顶尖教育初中数学教师招聘试讲教案
二次函数
考点一、二次函数的概念 1、二次函数的概念
一般地，如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数。 y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 叫做二次函数的一般式。 2、二次函数y =ax +bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 中，a 、b 、c 的含义：
2
有实根x 1和x 2存在时，二次函数y =ax 2+bx +c 可转化为两根式
y =a (x -x 1)(x -x 2) 。如果没有交点，则不能这样表示。
已知抛物线与x 轴的交点坐标(x1,0).(x2,0) 考点三、二次函数的图像及性质 1、二次函数的图像是一条关于x =-
b
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 2、二次函数的性质 函数
a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上
a
y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0)
a>0
（1）伸；
a
b 与对称轴有关：对称轴为x=-
b
2a
图像
（0，c ） c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：考点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y =ax +bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0)
已知任意三点坐标
（2）顶点式：y =a (x -h ) +k (a , h , k 是常数，a ≠0)
已知顶点坐标、对称轴或最值
2
（3）当抛物线y =ax +bx +c 与x 轴有交点时，即对应二次方程ax +bx +c =0
2
2
2
（1性质
伸；
（2）对称轴是x=-
b b ，顶点坐标是（2）对称轴是x=-，顶点坐标是2a 2a
- 1 -
b 4ac -b 2
（-，）；
2a 4a b
（3）在对称轴的左侧，即当x
2a
时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>-
b 4ac -b 2
（-，）；
2a 4a b
（3）在对称轴的左侧，即当x
2a
时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>-
例2、我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元 ∕ 件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x （元 ∕ 件）
b
时，y 随2a
b
时，2a
2
b
时，y 2a
x 的增大而增大，简记左减右增； （4）抛物线有最低点，当x=-
随x 的增大而减小，简记左增右减；
（4）抛物线有最高点，当x=-
y 有最小值，y 最小值=
4ac -b 4a
b
时，2a
2
与每天销售量
y （件）之间满足如图所示关系． y 与x 之间的函数关系式；
（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量； （2）①试求出
y 有最大值，y 最大值=
4ac -b
4a
②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价－成本总价）。
例1、如图，等腰梯形ABCD 中，AB =4，CD =9，∠C =60°，动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD 的长；
（2）设CP =x ，问当x 为何值时△PD Q 的面积达到最大，并求出最大值；
（3）探究：在BC 边上是否存在点M 使得四边形PD Q M 是菱形？若存在，请找出点M ，并求出BM 的长；不存在，请说明理由.
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二次函数
考点一、二次函数的概念 1、二次函数的概念
一般地，如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数。 y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 叫做二次函数的一般式。 2、二次函数y =ax +bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 中，a 、b 、c 的含义：
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有实根x 1和x 2存在时，二次函数y =ax 2+bx +c 可转化为两根式
y =a (x -x 1)(x -x 2) 。如果没有交点，则不能这样表示。
已知抛物线与x 轴的交点坐标(x1,0).(x2,0) 考点三、二次函数的图像及性质 1、二次函数的图像是一条关于x =-
b
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 2、二次函数的性质 函数
a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上
a
y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0)
a>0
（1）伸；
a
b 与对称轴有关：对称轴为x=-
b
2a
图像
（0，c ） c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：考点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y =ax +bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0)
已知任意三点坐标
（2）顶点式：y =a (x -h ) +k (a , h , k 是常数，a ≠0)
已知顶点坐标、对称轴或最值
2
（3）当抛物线y =ax +bx +c 与x 轴有交点时，即对应二次方程ax +bx +c =0
2
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（1性质
伸；
（2）对称轴是x=-
b b ，顶点坐标是（2）对称轴是x=-，顶点坐标是2a 2a
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b 4ac -b 2
（-，）；
2a 4a b
（3）在对称轴的左侧，即当x
2a
时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>-
b 4ac -b 2
（-，）；
2a 4a b
（3）在对称轴的左侧，即当x
2a
时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>-
例2、我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元 ∕ 件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x （元 ∕ 件）
b
时，y 随2a
b
时，2a
2
b
时，y 2a
x 的增大而增大，简记左减右增； （4）抛物线有最低点，当x=-
随x 的增大而减小，简记左增右减；
（4）抛物线有最高点，当x=-
y 有最小值，y 最小值=
4ac -b 4a
b
时，2a
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与每天销售量
y （件）之间满足如图所示关系． y 与x 之间的函数关系式；
（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量； （2）①试求出
y 有最大值，y 最大值=
4ac -b
4a
②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价－成本总价）。
例1、如图，等腰梯形ABCD 中，AB =4，CD =9，∠C =60°，动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD 的长；
（2）设CP =x ，问当x 为何值时△PD Q 的面积达到最大，并求出最大值；
（3）探究：在BC 边上是否存在点M 使得四边形PD Q M 是菱形？若存在，请找出点M ，并求出BM 的长；不存在，请说明理由.
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