,E 为AC 中点。
求证：AB:AC=DF:AF。
11．已知，CE 是RT △ABC 斜边AB 上的高，在EC 延长线上任取一点P, 连接AP, 作BG ⊥AP, 垂足为G 交CE 于点D.
试证：CE ²=ED·EP.
(注：此题要用到等积替代，将CE ²用射影定理替代，再化成比例式。
)
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课后练习：
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
2．如图，梯形ABCD 中，AB∥CD，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ．
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF∥CD交AD 于点E ，若AB=6cm，EF=4cm，求CD 的长．
3．如图，点D ，E 在BC 上，且FD∥AB，FE∥AC．
求证：△ABC∽△FDE．
4．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF⊥AE于F ，试说明：△ABF∽△EAD．
5．已知：P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，且BP=3PC，M 是CD 的中点，试说明：△ADM∽△MCP．
6．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似．
7．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE ．
11
8．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．
（1）求BD 、CD 的长；
（2）过B 作BE⊥DC于E ，求BE 的长．
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