并串联系统的模糊可靠性分析

第19卷　第4期甘肃科学学报Vol. 19　No. 4

2007年12月Journal of Gansu Sciences Dec. 2007

并串联系统的模糊可靠性分析

李冬娜, 张民悦, 马长青

(兰州理工大学理学院, 甘肃兰州　730050)

摘　要:　利用普通可靠性[1]和模糊可靠性[2,3]的基本理论, 建立了并串联系统模糊可靠性的数学模型, 讨论了系统的模糊可靠度、模糊失效率和模糊平均寿命之间的关系, 并给出实例说明了这种计算方法.

关键词:　并串联系统; 模糊可靠度; 模糊失效率; 模糊平均寿命中图分类号:　O211. 6; TP114　　文献标识码:　A 　　文章编号:100420366(2007) 0420141204

Analysis of Fuzzy R eliability for Parallel and Series Connection Systems

L I Dong 2na , ZHAN G Min 2yue , MA Chang 2qing

(College of Sciences , L anz hou Universit y of S ciences and Technolog y , L anz hou , China )

Abstract :　By t he help of t he f uzzy reliability t heory and a mat hematical model to calculate t he f uzzy reliability for parallel Furt hermore ,t he interre 2lationship between f uzzy reliability he f uzzy average life 2span was discussed wit h concrete examples.

K ey w ords :　systems ;f uzzy reliability ;f uzzy mean life ;f uzzy failure rate.

　　在可靠性工程中, 会遇到大量的不确定性信息. 传统可靠性理论研究的是基于随机性这一类不确定性的可靠性问题. 然而, 在工程实践中, 由于我们掌握的数据资料不够充分, 或者存在专家经验等主观因素, 对于该类不确定性信息的处理, 经验的概率方法难于适用, 应用模糊分析方法来处理较为合适. 尤其在复杂系统可靠性方面, 模糊分析方法具有很强的适应性.

一个系统由串联子系统和并联子系统简单组合而成, 则称这种系统为组合系统. 并串联系统就属于组合系统. 串联系统是指只有当其所有组成单元都正常时, 整个系统才能正常工作, 反之, 当其中任意单元发生故障, 整个系统就发生故障. 并联系统是指在组成它的单元当中, 有一个正常工作, 整个系统就正常工作, 反之, 只有这些单元全部发生故障, 整个系统才发生故障. 并串联系统的普通可靠性的计算方法是先将串联单元系统转化为一个等效的并联系统, 然后再按并联系统计算.

收稿日期:2006212228

基金项目:甘肃省自然科学基金项目(3ZS0422B252016)

文献[4]中对系统的模糊可靠性进行了分析, 提出了隶属函数的确定方法; 文献[5,6]中分别对串联和并联系统的模糊可靠性进行了分析. 我们将利用文献[4～8]中的模型及相应公式, 对并串联系统的模糊可靠性进行分析

. 关于并串联系统模糊可靠性的分析、推导, 都是局限于“模-精”型指示[4].

1　并联子系统的模糊可靠性模型

按照并联系统的定义[1], 设由n 个单元A 1, A 2, …, A n 组成一个并联系统, 并假定各单元发生模糊故障是相互独立的.

若用A 表示“系统正常工作”; A j 表示“第j 个单元正常工作”; A i 表示“我们所讨论的某个模糊功能

～

子集”, i =1, 2, …, n. 由并联系统的定义有

P (A ) =1-

j =1

∏(1-

P (A j ) ) , 为方便起见, 引进记

甘1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　42

肃科学学报　　　　　　　　　　　　　　　　　2007年　第4期

号:对任意的

i =1

B m 组成一个串联系统, 并假定各单元发生模糊故障

p i )

则转化为

n j =1n

～～j =1

j =1

　　若用R s 1表示“系统的普通可靠度”; R s 1表示

～

“系统的模糊可靠度”; R j 1表示“第j 个单元的可靠

度”; R j 1表示“第j 个单元的模糊可靠度”; μA i (R s 1)

～

表示“系统可靠度对于A i 的隶属度”; μA i (R j ) 表示

～

“第j 个单元可靠度对于A i 的隶属度”. 则根据文献

～

[6]中并联系统的模糊可靠性分析法得

R s 1=μR s 1, R j 1=μR j 1, A i (R s 1) ・A i 1(R j 1) ・

～

j =1

～

j =1

～

j =1

2　按[1], 设有n 个单元B 1, B 2, …,

图1　并串联系统　　根据普通的并串联系统的可靠度计算方法, 先下面来求该并联系统的模糊可靠度. 将串联单元系统化为一个等效的并联系统, 然后再由式(

1) 得按并联系统计算, 根据该并串联系统可以等效为由R s 1=1-1-μ1-μA i (R s 1

) B i

(R s 2) ～

～～

2个单元组成的并联系统, 由式(1) 和式(2) 得, 该

R s 1R s 21-1-系统中A 单元的模糊可靠度为1-μμA i (R s 1) B i (R s 2)

～

j =1

～

j =1

～

j =1

∏

B 单元的模糊可靠度为　R s 2=

∏∏

R s 1=

μA i (R j 1)

∏∏

R s 1=

μA i (R j 1)

∏

μA i (R s 1) =μA i (R j 1) ,

～

R j 1

μA i (R j 1)

～

μA i (R j 1)

～m

∏

P (A i |A ) =P (A i ∪A j ) =

∏

P (A ) =

∏

0≤p i ≤1, i =1, 2, …, n , p i =1-

i =1

∏(1-

是相互独立的.

若用B 表示“系统正常工作”; B j 表示“第j 个单元正常工作”; B i 表示“我们所讨论的某个模糊功能

～

P (A j ) ,

子集”, i =1, 2, …, n; R s 2表示“系统的普通可靠度”; R s 2表示“系统的模糊可靠度”; R j 2表示“第j 个

P (A i |A j ) .

～

单元的可靠度”; R j 2表示“第j 个单元的模糊可靠

～

度”; μ“系统可靠度对于B i 的隶属度”; B i (R j 2) 表示

～

μ“第j 个单元可靠度对于B i 的隶属B i (R j 2) 表示

～

度”. 根据文献[5]中串联系统模糊可靠性的分析法得

R s 2=μR s 2, R j 1=μR j 1, B i (R s 2) ・A i (R j 1) ・

～

m m

B i

～

μB i (R s 2) =

～

j =1

μ∏

(R j 2) , R s 2=

～

j =1

∏R

j 2

～

　. (2)

3　　.

(1[2,3], 建立

, 设一个并串联系统由n 个单元A 1, A 2, …, A n 组成的一个并联部分和m 个单元B 1, B 2, …, B m 组成的一个串联部分组成, 如图1所示

・

, (3)

R s 1

～～

根据单元的模糊可靠度R j 与模糊失效率λj 之间的

～

关系式有

R j 2.

～

R j =

～

λd t 0j e ∫, ～

(4)

第19卷　　　　　　　　　　　　　　　　李冬娜等:并串联系统的模糊可靠性分析　　　　　　　　　　　　　　　　

143

将式(4) 代入式(2) 得

R s 2=

～

j =1

e ∫∏

-0

λj 2d t

～

=e ∫j =1～

6λj 2d t

j , k =1

j ≠k

μμ(λj 1+λk 1) A i (R j 1) m ・A i (R k 1) m ・

～

令λs 2=

～

j =1

6λj 2, 这是串联系统的模糊失效率, 则

～

0s 2

R s 2=e ∫, ～

…+(-1) n+1

j =1

7μA i (R j 1) m ・6λj 1

～

j =1

n n

, (9)

～

λd t

～

(5)

若λj 1(j =1, 2, …, n ) 都为常数, 且都等于λ时,

～

当λj 2为常数, 且都等于λ时, 式(5) 可改写成

～

R j 1=R , μA i (R j 1) m =μA i (R ) m , 则式(8) 可写为

～

R s 2=e

～

-λs 2t

～

-m λt ～

(6)

M T T F s 1=

～

1-∞

1-μA i (R ) m

～

将式(4) 代入式(1) 得

～

j =1

～

j =1

若λj 1为常数且都等于λ时,

～

R j 1=R , μA i (R j 1) =μA i (R ) ,

～

则

R s 1=

～

1-μ

A i (R )

～

　　　　M T T F s 1=

～

∫

～

∞

n n

j =1

μA i (R j 1)

～

j =1

若λj 1为常数, 且μA i (R j 1) 随时间t 的变化不大, 可

～

M T T F s 1=

～

∫

∞

n n

j =1

μA i (R j 1)

～

j =1

因为1-j =1n

～

-λj 1t

μA i (R j 1) m

λk 1) t -(λj 1+=

j =1

6μ

A i

～

j , k =1j ≠k

6μ

A i ～

(R j 1) m ・μA i (R k 1) m

～

…+(-1) 所以

n+1

j =1

j 1t

j =1～

6λ

7μ

(R j 1) m

A i ～

M T T F s 1=

～

j =1

μA i (R j 1) m

～

j =1

μλj 1-A i (R j 1) m

～

用它的平均值μA i (R j 1) m 代, 则

μA i (R j 1) m

～

-λj 1t

(R j 1) m

∞

s 1=

λd t 0j 1∫-t

∏

R s =

μA i (R j 1)

λd t

0j 1∫-

μA i (R j 1)

～

1-0

1-μA i (R ) m

～

-λt

～

d t , (10)

令则有

-λt ～

μA i (R ) m

～

=x ,

μA i (R ) m

μA i (R )

～

-λt

～

d t =

λ・e

～

-λt ～

d x =

d x ,

・(1-x )

～

(7)

(10) -T 1A i ) m

～

1-μ

A i

(R )

(1-x n ) d x =

1-x

μA i (R j 1)

～

d t ,

1-μA i (R ) m

～

1-μ

(1-x +x 2+…+x n-1) d x =

A i

(R )

～

-λj 1t

1-d t ,

(8)

1-μA i (R ) m

～

j =1

1-(11)

μA i (R ) m

～

　　对于并串联系统的模糊平均寿命的计算方法是先将串联系统转化为一个等效的并联系统, 然后再

按并联系统进行模糊平均寿命计算.

4　实例分析

已知某并串联系统, 由一个1号部件, 一个3号部件和3个2号部件串联而成的子系统并联组成, 其模糊失效率为

λ1=λ3=0. 03(1/10h ) ,

～

4λ2=0. 01(1/10h ) ; ～

可靠度为

甘1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　44

肃科学学报　　　　　　　　　　　　　　　　　2007年　第4期

R 2=0. 9980, R 1=R 3=0. 9940.

μ极可靠(0. 994

μ较可靠(0. 994μ很可靠(0. 999

0) =0. 900; μ很可靠(0. 9940) =0. 750; 0) =0. 400; μ极可靠(0. 9999) =0. 999; 9) =0. 500; μ较可靠(0. 9999) =0. 100.

5　结束语

对于并串联系统, 以上研究了它的可靠性指标

(如系统的模糊可靠度, 模糊失效率, 模糊平均寿命) , 通过这些指标全面地反映了并串联系统的性能. 其他不可修系统的模糊可靠度可以依照以上类似的分析方法, 并结合传统可靠度的分析方法进行推导.

上述这些研究工作虽己取得了一定的成果, 但大都局限于理论上的探讨, 其可信度和分析结果的物理意义尚需实际验证; 系统及其组成单元隶属函数的确定以及模糊数学中扩展运算的引用, 大都属于试探性的.

参考文献:

[1]　曹晋华, 程侃. 可靠性数学引论[M 北京:科学出版社,1986. [2]　汪培庄. 上海:上海科技出版社,

[3], . [M ].武汉:华中科技

试求并串联系统工作了100h 时的模糊可靠性

指标.

由题意知:

λ222=

～

j =1

6λ2j =0. 03(1/10h ) ,

～

R 222=

j =1

R 2j =0. 994,

显然R 1=R 222=R 3, 而

R s =1-(1-R 1) =1-(1-0. 994) =0. 9999,

显然μ极可靠(0. 9999) >μ很可靠(0. 9999) >μ较可靠(0. 9999) .

根据最大隶属原则可以判定这个系统目前正处于“极可靠”的工作阶段, 这时它的模糊可靠度为

R s =μR s =0. 9989. 极可靠(0. 9999) ・计算并串联系统在“极可靠”工作状态的模糊平均寿命, 由已知

μ极可靠(0. 995) m =0. 90,

λ1=λ222=λ3=～

～

], 高和. 模糊可靠性[J].模糊系统与数学,1988,2(2) :

11223.

[5]　李廷杰, 高和. 串联系统的模糊可靠性[J].模糊系统与数学,

1989,3(1) :38245.

由式(11) 得

M T T F s =

～

0. 03×10-40. 3

+1-0. 9021-0. 1-=

[

6]　李廷杰, 高和. 并联系统的模糊可靠性[J].系统工程理论与实

践,1990,6(2) :11214.

[7]　吴和成. 指数型元件串联系统可靠性的fiducial 置信限[J].甘

1-3

肃科学学报,2004,16(4) :62264.

[8]

Huang H Z. Reliability Analysis Met hod in t he Presence of Fuzziness Attached to Operating Time [J].Microelectron and Reliability ,1995,135(12) :148321487.

64. 56×10(h ) .

　　从上面计算可知, 这个并串联系统目前正处在“极可靠”的工作阶段, 这个阶段长为64. 56×104h .

作者简介:

李冬娜, (1981-) 女, 甘肃省武威人,2004年毕业于兰州理工大学信息与计算科学专业, 现为兰州理工大学理学院硕士.

第19卷　第4期甘肃科学学报Vol. 19　No. 4

2007年12月Journal of Gansu Sciences Dec. 2007

并串联系统的模糊可靠性分析

李冬娜, 张民悦, 马长青

(兰州理工大学理学院, 甘肃兰州　730050)

关键词:　并串联系统; 模糊可靠度; 模糊失效率; 模糊平均寿命中图分类号:　O211. 6; TP114　　文献标识码:　A 　　文章编号:100420366(2007) 0420141204

Analysis of Fuzzy R eliability for Parallel and Series Connection Systems

L I Dong 2na , ZHAN G Min 2yue , MA Chang 2qing

(College of Sciences , L anz hou Universit y of S ciences and Technolog y , L anz hou , China )

K ey w ords :　systems ;f uzzy reliability ;f uzzy mean life ;f uzzy failure rate.

收稿日期:2006212228

基金项目:甘肃省自然科学基金项目(3ZS0422B252016)

. 关于并串联系统模糊可靠性的分析、推导, 都是局限于“模-精”型指示[4].

1　并联子系统的模糊可靠性模型

按照并联系统的定义[1], 设由n 个单元A 1, A 2, …, A n 组成一个并联系统, 并假定各单元发生模糊故障是相互独立的.

若用A 表示“系统正常工作”; A j 表示“第j 个单元正常工作”; A i 表示“我们所讨论的某个模糊功能

～

子集”, i =1, 2, …, n. 由并联系统的定义有

P (A ) =1-

j =1

∏(1-

P (A j ) ) , 为方便起见, 引进记

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肃科学学报　　　　　　　　　　　　　　　　　2007年　第4期

号:对任意的

i =1

B m 组成一个串联系统, 并假定各单元发生模糊故障

p i )

则转化为

n j =1n

～～j =1

j =1

　　若用R s 1表示“系统的普通可靠度”; R s 1表示

～

“系统的模糊可靠度”; R j 1表示“第j 个单元的可靠

度”; R j 1表示“第j 个单元的模糊可靠度”; μA i (R s 1)

～

表示“系统可靠度对于A i 的隶属度”; μA i (R j ) 表示

～

“第j 个单元可靠度对于A i 的隶属度”. 则根据文献

～

[6]中并联系统的模糊可靠性分析法得

R s 1=μR s 1, R j 1=μR j 1, A i (R s 1) ・A i 1(R j 1) ・

～

j =1

～

j =1

～

j =1

2　按[1], 设有n 个单元B 1, B 2, …,

1) 得按并联系统计算, 根据该并串联系统可以等效为由R s 1=1-1-μ1-μA i (R s 1

) B i

(R s 2) ～

～～

2个单元组成的并联系统, 由式(1) 和式(2) 得, 该

R s 1R s 21-1-系统中A 单元的模糊可靠度为1-μμA i (R s 1) B i (R s 2)

～

j =1

～

j =1

～

j =1

∏

B 单元的模糊可靠度为　R s 2=

∏∏

R s 1=

μA i (R j 1)

∏∏

R s 1=

μA i (R j 1)

∏

μA i (R s 1) =μA i (R j 1) ,

～

R j 1

μA i (R j 1)

～

μA i (R j 1)

～m

∏

P (A i |A ) =P (A i ∪A j ) =

∏

P (A ) =

∏

0≤p i ≤1, i =1, 2, …, n , p i =1-

i =1

∏(1-

是相互独立的.

若用B 表示“系统正常工作”; B j 表示“第j 个单元正常工作”; B i 表示“我们所讨论的某个模糊功能

～

P (A j ) ,

子集”, i =1, 2, …, n; R s 2表示“系统的普通可靠度”; R s 2表示“系统的模糊可靠度”; R j 2表示“第j 个

P (A i |A j ) .

～

单元的可靠度”; R j 2表示“第j 个单元的模糊可靠

～

度”; μ“系统可靠度对于B i 的隶属度”; B i (R j 2) 表示

～

μ“第j 个单元可靠度对于B i 的隶属B i (R j 2) 表示

～

度”. 根据文献[5]中串联系统模糊可靠性的分析法得

R s 2=μR s 2, R j 1=μR j 1, B i (R s 2) ・A i (R j 1) ・

～

m m

B i

～

μB i (R s 2) =

～

j =1

μ∏

(R j 2) , R s 2=

～

j =1

∏R

j 2

～

　. (2)

3　　.

(1[2,3], 建立

, 设一个并串联系统由n 个单元A 1, A 2, …, A n 组成的一个并联部分和m 个单元B 1, B 2, …, B m 组成的一个串联部分组成, 如图1所示

・

, (3)

R s 1

～～

根据单元的模糊可靠度R j 与模糊失效率λj 之间的

～

关系式有

R j 2.

～

R j =

～

λd t 0j e ∫, ～

(4)

第19卷　　　　　　　　　　　　　　　　李冬娜等:并串联系统的模糊可靠性分析　　　　　　　　　　　　　　　　

143

将式(4) 代入式(2) 得

R s 2=

～

j =1

e ∫∏

-0

λj 2d t

～

=e ∫j =1～

6λj 2d t

j , k =1

j ≠k

μμ(λj 1+λk 1) A i (R j 1) m ・A i (R k 1) m ・

～

令λs 2=

～

j =1

6λj 2, 这是串联系统的模糊失效率, 则

～

0s 2

R s 2=e ∫, ～

…+(-1) n+1

j =1

7μA i (R j 1) m ・6λj 1

～

j =1

n n

, (9)

～

λd t

～

(5)

若λj 1(j =1, 2, …, n ) 都为常数, 且都等于λ时,

～

当λj 2为常数, 且都等于λ时, 式(5) 可改写成

～

R j 1=R , μA i (R j 1) m =μA i (R ) m , 则式(8) 可写为

～

R s 2=e

～

-λs 2t

～

-m λt ～

(6)

M T T F s 1=

～

1-∞

1-μA i (R ) m

～

将式(4) 代入式(1) 得

～

j =1

～

j =1

若λj 1为常数且都等于λ时,

～

R j 1=R , μA i (R j 1) =μA i (R ) ,

～

则

R s 1=

～

1-μ

A i (R )

～

　　　　M T T F s 1=

～

∫

～

∞

n n

j =1

μA i (R j 1)

～

j =1

若λj 1为常数, 且μA i (R j 1) 随时间t 的变化不大, 可

～

M T T F s 1=

～

∫

∞

n n

j =1

μA i (R j 1)

～

j =1

因为1-j =1n

～

-λj 1t

μA i (R j 1) m

λk 1) t -(λj 1+=

j =1

6μ

A i

～

j , k =1j ≠k

6μ

A i ～

(R j 1) m ・μA i (R k 1) m

～

…+(-1) 所以

n+1

j =1

j 1t

j =1～

6λ

7μ

(R j 1) m

A i ～

M T T F s 1=

～

j =1

μA i (R j 1) m

～

j =1

μλj 1-A i (R j 1) m

～

用它的平均值μA i (R j 1) m 代, 则

μA i (R j 1) m

～

-λj 1t

(R j 1) m

∞

s 1=

λd t 0j 1∫-t

∏

R s =

μA i (R j 1)

λd t

0j 1∫-

μA i (R j 1)

～

1-0

1-μA i (R ) m

～

-λt

～

d t , (10)

令则有

-λt ～

μA i (R ) m

～

=x ,

μA i (R ) m

μA i (R )

～

-λt

～

d t =

λ・e

～

-λt ～

d x =

d x ,

・(1-x )

～

(7)

(10) -T 1A i ) m

～

1-μ

A i

(R )

(1-x n ) d x =

1-x

μA i (R j 1)

～

d t ,

1-μA i (R ) m

～

1-μ

(1-x +x 2+…+x n-1) d x =

A i

(R )

～

-λj 1t

1-d t ,

(8)

1-μA i (R ) m

～

j =1

1-(11)

μA i (R ) m

～

　　对于并串联系统的模糊平均寿命的计算方法是先将串联系统转化为一个等效的并联系统, 然后再

按并联系统进行模糊平均寿命计算.

4　实例分析

已知某并串联系统, 由一个1号部件, 一个3号部件和3个2号部件串联而成的子系统并联组成, 其模糊失效率为

λ1=λ3=0. 03(1/10h ) ,

～

4λ2=0. 01(1/10h ) ; ～

可靠度为

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肃科学学报　　　　　　　　　　　　　　　　　2007年　第4期

R 2=0. 9980, R 1=R 3=0. 9940.

μ极可靠(0. 994

μ较可靠(0. 994μ很可靠(0. 999

0) =0. 900; μ很可靠(0. 9940) =0. 750; 0) =0. 400; μ极可靠(0. 9999) =0. 999; 9) =0. 500; μ较可靠(0. 9999) =0. 100.

5　结束语

对于并串联系统, 以上研究了它的可靠性指标

参考文献:

[1]　曹晋华, 程侃. 可靠性数学引论[M 北京:科学出版社,1986. [2]　汪培庄. 上海:上海科技出版社,

[3], . [M ].武汉:华中科技

试求并串联系统工作了100h 时的模糊可靠性

指标.

由题意知:

λ222=

～

j =1

6λ2j =0. 03(1/10h ) ,

～

R 222=

j =1

R 2j =0. 994,

显然R 1=R 222=R 3, 而

R s =1-(1-R 1) =1-(1-0. 994) =0. 9999,

显然μ极可靠(0. 9999) >μ很可靠(0. 9999) >μ较可靠(0. 9999) .

根据最大隶属原则可以判定这个系统目前正处于“极可靠”的工作阶段, 这时它的模糊可靠度为

R s =μR s =0. 9989. 极可靠(0. 9999) ・计算并串联系统在“极可靠”工作状态的模糊平均寿命, 由已知

μ极可靠(0. 995) m =0. 90,

λ1=λ222=λ3=～

～

], 高和. 模糊可靠性[J].模糊系统与数学,1988,2(2) :

11223.

[5]　李廷杰, 高和. 串联系统的模糊可靠性[J].模糊系统与数学,

1989,3(1) :38245.

由式(11) 得

M T T F s =

～

0. 03×10-40. 3

+1-0. 9021-0. 1-=

[

6]　李廷杰, 高和. 并联系统的模糊可靠性[J].系统工程理论与实

践,1990,6(2) :11214.

[7]　吴和成. 指数型元件串联系统可靠性的fiducial 置信限[J].甘

1-3

肃科学学报,2004,16(4) :62264.

[8]

Huang H Z. Reliability Analysis Met hod in t he Presence of Fuzziness Attached to Operating Time [J].Microelectron and Reliability ,1995,135(12) :148321487.

64. 56×10(h ) .

　　从上面计算可知, 这个并串联系统目前正处在“极可靠”的工作阶段, 这个阶段长为64. 56×104h .

作者简介:

李冬娜, (1981-) 女, 甘肃省武威人,2004年毕业于兰州理工大学信息与计算科学专业, 现为兰州理工大学理学院硕士.

并串联系统的模糊可靠性分析

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