微积分论文3

微积分发展史的认识及应用

姓名：张佳佳 班级：数学1班 学号：[1**********]7

摘要

微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求解导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

关键词

微积分；应用；微分；积分；物理，几何

引言 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分在物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。

微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始，进而达到抽象思

维，也就是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规律性的认识具有相对性，受到时代的局限。随着人类认识的深入，认识将一步一步地由低级到高级、不全面到比较全面地发展，人类对自然的探索永远不会有终点。 1 微积分的介绍

1.1微积分的基本内容

1.1.1 一阶微分

定义：设函数yF(x)在某区间内有定义，x0及x0x在此区间内。如果函数的增量yf(x0x)，f(x0)可表示为 yAxo(x)（其中A是不依赖于x的常数），而o(x)是比x高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且Ax称作函数在点x0相应于自变量增量x的微分，记作dy，即dyAx。

通常把自变量x的增量x称为自变量的微分，记作dx，即dxx。于是函数yf(x)的微分又可记作dyf'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。几何意义 设x是曲线yf(x)上的点M的在横坐标上的增量，y是曲线在点M对应x在纵坐标上的增量，dy是

|ydy|比|x|曲线在点M的切线对应x在纵坐标上的增量。当|x|非常小时，

要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

1.1.2多元微分

多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。

ZAxByo()为函数Z在点(x,y)处的全增量（其中A、B不依赖于

x、y有关，x2y2,AxBy即是Z在点的全微分。 x和y，而只与

总的来说，微分学的核心思想便是以直线代替曲线，即在微小的邻域内，可以用一段切线段来代替曲线以简化计算过程。

1.1.不定积分

设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分。 记作f(x)d。其中叫做积分

号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

由定义可知： 求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。

1.1.1积分与微分关系

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数，其中：[F(x)C]'f(x)一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。

积分从不同的问题抽象出来的两个数学概念。定积分和不定积分的统称。不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。例如：已知定义在区间I上的函数f(x)，求一条曲线yF(x),xl，使得它在每一点的切线斜率为F'(x)f(x)。函数f(x)的不定积分是f(x)的全体原函数（见原函数），记作 。如果F(x)是f(x)的一个原函数，则 ，其中C为任意常数。例如， 定积分是以平面图形的面积问题引出的。yf(x)为定义在[a,b]上的函数，为求由xa,xb,y0和yf(x)所围图形的面积S，采用古希腊人的穷竭法，先在小范围内以直线代替曲线，求出S的近似值，再取极限得到所求面积S，为此，先

ax0x1...xnb，将[a,b]分成n等分：取i[xi1,xi]，记xixixi1，

则pn为S的近似值，当n时，pn的极限应可作为面积S。把这一类问题的思想方法抽象出来，便得定积分的概念：对于定义在[a,b]上的函数yf(x)，作分划ax0x1...xnb，若存在一个与分划及i[xi1,xi]的取法都无关的常数I，使得,其中则称I为f(x)在[a,b]上的定积分，表为即 称[a,b]为积分区间，f(x)为被积函数，a，b分别称为积分的上限和下限。当f(x)的原函数存在时，定积分的计算可转化为求f(x)的不定积分：这是c牛顿莱布尼兹公式。

1.2 微积分的发展

微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作 者以及技术人员不可缺少的工具。

微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的《天下篇》中也有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的极限思想，公元263年，刘徽的《九间算术》作注时提出了“割圆术”，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。

积分概念是由求某一些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在《抛物线求积法》中求出抛物线弓形的面积，人没有用极限，是“有限”开工的穷竭法，但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。

微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于 1629 年费尔玛陈述的概念，他给同了如何确定极大值和极小值的方法。其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生。前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在 17 世纪下半叶各自独立创立了微积分。1605年 5月20日，在牛顿手写的一面文件中开始有“流数术”的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。牛顿关于微积分的著作很多写于1665 - 1676年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱而尼茨公式。

如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分

支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨。

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小、无穷大的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。

微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。

从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德的著作《圆

的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的高徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。圆的面积就是无穷多的三角形面积之和，这些都可视为黄型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。

由于16世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起，为科学技术的发展开创了美好前景。到了17世纪，有许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作。

笛卡尔1637年发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》（简称《方法论》），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。他不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上。他认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知数与未知数之间的关系，表示变量与变量之间的关系，还可以表示曲线，于是方程与曲线之间建立起对应关系。此外，笛卡尔打破了表示体积面积及长度的量之间不可相加减的束缚。于是几何图形各种量之间可以化为代数量之间的关系，使得几何与代数在数量上统一了起来。笛卡尔就这样把相互对立的“数”与“形”统一起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是它为微积分的成熟提

供了必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间。

微积分在几何中的应用

2.1求平面图形的面积

2.1.1 直角坐标情形

面积为A ,取x为积分变量,则dAf(x)dx，则此面积为Af(x)dx，面ab

积为设曲线yf(x)(0)与直线xa,xb(ab)及x 轴所围曲边梯形Af1(x)f2(x)dx ab

例1. 计算两条抛物线y2x,yx2在第一象限所围图形的面积。

得交点(0,0),(1,1)，AdA01y2x解: 由2yx

231x2x3

33xx2dx 1

01 3

例2. 计算抛物线y22x与直线yx4所围图形的面积。

y22x解: 由得交点(2,2),(8,4)为简便计算, 选取y积分变量,则有yx4

A

2.1.2 4221213y4ydA(y4y)dy26y24218

设()C[,],()0，求曲线r()及射线,围成的曲边扇形的面积 。在区间[,]上任取小区间[,d]，则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为dA()2d，所求曲边扇形的面积为A12()d 212

例3.计算阿基米德螺线ra(a0)对应从0变到2所围图形面积。

解：A0

21a21324322(a)d[]0a 2233

2.2 求平面曲线的弧长

定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线,当折线段的最大边长时，线的长度趋向于一个确定的极限,则称此极限为曲线弧 AB 的弧长，即slimMi1Mi，称此0i1n

曲线弧为可求长的。定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的。

2.2.1曲线弧由直角坐标方程给出:yf(x)(axb)弧长元素：ds(dx)(dy)y2dx，因此所求弧长Sf2(x)dx a22b

x(t)3.2.2 曲线弧由参数方程给出:(t),弧长元素(弧微

y(t)

分) :ds(dx)2(dy)22(t)2(t)dt,因此所求弧长s

2(t)2(t)dt

曲线弧由极坐标方程给出:rr()(),另2.2.3

xr()cos,yr()sin，则得弧长为:dsr2()r2()d ，因此所求弧长s

r2()r2()d 例子．求连续曲线段y

x2tdt的弧长. 2解：cosx0,x，s2ydx22(cosx)2dx 02222sin224 02.3 求立体的体积

2.3.1 平行截面面积为已知函数的立体体积

设所给立体垂直于x 轴的截面面积为Ax,Ax在[a,b]上连续,则对应于小区间[x,xdx]的体积元素为dVA(x)dx因此所求立体体积为Vb

aA(x)dx

例4．一个平面经过半径为R 的圆柱体的底面圆的中心 ,并与底面交成角,计算该平面所截圆柱体所得立体的体积。

解：取坐标系，则圆的方程为x2y2R2，垂直于x 轴 的截面是直角三角形,

其面积为A(x)12(Rx2)tan(RxR)，利用对称性 2

R112V2(R2x2)tandx2tanR2xx3R3tan 0233

2.4 求旋转体的体积

当我们考虑到连续曲线段yf(x)(axb)绕x轴，轴旋转一周所围成的立体体积时,有V[f(x)]2dx，当我们考虑到连续曲线段x(y)(cyd)绕 y ab

轴旋转一周所围成的立体体积时,有V[(y)]2dy cd

x2y2

例5：计算由椭圆221所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. ab

解：利用直角坐标方程

V2ydx20a2yba2x2a(axa)，则422(ax)dxab2 23a0ab2

2.5 求旋转体的侧面积

设平面光滑曲线yf(x)C1[a,b]，且f(x)0，求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.侧面积元素:位于[x,xdx]上的圆台的侧面积dS2yds2f(x)f2(x)dx，积分后得旋转体的侧面积S2f(x)f2(x)dx ab

注意：侧面积元素dS2yds2ydx，因为2ydx不是薄片侧面积

x(t)S的线性主部。若光滑曲线由参数方程则它绕 x 轴(t)给出，y(t)

旋转一周所得旋转体的侧面积为S2(t)2(t)2(t)dt 

例子．求由星形线xacos3t,yasin3t绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的表面积S。 解：利用对称性S22

20asint12a3220sin4tcostdt122a 5

3微积分在物理学上的应用

3.1微积分解决物理问题时的微元选

物理现象及其规律的研究都是以最简单的现象和规律为基础的，例如质点运动学是从匀速、匀变速直线运动开始，带电体产生的电场是以点电荷为基础。实际中的复杂问题，则可以化整为零，把它分割成在小时间、小空间范围内的局部问题，只要局部范围被分割到无限小，小到这些局部问题可近似处理为简单的可研究的问题，把局部范围内的结果累加起来，就是问题的结果。

微积分在物理学中的应用相当普遍，有许多重要的物理概念 ，物理定律就dvdr是直接以微积分的形式给出的，如速度v，加速度a，转动惯量dtdtd2Idmr，安培定律dFIdlB，电磁感应定律N dt

在用积分求解物理问题中涉及到积分元，积分变量，积分上下限如何确定等问题，有时积分或积分变量选得好，计算就变得很方便和简单，否则就难于计算甚至求不出结果。

在应用微积分方法解物理问题时，微元的选取非常关键，选的恰当有利于问题的分析和计算，其一要保证在所选取的微元内能近似处理成简单基本的物理模型，以便于分析物理问题；其二要尽量把微分选取的大，这样可使积分运算更加简单，因为微分和积分互为逆运算，微分微的越细，越精确，但积分越繁琐，计算工作量较大，所以还要在微分和积分这对矛盾之间协调处理。

微元的选取不是唯一，在每一种微元里近似的物理模型是不同的，重积分远比一元积分麻烦。所以在分析物理问题时，应充分利用对称性，选取适当的一元微元，使积分运算简单；不管选取怎样的微元，结果是相同的，都是问题的精确解。由此看出，用微积分解题的神奇之处，由于微元无限趋近于零，使得有限范

围内的近似值到无限小范围内的精确，从而完成了问题的精确求解。

3.1.1求变力沿直线所作的功

设物体在连续变力F(x作用下沿 x 轴从xa移动到xb，力的方向与运动方向平行，求变力所做的功 。

在[a,b]上任取子区间[x,xdx]，在其上所作的功元素为dWF(x)dx，因此变力F(x)在区间[a,b]上所作的功为WF(x)dx ab

3.1.1.1 例1

在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处，求移动过程中气体压力所作的功。

解：建立坐标系，由波义耳—马略特定律知压强p 与体积 V 成反，即比

kkkkp，故作用在活塞上的力为Fp.S，功元素为dWFdxdx，vxSxx

bkbkln所求功为Wdxk[lnx]b aaxa

3.1.1.2 求侧体压力

设液体密度为，深为h处的压强：pgh，当平板与水面平行时，平板一侧所受的压力位PpA,当水平不与水面平行时，所受侧压力问题就需要用积分解决。

小例：一个水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为的液体，求这个桶的一个端面所受的侧压力。

解：建立坐标系,所论半圆的方程为yR2X2(0xR)利用对称性，侧压力元R素dp2gxR2X2dx2g3R 3，端面所受侧压力为P2gxR2X2dx0

3.1.1.3 引力问题

质量分别为m1，m2的质点，相距r，二者间的引力大小：Fkm1m2，方向为2r

沿两质点的连线，若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .

小例：设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,在其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 试计算该棒对质点的引力。

解：细棒上小段[x,xdx]对质点的引力大小为dFk

素为dFydFcosakmdxakma2222axaxmdx，故垂直分力元a2x2dx，棒对质点的引3

(x2a2)2

力的垂直分力为Fy2kml

al4al

2kml

a22，棒对质点引力的水平分力Fx0，故该棒对质点的引力大小为F

14al22

参考文献

[1] 同济大学数学教研室．高等数学（第四版）【M】.北京：高等教育出版社.1993

[2] 数学分析.上册.华东师范大学数学系编（第三版）【M】. .北京：高等教育出版社.2001

[3] 李文林，数学史概论（第二版）【M】，北京：高等教育出版社，2002，（8）：144-196。

[4] 林承初.定积分概念的推广及其几何物理意义【J】.河南教育学报.2006.(2)

[5] 孙丰良.微积分初步【M】.延边大学出版社.2000

[6] 罗圆圆.大学物理上册【M】.修订版.南昌：江西高级出版社.2005:345.

微积分发展史的认识及应用

姓名：张佳佳 班级：数学1班 学号：[1**********]7

摘要

微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求解导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

关键词

微积分；应用；微分；积分；物理，几何

引言 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分在物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。

微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始，进而达到抽象思

维，也就是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规律性的认识具有相对性，受到时代的局限。随着人类认识的深入，认识将一步一步地由低级到高级、不全面到比较全面地发展，人类对自然的探索永远不会有终点。 1 微积分的介绍

1.1微积分的基本内容

1.1.1 一阶微分

定义：设函数yF(x)在某区间内有定义，x0及x0x在此区间内。如果函数的增量yf(x0x)，f(x0)可表示为 yAxo(x)（其中A是不依赖于x的常数），而o(x)是比x高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且Ax称作函数在点x0相应于自变量增量x的微分，记作dy，即dyAx。

通常把自变量x的增量x称为自变量的微分，记作dx，即dxx。于是函数yf(x)的微分又可记作dyf'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。几何意义 设x是曲线yf(x)上的点M的在横坐标上的增量，y是曲线在点M对应x在纵坐标上的增量，dy是

|ydy|比|x|曲线在点M的切线对应x在纵坐标上的增量。当|x|非常小时，

要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

1.1.2多元微分

多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。

ZAxByo()为函数Z在点(x,y)处的全增量（其中A、B不依赖于

x、y有关，x2y2,AxBy即是Z在点的全微分。 x和y，而只与

总的来说，微分学的核心思想便是以直线代替曲线，即在微小的邻域内，可以用一段切线段来代替曲线以简化计算过程。

1.1.不定积分

设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分。 记作f(x)d。其中叫做积分

号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

由定义可知： 求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。

1.1.1积分与微分关系

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数，其中：[F(x)C]'f(x)一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。

积分从不同的问题抽象出来的两个数学概念。定积分和不定积分的统称。不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。例如：已知定义在区间I上的函数f(x)，求一条曲线yF(x),xl，使得它在每一点的切线斜率为F'(x)f(x)。函数f(x)的不定积分是f(x)的全体原函数（见原函数），记作 。如果F(x)是f(x)的一个原函数，则 ，其中C为任意常数。例如， 定积分是以平面图形的面积问题引出的。yf(x)为定义在[a,b]上的函数，为求由xa,xb,y0和yf(x)所围图形的面积S，采用古希腊人的穷竭法，先在小范围内以直线代替曲线，求出S的近似值，再取极限得到所求面积S，为此，先

ax0x1...xnb，将[a,b]分成n等分：取i[xi1,xi]，记xixixi1，

则pn为S的近似值，当n时，pn的极限应可作为面积S。把这一类问题的思想方法抽象出来，便得定积分的概念：对于定义在[a,b]上的函数yf(x)，作分划ax0x1...xnb，若存在一个与分划及i[xi1,xi]的取法都无关的常数I，使得,其中则称I为f(x)在[a,b]上的定积分，表为即 称[a,b]为积分区间，f(x)为被积函数，a，b分别称为积分的上限和下限。当f(x)的原函数存在时，定积分的计算可转化为求f(x)的不定积分：这是c牛顿莱布尼兹公式。

1.2 微积分的发展

微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作 者以及技术人员不可缺少的工具。

微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的《天下篇》中也有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的极限思想，公元263年，刘徽的《九间算术》作注时提出了“割圆术”，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。

积分概念是由求某一些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在《抛物线求积法》中求出抛物线弓形的面积，人没有用极限，是“有限”开工的穷竭法，但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。

微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于 1629 年费尔玛陈述的概念，他给同了如何确定极大值和极小值的方法。其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生。前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在 17 世纪下半叶各自独立创立了微积分。1605年 5月20日，在牛顿手写的一面文件中开始有“流数术”的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。牛顿关于微积分的著作很多写于1665 - 1676年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱而尼茨公式。

如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分

支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨。

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小、无穷大的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。

微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。

从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德的著作《圆

的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的高徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。圆的面积就是无穷多的三角形面积之和，这些都可视为黄型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。

由于16世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起，为科学技术的发展开创了美好前景。到了17世纪，有许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作。

笛卡尔1637年发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》（简称《方法论》），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。他不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上。他认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知数与未知数之间的关系，表示变量与变量之间的关系，还可以表示曲线，于是方程与曲线之间建立起对应关系。此外，笛卡尔打破了表示体积面积及长度的量之间不可相加减的束缚。于是几何图形各种量之间可以化为代数量之间的关系，使得几何与代数在数量上统一了起来。笛卡尔就这样把相互对立的“数”与“形”统一起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是它为微积分的成熟提

供了必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间。

微积分在几何中的应用

2.1求平面图形的面积

2.1.1 直角坐标情形

面积为A ,取x为积分变量,则dAf(x)dx，则此面积为Af(x)dx，面ab

积为设曲线yf(x)(0)与直线xa,xb(ab)及x 轴所围曲边梯形Af1(x)f2(x)dx ab

例1. 计算两条抛物线y2x,yx2在第一象限所围图形的面积。

得交点(0,0),(1,1)，AdA01y2x解: 由2yx

231x2x3

33xx2dx 1

01 3

例2. 计算抛物线y22x与直线yx4所围图形的面积。

y22x解: 由得交点(2,2),(8,4)为简便计算, 选取y积分变量,则有yx4

A

2.1.2 4221213y4ydA(y4y)dy26y24218

设()C[,],()0，求曲线r()及射线,围成的曲边扇形的面积 。在区间[,]上任取小区间[,d]，则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为dA()2d，所求曲边扇形的面积为A12()d 212

例3.计算阿基米德螺线ra(a0)对应从0变到2所围图形面积。

解：A0

21a21324322(a)d[]0a 2233

2.2 求平面曲线的弧长

定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线,当折线段的最大边长时，线的长度趋向于一个确定的极限,则称此极限为曲线弧 AB 的弧长，即slimMi1Mi，称此0i1n

曲线弧为可求长的。定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的。

2.2.1曲线弧由直角坐标方程给出:yf(x)(axb)弧长元素：ds(dx)(dy)y2dx，因此所求弧长Sf2(x)dx a22b

x(t)3.2.2 曲线弧由参数方程给出:(t),弧长元素(弧微

y(t)

分) :ds(dx)2(dy)22(t)2(t)dt,因此所求弧长s

2(t)2(t)dt

曲线弧由极坐标方程给出:rr()(),另2.2.3

xr()cos,yr()sin，则得弧长为:dsr2()r2()d ，因此所求弧长s

r2()r2()d 例子．求连续曲线段y

x2tdt的弧长. 2解：cosx0,x，s2ydx22(cosx)2dx 02222sin224 02.3 求立体的体积

2.3.1 平行截面面积为已知函数的立体体积

设所给立体垂直于x 轴的截面面积为Ax,Ax在[a,b]上连续,则对应于小区间[x,xdx]的体积元素为dVA(x)dx因此所求立体体积为Vb

aA(x)dx

例4．一个平面经过半径为R 的圆柱体的底面圆的中心 ,并与底面交成角,计算该平面所截圆柱体所得立体的体积。

解：取坐标系，则圆的方程为x2y2R2，垂直于x 轴 的截面是直角三角形,

其面积为A(x)12(Rx2)tan(RxR)，利用对称性 2

R112V2(R2x2)tandx2tanR2xx3R3tan 0233

2.4 求旋转体的体积

当我们考虑到连续曲线段yf(x)(axb)绕x轴，轴旋转一周所围成的立体体积时,有V[f(x)]2dx，当我们考虑到连续曲线段x(y)(cyd)绕 y ab

轴旋转一周所围成的立体体积时,有V[(y)]2dy cd

x2y2

例5：计算由椭圆221所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. ab

解：利用直角坐标方程

V2ydx20a2yba2x2a(axa)，则422(ax)dxab2 23a0ab2

2.5 求旋转体的侧面积

设平面光滑曲线yf(x)C1[a,b]，且f(x)0，求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.侧面积元素:位于[x,xdx]上的圆台的侧面积dS2yds2f(x)f2(x)dx，积分后得旋转体的侧面积S2f(x)f2(x)dx ab

注意：侧面积元素dS2yds2ydx，因为2ydx不是薄片侧面积

x(t)S的线性主部。若光滑曲线由参数方程则它绕 x 轴(t)给出，y(t)

旋转一周所得旋转体的侧面积为S2(t)2(t)2(t)dt 

例子．求由星形线xacos3t,yasin3t绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的表面积S。 解：利用对称性S22

20asint12a3220sin4tcostdt122a 5

3微积分在物理学上的应用

3.1微积分解决物理问题时的微元选

物理现象及其规律的研究都是以最简单的现象和规律为基础的，例如质点运动学是从匀速、匀变速直线运动开始，带电体产生的电场是以点电荷为基础。实际中的复杂问题，则可以化整为零，把它分割成在小时间、小空间范围内的局部问题，只要局部范围被分割到无限小，小到这些局部问题可近似处理为简单的可研究的问题，把局部范围内的结果累加起来，就是问题的结果。

微积分在物理学中的应用相当普遍，有许多重要的物理概念 ，物理定律就dvdr是直接以微积分的形式给出的，如速度v，加速度a，转动惯量dtdtd2Idmr，安培定律dFIdlB，电磁感应定律N dt

在用积分求解物理问题中涉及到积分元，积分变量，积分上下限如何确定等问题，有时积分或积分变量选得好，计算就变得很方便和简单，否则就难于计算甚至求不出结果。

在应用微积分方法解物理问题时，微元的选取非常关键，选的恰当有利于问题的分析和计算，其一要保证在所选取的微元内能近似处理成简单基本的物理模型，以便于分析物理问题；其二要尽量把微分选取的大，这样可使积分运算更加简单，因为微分和积分互为逆运算，微分微的越细，越精确，但积分越繁琐，计算工作量较大，所以还要在微分和积分这对矛盾之间协调处理。

微元的选取不是唯一，在每一种微元里近似的物理模型是不同的，重积分远比一元积分麻烦。所以在分析物理问题时，应充分利用对称性，选取适当的一元微元，使积分运算简单；不管选取怎样的微元，结果是相同的，都是问题的精确解。由此看出，用微积分解题的神奇之处，由于微元无限趋近于零，使得有限范

围内的近似值到无限小范围内的精确，从而完成了问题的精确求解。

3.1.1求变力沿直线所作的功

设物体在连续变力F(x作用下沿 x 轴从xa移动到xb，力的方向与运动方向平行，求变力所做的功 。

在[a,b]上任取子区间[x,xdx]，在其上所作的功元素为dWF(x)dx，因此变力F(x)在区间[a,b]上所作的功为WF(x)dx ab

3.1.1.1 例1

在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处，求移动过程中气体压力所作的功。

解：建立坐标系，由波义耳—马略特定律知压强p 与体积 V 成反，即比

kkkkp，故作用在活塞上的力为Fp.S，功元素为dWFdxdx，vxSxx

bkbkln所求功为Wdxk[lnx]b aaxa

3.1.1.2 求侧体压力

设液体密度为，深为h处的压强：pgh，当平板与水面平行时，平板一侧所受的压力位PpA,当水平不与水面平行时，所受侧压力问题就需要用积分解决。

小例：一个水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为的液体，求这个桶的一个端面所受的侧压力。

解：建立坐标系,所论半圆的方程为yR2X2(0xR)利用对称性，侧压力元R素dp2gxR2X2dx2g3R 3，端面所受侧压力为P2gxR2X2dx0

3.1.1.3 引力问题

质量分别为m1，m2的质点，相距r，二者间的引力大小：Fkm1m2，方向为2r

沿两质点的连线，若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .

小例：设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,在其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 试计算该棒对质点的引力。

解：细棒上小段[x,xdx]对质点的引力大小为dFk

素为dFydFcosakmdxakma2222axaxmdx，故垂直分力元a2x2dx，棒对质点的引3

(x2a2)2

力的垂直分力为Fy2kml

al4al

2kml

a22，棒对质点引力的水平分力Fx0，故该棒对质点的引力大小为F

14al22

参考文献

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