初二数学动点问题练习(3含答案)

动态问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想 1、如图1，梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。 当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形

. 8

2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为3、如图，在Rt△ABC中，ACB90°，B60°，BC2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点

D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为．

（1）①当EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ；

②当EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ； （2）当90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5；

（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.

∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形

在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.

1

AC

2∴AB=4,AC

∴AO=.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2. （备用图） ∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形，

∴四边形EDBC是菱形

4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN

于E. C

M

C

A

B

图2

N

D

图3

B

1

图1

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC≌△CEB

② ∵△ADC≌△CEB ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD≌△CBE ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE

(3) 当MN旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE， 又∵AC=BC， ∴△ACD≌△CBE， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD.

5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．AEF90，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AEEF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

D 解：（1）正确． A

D 证明：在AB上取一点M，使AMEC，连接ME． A

BMBE．BME45°，AME135°． F CF是外角平分线，DCF45°，ECF135°AMEECF． 图1 E C G AEBBAE90°，AEBCEF90°， D A

． AEEF． BAECEF． △AME≌△BCF（ASA）

（2）正确．

证明：在BA的延长线上取一点N．使ANCE，连接NE． N BNBE． NPCE45°． 图2

D A 四边形ABCD是正方形， AD∥BE． D A DAEBEA． NAECEF． △ANE≌△ECF（ASA）． AEEF． G C

图3

6、如图, 射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t. 求（1）△ PAB为等腰三角形的t值；（2）△ PAB为直角三角形的t值；

（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB为直角三角形的t值

F G

F G

G

2

7、在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,E为AB的中点,过点E作EF‖BC交CD于点F.AB=4,BC=6, ∠ B=60°。

（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN‖AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x

①当点N在线段AD上时，△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由

②当点N在线段DC上时，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的X的值，若不存在，请说明理由。

① ②1°

① ②1

° 2

°

3

3°2° 3°

8、如图，已知△ABC中，ABAC10厘米，BC8厘米，点D为AB的中点． (1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵t1秒， ∴BPCQ313厘米， ∵AB10厘米，点D为AB的中点， ∴BD5厘米．

又∵PCBCBP，BC8厘米， ∴PC835厘米， ∴PCBD． 又∵ABAC， ∴BC， ∴△BPD≌△CQP． ②∵

vPvQ

D， ∴BPCQ， 又∵△BP≌△C，BC，则

BPPC4，CQBD5，

∴点P，点Q运动的时间

t

BP4

33秒， ∴

vQ

CQ515

44t

3厘米/秒。

8015

xx3x210

3秒．（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得4，解得

4

80

3803∴点P共运动了厘米． ∵8022824，∴点P、点Q在AB边上相遇， 80

∴经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．

7、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB4，BC6，∠B60.求：（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.

MN①当点N在线段AD上时（如图2），△P

的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的

周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由

A B

图1 A B

图4（备用）

D F C

B

图5（备用）

D F C

B

A N

D F C B

图2

D F C A M

M

图3

（第25题） A

D N F

C

BE

1

AB2．2

解（1）如图1，过点E作EGBC于点G． ∵E为AB的中点， ∴

BG

在Rt△EBG中，∠B60， ∴∠BEG30． ∴即点E到BC

1

BE1，EG2

A B

D F

G

图1

C

（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变． ∵PMEF，EGEF， ∴PM∥EG．∵EF∥BC， ∴EP

GM，PMEG 同理MNAB4．如图2，过点P作PHMN于H，∵MN∥AB， ∴∠NMC∠B60，∠PMH30．

∴PH

1 PM22

A B

G 图2

C

N

D F

335

∴MHPMcos30．则NHMNMH4．

2 22

在Rt△

PNH中，PN ∴△PMN的周长

=PMPNMN4．

②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形． 当PMPN时，如图3，作PRMN于R，则MRNR．

3

类似①，MR．∴MN2MR3． ∵△MNC是等边三角形，∴MCMN3．

2

此时，xEPGMBCBGMC6132．

A D A A D D

N

P F（P） F F N

R N

B C B B C C

G G M G M M

图5 图3 图4

当MPMN时，如图4，

这时MCMNMP xEPGM615

此时，当NPNM时，如图5，∠NPM∠PMN30．又∠MNC60， 则∠PMN120，∴∠PNM∠MNC180． 因此点P与F重合，△PMC为直角三角形． ∴MCPMtan301． 此时，xEPGM6114．综上所述，当x2或4

或5时，△PMN为等腰三角形．

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动态问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想 1、如图1，梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。 当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形

. 8

2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为3、如图，在Rt△ABC中，ACB90°，B60°，BC2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点

D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为．

（1）①当EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ；

②当EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ； （2）当90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5；

（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.

∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形

在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.

1

AC

2∴AB=4,AC

∴AO=.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2. （备用图） ∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形，

∴四边形EDBC是菱形

4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN

于E. C

M

C

A

B

图2

N

D

图3

B

1

图1

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC≌△CEB

② ∵△ADC≌△CEB ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD≌△CBE ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE

(3) 当MN旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE， 又∵AC=BC， ∴△ACD≌△CBE， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD.

5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．AEF90，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AEEF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

D 解：（1）正确． A

D 证明：在AB上取一点M，使AMEC，连接ME． A

BMBE．BME45°，AME135°． F CF是外角平分线，DCF45°，ECF135°AMEECF． 图1 E C G AEBBAE90°，AEBCEF90°， D A

． AEEF． BAECEF． △AME≌△BCF（ASA）

（2）正确．

证明：在BA的延长线上取一点N．使ANCE，连接NE． N BNBE． NPCE45°． 图2

D A 四边形ABCD是正方形， AD∥BE． D A DAEBEA． NAECEF． △ANE≌△ECF（ASA）． AEEF． G C

图3

6、如图, 射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t. 求（1）△ PAB为等腰三角形的t值；（2）△ PAB为直角三角形的t值；

（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB为直角三角形的t值

F G

F G

G

2

7、在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,E为AB的中点,过点E作EF‖BC交CD于点F.AB=4,BC=6, ∠ B=60°。

（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN‖AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x

①当点N在线段AD上时，△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由

②当点N在线段DC上时，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的X的值，若不存在，请说明理由。

① ②1°

① ②1

° 2

°

3

3°2° 3°

8、如图，已知△ABC中，ABAC10厘米，BC8厘米，点D为AB的中点． (1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵t1秒， ∴BPCQ313厘米， ∵AB10厘米，点D为AB的中点， ∴BD5厘米．

又∵PCBCBP，BC8厘米， ∴PC835厘米， ∴PCBD． 又∵ABAC， ∴BC， ∴△BPD≌△CQP． ②∵

vPvQ

D， ∴BPCQ， 又∵△BP≌△C，BC，则

BPPC4，CQBD5，

∴点P，点Q运动的时间

t

BP4

33秒， ∴

vQ

CQ515

44t

3厘米/秒。

8015

xx3x210

3秒．（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得4，解得

4

80

3803∴点P共运动了厘米． ∵8022824，∴点P、点Q在AB边上相遇， 80

∴经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．

7、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB4，BC6，∠B60.求：（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.

MN①当点N在线段AD上时（如图2），△P

的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的

周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由

A B

图1 A B

图4（备用）

D F C

B

图5（备用）

D F C

B

A N

D F C B

图2

D F C A M

M

图3

（第25题） A

D N F

C

BE

1

AB2．2

解（1）如图1，过点E作EGBC于点G． ∵E为AB的中点， ∴

BG

在Rt△EBG中，∠B60， ∴∠BEG30． ∴即点E到BC

1

BE1，EG2

A B

D F

G

图1

C

（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变． ∵PMEF，EGEF， ∴PM∥EG．∵EF∥BC， ∴EP

GM，PMEG 同理MNAB4．如图2，过点P作PHMN于H，∵MN∥AB， ∴∠NMC∠B60，∠PMH30．

∴PH

1 PM22

A B

G 图2

C

N

D F

335

∴MHPMcos30．则NHMNMH4．

2 22

在Rt△

PNH中，PN ∴△PMN的周长

=PMPNMN4．

②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形． 当PMPN时，如图3，作PRMN于R，则MRNR．

3

类似①，MR．∴MN2MR3． ∵△MNC是等边三角形，∴MCMN3．

2

此时，xEPGMBCBGMC6132．

A D A A D D

N

P F（P） F F N

R N

B C B B C C

G G M G M M

图5 图3 图4

当MPMN时，如图4，

这时MCMNMP xEPGM615

此时，当NPNM时，如图5，∠NPM∠PMN30．又∠MNC60， 则∠PMN120，∴∠PNM∠MNC180． 因此点P与F重合，△PMC为直角三角形． ∴MCPMtan301． 此时，xEPGM6114．综上所述，当x2或4

或5时，△PMN为等腰三角形．

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