几何知识点总结
一、三角形:
1、三角形的内角和等于180°,外角和等于360°.
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和,外角大于任何一个与它不相邻的内角. 2、三角形的三边关系:三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边. 3、三角形的有关线段:三角形的高线是从一个角的顶点向对边所在直线所做的垂线段; 三角形的中线是一个顶点与对边中点间的线段;
三角形的角平分线是一个内角的平分线与对边相交,角的顶点和交点间的线段; 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.
二、三角形全等:
1、 三角形全等的性质:全等三角形对应边相等,对应角相等.
2、真命题:全等三角形对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积都对应相等. 3、全等三角形的判定:SSS ,SAS ,ASA,AAS, 直角三角形除上述判定定理外还有一个HL. 三、三角形相似:
1、三角形相似的性质:相似三角形对应边成比例,对应角相等,对应高的比、对应中线的比、对应对角线的比、周长的比都等于相似比,面积的比等于相似比的平方. 2、相似三角形的判定:
平行于三角形一边与其它两边相交所形成的三角形与原三角形相似;(A 型) 三边对应成比例的两个三角形相似;
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;
两个角对应相等的两个三角形相似; 四、等腰三角形:
1、等腰三角形的性质: 等腰三角形的两腰相等; 等腰三角形的两个底角相等;(简称等边对等角);
等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边的高互相重合;(简称三线合一) 等腰三角形只轴对称不中心对称,只有一条对称轴. 2、等腰三角形的判定:
有两边相等的三角形叫做等腰三角形; 有两个角相等的三角形是等腰三角形;(简称为等角对等边) 五、等边三角形:
1、等边三角形的性质: 等边三角形的三边相等;
等边三角形的三个角相等,并且都等于60°;
等边三角形每个角的平分线与它对边中线、对边高线都互相重合.(简称三线合一) 等边三角形只轴对称不中心对称,有三条对称轴. 2、等边三角形的判定:
三边相等的三角形叫做等边三角形; 三个角都相等的三角形是等边三角形;
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 六、直角三角形: 1、直角三角形性质:
直角三角形有一个角是直角,两个锐角互余.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; 直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半. 2、 直角三角形的判定:
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形; 两个锐角互余的三角形是直角三角形; 勾股定理的逆定理:如果一个三角形两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形;
如果一个三角形一边中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形; 七、锐角三角函数:
1、定义:在直角三角形中, 正弦:sin A =
∠A 的对边
(0°<∠A <90°,0<sin A <1)
斜边∠A 的邻边
(0°<∠A <90°,0<cos A <1)
斜边
余弦:cos A =
正切:tan A =
∠A 的对边
(0°<∠A <90°,tan A >0)
∠A 的邻边
3、有关性质:
互余两角的正余弦关系:一个角的正弦等于它余角的余弦;sin A =cos(90-A ) 一个角的余弦等于它余角的正弦;cos A =sin(90-A ) 同角的正余弦关系:sin A +cos A =1同角的正余弦与正切关系:tan A =互余两角的正切关系:tan A ⋅tan(90-A)=1
增减性:正弦函数和正切函数都随角度的增大而增大; 余弦函数随角度的增大而减小.
2
2
sin A
cos A
八、四边形:
1、平行四边形性质: 2、平行四边形的判定: 平行四边形的:两组对边分别平行; 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形; 两组对边分别相等; 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 两组对角分别相等; 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; 对角线互相平分. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 平行四边形只中心对称不轴对称. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 3、 矩形性质: 4、矩形的判定:
矩形具有平行四边形的所有性质; 有一个角是直角的平行四边形是矩形; 矩形区别于平行四边形的性质: 三个角是直角的四边形是矩形; 矩形的:四个角都是直角; 对角线相等的平行四边形是矩形. 对角线相等.
矩形既是轴对称图形又是中心对称图形,共有两条对称轴. 5、菱形性质:
菱形具有平行四边形的所有性质; 菱形区别于平行四边形的性质: 菱形的:四条边都相等;
对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,共有两条对称轴. 6、菱形的判定:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形; 四条边都相等的四边形是菱形;
对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 7、正方形性质:
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质:
正方形的对边平行;四条边都相等;四个角都是直角;对角线相等且互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角.
正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,共有四条对称轴. 8、正方形的判定:
判定一个四边形既是矩形又是菱形就可判定其是正方形.
如:有一个角是直角的菱形是正方形;有一组邻边相等的矩形是正方形. 等等. 9、等腰梯形的性质:
等腰梯形的:两腰相等;同一底上的两个角相等; 两条对角线相等.
等腰梯形只轴对称不中心对称,只有一条对称轴. 10、等腰梯形的判定:
两腰相等的梯形是等腰梯形;
同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形; 对角线相等的梯形是等腰梯形.
11、梯形的中位线:连接梯形两腰中点的线段是梯形的中位线.
性质:梯形的中位线平行于上下两底并且等于上下两底和的一半. 12、特殊题型:对角线互相垂直的等腰梯形中位线长等于梯形的高; 面积=
(上底+下底)高⋅
=中位线⋅高=中位线的平方=高的平方
2
九、圆:1、垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧; 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
2、圆心角、弧、弦性质定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角、相等的弧、相等的弦中有一组量对应相等,其余各组量都分别对应相等.
3、圆周角定理:一条弧所对圆周角等于这条弧所对圆心角的一半;同弧或等弧所对圆周角相等;直径所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 4、一条弧所对的圆周角、圆心角之间的关系:
弧的度数=弧所对圆心角的度数=弧所对圆周角度数的2倍.
5、圆内接四边形性质定理:圆内接四边形对角互补;真命题:圆内接四边形的外角等于它的内对角. 注意:一条弦所对圆心角度数有一个,所对圆周角度数有两个,这两个度数互补. 6、点和圆位置关系:用点到圆心的距离d 与半径r 比较
点A 在⊙O 内 d <r ;点A 在⊙O 上 d=r;点A 在⊙O 外 r. 7、直线和圆位置关系:用圆心到直线的距离d 与半径r 比较
直线和圆相离 d >r ;直线和圆相切 d=r;直线和圆相交 d <r. 8、圆和圆位置关系:用两圆心之间的距离圆心距d 与两圆半径和、差比较 外离 d >r 1+r 2;外切d=r 1+r 2;相交 r 2-r 1<d <r 1+r 2; 内切 d=r 2-r 1;内含 d <r 2-r 1;同心d=0.
9、切线的性质:切线与圆只有一个公共点;圆心到切线的距离等于半径(d=r); 性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. 10、切线的判定:与圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线;圆心到直线的距离等于半径(d=r)这条直线是圆的切线;判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 注意:有切点连半径证垂直;无切点作垂直证半径.
11、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线所得切线长相等,并且这点和圆心的连线平分两切线的夹角.
360
12、正多边形的中心角等于每一个外角等于最小旋转角=
n
2
=13、公式:圆周长:C =2πr =πD ;圆面积:S =πr ;弧长:l AB
o
n πr
; 180
1n πr 21
=lr ;弓形面积:S 弓形=S 扇形±S ;圆锥的体积:V 圆锥=πr 2h ; 扇形面积:S =
33602l 是圆锥母线)圆锥侧面积:(r 是圆锥底面圆半径,全面积:S 侧=πrl S 全=S 侧+S 底=πrl +πr
圆柱侧面积:S 侧=底面周长⋅高=2πr ⋅h (圆柱的高也是圆柱的母线);
圆柱全面积:S 全=S 侧+2S 底=2πrh +2πr ;圆柱的体积:V 圆柱=底面积⨯高=πr ⋅h ; 圆锥侧面展开图扇形圆心角度数求法:用圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆周长求
2
2
2
l =AB
n πR
=2πr (其中R 是圆锥侧面展开图扇形的半径也是圆锥的母线,r 是底面圆半径). 180
几何知识点总结
一、三角形:
1、三角形的内角和等于180°,外角和等于360°.
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和,外角大于任何一个与它不相邻的内角. 2、三角形的三边关系:三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边. 3、三角形的有关线段:三角形的高线是从一个角的顶点向对边所在直线所做的垂线段; 三角形的中线是一个顶点与对边中点间的线段;
三角形的角平分线是一个内角的平分线与对边相交,角的顶点和交点间的线段; 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.
二、三角形全等:
1、 三角形全等的性质:全等三角形对应边相等,对应角相等.
2、真命题:全等三角形对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积都对应相等. 3、全等三角形的判定:SSS ,SAS ,ASA,AAS, 直角三角形除上述判定定理外还有一个HL. 三、三角形相似:
1、三角形相似的性质:相似三角形对应边成比例,对应角相等,对应高的比、对应中线的比、对应对角线的比、周长的比都等于相似比,面积的比等于相似比的平方. 2、相似三角形的判定:
平行于三角形一边与其它两边相交所形成的三角形与原三角形相似;(A 型) 三边对应成比例的两个三角形相似;
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;
两个角对应相等的两个三角形相似; 四、等腰三角形:
1、等腰三角形的性质: 等腰三角形的两腰相等; 等腰三角形的两个底角相等;(简称等边对等角);
等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边的高互相重合;(简称三线合一) 等腰三角形只轴对称不中心对称,只有一条对称轴. 2、等腰三角形的判定:
有两边相等的三角形叫做等腰三角形; 有两个角相等的三角形是等腰三角形;(简称为等角对等边) 五、等边三角形:
1、等边三角形的性质: 等边三角形的三边相等;
等边三角形的三个角相等,并且都等于60°;
等边三角形每个角的平分线与它对边中线、对边高线都互相重合.(简称三线合一) 等边三角形只轴对称不中心对称,有三条对称轴. 2、等边三角形的判定:
三边相等的三角形叫做等边三角形; 三个角都相等的三角形是等边三角形;
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 六、直角三角形: 1、直角三角形性质:
直角三角形有一个角是直角,两个锐角互余.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; 直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半. 2、 直角三角形的判定:
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形; 两个锐角互余的三角形是直角三角形; 勾股定理的逆定理:如果一个三角形两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形;
如果一个三角形一边中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形; 七、锐角三角函数:
1、定义:在直角三角形中, 正弦:sin A =
∠A 的对边
(0°<∠A <90°,0<sin A <1)
斜边∠A 的邻边
(0°<∠A <90°,0<cos A <1)
斜边
余弦:cos A =
正切:tan A =
∠A 的对边
(0°<∠A <90°,tan A >0)
∠A 的邻边
3、有关性质:
互余两角的正余弦关系:一个角的正弦等于它余角的余弦;sin A =cos(90-A ) 一个角的余弦等于它余角的正弦;cos A =sin(90-A ) 同角的正余弦关系:sin A +cos A =1同角的正余弦与正切关系:tan A =互余两角的正切关系:tan A ⋅tan(90-A)=1
增减性:正弦函数和正切函数都随角度的增大而增大; 余弦函数随角度的增大而减小.
2
2
sin A
cos A
八、四边形:
1、平行四边形性质: 2、平行四边形的判定: 平行四边形的:两组对边分别平行; 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形; 两组对边分别相等; 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 两组对角分别相等; 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; 对角线互相平分. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 平行四边形只中心对称不轴对称. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 3、 矩形性质: 4、矩形的判定:
矩形具有平行四边形的所有性质; 有一个角是直角的平行四边形是矩形; 矩形区别于平行四边形的性质: 三个角是直角的四边形是矩形; 矩形的:四个角都是直角; 对角线相等的平行四边形是矩形. 对角线相等.
矩形既是轴对称图形又是中心对称图形,共有两条对称轴. 5、菱形性质:
菱形具有平行四边形的所有性质; 菱形区别于平行四边形的性质: 菱形的:四条边都相等;
对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,共有两条对称轴. 6、菱形的判定:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形; 四条边都相等的四边形是菱形;
对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 7、正方形性质:
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质:
正方形的对边平行;四条边都相等;四个角都是直角;对角线相等且互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角.
正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,共有四条对称轴. 8、正方形的判定:
判定一个四边形既是矩形又是菱形就可判定其是正方形.
如:有一个角是直角的菱形是正方形;有一组邻边相等的矩形是正方形. 等等. 9、等腰梯形的性质:
等腰梯形的:两腰相等;同一底上的两个角相等; 两条对角线相等.
等腰梯形只轴对称不中心对称,只有一条对称轴. 10、等腰梯形的判定:
两腰相等的梯形是等腰梯形;
同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形; 对角线相等的梯形是等腰梯形.
11、梯形的中位线:连接梯形两腰中点的线段是梯形的中位线.
性质:梯形的中位线平行于上下两底并且等于上下两底和的一半. 12、特殊题型:对角线互相垂直的等腰梯形中位线长等于梯形的高; 面积=
(上底+下底)高⋅
=中位线⋅高=中位线的平方=高的平方
2
九、圆:1、垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧; 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
2、圆心角、弧、弦性质定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角、相等的弧、相等的弦中有一组量对应相等,其余各组量都分别对应相等.
3、圆周角定理:一条弧所对圆周角等于这条弧所对圆心角的一半;同弧或等弧所对圆周角相等;直径所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 4、一条弧所对的圆周角、圆心角之间的关系:
弧的度数=弧所对圆心角的度数=弧所对圆周角度数的2倍.
5、圆内接四边形性质定理:圆内接四边形对角互补;真命题:圆内接四边形的外角等于它的内对角. 注意:一条弦所对圆心角度数有一个,所对圆周角度数有两个,这两个度数互补. 6、点和圆位置关系:用点到圆心的距离d 与半径r 比较
点A 在⊙O 内 d <r ;点A 在⊙O 上 d=r;点A 在⊙O 外 r. 7、直线和圆位置关系:用圆心到直线的距离d 与半径r 比较
直线和圆相离 d >r ;直线和圆相切 d=r;直线和圆相交 d <r. 8、圆和圆位置关系:用两圆心之间的距离圆心距d 与两圆半径和、差比较 外离 d >r 1+r 2;外切d=r 1+r 2;相交 r 2-r 1<d <r 1+r 2; 内切 d=r 2-r 1;内含 d <r 2-r 1;同心d=0.
9、切线的性质:切线与圆只有一个公共点;圆心到切线的距离等于半径(d=r); 性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. 10、切线的判定:与圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线;圆心到直线的距离等于半径(d=r)这条直线是圆的切线;判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 注意:有切点连半径证垂直;无切点作垂直证半径.
11、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线所得切线长相等,并且这点和圆心的连线平分两切线的夹角.
360
12、正多边形的中心角等于每一个外角等于最小旋转角=
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=13、公式:圆周长:C =2πr =πD ;圆面积:S =πr ;弧长:l AB
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n πr
; 180
1n πr 21
=lr ;弓形面积:S 弓形=S 扇形±S ;圆锥的体积:V 圆锥=πr 2h ; 扇形面积:S =
33602l 是圆锥母线)圆锥侧面积:(r 是圆锥底面圆半径,全面积:S 侧=πrl S 全=S 侧+S 底=πrl +πr
圆柱侧面积:S 侧=底面周长⋅高=2πr ⋅h (圆柱的高也是圆柱的母线);
圆柱全面积:S 全=S 侧+2S 底=2πrh +2πr ;圆柱的体积:V 圆柱=底面积⨯高=πr ⋅h ; 圆锥侧面展开图扇形圆心角度数求法:用圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆周长求
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l =AB
n πR
=2πr (其中R 是圆锥侧面展开图扇形的半径也是圆锥的母线,r 是底面圆半径). 180