第九章 双线性函数
本章从线性函数入手，推广欧氏空间的若干性质到一般数域F 上向量空间上，即双线性函数的概念，然后介绍正交空间、辛空间的一些基本结论． §1 线性函数
定义1设V 是数域F 上的一个向量空间．σ是V 到F 的映射，如果 1) ∀α, β∈V , σ(α+β) =σ(α) +σ(β) ， 2) ∀α∈V , ∀k ∈F , σ(k α) =k σ(α) ， 则说σ是V 上的一个线性函数，
由定义可以看出线性函数就是V 到F 的线性映射。因而关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立。
线性函数是十分重要的函数类，在数学的多个分支和一些实际问题中都要用到它．下面看几个例子．
例1 给定F 中的n 个元素a 1, a 2, f (x 1, x 2,
, a n , ∀(x 1,x 2, , x n ∈F n ) ，规定
, a 1+x n x =) 1
2
a +x 2+n n a x
容易验证f 保持加法与纯量乘法两种运算．因此f 是F n 上的一个线性函数．
例2 矩阵的迹把数域F 上每一个n 阶矩阵A =(a ij ) n ⨯n 对应F 中的一
(A +个元素∑a ii , 并且有 T r
i =1
n
B ) =T (r ) A +T (，r ) Tr B (kA ) =kTr (A ) ．
所以矩阵的迹是M n (F ) 上的一个线性函数．
例3 定积分使每一个连续函数f (x ) 对应一个实数⎰f (x ) dx , 并
a b
且满足
⎰
b a
(f (x ) +g (x )) dx =⎰f (x ) dx +⎰g (x ) dx ，⎰(kf (x )) dx =k ⎰f (x ) dx ．
a
a
a
a
b b b b
所以定积分是C [a , b ]上的一个线性函数．
251
注意，在数学分析中把形如g (x 1, x 2, , x n ) =a 1x 1++ a n x n +b 的n
元函数g 叫做线性函数．若b ≠0，则g 不保持加法运算，也不保持纯量乘法运算，从而g 不是定义1意义上的线性函数．所以，“线性函数”这一术语在分析和代数里有不同的含义．代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数．
我们来讨论有限维向量空间V 上的线性函数f 的表达式．
设V 是数域F 上的n 维向量空间，f 是V 上的一个线性函数．在V 中取一个基α1, α2,
, αn ．由于f 可以看成是向量空间V 到向量空间F 的一
, αn 上的作用所决
, f (αn ) ，就可以知道V 中任一向量
n i =1
个线性映射，因此f 完全被它在V 的一个基α1, α2, 定．即只要知道f (α1), f (α2),
n i =1
β=∑x i αi 在f 作用下的象f (β) =∑x i f (αi ) .
定理1 设V 是F 上一个n 维向量空间，α1, α2,
, αn 是V 的一个基，
b 1, b 2, , b n 是F 中任意取定的n 个数，则存在V 上唯一的线性函数f ，使
, n
得 f (αi ) =b i ，i =1,2,
证明 对 β=x 1α1+x 2α2++x n αn ∈V ，b 1, b 2, , b n ∈F
f :V →F
β
x 1b 1+x 2b 2++x n b n
, n ；
, n ，则∀β∈V ，
是一个线性函数，且满足f (αi ) =b i ，i =1,2, 若还有线性函数g ，且满足g (αi ) =b i ，i =1,2,
n
n
n
g (β) =∑x i g (αi ) =∑x i b i =∑x i f (αi ) =f (β)
i =1
i =1
i =1
§2 双线性函数
定义1 设V 是数域F 上一个向量空间，f 是V ⨯V 到F 的一个二元函数，. 如果∀α, β, γ∈V , ∀k ∈F ，满足：
1) f (α, β+γ) =f (α, β) +f (α, γ) ; 2) f (α+β, γ) =f (α, γ) +f (β, γ) ;
252
3) f (k α, β) =f (α, k β) =kf (α, β) 则称f (α, β) 为V 上的一个双线性函数.
如果∀α, β∈V , 双线性函数f 还满足 4) f (α, β) =f (β, α)
则称f (α, β) 为V 上的一个对称双线性函数。
如果∀α, β∈V , 双线性函数f 还满足 5) f (α, β) =-f (β, α)
则称f (α, β) 为V 上的一个反对称双线性函数. 。
从定义可以看出，对于V 上双线性函数f (α, β) ，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数. 。
例1 欧氏空间V 的内积是V 上对称双线性函数. 例2 设f 1(α), f 2(α) 都是向量空间V 上的线性函数，则
f (α, β) =f 1(α) f 2(β) ,
是V 上的一个对称双线性函数.
α, β∈V
例3 设F n 是数域F 上n 维列向量构成的向量空间. 如果设X '=(x 1, x 2,
, x n ), Y '=(y 1, y 2,
a 1n ⎫⎪a 2n ⎪
⎪⎪a nn ⎭
, y n ), X , Y ∈F n ，
⎛a 11 a A = 21
⎝a n 1
a 12a 22a n 2
253
则 f (X , Y ) =X 'AY =x (1x , 2
⎛y 1⎫
⎪y
, x n , A ) 2⎪=x 1x (
⎪ ⎪⎝y n ⎭
2
⎛n ⎫ ∑a 1j y j ⎪ j =1⎪ n ⎪ ∑a 2j y j ⎪, x n , j , ) ⎪， =1
⎪ ⎪n ⎪
a y ∑nj j ⎪⎝j =1⎭
. =∑x i (∑a ij y j ) =∑∑a ij x i y j
i =1
j =1
i =1j =1
n n n n
则f (X , Y ) 是F n 上的一个双线性函数.
反过来，若f 是数域F 上n 维向量空间V 上的双线性函数，取V 的一组基α1, α2,
, αn . ，令
a ij =f (αi , αj ) , i , j =1,2, ⎛a 11
a A = 21
⎝a n 1
, n ,
a 12a 22a n 2
a 1n ⎫⎪a 2n ⎪
⎪⎪a nn ⎭
∀ξ, η∈V ，ξ=(α1, α2,
⎛x 1⎫ ⎪x
, αn ) 2⎪=(α1, α2,
⎪ ⎪⎝x n ⎭
, αn ) X ,
η=(α1, α2,
⎛y 1⎫ ⎪y 2⎪ , αn ) =(α1, α2, ⎪ ⎪⎝y n ⎭
, αn ) Y ,
则
254
f (ξ, η) =f (∑x i αi , ∑y j αj ) =∑∑f (αi , αj ) x i y j =∑∑a ij x i y j =X ' AY .
i =1
j =1
i =1j =1
i =1j =1
n n n n n n
就决定了矩阵A .
定义2 设f (α, β) 是数域F 上n 维向量空间V 上的一个双线性函数.
α1, α2, , αn 是V 的一组基，则矩阵
⎛f (α1, α1)
f (α2, α1) A =
⎝f (αn , α1)
叫做f (α, β) 在α1, α2,
f (α1, α2) f (α2, α2) f (αn , α2)
f (α1, αn ) ⎫
⎪
f (α2, αn ) ⎪
(4) ⎪⎪
f (αn , αn ) ⎭
, αn 下的度量矩阵.
, αn 后，每个双线性函数都
, αn 下的度量矩阵.
上面的讨论说明，取定V 的一组基α1, α2,
对应于一个n 级矩阵，就是这个双线性函数在基α1, α2,
度量矩阵被双线性函数及基唯一确定. 而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.
不难看出例3利用矩阵A 和V 的一组基α1, α2, 在基α1, α2,
, αn 确定的双线性函数
, αn 下的度量矩阵正好就是A .
因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数与F 上全体n 级矩阵之间的有一个双射。
在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设α1, α2,
, αn 与β1, β2,
, αn ) T
, βn 是向量空间V 的两组基：
(β1, β2, , βn ) =(α1, α2,
ξ, η是V 中两个向量
ξ=(α1, α2, , αn ) X =(β1, β2, , βn ) X 1,
255
η=(α1, α2, , αn ) Y =(β1, β2, , βn ) Y 1
那么，X =TX 1, Y =TY 1 如果双线性函数f 在α1, α2,
, αn 与β1, β2, , βn 下的度量矩阵分别为
A , B ，则有
f (ξ, η) =X 'AY =(TX 1) 'A (TY 1) =X 1'(T ' AT ) Y 1=X 1' BY 1.
因此，B =T ' AT 。这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.
定义3 设f (α, β) 是向量空间V 上一个双线性函数，如果对任意
β∈V ，f (α, β) =0，可推出α=0，f 就叫做非退化的.
可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的. 设双线性函数
f (α, β) 在基α1, α2, , αn 下的度量矩阵为A ，则对
α=(α1, α2, , αn ) X , β=(α1, α2, , αn ) Y ，有
f (α, β) =X 'AY ，如果向量α满足 f (α, β) =0, ∀β∈V ，那么对任意
Y 都有
X 'AY =0，因此，X 'A =0，
而有非零向量X '使上式成立的充要条件为A 是退化的，因此，双线性函数
f (α, β) 是非退化的充要条件为其度量矩阵A 为非退化矩阵. 。
对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简. 但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的. 对于对称矩阵已有较完整的理论.
设f (α, β) 是向量空间V 上的一个对称双线性函数，对V 的任一组基
α1, α2, , αn ，由于f (αi , αj ) =f (αj , αi ) ，故其度量矩阵是对称的，另一方
面，如果双线性函数f (α, β) 在α1, α2,
, αn 下的度量矩阵是对称的，那么对
256
V 中任意两个向量α=(α1, α2, , αn ) X 及β=(α1, α2, , αn ) Y 都有
f (α, β) =X 'AY =Y 'A 'X =Y 'AX =f (β, α) .
因此f (α, β) 是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.
如果f (α, β) 在α1, α2,
, αn 下的度量矩阵为对角矩阵，那么对
α=∑x i αi , β=∑y i αi ,
i =1
i =1
n n
f (α, β) 有表示式
f (α, β) =d 1x 1y 1+d 2x 2y 2+
这个表示式也是f (α, β) 在α1, α2,
+d n x n y n .
, αn 下的度量矩阵为对角形的充分条件.
同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵。
我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵，当然是非退化的。.
定理1 设V 是数域F 上n 维向量空间，f (α, β) 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基α1, α2, 对角矩阵.
证明 因为对称矩阵合同于对角形矩阵，所以存在V 的一组基，
, αn ，使f (α, β) 在这组基下的度量矩阵为
f (α, β) 在这组基下矩阵为对角形矩阵。
这个定理也可以通过找V 的一组基γ1, γ2,
, γn ，使得f (γi , γj ) =0, i ≠j
来证明。事实上，若∀α∈V , f (α, α) =0，则∀α, β∈V
1
f (α, β) (f (α+β, α+β) -f (α, α) -f (β, β)) =0，则结论已经成立；
2
257
若存在∀α1∈V , f (α1, α1) ≠0，将α1扩充为V 的基α1, α2, 数学归纳法。
, αn ，对n 作
n =1，结论显然成立，假设对n -1结论成立， 令β1=α1，βi =αi -
f (αi , β1)
β1，则f (β1, βi ) =0, i =2, 3, n ，, 令
f (β1, β1)
W =L (β2, β3, , βn ) ，则 f (β1, α) =0, ∀α∈W ，由归纳假定，有W 的基
γ2, γ3, , γn 满足f (γi , γj ) =0, i ≠j ，令γ1=β1，则V 的一组基γ1, γ2, , γn ，
使得f (γi , γj ) =0, i ≠j 。
推论1 设V 是复数上n 维向量空间，f (α, β) 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基α1, α2, 有
, αn ，对V 中任意向量α=∑x i αi , β=∑y i αi ，
i =1
i =1
n n
f (α, β) =x 1y 1+x 2y 2++x r y r
(0≤r ≤n ) .
推论2 设V 是实数n 上维向量空间，f (α, β) 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基α1, α2, 有
, αn ，对V 中任意向量α=∑x i αi , β=∑y i αi ，
i =1
i =1
n n
f (α, β) =x 1y 1++x p y p -x p +1y p +1--x r y r
(0≤p ≤r ≤n ) .
由此可知，对称双线性函数与二次型也是1—1对应的.
定义4 设V 是数域F 上向量空间，f (α, β) 是V 上双线性函数. 当
α=β时，V 上双线性函数f (α, α) 称为与f (α, β) 对应的二次型.
给定V 上一组基α1, α2,
n
, αn ，设f (α, β) 的度量矩阵为A =(a ij ) n ⨯n . 对
n
n
V 中任意向量α=∑x i εi 有 f (α, α) =∑∑a ij x i x j . 式中x i x j 的系数为
i =1
i =1j =1
258
a ij +a ji . 因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为 A =(a ij ) n ⨯n 及B =(b ij ) n ⨯n ，只要 a ij +a ji =b ij +b ji , i , j =1,2,
, n ,
那么它们对应的二次型就相同，因此有多个双线性函数对应于同一个二次型，但是如果要求A 为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次型只对应一个对称双线性函数. 也与唯一的一个对称矩阵对应.
对于具有非退化对称、反对称双线性函数的向量空间V ，也可以将这些双线性函数看成V 上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.
定义5 设V 是数域F 上的向量空间，在V 上定义一个非退化线性函数，则V 称为一个双线性度量空间. 当f 是非退化对称双线性函数时，V 称为
F 上的正交空间或内积空间；当V 是n 维实向量空间，f 是非退化对称双
线性函数时，V 称为准欧氏空间；当f 是非退化反对称双线性函数时，称V 为辛空间. 有着非退化双线性函数f 的双线性度量空间常记为(V , f ) .
*§3 辛空间
近年来，辛空间的理论在力学，计算数学，几何学，代数学，组合设计，纠错设计等科学研究领域中日显重要，因此了解辛空间的理论是有益的。 这一节，我们假定V 都是有限维的。下面先讨论反对称双线性函数的标准形。
引理1 设f (α, β)是n 维向量空间V 上的反对称双线性函数，则存在V 的一组基ε1, ε-1，
，εr , ε-r ，h 1,
, h s 使
⎧f (εi , εi )=1, i =1, , r
⎪
i +j ≠0 ⎨f (εi , εj )=0,
⎪α∈V , k =1, , s ⎩f (α, ηk )=0,
259
证明 若f (α, β)≡0，取任一组基为η1,
, ηs ，定理成立。
若f (α, β)不是零函数，因为f (α, β)在任一组基下的度量矩阵A 是非零反对称矩阵，所以必有其中两个基向量ε1, β∈V 使f (ε1, β)≠0，令
ε-1=
1f ε1, ββ，则f (ε1, ε-1)=1.
'，令 , βn
', 将ε1, ε-1扩充成V 的一组基ε1, ε-1, β3
βi =βi '-f (βi ', ε-1)ε1+f (βi ', ε1)ε-1, i =3,
, n .
则当i ≥3时
f (βi , ε1)=f (βi ', ε1)-f (βi ', ε-1)f (ε1, ε1)+f (βi ', ε1)f (ε-1, ε1)=0，
f (βi , ε-1)=f (βi ', ε-1)-f (βi ', ε-1)f (ε1, ε-1)+f (βi ', ε1)f (ε-1, ε-1)=0.
显然ε1, ε-1, β3,
, βs 仍然是V 的基，于是 V =L (ε1, ε-1)⊕L (β3, , βn )
, βn )
将f (α, β)看成是L (β3, 的一组基ε2, ε-2, γ5,
若f (α, β)是零函数，, βn )上的双线性函数，
到上面这步不定理已证。若f (α, β)不是零函数，同理又可找到L (β3,
, γn 使
f (ε2, ε-2)=1, f γi , εj =0, i =5,
()
, n ，j =±1, ±2.
依此进行下去就会找到V 的一组基ε1, ε-1，，εr , ε-r ，h 1, , h s 使结
论成立。
推论1 设f (α, β)是V 上一个反对称双线性函数，则存在V 的一组基使f (α, β)在其下的度量矩阵具有形式
⎧⎛01⎫⎪⎛01⎫
B =diag ⎨ , , ⎪ ⎪,0,
-10-10⎪⎭⎝⎭⎩⎝
推论2 每个反对称矩阵A ∈M n (F ) 都与一个形如
⎫⎪,0⎬. ⎪⎭
⎧⎛01⎫⎫⎛01⎫⎪⎪
B =diag ⎨ , , ,0, ,0⎬ ⎪ ⎪
-10-10⎪⎝⎪⎭⎝⎭⎩⎭
的准对角矩阵合同，称为A 的规范形。
因为非退代双线性函数在任一组基下的矩阵也是非退化的，所以有 推论3只有在偶数维向量空间上才能定义非退化反对称双线性函数。
证明 从引理1可知，V 上的反对称双线性函数f (α, β) 如果是非退化的，则有V 的一组基ε1, ε-1,
, εr , ε-r 使
⎧f (εi , ε-i ) =1, ⎨
⎩f (εi , εj ) =0,
i =1,2, , r ;
i +j ≠0.
260
由于非退化的条件，引理1中的η1, , ηs 不可能出现. 因此具有非退化反对
称双线性函数的向量空间一定是偶数维的.
由引理1，V 上的对称双线性函数f (α, β) 如果是非退化的，则有V 的一组基ε1, ε2,
, εn 满足
⎧f (εi , εi ) ≠0, ⎨
⎩f (εi , εj ) =0,
i =1,2, j ≠i .
, n ;
. 引理2 辛空间(V , f ) 中一定能找到一组基ε1, ε2, 满足
, εn , ε-1, ε-2, , ε-n
f (εi , ε-i ) =1, 1≤i ≤n , f (εi , εj ) =0, -n ≤i , j ≤n , i +j ≠0.
这样的基称为(V , f ) 的辛正交基. 还可看出辛空间一定是偶数维的.
引理3任一2n 级非退化反对称矩阵K 可把一个数域F 上2n 维空间V 化成一个辛空间，且使K 为V 的某基ε1, ε2, 又此辛空间在某辛正交基ε1, ε2,
, εn , ε-1, ε-2, , ε-n 下度量矩阵.
, εn , ε-1, ε-2, , ε-n 下的度量矩阵为
⎛O E ⎫
, J = ⎪
-E O ⎝⎭2n ⨯2n
故K 合同于J . 即任一2n 级非退化反对称矩阵皆合同于J .
两个辛空间(V 1, f 1) 及(V 2, f 2) ，若有V 1到V 2的作为线性空间的同构ϕ，它满足
f 1(u , v ) =f 2(Ku , Kv ) ,
则称ϕ是(V 1, f 1) 到(V 2, f 2) 的辛同构.
不难证明以下结论：
1) (V 1, f 1) 到(V 2, f 2) 的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把
261
(V 1, f 1) 的一组辛正交基变成(V 2, f 2) 的辛正交基;
2) 两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数;
3) 辛空间(V , f ) 到自身的辛同构称为(V , f ) 上的辛变换. 取定(V , f ) 的一组辛正交基ε1, ε2, 下的矩阵为K ，
, εn , ε-1, ε-2, , ε-n ，V 上的一个线性变换ϕ，在该基
⎛A B ⎫K = ⎪,
C D ⎝⎭
其中A , B , C , D 皆为n ⨯n 方阵. 则ϕ是辛变换当且仅当K 'JK =J ，亦即当且仅当下列条件成立：A 'C =C 'A , B 'D =D 'B ,
A 'D -C 'B =E
且易证|K |≠0，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换.
设(V , f ) 是辛空间，u , v ∈V , 满足f (u , v ) =0，则称u , v 为辛正交的. W 是V 的子空间，令 W ⊥={u ∈V |f (u , w ) =0, ∀w ∈W }. W ⊥是V 的
子空间，称为W 的辛正交补空间.
定理
1 (V , f ) 是辛空间，W 是V 的子空间，则
dim W ⊥=dim V -dim W .
证明留做练习。
定义1 (V , f ) 为辛空间，W 为V 的子空间. 若W ⊂W ⊥，则称W 为
(V , f ) 的迷向子空间；若W =W ⊥，即W 是按包含关系极大的迷向子空间，
也称它为拉格朗日子空间；若W 间.
例如，设ε1, ε2,
W ⊥={0}，则W 称W 为(V , f ) 的辛了空
, εn , ε-1, ε-2, , ε-n 是(V , f ) 的辛正交基，则, εn ) 是极大迷向子空间，即拉格朗
L (ε1, ε2,
262
, εk ) 是迷向子空间. L (ε1, ε2,
日子空间L (ε1, ε2, , εk , ε-1, ε-2, , ε-k ) 是辛子空间.
对辛空间(V , f ) 的子空间U , W . 通过验证，并利用定理7，可得下列性质：
1) (W ⊥) ⊥=W , 2) U ⊂W ⇒W ⊥⊂U ⊥,
3) 若U 是辛子空间，则V =U ⊕U ⊥ 4) 若U 是迷向子空间, 则dim U ≤dim V 5) 若U 是拉格朗日子空间，则dim U =dim V 定理2 设L 是辛空间(V , f ) 的拉格朗日子空间，ε1, ε2, 则它可扩充为(V , f ) 的辛正交基.
证明留做练习。
推论4 设W 是(V , f ) 的迷向子空间，{ε1, ε2, 扩充成(V , f ) 的辛正交基.
证明 设L 是包含W 的极大迷向子空间，先把W 的基扩充为L 的基，在扩充为(V , f ) 的辛正交基。
对于辛子空间U ，f |U 也是非退化的. 同样f |U ⊥也非退化. 由定理7还有V =U ⊕U ⊥.
定理3 辛空间(V , f ) 的辛子空间(U , f |U ) 的一组辛正交基可扩充成
1
2
12
, εn 是L 的基，
, εk }是L 的基，则它可
(V , f ) 的辛正交基.
证明 把(U , f |U ) 的一组辛正交基和(U ⊥, f |U ⊥) 的一组辛正交基合起来就是(V , f ) 的辛正交基..
下面是辛变换的特征值的一些性质.
263
σ是辛空间(V , f ) 上的辛变换，则σ的行列式为1.
取定(V , f ) 的辛正交基ε1, ε2,
, εn , ε-1, ε-2, , ε-n . 设σ在基下矩阵为
K ，这时有K 'JK =J .
定理4设σ是2n 维辛空间中的辛变换，K 是σ在某辛正交基下的矩阵. 则它的特征多项式f (λ) =|λE -K |满足f (λ) =λ2n f () . 若设
1
λ
f (λ) =a 0λ2n +a 1λ2n -1+
则a i =a 2n -i , i =0, 1,
证明留做练习。
+a 2n -1λ+a 2n ,
, n .
由定理4可知，辛变换σ的特征多项式f (λ) 的（复）根λ与
1
是同时λ
出现的，且具有相同的重数. 它在F 中的特征值也如此. 又|K |等于f (λ) 的所有（复）根的积，而|K |=1. 故特征值-1的重数为偶数. 又不等于±1的复根的重数的和及空间的维数皆为偶数，因此特征值为+1的重数也为偶数.
定理5 设λi , λj 是数域F 上辛空间(V , f ) 上辛变换σ在F 中的特征值，且λi λj ≠1. 设V λi , V λj 分别是V 中对应于特征值λi 及λj 的特征子空间. 则
uv , ) 0=，有f (即V λi 与V λj 是辛正交的. 特别地，当λi ≠1时∀u ∈V λi , v ∈V λj ，
V λi 是迷向子空间.
证明 σu =λi u , σv =λj v ，f (u , v ) =f (σu , σv ) =λi λj f (u , v ) ，
(1-λi λj ) ≠0⇒f (u , v ) =0
关于辛空间的进一步讨论，有兴趣的同学可以参看有关书籍。
264
*§4 对偶空间
设V 是F 上的一个向量空间，
V *=L (V , P ) ={f |f 是V 到F 的线性函数}.
类似于L (V ) ，替V *规定加法: ∀f , g ∈V *, ∀α, β∈V , ∀k ∈F f +g :(f +g )(α) =f (α) +g (α) ，f +g ∈V *, 事实上
(f +g )(α+β) =f (α+β) +g (α+β) =f (α) +f (β) +g (α) +g (β) =f (α) +g (α) +f (β) +g (β) =(f +g )(α) +(f +g )(β)
(f +g )(k α) =f (k α) +g (k α) =kf (α) +kg (α) =k (f +g )(α) 替V *规定数量乘法: ∀f ∈V *, ∀k ∈F , ∀α∈V kf :(kf )(α) =kf (α) ， 易证 kf ∈V *
V *对上面规定的加法和数量乘法也作成F 上的一个向量空可以证明，
间，叫做V 的对偶空间。
以下设V 是n 维向量空间。
在V 中取一个基α1, α2, , αn ，我们来找V *的一个基． 令
⎧1i =j
f i (αj ) =⎨ ，i =1,2,
⎩0i ≠j
*
, n
n
易证f i ∈V 。 ∀α∈V ，α=∑x i αi ，则f i (α) =x i ，因此n
i =1
α=∑f i (α) i αi ，
i =1
f (α) =∑f i (α) f (αi ) =∑f (αi ) f i (α) =(∑f (αi ) f i )(α) ，
i =1
i =1
i =1
n
n n n
所以f =∑f (αi ) f i ，即f 可表为 f 1, f 2,
i =1
, f n 的线性组合；
, f n 是线性无关的．设
c 1f 1+c 2f 2++c n f n =0
并作用αi ，(c 1f 1+c 2f 2++c n f n )(αi ) =0，得c i =0, i =1,2, , n ，因此f 1, f 2, , f n 线性无关．因此是V *的一个基．叫做α1, α2, , αn 的对偶基．于是得到
定理1 设V 是数域F 上的n 维向量空间，V *是V 的对偶空间，则
现在我们证明f 1, f 2,
dim(V *) =dim(V )
例1 考察实数域R 上的n 维向量空间V =R n [x ]．对任意取定的n 个不同实数，a 1, a 2, , a n ，根据Lagrange 插值公式，得到n 个多项式
265
p i (x ) =
它们满足
(x -a 1) (x -a i -1)(x -a i +1) (x -a n )
，i =1,2,
(a i -a 1) (a i -a i -1)(a i -a i +1) (a i -a n )
, n ．
⎧1i =j
， p i (a j ) =⎨
0i ≠j ⎩
因此p 1(x ), p 2(x ),
, p n (x ) 线性无关．事实上由 +c n p n (x ) =0，用a i 代入，即得
, n ．
c 1p 1(x ) +c 2p 2(x ) +
∑c
k =1
n
k
p k (a i ) =c i p i (a i ) =c i =0，i =1,2,
又V 是n 维的，所以p 1(x ), p 2(x ),
设L i ∈V * (i =1,2,
, p n (x ) 是V 的一组基．
, n ) 是在a i 点的取值函数：
, n ，
L i (p (x )) =p (a i ) ，p (x ) ∈V ，i =1,2,
则线性函数L i 满足
⎧1i =j
．i =1,2, L i (p j (x )) =p j (a j ) =⎨
0i ≠j ⎩
, n
因此，L 1, L 2, , L n 是p 1(x ) ，p 2(x ) ，，p n (x ) 的对偶基。
例2 设V =M 2(F ) ，在V 中取一个基E 11，E 12，E 21，E 22，求它的对偶基f 11，f 12，f 21，f 22，并求V 上任一线性函数f 的表达式．
解 f 11(E 11)=1，f 11(E 12)=f 11(E 21)=f 11(E 22)=0，
f 12(E 12)=1，f 12(E 11)=f 12(E 21)=f 12(E 22)=0， f 21(E 21)=1，f 21(E 11)=f 21(E 12)=f 21(E 22)=0， f 22(E 22)=1，f 22(E 11)=f 22(E 12)=f 22(E 21)=0．
任取A =(a ij ) 22∈M 2(F ) ，由于A =∑∑a ij E ij ，所以f 11(A )=a 11，f 12(A )=a 12，
i =1j =12
2
f 21(A )=a 21，f 22(A )=a 22．于是，对于V 上的任意一个线性函数f , 设f (E ij )=c ij ，i ，j =1，2，则由(9)得 f (A ) =c 11f 11(A ) +c 12f 12(A ) +c 21f 21(A ) +c 22f 22(A )
=c 11a 11+c 12a 12+c 21a 21+c 22a 22．
V 中不同基的对偶基之间有什么关系？这就是
α1, α2, , αn 与β1, β2, 定理2 设V 是数域F 上n 维向量空间，
266
, βn 是
V 的两个基．设它们的对偶基分别是f 1, f 2, , f n 与g 1, g 2, , g n ．若
则V *中基f 1, f 2, , f n 到基g 1, g 2, , g n 的(β1, β2, , βn ) =(α1, α2, , αn ) A ，
过渡矩阵为(A -1) '．
证明 由已知条件，有 (β1, β2,
n k =1
, βn ) =(α1, α2, , αn ) A
于是 βi =∑a ki αk ．
设f 1, f 2,
n
, f n 到g 1, g 2, , g n 的过渡矩阵为B =(b ij ) n ⨯n ，则
(g 1, g 2, , g n ) =(f 1, f 2, , f n ) B
k =1
于是g j =∑b kj f k ．将此式的两边作用于βi ，并注意到f k (βi ) =a ki ，则得
⎧1i =j
． g j (βi ) =∑b kj f k (βi ) =∑b kj a ki =⎨
0i ≠j k =1k =1⎩
n
n
因此，A ' B =E ．故B =(A ') -1=(A -1)' ．
考察V 到V *的一个同构映射．因为V 和V *都是n 维的，所以它们都与F n 同构．我们来看看，在这样一个同构映射之下，向量α的象是什么样的函数。已知，在数域F 上一个n 维向量空间取定一个基后，让每个向量对应到它在这个基下的坐标就是所给n 维向量空间到F n 的一个同构映射．在V 中取一个基α1, α2,
n
, αn ，而f 1, f 2,
n
, f n ∈V *是α1, α2, , αn 的对
偶基，则有V 到F 的一个同构映射σ1：σ1(∑a i αi ) =(a 1, a 2,
i =1
, a n ) ．
又有F 到V 的一个同构映射σ2：σ2(a 1, a 2,
*
n *
, a n ) =∑a i f i ．
i =1
n
n
n
从而有V 到V 的一个同构映射σ=σ2σ1：σ(∑a i αi ) =∑a i f i ．
i =1
i =1
设α=∑a i αi ，记σ(α) =f α，则 f α=∑a i f i ． 因此，对于V 中任一向
i =1n
i =1n
n n
量β=∑b i αi ，有 f α(β) =∑a i f i (β) =∑a i b i ．这就是说，α在同构映射
i =1
i =1
i =1
n
σ之下的象f α在β上的函数值f α(β) 等于α与β的坐标的对应分量乘积
之和．
以上的讨论是在F 上任一n 维向量空间进行的．因此对于F 上n 维向量空间V ，我们也可以考虑V *上的所有线性函数组成的向量空间V **，它是V *的对偶空间，据定理1，dim V **=dim V *=dim V ．因此V ≌V **．V **
267
叫做V 的双重对偶空间．
进而求V 到V **的一个同构映射，在V 中取一个基α1, α2,
n
, αn ，设它
的对偶基是f 1, f 2,
, f n ．任取V 中一个向量α=∑a i αi ，则由上讨论有V
i =1
到V *的一个同构映射σ1，它把α映成f α．对V *，有V *到V **的一个同构映射σ2，它把f α映成α**，其中α**(f ) 等于f α与f 在基f 1, f 2, 坐标的对应分量乘积之和．设
n
n
, f n 下的
f α=∑a i f i ，f =∑f (αi ) f i ．因此
i =1
i =1
α(f ) =∑a i f (αi ) =f (∑a i αi ) =f (α) ．
**
i =1
i =1
n n
这样，我们找到了V 到V **的一个同构映射σ=σ2σ1，它把V 中向量α映成V **中元素α**，其中α**(f ) =f (α), ∀f ∈V *。
由此可得同构映射的对应法则.
定理3 设V 是F 上的n 维向量空间，V **是V 的双重对偶空间，则 σ:V →V **，αα** 是一个V 到V **的同构映射.
α**是一个V 到V **的映射，且对证明 σ:V →V **，α
∀α, β∈V , ∀k ∈F , σ(α+β) =σ(α) +σ，(βσ(k α) =k σ(α) ，
∀f ∈V *, σ(α+β)(f ) =(α+β) **(f ) =f (α+β) =f (α) +f (β) =α**(f ) +β**(f ) =σ(α)(f ) +σ(β)(f ) =(σ(α) +σ(β))(f ) ，类似可证明 σ(k α) =k σ(α) ；
***
而且σ是一个单射，事实上，由 σ(α) =， α=0∀f ∈V n
α**(f ) =f (α) =0，故f i (α) =0，α=∑f i (α) αi =0
i =1
由α**的定义知σ也是一个满射，从而是双射，所以，σ 是一个V 到V **的同构映射.
必须指出，上述V 到V **的同构映射不依赖于V 中基的选择．因为上面在V 中取定一个基α1, α2, , αn ，我们找到了V 到V **的一个同构映射σ:V →V **，αα**，其中α**(f ) =f (α), ∀f ∈V *．
又在V 中另取一个基β1, β2,
**
, βn ，设它的对偶基是g 1, g 2,
n
, g n ．则
类似地有V 到V 的一个同构映射τ1, 它把V 中向量α=∑b i βi 映成g α，且
i =1
有V *到V **的一个同构映射τ2，它把g α映成τ2(g α) ，其中τ2(g α) f 等于g α
268
与f 在基g 1, g 2,
n
, g n 下的坐标的对应分量乘积之和．因为g α=∑b i g i ，
i =1
n
并且f =∑f (βi ) g i ，所以
i =1
τ2(g α) f =∑b i f (βi ) =f (∑b i βi ) =f (α), ∀f ∈V *
i =1
i =1
n n
于是得到V *到V **的又一个同构映射τ=τ1τ2，它把V 中向量α映成τ(α) ，其中 τ(α) f =(τ2τ1(α)) f =τ2(g α) f =f (α), ∀f ∈V *．
因此σ(α) f =τ(α) f , ∀f ∈V *，由此 σ(α) =τ(α), ∀α∈V ，故σ=τ．因此
α**，其中α**(f ) =f (α), ∀f ∈V *不依赖于有：V 到V **的同构映射：α
V 中基的选择．这样的同构映射叫做标准同构或自然同构．
由于V 到V **存在自然同构，因此我们可以把V **与V 等同，从而可以把V 看成V *的对偶空间，这样V 与V *就互为对偶空间．这就是为什么把
V *称为V 的对偶空间的原因．
由于V 可以看成是V *的对偶空间V **，而V **是V *上所有线性函数组成的空间，因此任一n 维向量空间可以看成是某个n 维向量空间上所有线性函数组成的空间．
269
第九章 双线性函数
本章从线性函数入手，推广欧氏空间的若干性质到一般数域F 上向量空间上，即双线性函数的概念，然后介绍正交空间、辛空间的一些基本结论． §1 线性函数
定义1设V 是数域F 上的一个向量空间．σ是V 到F 的映射，如果 1) ∀α, β∈V , σ(α+β) =σ(α) +σ(β) ， 2) ∀α∈V , ∀k ∈F , σ(k α) =k σ(α) ， 则说σ是V 上的一个线性函数，
由定义可以看出线性函数就是V 到F 的线性映射。因而关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立。
线性函数是十分重要的函数类，在数学的多个分支和一些实际问题中都要用到它．下面看几个例子．
例1 给定F 中的n 个元素a 1, a 2, f (x 1, x 2,
, a n , ∀(x 1,x 2, , x n ∈F n ) ，规定
, a 1+x n x =) 1
2
a +x 2+n n a x
容易验证f 保持加法与纯量乘法两种运算．因此f 是F n 上的一个线性函数．
例2 矩阵的迹把数域F 上每一个n 阶矩阵A =(a ij ) n ⨯n 对应F 中的一
(A +个元素∑a ii , 并且有 T r
i =1
n
B ) =T (r ) A +T (，r ) Tr B (kA ) =kTr (A ) ．
所以矩阵的迹是M n (F ) 上的一个线性函数．
例3 定积分使每一个连续函数f (x ) 对应一个实数⎰f (x ) dx , 并
a b
且满足
⎰
b a
(f (x ) +g (x )) dx =⎰f (x ) dx +⎰g (x ) dx ，⎰(kf (x )) dx =k ⎰f (x ) dx ．
a
a
a
a
b b b b
所以定积分是C [a , b ]上的一个线性函数．
251
注意，在数学分析中把形如g (x 1, x 2, , x n ) =a 1x 1++ a n x n +b 的n
元函数g 叫做线性函数．若b ≠0，则g 不保持加法运算，也不保持纯量乘法运算，从而g 不是定义1意义上的线性函数．所以，“线性函数”这一术语在分析和代数里有不同的含义．代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数．
我们来讨论有限维向量空间V 上的线性函数f 的表达式．
设V 是数域F 上的n 维向量空间，f 是V 上的一个线性函数．在V 中取一个基α1, α2,
, αn ．由于f 可以看成是向量空间V 到向量空间F 的一
, αn 上的作用所决
, f (αn ) ，就可以知道V 中任一向量
n i =1
个线性映射，因此f 完全被它在V 的一个基α1, α2, 定．即只要知道f (α1), f (α2),
n i =1
β=∑x i αi 在f 作用下的象f (β) =∑x i f (αi ) .
定理1 设V 是F 上一个n 维向量空间，α1, α2,
, αn 是V 的一个基，
b 1, b 2, , b n 是F 中任意取定的n 个数，则存在V 上唯一的线性函数f ，使
, n
得 f (αi ) =b i ，i =1,2,
证明 对 β=x 1α1+x 2α2++x n αn ∈V ，b 1, b 2, , b n ∈F
f :V →F
β
x 1b 1+x 2b 2++x n b n
, n ；
, n ，则∀β∈V ，
是一个线性函数，且满足f (αi ) =b i ，i =1,2, 若还有线性函数g ，且满足g (αi ) =b i ，i =1,2,
n
n
n
g (β) =∑x i g (αi ) =∑x i b i =∑x i f (αi ) =f (β)
i =1
i =1
i =1
§2 双线性函数
定义1 设V 是数域F 上一个向量空间，f 是V ⨯V 到F 的一个二元函数，. 如果∀α, β, γ∈V , ∀k ∈F ，满足：
1) f (α, β+γ) =f (α, β) +f (α, γ) ; 2) f (α+β, γ) =f (α, γ) +f (β, γ) ;
252
3) f (k α, β) =f (α, k β) =kf (α, β) 则称f (α, β) 为V 上的一个双线性函数.
如果∀α, β∈V , 双线性函数f 还满足 4) f (α, β) =f (β, α)
则称f (α, β) 为V 上的一个对称双线性函数。
如果∀α, β∈V , 双线性函数f 还满足 5) f (α, β) =-f (β, α)
则称f (α, β) 为V 上的一个反对称双线性函数. 。
从定义可以看出，对于V 上双线性函数f (α, β) ，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数. 。
例1 欧氏空间V 的内积是V 上对称双线性函数. 例2 设f 1(α), f 2(α) 都是向量空间V 上的线性函数，则
f (α, β) =f 1(α) f 2(β) ,
是V 上的一个对称双线性函数.
α, β∈V
例3 设F n 是数域F 上n 维列向量构成的向量空间. 如果设X '=(x 1, x 2,
, x n ), Y '=(y 1, y 2,
a 1n ⎫⎪a 2n ⎪
⎪⎪a nn ⎭
, y n ), X , Y ∈F n ，
⎛a 11 a A = 21
⎝a n 1
a 12a 22a n 2
253
则 f (X , Y ) =X 'AY =x (1x , 2
⎛y 1⎫
⎪y
, x n , A ) 2⎪=x 1x (
⎪ ⎪⎝y n ⎭
2
⎛n ⎫ ∑a 1j y j ⎪ j =1⎪ n ⎪ ∑a 2j y j ⎪, x n , j , ) ⎪， =1
⎪ ⎪n ⎪
a y ∑nj j ⎪⎝j =1⎭
. =∑x i (∑a ij y j ) =∑∑a ij x i y j
i =1
j =1
i =1j =1
n n n n
则f (X , Y ) 是F n 上的一个双线性函数.
反过来，若f 是数域F 上n 维向量空间V 上的双线性函数，取V 的一组基α1, α2,
, αn . ，令
a ij =f (αi , αj ) , i , j =1,2, ⎛a 11
a A = 21
⎝a n 1
, n ,
a 12a 22a n 2
a 1n ⎫⎪a 2n ⎪
⎪⎪a nn ⎭
∀ξ, η∈V ，ξ=(α1, α2,
⎛x 1⎫ ⎪x
, αn ) 2⎪=(α1, α2,
⎪ ⎪⎝x n ⎭
, αn ) X ,
η=(α1, α2,
⎛y 1⎫ ⎪y 2⎪ , αn ) =(α1, α2, ⎪ ⎪⎝y n ⎭
, αn ) Y ,
则
254
f (ξ, η) =f (∑x i αi , ∑y j αj ) =∑∑f (αi , αj ) x i y j =∑∑a ij x i y j =X ' AY .
i =1
j =1
i =1j =1
i =1j =1
n n n n n n
就决定了矩阵A .
定义2 设f (α, β) 是数域F 上n 维向量空间V 上的一个双线性函数.
α1, α2, , αn 是V 的一组基，则矩阵
⎛f (α1, α1)
f (α2, α1) A =
⎝f (αn , α1)
叫做f (α, β) 在α1, α2,
f (α1, α2) f (α2, α2) f (αn , α2)
f (α1, αn ) ⎫
⎪
f (α2, αn ) ⎪
(4) ⎪⎪
f (αn , αn ) ⎭
, αn 下的度量矩阵.
, αn 后，每个双线性函数都
, αn 下的度量矩阵.
上面的讨论说明，取定V 的一组基α1, α2,
对应于一个n 级矩阵，就是这个双线性函数在基α1, α2,
度量矩阵被双线性函数及基唯一确定. 而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.
不难看出例3利用矩阵A 和V 的一组基α1, α2, 在基α1, α2,
, αn 确定的双线性函数
, αn 下的度量矩阵正好就是A .
因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数与F 上全体n 级矩阵之间的有一个双射。
在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设α1, α2,
, αn 与β1, β2,
, αn ) T
, βn 是向量空间V 的两组基：
(β1, β2, , βn ) =(α1, α2,
ξ, η是V 中两个向量
ξ=(α1, α2, , αn ) X =(β1, β2, , βn ) X 1,
255
η=(α1, α2, , αn ) Y =(β1, β2, , βn ) Y 1
那么，X =TX 1, Y =TY 1 如果双线性函数f 在α1, α2,
, αn 与β1, β2, , βn 下的度量矩阵分别为
A , B ，则有
f (ξ, η) =X 'AY =(TX 1) 'A (TY 1) =X 1'(T ' AT ) Y 1=X 1' BY 1.
因此，B =T ' AT 。这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.
定义3 设f (α, β) 是向量空间V 上一个双线性函数，如果对任意
β∈V ，f (α, β) =0，可推出α=0，f 就叫做非退化的.
可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的. 设双线性函数
f (α, β) 在基α1, α2, , αn 下的度量矩阵为A ，则对
α=(α1, α2, , αn ) X , β=(α1, α2, , αn ) Y ，有
f (α, β) =X 'AY ，如果向量α满足 f (α, β) =0, ∀β∈V ，那么对任意
Y 都有
X 'AY =0，因此，X 'A =0，
而有非零向量X '使上式成立的充要条件为A 是退化的，因此，双线性函数
f (α, β) 是非退化的充要条件为其度量矩阵A 为非退化矩阵. 。
对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简. 但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的. 对于对称矩阵已有较完整的理论.
设f (α, β) 是向量空间V 上的一个对称双线性函数，对V 的任一组基
α1, α2, , αn ，由于f (αi , αj ) =f (αj , αi ) ，故其度量矩阵是对称的，另一方
面，如果双线性函数f (α, β) 在α1, α2,
, αn 下的度量矩阵是对称的，那么对
256
V 中任意两个向量α=(α1, α2, , αn ) X 及β=(α1, α2, , αn ) Y 都有
f (α, β) =X 'AY =Y 'A 'X =Y 'AX =f (β, α) .
因此f (α, β) 是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.
如果f (α, β) 在α1, α2,
, αn 下的度量矩阵为对角矩阵，那么对
α=∑x i αi , β=∑y i αi ,
i =1
i =1
n n
f (α, β) 有表示式
f (α, β) =d 1x 1y 1+d 2x 2y 2+
这个表示式也是f (α, β) 在α1, α2,
+d n x n y n .
, αn 下的度量矩阵为对角形的充分条件.
同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵。
我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵，当然是非退化的。.
定理1 设V 是数域F 上n 维向量空间，f (α, β) 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基α1, α2, 对角矩阵.
证明 因为对称矩阵合同于对角形矩阵，所以存在V 的一组基，
, αn ，使f (α, β) 在这组基下的度量矩阵为
f (α, β) 在这组基下矩阵为对角形矩阵。
这个定理也可以通过找V 的一组基γ1, γ2,
, γn ，使得f (γi , γj ) =0, i ≠j
来证明。事实上，若∀α∈V , f (α, α) =0，则∀α, β∈V
1
f (α, β) (f (α+β, α+β) -f (α, α) -f (β, β)) =0，则结论已经成立；
2
257
若存在∀α1∈V , f (α1, α1) ≠0，将α1扩充为V 的基α1, α2, 数学归纳法。
, αn ，对n 作
n =1，结论显然成立，假设对n -1结论成立， 令β1=α1，βi =αi -
f (αi , β1)
β1，则f (β1, βi ) =0, i =2, 3, n ，, 令
f (β1, β1)
W =L (β2, β3, , βn ) ，则 f (β1, α) =0, ∀α∈W ，由归纳假定，有W 的基
γ2, γ3, , γn 满足f (γi , γj ) =0, i ≠j ，令γ1=β1，则V 的一组基γ1, γ2, , γn ，
使得f (γi , γj ) =0, i ≠j 。
推论1 设V 是复数上n 维向量空间，f (α, β) 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基α1, α2, 有
, αn ，对V 中任意向量α=∑x i αi , β=∑y i αi ，
i =1
i =1
n n
f (α, β) =x 1y 1+x 2y 2++x r y r
(0≤r ≤n ) .
推论2 设V 是实数n 上维向量空间，f (α, β) 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基α1, α2, 有
, αn ，对V 中任意向量α=∑x i αi , β=∑y i αi ，
i =1
i =1
n n
f (α, β) =x 1y 1++x p y p -x p +1y p +1--x r y r
(0≤p ≤r ≤n ) .
由此可知，对称双线性函数与二次型也是1—1对应的.
定义4 设V 是数域F 上向量空间，f (α, β) 是V 上双线性函数. 当
α=β时，V 上双线性函数f (α, α) 称为与f (α, β) 对应的二次型.
给定V 上一组基α1, α2,
n
, αn ，设f (α, β) 的度量矩阵为A =(a ij ) n ⨯n . 对
n
n
V 中任意向量α=∑x i εi 有 f (α, α) =∑∑a ij x i x j . 式中x i x j 的系数为
i =1
i =1j =1
258
a ij +a ji . 因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为 A =(a ij ) n ⨯n 及B =(b ij ) n ⨯n ，只要 a ij +a ji =b ij +b ji , i , j =1,2,
, n ,
那么它们对应的二次型就相同，因此有多个双线性函数对应于同一个二次型，但是如果要求A 为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次型只对应一个对称双线性函数. 也与唯一的一个对称矩阵对应.
对于具有非退化对称、反对称双线性函数的向量空间V ，也可以将这些双线性函数看成V 上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.
定义5 设V 是数域F 上的向量空间，在V 上定义一个非退化线性函数，则V 称为一个双线性度量空间. 当f 是非退化对称双线性函数时，V 称为
F 上的正交空间或内积空间；当V 是n 维实向量空间，f 是非退化对称双
线性函数时，V 称为准欧氏空间；当f 是非退化反对称双线性函数时，称V 为辛空间. 有着非退化双线性函数f 的双线性度量空间常记为(V , f ) .
*§3 辛空间
近年来，辛空间的理论在力学，计算数学，几何学，代数学，组合设计，纠错设计等科学研究领域中日显重要，因此了解辛空间的理论是有益的。 这一节，我们假定V 都是有限维的。下面先讨论反对称双线性函数的标准形。
引理1 设f (α, β)是n 维向量空间V 上的反对称双线性函数，则存在V 的一组基ε1, ε-1，
，εr , ε-r ，h 1,
, h s 使
⎧f (εi , εi )=1, i =1, , r
⎪
i +j ≠0 ⎨f (εi , εj )=0,
⎪α∈V , k =1, , s ⎩f (α, ηk )=0,
259
证明 若f (α, β)≡0，取任一组基为η1,
, ηs ，定理成立。
若f (α, β)不是零函数，因为f (α, β)在任一组基下的度量矩阵A 是非零反对称矩阵，所以必有其中两个基向量ε1, β∈V 使f (ε1, β)≠0，令
ε-1=
1f ε1, ββ，则f (ε1, ε-1)=1.
'，令 , βn
', 将ε1, ε-1扩充成V 的一组基ε1, ε-1, β3
βi =βi '-f (βi ', ε-1)ε1+f (βi ', ε1)ε-1, i =3,
, n .
则当i ≥3时
f (βi , ε1)=f (βi ', ε1)-f (βi ', ε-1)f (ε1, ε1)+f (βi ', ε1)f (ε-1, ε1)=0，
f (βi , ε-1)=f (βi ', ε-1)-f (βi ', ε-1)f (ε1, ε-1)+f (βi ', ε1)f (ε-1, ε-1)=0.
显然ε1, ε-1, β3,
, βs 仍然是V 的基，于是 V =L (ε1, ε-1)⊕L (β3, , βn )
, βn )
将f (α, β)看成是L (β3, 的一组基ε2, ε-2, γ5,
若f (α, β)是零函数，, βn )上的双线性函数，
到上面这步不定理已证。若f (α, β)不是零函数，同理又可找到L (β3,
, γn 使
f (ε2, ε-2)=1, f γi , εj =0, i =5,
()
, n ，j =±1, ±2.
依此进行下去就会找到V 的一组基ε1, ε-1，，εr , ε-r ，h 1, , h s 使结
论成立。
推论1 设f (α, β)是V 上一个反对称双线性函数，则存在V 的一组基使f (α, β)在其下的度量矩阵具有形式
⎧⎛01⎫⎪⎛01⎫
B =diag ⎨ , , ⎪ ⎪,0,
-10-10⎪⎭⎝⎭⎩⎝
推论2 每个反对称矩阵A ∈M n (F ) 都与一个形如
⎫⎪,0⎬. ⎪⎭
⎧⎛01⎫⎫⎛01⎫⎪⎪
B =diag ⎨ , , ,0, ,0⎬ ⎪ ⎪
-10-10⎪⎝⎪⎭⎝⎭⎩⎭
的准对角矩阵合同，称为A 的规范形。
因为非退代双线性函数在任一组基下的矩阵也是非退化的，所以有 推论3只有在偶数维向量空间上才能定义非退化反对称双线性函数。
证明 从引理1可知，V 上的反对称双线性函数f (α, β) 如果是非退化的，则有V 的一组基ε1, ε-1,
, εr , ε-r 使
⎧f (εi , ε-i ) =1, ⎨
⎩f (εi , εj ) =0,
i =1,2, , r ;
i +j ≠0.
260
由于非退化的条件，引理1中的η1, , ηs 不可能出现. 因此具有非退化反对
称双线性函数的向量空间一定是偶数维的.
由引理1，V 上的对称双线性函数f (α, β) 如果是非退化的，则有V 的一组基ε1, ε2,
, εn 满足
⎧f (εi , εi ) ≠0, ⎨
⎩f (εi , εj ) =0,
i =1,2, j ≠i .
, n ;
. 引理2 辛空间(V , f ) 中一定能找到一组基ε1, ε2, 满足
, εn , ε-1, ε-2, , ε-n
f (εi , ε-i ) =1, 1≤i ≤n , f (εi , εj ) =0, -n ≤i , j ≤n , i +j ≠0.
这样的基称为(V , f ) 的辛正交基. 还可看出辛空间一定是偶数维的.
引理3任一2n 级非退化反对称矩阵K 可把一个数域F 上2n 维空间V 化成一个辛空间，且使K 为V 的某基ε1, ε2, 又此辛空间在某辛正交基ε1, ε2,
, εn , ε-1, ε-2, , ε-n 下度量矩阵.
, εn , ε-1, ε-2, , ε-n 下的度量矩阵为
⎛O E ⎫
, J = ⎪
-E O ⎝⎭2n ⨯2n
故K 合同于J . 即任一2n 级非退化反对称矩阵皆合同于J .
两个辛空间(V 1, f 1) 及(V 2, f 2) ，若有V 1到V 2的作为线性空间的同构ϕ，它满足
f 1(u , v ) =f 2(Ku , Kv ) ,
则称ϕ是(V 1, f 1) 到(V 2, f 2) 的辛同构.
不难证明以下结论：
1) (V 1, f 1) 到(V 2, f 2) 的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把
261
(V 1, f 1) 的一组辛正交基变成(V 2, f 2) 的辛正交基;
2) 两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数;
3) 辛空间(V , f ) 到自身的辛同构称为(V , f ) 上的辛变换. 取定(V , f ) 的一组辛正交基ε1, ε2, 下的矩阵为K ，
, εn , ε-1, ε-2, , ε-n ，V 上的一个线性变换ϕ，在该基
⎛A B ⎫K = ⎪,
C D ⎝⎭
其中A , B , C , D 皆为n ⨯n 方阵. 则ϕ是辛变换当且仅当K 'JK =J ，亦即当且仅当下列条件成立：A 'C =C 'A , B 'D =D 'B ,
A 'D -C 'B =E
且易证|K |≠0，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换.
设(V , f ) 是辛空间，u , v ∈V , 满足f (u , v ) =0，则称u , v 为辛正交的. W 是V 的子空间，令 W ⊥={u ∈V |f (u , w ) =0, ∀w ∈W }. W ⊥是V 的
子空间，称为W 的辛正交补空间.
定理
1 (V , f ) 是辛空间，W 是V 的子空间，则
dim W ⊥=dim V -dim W .
证明留做练习。
定义1 (V , f ) 为辛空间，W 为V 的子空间. 若W ⊂W ⊥，则称W 为
(V , f ) 的迷向子空间；若W =W ⊥，即W 是按包含关系极大的迷向子空间，
也称它为拉格朗日子空间；若W 间.
例如，设ε1, ε2,
W ⊥={0}，则W 称W 为(V , f ) 的辛了空
, εn , ε-1, ε-2, , ε-n 是(V , f ) 的辛正交基，则, εn ) 是极大迷向子空间，即拉格朗
L (ε1, ε2,
262
, εk ) 是迷向子空间. L (ε1, ε2,
日子空间L (ε1, ε2, , εk , ε-1, ε-2, , ε-k ) 是辛子空间.
对辛空间(V , f ) 的子空间U , W . 通过验证，并利用定理7，可得下列性质：
1) (W ⊥) ⊥=W , 2) U ⊂W ⇒W ⊥⊂U ⊥,
3) 若U 是辛子空间，则V =U ⊕U ⊥ 4) 若U 是迷向子空间, 则dim U ≤dim V 5) 若U 是拉格朗日子空间，则dim U =dim V 定理2 设L 是辛空间(V , f ) 的拉格朗日子空间，ε1, ε2, 则它可扩充为(V , f ) 的辛正交基.
证明留做练习。
推论4 设W 是(V , f ) 的迷向子空间，{ε1, ε2, 扩充成(V , f ) 的辛正交基.
证明 设L 是包含W 的极大迷向子空间，先把W 的基扩充为L 的基，在扩充为(V , f ) 的辛正交基。
对于辛子空间U ，f |U 也是非退化的. 同样f |U ⊥也非退化. 由定理7还有V =U ⊕U ⊥.
定理3 辛空间(V , f ) 的辛子空间(U , f |U ) 的一组辛正交基可扩充成
1
2
12
, εn 是L 的基，
, εk }是L 的基，则它可
(V , f ) 的辛正交基.
证明 把(U , f |U ) 的一组辛正交基和(U ⊥, f |U ⊥) 的一组辛正交基合起来就是(V , f ) 的辛正交基..
下面是辛变换的特征值的一些性质.
263
σ是辛空间(V , f ) 上的辛变换，则σ的行列式为1.
取定(V , f ) 的辛正交基ε1, ε2,
, εn , ε-1, ε-2, , ε-n . 设σ在基下矩阵为
K ，这时有K 'JK =J .
定理4设σ是2n 维辛空间中的辛变换，K 是σ在某辛正交基下的矩阵. 则它的特征多项式f (λ) =|λE -K |满足f (λ) =λ2n f () . 若设
1
λ
f (λ) =a 0λ2n +a 1λ2n -1+
则a i =a 2n -i , i =0, 1,
证明留做练习。
+a 2n -1λ+a 2n ,
, n .
由定理4可知，辛变换σ的特征多项式f (λ) 的（复）根λ与
1
是同时λ
出现的，且具有相同的重数. 它在F 中的特征值也如此. 又|K |等于f (λ) 的所有（复）根的积，而|K |=1. 故特征值-1的重数为偶数. 又不等于±1的复根的重数的和及空间的维数皆为偶数，因此特征值为+1的重数也为偶数.
定理5 设λi , λj 是数域F 上辛空间(V , f ) 上辛变换σ在F 中的特征值，且λi λj ≠1. 设V λi , V λj 分别是V 中对应于特征值λi 及λj 的特征子空间. 则
uv , ) 0=，有f (即V λi 与V λj 是辛正交的. 特别地，当λi ≠1时∀u ∈V λi , v ∈V λj ，
V λi 是迷向子空间.
证明 σu =λi u , σv =λj v ，f (u , v ) =f (σu , σv ) =λi λj f (u , v ) ，
(1-λi λj ) ≠0⇒f (u , v ) =0
关于辛空间的进一步讨论，有兴趣的同学可以参看有关书籍。
264
*§4 对偶空间
设V 是F 上的一个向量空间，
V *=L (V , P ) ={f |f 是V 到F 的线性函数}.
类似于L (V ) ，替V *规定加法: ∀f , g ∈V *, ∀α, β∈V , ∀k ∈F f +g :(f +g )(α) =f (α) +g (α) ，f +g ∈V *, 事实上
(f +g )(α+β) =f (α+β) +g (α+β) =f (α) +f (β) +g (α) +g (β) =f (α) +g (α) +f (β) +g (β) =(f +g )(α) +(f +g )(β)
(f +g )(k α) =f (k α) +g (k α) =kf (α) +kg (α) =k (f +g )(α) 替V *规定数量乘法: ∀f ∈V *, ∀k ∈F , ∀α∈V kf :(kf )(α) =kf (α) ， 易证 kf ∈V *
V *对上面规定的加法和数量乘法也作成F 上的一个向量空可以证明，
间，叫做V 的对偶空间。
以下设V 是n 维向量空间。
在V 中取一个基α1, α2, , αn ，我们来找V *的一个基． 令
⎧1i =j
f i (αj ) =⎨ ，i =1,2,
⎩0i ≠j
*
, n
n
易证f i ∈V 。 ∀α∈V ，α=∑x i αi ，则f i (α) =x i ，因此n
i =1
α=∑f i (α) i αi ，
i =1
f (α) =∑f i (α) f (αi ) =∑f (αi ) f i (α) =(∑f (αi ) f i )(α) ，
i =1
i =1
i =1
n
n n n
所以f =∑f (αi ) f i ，即f 可表为 f 1, f 2,
i =1
, f n 的线性组合；
, f n 是线性无关的．设
c 1f 1+c 2f 2++c n f n =0
并作用αi ，(c 1f 1+c 2f 2++c n f n )(αi ) =0，得c i =0, i =1,2, , n ，因此f 1, f 2, , f n 线性无关．因此是V *的一个基．叫做α1, α2, , αn 的对偶基．于是得到
定理1 设V 是数域F 上的n 维向量空间，V *是V 的对偶空间，则
现在我们证明f 1, f 2,
dim(V *) =dim(V )
例1 考察实数域R 上的n 维向量空间V =R n [x ]．对任意取定的n 个不同实数，a 1, a 2, , a n ，根据Lagrange 插值公式，得到n 个多项式
265
p i (x ) =
它们满足
(x -a 1) (x -a i -1)(x -a i +1) (x -a n )
，i =1,2,
(a i -a 1) (a i -a i -1)(a i -a i +1) (a i -a n )
, n ．
⎧1i =j
， p i (a j ) =⎨
0i ≠j ⎩
因此p 1(x ), p 2(x ),
, p n (x ) 线性无关．事实上由 +c n p n (x ) =0，用a i 代入，即得
, n ．
c 1p 1(x ) +c 2p 2(x ) +
∑c
k =1
n
k
p k (a i ) =c i p i (a i ) =c i =0，i =1,2,
又V 是n 维的，所以p 1(x ), p 2(x ),
设L i ∈V * (i =1,2,
, p n (x ) 是V 的一组基．
, n ) 是在a i 点的取值函数：
, n ，
L i (p (x )) =p (a i ) ，p (x ) ∈V ，i =1,2,
则线性函数L i 满足
⎧1i =j
．i =1,2, L i (p j (x )) =p j (a j ) =⎨
0i ≠j ⎩
, n
因此，L 1, L 2, , L n 是p 1(x ) ，p 2(x ) ，，p n (x ) 的对偶基。
例2 设V =M 2(F ) ，在V 中取一个基E 11，E 12，E 21，E 22，求它的对偶基f 11，f 12，f 21，f 22，并求V 上任一线性函数f 的表达式．
解 f 11(E 11)=1，f 11(E 12)=f 11(E 21)=f 11(E 22)=0，
f 12(E 12)=1，f 12(E 11)=f 12(E 21)=f 12(E 22)=0， f 21(E 21)=1，f 21(E 11)=f 21(E 12)=f 21(E 22)=0， f 22(E 22)=1，f 22(E 11)=f 22(E 12)=f 22(E 21)=0．
任取A =(a ij ) 22∈M 2(F ) ，由于A =∑∑a ij E ij ，所以f 11(A )=a 11，f 12(A )=a 12，
i =1j =12
2
f 21(A )=a 21，f 22(A )=a 22．于是，对于V 上的任意一个线性函数f , 设f (E ij )=c ij ，i ，j =1，2，则由(9)得 f (A ) =c 11f 11(A ) +c 12f 12(A ) +c 21f 21(A ) +c 22f 22(A )
=c 11a 11+c 12a 12+c 21a 21+c 22a 22．
V 中不同基的对偶基之间有什么关系？这就是
α1, α2, , αn 与β1, β2, 定理2 设V 是数域F 上n 维向量空间，
266
, βn 是
V 的两个基．设它们的对偶基分别是f 1, f 2, , f n 与g 1, g 2, , g n ．若
则V *中基f 1, f 2, , f n 到基g 1, g 2, , g n 的(β1, β2, , βn ) =(α1, α2, , αn ) A ，
过渡矩阵为(A -1) '．
证明 由已知条件，有 (β1, β2,
n k =1
, βn ) =(α1, α2, , αn ) A
于是 βi =∑a ki αk ．
设f 1, f 2,
n
, f n 到g 1, g 2, , g n 的过渡矩阵为B =(b ij ) n ⨯n ，则
(g 1, g 2, , g n ) =(f 1, f 2, , f n ) B
k =1
于是g j =∑b kj f k ．将此式的两边作用于βi ，并注意到f k (βi ) =a ki ，则得
⎧1i =j
． g j (βi ) =∑b kj f k (βi ) =∑b kj a ki =⎨
0i ≠j k =1k =1⎩
n
n
因此，A ' B =E ．故B =(A ') -1=(A -1)' ．
考察V 到V *的一个同构映射．因为V 和V *都是n 维的，所以它们都与F n 同构．我们来看看，在这样一个同构映射之下，向量α的象是什么样的函数。已知，在数域F 上一个n 维向量空间取定一个基后，让每个向量对应到它在这个基下的坐标就是所给n 维向量空间到F n 的一个同构映射．在V 中取一个基α1, α2,
n
, αn ，而f 1, f 2,
n
, f n ∈V *是α1, α2, , αn 的对
偶基，则有V 到F 的一个同构映射σ1：σ1(∑a i αi ) =(a 1, a 2,
i =1
, a n ) ．
又有F 到V 的一个同构映射σ2：σ2(a 1, a 2,
*
n *
, a n ) =∑a i f i ．
i =1
n
n
n
从而有V 到V 的一个同构映射σ=σ2σ1：σ(∑a i αi ) =∑a i f i ．
i =1
i =1
设α=∑a i αi ，记σ(α) =f α，则 f α=∑a i f i ． 因此，对于V 中任一向
i =1n
i =1n
n n
量β=∑b i αi ，有 f α(β) =∑a i f i (β) =∑a i b i ．这就是说，α在同构映射
i =1
i =1
i =1
n
σ之下的象f α在β上的函数值f α(β) 等于α与β的坐标的对应分量乘积
之和．
以上的讨论是在F 上任一n 维向量空间进行的．因此对于F 上n 维向量空间V ，我们也可以考虑V *上的所有线性函数组成的向量空间V **，它是V *的对偶空间，据定理1，dim V **=dim V *=dim V ．因此V ≌V **．V **
267
叫做V 的双重对偶空间．
进而求V 到V **的一个同构映射，在V 中取一个基α1, α2,
n
, αn ，设它
的对偶基是f 1, f 2,
, f n ．任取V 中一个向量α=∑a i αi ，则由上讨论有V
i =1
到V *的一个同构映射σ1，它把α映成f α．对V *，有V *到V **的一个同构映射σ2，它把f α映成α**，其中α**(f ) 等于f α与f 在基f 1, f 2, 坐标的对应分量乘积之和．设
n
n
, f n 下的
f α=∑a i f i ，f =∑f (αi ) f i ．因此
i =1
i =1
α(f ) =∑a i f (αi ) =f (∑a i αi ) =f (α) ．
**
i =1
i =1
n n
这样，我们找到了V 到V **的一个同构映射σ=σ2σ1，它把V 中向量α映成V **中元素α**，其中α**(f ) =f (α), ∀f ∈V *。
由此可得同构映射的对应法则.
定理3 设V 是F 上的n 维向量空间，V **是V 的双重对偶空间，则 σ:V →V **，αα** 是一个V 到V **的同构映射.
α**是一个V 到V **的映射，且对证明 σ:V →V **，α
∀α, β∈V , ∀k ∈F , σ(α+β) =σ(α) +σ，(βσ(k α) =k σ(α) ，
∀f ∈V *, σ(α+β)(f ) =(α+β) **(f ) =f (α+β) =f (α) +f (β) =α**(f ) +β**(f ) =σ(α)(f ) +σ(β)(f ) =(σ(α) +σ(β))(f ) ，类似可证明 σ(k α) =k σ(α) ；
***
而且σ是一个单射，事实上，由 σ(α) =， α=0∀f ∈V n
α**(f ) =f (α) =0，故f i (α) =0，α=∑f i (α) αi =0
i =1
由α**的定义知σ也是一个满射，从而是双射，所以，σ 是一个V 到V **的同构映射.
必须指出，上述V 到V **的同构映射不依赖于V 中基的选择．因为上面在V 中取定一个基α1, α2, , αn ，我们找到了V 到V **的一个同构映射σ:V →V **，αα**，其中α**(f ) =f (α), ∀f ∈V *．
又在V 中另取一个基β1, β2,
**
, βn ，设它的对偶基是g 1, g 2,
n
, g n ．则
类似地有V 到V 的一个同构映射τ1, 它把V 中向量α=∑b i βi 映成g α，且
i =1
有V *到V **的一个同构映射τ2，它把g α映成τ2(g α) ，其中τ2(g α) f 等于g α
268
与f 在基g 1, g 2,
n
, g n 下的坐标的对应分量乘积之和．因为g α=∑b i g i ，
i =1
n
并且f =∑f (βi ) g i ，所以
i =1
τ2(g α) f =∑b i f (βi ) =f (∑b i βi ) =f (α), ∀f ∈V *
i =1
i =1
n n
于是得到V *到V **的又一个同构映射τ=τ1τ2，它把V 中向量α映成τ(α) ，其中 τ(α) f =(τ2τ1(α)) f =τ2(g α) f =f (α), ∀f ∈V *．
因此σ(α) f =τ(α) f , ∀f ∈V *，由此 σ(α) =τ(α), ∀α∈V ，故σ=τ．因此
α**，其中α**(f ) =f (α), ∀f ∈V *不依赖于有：V 到V **的同构映射：α
V 中基的选择．这样的同构映射叫做标准同构或自然同构．
由于V 到V **存在自然同构，因此我们可以把V **与V 等同，从而可以把V 看成V *的对偶空间，这样V 与V *就互为对偶空间．这就是为什么把
V *称为V 的对偶空间的原因．
由于V 可以看成是V *的对偶空间V **，而V **是V *上所有线性函数组成的空间，因此任一n 维向量空间可以看成是某个n 维向量空间上所有线性函数组成的空间．
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