第２５卷第５期２０１２年９月
西安财经学院学报
’ＪｏｕｒｎａｌｏｆＸｉａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｏｆＦｉｎａｎｃｅａｎｄＥｃｏｎｏｍｉｃｓ ｙ
ｏ．５Ｖｏｌ．２５ Ｎ
Ｓｅ．２０１２ｐ
贝叶斯方法在调整保险费率中的应用
陈 正，汪飞飞
（）西安财经学院统计学院，陕西西安 ７１０１００
摘 要：根据市场经营情况适时调整保险费系统对保险公司至关重要。对贝叶斯调整保险费方法进行阐述，运用实例分析说明贝叶斯调整保险费方法估计保险费率的可行性。本文的方法和结论可运用于非寿险实务中小样本数据的保险费估计工作。
关键词：贝叶斯统计；先验信息；后验信息；贝叶斯保险费
（）中图分类号：Ｆ８４：Ｆ２２４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２－２８１７２０１２０５－００５１－０５
一、引 言
在保险公司开业经营或新险种开始销售的初期，由于缺乏必要的经验数据，所以常常是根据整体险种或整个行业的以往经营情况收取保险费的。这实际上正符合贝叶斯统计方法中的先验统计理论思想，即根据同行业经验甚至仅仅是出于精算师的主没有一观判断来厘定经营初期的保险费。现实中，家保险公司的保险费率体系是与所承保的对象风险性质完全一致的，即使刚开始的时候保险费率体系但随着时间可以较好地反映承保对象的风险状况，
的推移，社会环境变迁、经济发展、公司经营策略的必然会出现保险费率体系与实际承保风险状转变，
况存在差异的情况。在这种情况下，风险状况较好、从而发生赔款较少或者没有赔款的承保对象就会要求减少被收取的保险费，而那些风险状况较差的承但如果保险保对象虽然不会主动要求增加保险费，
公司不及时对他们的保险费进行调整，将会造成保根据市场险公司偿付能力的急剧恶化。由此可见，经营情况适时调整保险费系统对保险公司至关重要，而贝叶斯保险费是其中运用较多的一种方法。
收稿日期：２０１２－０４－２０
二、研究现状
目前，非寿险精算中经常利用贝叶斯理论对保险费进行调整，常用的方法有贝叶斯保险费法（Ｈｅｉ－，）、信度理论和信度保费法。贝叶斯修ｌｍａｎｎ１９８９正法主要是通过贝叶斯方法实现先验信息、后验信息的转换，回避了我们无法准确认知的先验条件的利用可以观察到的样本信息作为条件，进而得限制，
到调整后保险费的一种方法。信度理论的核心思想就是在不能完全获知事件的风险水平的前提下拥有如何通过一个信度因子来平衡先验一组样本数据，
信息和样本信息，从而得到一个更优的结论。信度通过信度因子来调整行保费法则是保险精算学中，
业或险种平均风险水平和公司历史经营数据得到修为保险公司的保险费调整工作提供正后的保险费，
指导。由于贝叶斯方法的计算复杂性，Ｂｕｈｌｍａｎｎ和Ｓｔｒａｕｂ发展了非寿险精算中最为经典的Ｂｕｈｌ－ｍａｎｎ信度模型、Ｂｕｈｌｍａｎｎ－Ｓｔｒａｕｂ信度模型。上述两个信度模型都是利用一个简单的线性组合ｐ＝（所不同之处１－ｚ）ｚ Ｘ作为调整保险费的估计，μ＋在于Ｂｕｈｌｍａｎｎ－Ｓｔｒａｕｂ信度模型在Ｂｕｈｌｍａｎｎ信
，作者简介：陈正（男，陕西西安人，西安财经学院统计学院教授，硕士生导师，经济学博士，研究方向为社会人口１９６５－）
，统计；汪飞飞（男，安徽黄山人，西安财经学院统计学院硕士研究生，研究方向为社会保障。１９８０－）
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度模型的基础上加入了权重，增强了模型的适用性。高负债性是保险行业最为典型的经营特点，在金融是负债率排在第二位的行行业中保险仅次于银行，
业。为保证保险经营的稳定性，保险公司必须对其未决赔款、再保险业务提取责任准备未到期责任、
金，计入负债项目，以满足保险经营中收入、费用相匹配的会计准则要求，真实反映保险公司经营情况，保证经营稳定性。实务中，针对不同类型的准备金采取不同的估计方法，以经营中最为常见的未决赔款准备金为例，常采用的方法有逐案估计法、保费比例法、案均法、链梯法、分离法等。国内学者从１９９４年开始对未决赔款准备金进行研究。关于责任准备但将贝叶斯方法应用于准金提取的研究成果较多，
笔者对该类文献进行了备金研究的相关文献较少，
）梳理。刘乐平、袁卫、张琅（进一步发展了贝叶２００６斯统计预测方法的稳健性估计理论，运用分层贝叶给出了保险公司未决赔款斯分析和ＢＭＯＭ方法，
准备金的稳健贝叶斯估计，并以希腊保险公司的经进行了实证研究，最后将结果与传统估营数据为例，
）计结果进行了比较。郭涛（将贝叶斯方法引入２００８未决赔款预测中，在未决赔款准备金的估计过程中，不仅考虑利用历史经验数据所预测的准备金估计值，还引入了专家的事先经验信息，可以提高准备金预测的准确性，并就此进行了实证研究，将贝叶斯方法调整后的准备金预测值与传统方法的预测值进行了比较，得出把贝叶斯方法引入未决赔款准备金的）改预测中可以得到更优估计的结论。陈明镜（２０１１变了以往准备金估计模型中同一事故年下不同发展年赔款相互独立的假设，利用贝叶斯方法考虑了不同发展年之间的赔款相关性因素，改进了赔款准备必金的估计方法。保险公司在经营一段时间以后，须基于其经营中获取的可靠信息，对与其经营相关的各类数据资料进行更新，实务中这样的更新往往是运用贝叶斯方法或基于贝叶斯理论解释的。精算学者在很多年前就开始研究贝叶斯修匀方法（），但直到最近才逐渐被使用。ＢａｅｓｉａｎＧｒａｄｕａｔｉｏｎ ｙ）宋立新、王洪曾、冯敬海（构造了贝叶斯修匀模２００７型，得出死亡率估计函数，利用分段参数方法得到整体死亡率修匀值，并利用巴西保险业的经营数据进行了实证研究。
然而，上述研究多注重于理论方面的研究，研究结论多为复杂的模型，未能给出更有效的实证分析。５２
本文从实用的角度出发，主要对贝叶斯调整保险费的方法进行阐述，将保险公司日常经营中的实务概增强了贝叶念与贝叶斯保险费理论方法联系起来，
斯调整保险费方法的实用性，并对其应用进行了举以便于此方法在保险实践中得到更广泛的例说明，应用。
三、保险经营实务中的贝叶斯调整保险
费方法
（一）保险公司经营相关的几个概念初始保险费１．
初始保险费即保险公司经营初期向承保对象收取的保险费。我们可以把它理解为贝叶斯统计中先因为它并不是源于保险公司自验分布部分的内容，
而是来自于同类公司或相近险身经营所积累数据，
种的经营数据分析，其中还有保险公司精算师的主观判断。
修正保险费２．
在经营一段时间之后，保险公司逐渐拥有了一并由此积累了一段时期内的分定数量的客户群体，
险种经营数据，通过这些经营数据对初始保险费进行调整之后得到的保险费，称之为修正保险费或贝叶斯修正保险费。与之相对的可以理解为贝叶斯统计中后验分布部分的内容。
经验数据３．
经验数据即保险公司所积累的关于某特定险种在某特定期间的损失赔偿数据。这可以理解为贝叶斯统计中求解后验分布所必需的抽样样本。
（二）贝叶斯保险费
有别于目前已有的关于贝叶斯保险费介绍的文献，我们在正式引入贝叶斯保险费概念之前，简单地阐述一下贝叶斯保险费的由来、理论背景方面的内容，以笔者自身的经验来看，对这些环节的了解，将十分有助于贝叶斯保险费方法的学习。贝叶斯保险当时的费的概念最早由Ｈｅｉｌｍａｎｎ于１９８９年提出，现实需求就是：新开业的保险公司或者新销售的保单，由于索赔数据的缺乏，精算人员无法对保单产品提出有针对性的保险收费系统，更多地依靠主观判断、同业经验、相类似产品数据以及市场竞争情况、股东的期望回报收益等因素厘定保险费，这种情况既不利于市场开发，也不利于保险公司的稳定经营，势必需要进行调整。如果运用贝叶斯理论的方法去
陈 正，汪飞飞：贝叶斯方法在调整保险费率中的应用
看待这个问题，则可以归纳为：保险公司拥有一定数量的保单持有人，但某单个保单持有人的风险水平可以视为θ；而在给定θ条件下的，该保单持有未知，
。如果我们已知人的分布情况已知，可记作ｆ（ｘ｜θ）］，保险公司可以通过Ｅ［得出最ｘθ的真实值，｜θ）ｆ（
优的保险费估计值。但问题在于θ不仅无法直接观而且θ本身就是一个不确定的、因人而异的随察到，
］显然Ｅ［是随机变量θ的函数，在θ机变量，ｘ｜θ）ｆ（未知的情况下，该结果对保险公司经营没有任何现实意义。如何运用已有的经营数据，在不丧失可靠性的前提下，进一步修正保险费体系。贝叶斯保费保险公司所积累的历史给出了一个较理想的答案，
索赔数据包含了我们未知但希望了解的θ的信息。从贝叶斯方法的视角，我们可以把历史索赔数据视］为索赔随机变量的一组样本观察值，Ｅ［ｘ｜θ）ｆ（ｎ＋１作为基于历史经营数据调整的保险费，Ｘ是一个ｎ维的随机向量，代表着保险公司以往ｎ年的历史索赔数据。如果不考虑贝叶斯保险费计算中的复杂性，那么贝叶斯保险费方法几乎解决了保险公司经然而贝叶斯保险费验保险费厘定方面的所有问题，
的计算公式十分复杂，很多时候甚至得不出足以采用的结果，大大制约了其实践应用。因此催生了精但过程却十分简洁的信度保准度上未必有所提高，险费模型。
在上述背景下，我们来介绍贝叶斯调整保险费方法。假设某保险公司在某地区市场销售汽车保险保单，占据该地区一定的汽车保险市场份额，现公司精算工作人员需要根据以往所积累的赔偿数据计算部分续保人员下一保险年度的修正保险费。我们假定该保险公司汽车保险保单持有人的风险状况可以，其密度函数为π（某特定承用随机变量Θ表示，θ）保对象的单一保险期间发生赔偿金额随机变量为则在给定θ条件下，该对象的第ｊ个保险年度赔Ｘ，
，…，偿金额分布密度函数可用ｆ（ｘ２，ｎ，ｎ｜θ）ｊ＝１，ｊ
且每个被保险人在不同保险期间的赔偿＋１表示，
金额随机变量Ｘ是独立同分布的。通过整理该公司历史赔偿数据，整理出该对象前ｎ年的每年损失
Ｔ
…，，赔偿金额为Ｘ＝ｘ，则ｘ＝Ｘ＝（Ｘ１，Ｘ２，Ｘｎ）Ｔ
（…，精算人员需要运ｘｘｘ１，２，ｎ）。基于上述条件，
ｎ维损失随机变量与风险水平随机变量Θ的联合分布函数为：
…，ｘ，＝ｆ（ｘｘθ）｜θ）π（θ）ｆ（１，ｎ
＝Πｆ（ｘ｜θ）π（θ）ｊ
ｊ＝１
［
ｎ
］
对Θ积分，得到ｎ年赔偿金额的多维随机变量的联合分布函数为：
…，ｘｘ＝ｆ（１，ｎ）
ｘ｜ｄθ）π（θ）θ［Πｆ（］∫
ｊ＝１
ｊ
ｎ
同理，ｎ＋１年赔偿金额的多维随机变量的联合分布函数为：
…，ｘｘｘ＝ｆ（１，ｎ，ｎ＋１）
ｘ｜ｄθ）π（θ）θ［Πｆ（］∫
ｊ＝１
ｊ
ｎ＋１
根据条件概率公式，可以得到Ｘｎ＋１在给定前ｎ年的历史赔偿金额条件下的条件分布函数为：
…，ｘｘｘ＝｜ｆ（ｎ＋１１，ｎ）ｘｘｆ１ｎｎ＋１
ｘ｜ｄθ）π（θ）θ［Πｆ（］ｊ＝１
ｊ
求条件期望值，作为下一年度赔偿金额的估计。…，Ｅ（ｘｘｘ＝｜ｎ＋１１，ｎ）
ｘ｜ｄΠｆ（θ）π（θ）θ［］ｘｘ
∫ｘ｜ｄθ）π（θ）θ［Πｆ（］∫
ｊ＝１ｎ
ｊ
ｎ１＋
ｊ＝１
ｊ
ｎ１＋
ｎ１＋
上述公式是整个贝叶斯调整保险费方法中最为体现了贝叶斯调整保险费方法的重要的一个步骤，
精髓。在无法准确获知对象风险状况的前提下，利用贝叶斯公式对先验、后验信息进行转换，将样本数据视为损失随机变量的抽样结果，并作为贝叶斯方求得条件期望值作为调整后的保法中的条件事件，
险费估计。由于样本数据包含有对象风险状况的信息，通过贝叶斯公式我们可以根据已获得的样本数据来对应收的保险费进行调整，使其更能准确反映对象风险状况。这正是贝叶斯调整保险费方法的优势所在，也决定了其适用的范围。
四、应用举例
假设某保险公司汽车保险的被保险人具有风险特征Θ，随机变量Θ的概率密度函数为：
其中θ＞０＝ｅ－θ，π（θ）θ
给定θ的条件下，某被保险人的年度赔偿金额（，随机变量Ｘ服从Ｇ且不同年度赔偿金ａｍｍａ２，θ）额相互独立，其分布密度函数如下：
２ｘ
，其中ｘ＞０，ｘ＝ｘｅ－θ｜θ）θ θ＞０ｆ（
用贝叶斯方法推断出下一年该对象的期望赔偿金以便于计算合适的保险费。额，
具体方法如下：
５３
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例１：已知某被保险人前一年的赔偿金额为Ｘ１
问保险公司下一个保险年度应对该被保险＝ｘα，１＝人收取多少保险费？
解：
（）３
ｘ＝ｘｅ－θｘ１＋１θ）θ ｆ（１，１
）对公式（积分，得：１
＋∞
－λ（…）Ｐ（Ｘ＝ｘ＝ｘ＝０，１，２，｜λ）
ｘ
例２：已知该被保险人前一年的索赔次数为Ｘ１
每年发生索赔的次数随机变量独立同分＝ｘ２，１＝布，平均每次赔偿金额为１问保险公司下一０００元， 个保险年度应对该被保险人收取多少保险费？
解：
ｘ
（）１
ｘ＝ｆ（１）
∫
０
３
ｘｅ－θｘ１＋１ｄθ θ１
（）
－λ（）
Ｐ（Ｘ１＝ｘ＝Ｐλλ）１，
ｘ
（）２
）对公式（求和，得：１
ｘ１５
）Ｐ（Ｘ１＝ｘ＝０．７５×－０．１
ｘ１
）
ｘ
（）１
１
＝（４
）ｘ１１＋
根据相互独立的条件，得：
５
ｘｘ＝ｘｘｅ－θｘ１＋ｘ２＋１｜θ）θ ｆ（１，２１２
）对公式（积分，得：３
（
（）３
ｘ１＋０．２５×－１
ｘ１
（）２
）（
ｘｘ＝ｘｘｆ（１，２）１２６
）（ｘｘ１１＋２＋
＋∞
根据相互独立的条件，得：
０
４
（）ｘｘ１１＋２＋（）５
－θｘ１＋ｘ２＋１θｄθΓ６
λ
Ｐ（ｘｘ＝！！－２｜λ）２，１
ｘｘ１２）对公式（求和，得：３
ｘ１＋ｘ２
（）３
１２
＝（６
）ｘｘ１１＋２＋
）／（）利用条件概率公式，公式（得：４２
４
（）２０ｘ１ｘ１＋２
（）ｘ｜ｆｘ２１＝６
ｘｘ１１＋２＋
Ｐ（ｘｘ＝２，１）
（）４
ｘｘ１＋ｘ２１＋ｘ２－１
０．７５×！！＋０．２５×！！－２
ｘｘｘｘ１２１２
（）４
）／（）利用条件概率公式，公式（得：４２
（）５
Ｐ（ｘｘ＝｜２１）
ｘｘ１＋ｘ２１＋ｘ２－１
０．７５×＋０．２５×－２
ｘｘｘｘ１２１２
（）５ ｘｘ
１－０．１－１５
０．７５×＋０．２５×ｘｘ１１
对公式（求条件期望，利用两次分步积分５）可得：
（）２ｘ１１＋）Ｅ（ｘｘ＝｜１２
３代入已知条件ｘ得：α，１＝（）Ｅ（ｘｘ＝｜２１）
３
即保险公司下一个保险年度应对该被保险人收取的修正贝叶斯保险费。
我们再举一个关于离散型分布的例子。实际上离散离散型分布只需要将积分运算变为求和运算，型与连续型之间无本质区别。假设某保险公司汽车保险的被保险人的年度平均索赔次数服从如下分布）：规律（见表１
表１ 被保险人年度平均索赔次数
利用已知条件ｘ得：２，１＝）Ｐ（ｘｘ２＝｜２１＝
ｘｘ２２－０．５－１－１
０．２５×０．７５ｅ×＋０．２５ｅ×２２－０．５－１
０．２５×０．７５ｅ＋０．２５ｅ
－０．５
（）６
）对公式（求条件期望，利用泊松分布性质，得：６）Ｅ（ｘｘ２＝｜２１＝
５
－０．－１７２４≈０．５
２５×０．７５ｅ－０．＋０．２５ｅ－１０．
已知每次赔偿金额为１则：０００元，
Ｐ＝１０００×０．７２４＝７２４元
即保险公司下一个保险年度应对该被保险人收取的修正贝叶斯保险费。
上述两个例子中所得到的贝叶斯保险费结果，都在不同程度上对下年度保险费进行了调整。这样的调整从表面上看是基于上年度索赔数据的，但本质上这样的调整是基于精算人员对保单持有人风险
Λ＝λ０．５ １
Ｐ（λ）０．７５０．２５
某单个被保险人的索赔 在给定Λ＝λ的条件下，次数Ｘ服从泊松分布。分布函数如下：５４
陈 正，汪飞飞：贝叶斯方法在调整保险费率中的应用
状况进一步的了解，因此贝叶斯保险费结果更能反映客观的风险水平。另外，读者应注意到，笔者在本可以得出十文中所举例子的分布形式都较为简单，分直观的结果。
环境、竞争对手、客户受众等多方面的因素，不能完全仅从技术层面对保险产品进行定价决策。
参考文献
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开大学出版社，２００１：２７７－２８３．
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］：数量经济、技术经济研究，贝叶斯估计［Ｊ．２００６（７）８２－８９．
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文，等，译．北京：中国统计出版社，１９９２．
［］贝叶斯方法在保险精算中的应用研究［７Ｄ］． 王晓园．
重庆：重庆理工大学，２０１１．
［］贝叶斯方法在保险精算中的应用综述［９Ｄ］． 岳金凤．
长春：吉林大学，２００９．
［］刘乐平，袁卫．现代Ｂ１０ａｅｓ方法在精算学中的应用及展ｙ
］（）：望［统计研究，Ｊ．２００２８４５－５０．
五、结论与展望
贝叶斯保险费从理论上看是十分完美的，它较好地结合了保险经营中精算师经验判断的信息和历史经营中所获取的数据信息，完全符合贝叶斯理论所论述的概率意义。然而就像古希腊神话中的战神贝叶斯保险费也有其致命伤，理论上的完阿喀琉斯，
美解决不了现实应用过程中太复杂的缺点。我们可以从前文的例子中看到，贝叶斯保费法的计算过程是比较复杂的，甚至有时可能因运算过于复杂而无由于现实情况的复杂性，法得出直观的结果。此外，
有时候可能无法用我们已知的分布类型来对损失数据进行拟合，更加限制了贝叶斯修正保险费的应用。
随着计算机技术的发展和新方法的出现，比如马尔科夫链蒙特卡罗模拟方法给贝叶斯保险费的应用提供了新的空间，这将是贝叶斯保险费研究的一我们必须清楚贝叶斯保险费的个广阔领域。最后，
测算主要仍然是属于技术层面的范畴，在市场经济中保险公司的经营者需要综合考虑公司所处的经济
ＢａｅｓｉａｎＳｔａｔｉｓｔｉｃｓｉｎＡｄｕｓｔｍｅｎｔｏｆＰｒｅｍｉｕｍ ｙｊ
ｅｉＣＨＥＮ ＺｈｅｎＷＡＮＧ Ｆｅｉ－ｇ，ｆ
（，’，’）ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｔａｔｉｓｔｉｃｓＸｉａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｏｆＦｉｎａｎｃｅａｎｄＥｃｏｎｏｍｉｃｓＸｉａｎ７１０１００，Ｃｈｉｎａ ｙ
：ＡｂｓｔｒａｃｔＡｄｕｓｔｍｅｎｔｏｆｂｔｈｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍａｒｋｅｔｍａｎａｅｍｅｎｔｉｓｖｅｒｉｍｏｒｔａｎｔｆｏｒｔｈｅｉｎｒｅｍｉｕｍ －ｊｙｇｙｐｐ ｓｕｒａｎｃｅｃｏｍａｎ．ＴｈｉｓｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓＢａｅｓｉａｎａｄｕｓｔｅｄｍｅｔｈｏｄｂｕｓｉｎｅｘａｍｌｅａｎａｌｚｅｓｔｈｅａｅｒｒｅｍｉｕｍ ｐｙｐｐｙｐｊｙｇｐｙ ｏｆｖａｌｕａｔｉｏｎｕｎｄｅｒＢａｅｓｉａｎａｄｕｓｔｅｄｍｅｔｈｏｄ．Ｂｏｔｈｍｅｔｈｏｄａｎｄｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｒｅｍｉｕｍｒｅｍｉｕｍ ｙｐｙｐｊ ｂｅａｌｉｅｄｉｎｓｍａｌｌｓａｍｌｅｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆｎｏｎｌｉｆｅｉｎｓｕｒａｎｃｅｃｏｕｌｄｒｅｍｉｕｍｒａｃｔｉｃｅ． － ｐｐｐｐｐ：；；；ｒｉｏｒｏｓｔｅｒｉｏｒｒｅｍｉｕｍＫｅｗｏｒｄｓＢａｅｓｉａｎｓｔａｔｉｓｔｉｃｓｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＢａｅｓｉａｎ ｐｐｐｙｙｙ
（责任编辑：高士荣）
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第２５卷第５期２０１２年９月
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’ＪｏｕｒｎａｌｏｆＸｉａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｏｆＦｉｎａｎｃｅａｎｄＥｃｏｎｏｍｉｃｓ ｙ
ｏ．５Ｖｏｌ．２５ Ｎ
Ｓｅ．２０１２ｐ
贝叶斯方法在调整保险费率中的应用
陈 正，汪飞飞
（）西安财经学院统计学院，陕西西安 ７１０１００
摘 要：根据市场经营情况适时调整保险费系统对保险公司至关重要。对贝叶斯调整保险费方法进行阐述，运用实例分析说明贝叶斯调整保险费方法估计保险费率的可行性。本文的方法和结论可运用于非寿险实务中小样本数据的保险费估计工作。
关键词：贝叶斯统计；先验信息；后验信息；贝叶斯保险费
（）中图分类号：Ｆ８４：Ｆ２２４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２－２８１７２０１２０５－００５１－０５
一、引 言
在保险公司开业经营或新险种开始销售的初期，由于缺乏必要的经验数据，所以常常是根据整体险种或整个行业的以往经营情况收取保险费的。这实际上正符合贝叶斯统计方法中的先验统计理论思想，即根据同行业经验甚至仅仅是出于精算师的主没有一观判断来厘定经营初期的保险费。现实中，家保险公司的保险费率体系是与所承保的对象风险性质完全一致的，即使刚开始的时候保险费率体系但随着时间可以较好地反映承保对象的风险状况，
的推移，社会环境变迁、经济发展、公司经营策略的必然会出现保险费率体系与实际承保风险状转变，
况存在差异的情况。在这种情况下，风险状况较好、从而发生赔款较少或者没有赔款的承保对象就会要求减少被收取的保险费，而那些风险状况较差的承但如果保险保对象虽然不会主动要求增加保险费，
公司不及时对他们的保险费进行调整，将会造成保根据市场险公司偿付能力的急剧恶化。由此可见，经营情况适时调整保险费系统对保险公司至关重要，而贝叶斯保险费是其中运用较多的一种方法。
收稿日期：２０１２－０４－２０
二、研究现状
目前，非寿险精算中经常利用贝叶斯理论对保险费进行调整，常用的方法有贝叶斯保险费法（Ｈｅｉ－，）、信度理论和信度保费法。贝叶斯修ｌｍａｎｎ１９８９正法主要是通过贝叶斯方法实现先验信息、后验信息的转换，回避了我们无法准确认知的先验条件的利用可以观察到的样本信息作为条件，进而得限制，
到调整后保险费的一种方法。信度理论的核心思想就是在不能完全获知事件的风险水平的前提下拥有如何通过一个信度因子来平衡先验一组样本数据，
信息和样本信息，从而得到一个更优的结论。信度通过信度因子来调整行保费法则是保险精算学中，
业或险种平均风险水平和公司历史经营数据得到修为保险公司的保险费调整工作提供正后的保险费，
指导。由于贝叶斯方法的计算复杂性，Ｂｕｈｌｍａｎｎ和Ｓｔｒａｕｂ发展了非寿险精算中最为经典的Ｂｕｈｌ－ｍａｎｎ信度模型、Ｂｕｈｌｍａｎｎ－Ｓｔｒａｕｂ信度模型。上述两个信度模型都是利用一个简单的线性组合ｐ＝（所不同之处１－ｚ）ｚ Ｘ作为调整保险费的估计，μ＋在于Ｂｕｈｌｍａｎｎ－Ｓｔｒａｕｂ信度模型在Ｂｕｈｌｍａｎｎ信
，作者简介：陈正（男，陕西西安人，西安财经学院统计学院教授，硕士生导师，经济学博士，研究方向为社会人口１９６５－）
，统计；汪飞飞（男，安徽黄山人，西安财经学院统计学院硕士研究生，研究方向为社会保障。１９８０－）
５１
西安财经学院学报
度模型的基础上加入了权重，增强了模型的适用性。高负债性是保险行业最为典型的经营特点，在金融是负债率排在第二位的行行业中保险仅次于银行，
业。为保证保险经营的稳定性，保险公司必须对其未决赔款、再保险业务提取责任准备未到期责任、
金，计入负债项目，以满足保险经营中收入、费用相匹配的会计准则要求，真实反映保险公司经营情况，保证经营稳定性。实务中，针对不同类型的准备金采取不同的估计方法，以经营中最为常见的未决赔款准备金为例，常采用的方法有逐案估计法、保费比例法、案均法、链梯法、分离法等。国内学者从１９９４年开始对未决赔款准备金进行研究。关于责任准备但将贝叶斯方法应用于准金提取的研究成果较多，
笔者对该类文献进行了备金研究的相关文献较少，
）梳理。刘乐平、袁卫、张琅（进一步发展了贝叶２００６斯统计预测方法的稳健性估计理论，运用分层贝叶给出了保险公司未决赔款斯分析和ＢＭＯＭ方法，
准备金的稳健贝叶斯估计，并以希腊保险公司的经进行了实证研究，最后将结果与传统估营数据为例，
）计结果进行了比较。郭涛（将贝叶斯方法引入２００８未决赔款预测中，在未决赔款准备金的估计过程中，不仅考虑利用历史经验数据所预测的准备金估计值，还引入了专家的事先经验信息，可以提高准备金预测的准确性，并就此进行了实证研究，将贝叶斯方法调整后的准备金预测值与传统方法的预测值进行了比较，得出把贝叶斯方法引入未决赔款准备金的）改预测中可以得到更优估计的结论。陈明镜（２０１１变了以往准备金估计模型中同一事故年下不同发展年赔款相互独立的假设，利用贝叶斯方法考虑了不同发展年之间的赔款相关性因素，改进了赔款准备必金的估计方法。保险公司在经营一段时间以后，须基于其经营中获取的可靠信息，对与其经营相关的各类数据资料进行更新，实务中这样的更新往往是运用贝叶斯方法或基于贝叶斯理论解释的。精算学者在很多年前就开始研究贝叶斯修匀方法（），但直到最近才逐渐被使用。ＢａｅｓｉａｎＧｒａｄｕａｔｉｏｎ ｙ）宋立新、王洪曾、冯敬海（构造了贝叶斯修匀模２００７型，得出死亡率估计函数，利用分段参数方法得到整体死亡率修匀值，并利用巴西保险业的经营数据进行了实证研究。
然而，上述研究多注重于理论方面的研究，研究结论多为复杂的模型，未能给出更有效的实证分析。５２
本文从实用的角度出发，主要对贝叶斯调整保险费的方法进行阐述，将保险公司日常经营中的实务概增强了贝叶念与贝叶斯保险费理论方法联系起来，
斯调整保险费方法的实用性，并对其应用进行了举以便于此方法在保险实践中得到更广泛的例说明，应用。
三、保险经营实务中的贝叶斯调整保险
费方法
（一）保险公司经营相关的几个概念初始保险费１．
初始保险费即保险公司经营初期向承保对象收取的保险费。我们可以把它理解为贝叶斯统计中先因为它并不是源于保险公司自验分布部分的内容，
而是来自于同类公司或相近险身经营所积累数据，
种的经营数据分析，其中还有保险公司精算师的主观判断。
修正保险费２．
在经营一段时间之后，保险公司逐渐拥有了一并由此积累了一段时期内的分定数量的客户群体，
险种经营数据，通过这些经营数据对初始保险费进行调整之后得到的保险费，称之为修正保险费或贝叶斯修正保险费。与之相对的可以理解为贝叶斯统计中后验分布部分的内容。
经验数据３．
经验数据即保险公司所积累的关于某特定险种在某特定期间的损失赔偿数据。这可以理解为贝叶斯统计中求解后验分布所必需的抽样样本。
（二）贝叶斯保险费
有别于目前已有的关于贝叶斯保险费介绍的文献，我们在正式引入贝叶斯保险费概念之前，简单地阐述一下贝叶斯保险费的由来、理论背景方面的内容，以笔者自身的经验来看，对这些环节的了解，将十分有助于贝叶斯保险费方法的学习。贝叶斯保险当时的费的概念最早由Ｈｅｉｌｍａｎｎ于１９８９年提出，现实需求就是：新开业的保险公司或者新销售的保单，由于索赔数据的缺乏，精算人员无法对保单产品提出有针对性的保险收费系统，更多地依靠主观判断、同业经验、相类似产品数据以及市场竞争情况、股东的期望回报收益等因素厘定保险费，这种情况既不利于市场开发，也不利于保险公司的稳定经营，势必需要进行调整。如果运用贝叶斯理论的方法去
陈 正，汪飞飞：贝叶斯方法在调整保险费率中的应用
看待这个问题，则可以归纳为：保险公司拥有一定数量的保单持有人，但某单个保单持有人的风险水平可以视为θ；而在给定θ条件下的，该保单持有未知，
。如果我们已知人的分布情况已知，可记作ｆ（ｘ｜θ）］，保险公司可以通过Ｅ［得出最ｘθ的真实值，｜θ）ｆ（
优的保险费估计值。但问题在于θ不仅无法直接观而且θ本身就是一个不确定的、因人而异的随察到，
］显然Ｅ［是随机变量θ的函数，在θ机变量，ｘ｜θ）ｆ（未知的情况下，该结果对保险公司经营没有任何现实意义。如何运用已有的经营数据，在不丧失可靠性的前提下，进一步修正保险费体系。贝叶斯保费保险公司所积累的历史给出了一个较理想的答案，
索赔数据包含了我们未知但希望了解的θ的信息。从贝叶斯方法的视角，我们可以把历史索赔数据视］为索赔随机变量的一组样本观察值，Ｅ［ｘ｜θ）ｆ（ｎ＋１作为基于历史经营数据调整的保险费，Ｘ是一个ｎ维的随机向量，代表着保险公司以往ｎ年的历史索赔数据。如果不考虑贝叶斯保险费计算中的复杂性，那么贝叶斯保险费方法几乎解决了保险公司经然而贝叶斯保险费验保险费厘定方面的所有问题，
的计算公式十分复杂，很多时候甚至得不出足以采用的结果，大大制约了其实践应用。因此催生了精但过程却十分简洁的信度保准度上未必有所提高，险费模型。
在上述背景下，我们来介绍贝叶斯调整保险费方法。假设某保险公司在某地区市场销售汽车保险保单，占据该地区一定的汽车保险市场份额，现公司精算工作人员需要根据以往所积累的赔偿数据计算部分续保人员下一保险年度的修正保险费。我们假定该保险公司汽车保险保单持有人的风险状况可以，其密度函数为π（某特定承用随机变量Θ表示，θ）保对象的单一保险期间发生赔偿金额随机变量为则在给定θ条件下，该对象的第ｊ个保险年度赔Ｘ，
，…，偿金额分布密度函数可用ｆ（ｘ２，ｎ，ｎ｜θ）ｊ＝１，ｊ
且每个被保险人在不同保险期间的赔偿＋１表示，
金额随机变量Ｘ是独立同分布的。通过整理该公司历史赔偿数据，整理出该对象前ｎ年的每年损失
Ｔ
…，，赔偿金额为Ｘ＝ｘ，则ｘ＝Ｘ＝（Ｘ１，Ｘ２，Ｘｎ）Ｔ
（…，精算人员需要运ｘｘｘ１，２，ｎ）。基于上述条件，
ｎ维损失随机变量与风险水平随机变量Θ的联合分布函数为：
…，ｘ，＝ｆ（ｘｘθ）｜θ）π（θ）ｆ（１，ｎ
＝Πｆ（ｘ｜θ）π（θ）ｊ
ｊ＝１
［
ｎ
］
对Θ积分，得到ｎ年赔偿金额的多维随机变量的联合分布函数为：
…，ｘｘ＝ｆ（１，ｎ）
ｘ｜ｄθ）π（θ）θ［Πｆ（］∫
ｊ＝１
ｊ
ｎ
同理，ｎ＋１年赔偿金额的多维随机变量的联合分布函数为：
…，ｘｘｘ＝ｆ（１，ｎ，ｎ＋１）
ｘ｜ｄθ）π（θ）θ［Πｆ（］∫
ｊ＝１
ｊ
ｎ＋１
根据条件概率公式，可以得到Ｘｎ＋１在给定前ｎ年的历史赔偿金额条件下的条件分布函数为：
…，ｘｘｘ＝｜ｆ（ｎ＋１１，ｎ）ｘｘｆ１ｎｎ＋１
ｘ｜ｄθ）π（θ）θ［Πｆ（］ｊ＝１
ｊ
求条件期望值，作为下一年度赔偿金额的估计。…，Ｅ（ｘｘｘ＝｜ｎ＋１１，ｎ）
ｘ｜ｄΠｆ（θ）π（θ）θ［］ｘｘ
∫ｘ｜ｄθ）π（θ）θ［Πｆ（］∫
ｊ＝１ｎ
ｊ
ｎ１＋
ｊ＝１
ｊ
ｎ１＋
ｎ１＋
上述公式是整个贝叶斯调整保险费方法中最为体现了贝叶斯调整保险费方法的重要的一个步骤，
精髓。在无法准确获知对象风险状况的前提下，利用贝叶斯公式对先验、后验信息进行转换，将样本数据视为损失随机变量的抽样结果，并作为贝叶斯方求得条件期望值作为调整后的保法中的条件事件，
险费估计。由于样本数据包含有对象风险状况的信息，通过贝叶斯公式我们可以根据已获得的样本数据来对应收的保险费进行调整，使其更能准确反映对象风险状况。这正是贝叶斯调整保险费方法的优势所在，也决定了其适用的范围。
四、应用举例
假设某保险公司汽车保险的被保险人具有风险特征Θ，随机变量Θ的概率密度函数为：
其中θ＞０＝ｅ－θ，π（θ）θ
给定θ的条件下，某被保险人的年度赔偿金额（，随机变量Ｘ服从Ｇ且不同年度赔偿金ａｍｍａ２，θ）额相互独立，其分布密度函数如下：
２ｘ
，其中ｘ＞０，ｘ＝ｘｅ－θ｜θ）θ θ＞０ｆ（
用贝叶斯方法推断出下一年该对象的期望赔偿金以便于计算合适的保险费。额，
具体方法如下：
５３
西安财经学院学报
例１：已知某被保险人前一年的赔偿金额为Ｘ１
问保险公司下一个保险年度应对该被保险＝ｘα，１＝人收取多少保险费？
解：
（）３
ｘ＝ｘｅ－θｘ１＋１θ）θ ｆ（１，１
）对公式（积分，得：１
＋∞
－λ（…）Ｐ（Ｘ＝ｘ＝ｘ＝０，１，２，｜λ）
ｘ
例２：已知该被保险人前一年的索赔次数为Ｘ１
每年发生索赔的次数随机变量独立同分＝ｘ２，１＝布，平均每次赔偿金额为１问保险公司下一０００元， 个保险年度应对该被保险人收取多少保险费？
解：
ｘ
（）１
ｘ＝ｆ（１）
∫
０
３
ｘｅ－θｘ１＋１ｄθ θ１
（）
－λ（）
Ｐ（Ｘ１＝ｘ＝Ｐλλ）１，
ｘ
（）２
）对公式（求和，得：１
ｘ１５
）Ｐ（Ｘ１＝ｘ＝０．７５×－０．１
ｘ１
）
ｘ
（）１
１
＝（４
）ｘ１１＋
根据相互独立的条件，得：
５
ｘｘ＝ｘｘｅ－θｘ１＋ｘ２＋１｜θ）θ ｆ（１，２１２
）对公式（积分，得：３
（
（）３
ｘ１＋０．２５×－１
ｘ１
（）２
）（
ｘｘ＝ｘｘｆ（１，２）１２６
）（ｘｘ１１＋２＋
＋∞
根据相互独立的条件，得：
０
４
（）ｘｘ１１＋２＋（）５
－θｘ１＋ｘ２＋１θｄθΓ６
λ
Ｐ（ｘｘ＝！！－２｜λ）２，１
ｘｘ１２）对公式（求和，得：３
ｘ１＋ｘ２
（）３
１２
＝（６
）ｘｘ１１＋２＋
）／（）利用条件概率公式，公式（得：４２
４
（）２０ｘ１ｘ１＋２
（）ｘ｜ｆｘ２１＝６
ｘｘ１１＋２＋
Ｐ（ｘｘ＝２，１）
（）４
ｘｘ１＋ｘ２１＋ｘ２－１
０．７５×！！＋０．２５×！！－２
ｘｘｘｘ１２１２
（）４
）／（）利用条件概率公式，公式（得：４２
（）５
Ｐ（ｘｘ＝｜２１）
ｘｘ１＋ｘ２１＋ｘ２－１
０．７５×＋０．２５×－２
ｘｘｘｘ１２１２
（）５ ｘｘ
１－０．１－１５
０．７５×＋０．２５×ｘｘ１１
对公式（求条件期望，利用两次分步积分５）可得：
（）２ｘ１１＋）Ｅ（ｘｘ＝｜１２
３代入已知条件ｘ得：α，１＝（）Ｅ（ｘｘ＝｜２１）
３
即保险公司下一个保险年度应对该被保险人收取的修正贝叶斯保险费。
我们再举一个关于离散型分布的例子。实际上离散离散型分布只需要将积分运算变为求和运算，型与连续型之间无本质区别。假设某保险公司汽车保险的被保险人的年度平均索赔次数服从如下分布）：规律（见表１
表１ 被保险人年度平均索赔次数
利用已知条件ｘ得：２，１＝）Ｐ（ｘｘ２＝｜２１＝
ｘｘ２２－０．５－１－１
０．２５×０．７５ｅ×＋０．２５ｅ×２２－０．５－１
０．２５×０．７５ｅ＋０．２５ｅ
－０．５
（）６
）对公式（求条件期望，利用泊松分布性质，得：６）Ｅ（ｘｘ２＝｜２１＝
５
－０．－１７２４≈０．５
２５×０．７５ｅ－０．＋０．２５ｅ－１０．
已知每次赔偿金额为１则：０００元，
Ｐ＝１０００×０．７２４＝７２４元
即保险公司下一个保险年度应对该被保险人收取的修正贝叶斯保险费。
上述两个例子中所得到的贝叶斯保险费结果，都在不同程度上对下年度保险费进行了调整。这样的调整从表面上看是基于上年度索赔数据的，但本质上这样的调整是基于精算人员对保单持有人风险
Λ＝λ０．５ １
Ｐ（λ）０．７５０．２５
某单个被保险人的索赔 在给定Λ＝λ的条件下，次数Ｘ服从泊松分布。分布函数如下：５４
陈 正，汪飞飞：贝叶斯方法在调整保险费率中的应用
状况进一步的了解，因此贝叶斯保险费结果更能反映客观的风险水平。另外，读者应注意到，笔者在本可以得出十文中所举例子的分布形式都较为简单，分直观的结果。
环境、竞争对手、客户受众等多方面的因素，不能完全仅从技术层面对保险产品进行定价决策。
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五、结论与展望
贝叶斯保险费从理论上看是十分完美的，它较好地结合了保险经营中精算师经验判断的信息和历史经营中所获取的数据信息，完全符合贝叶斯理论所论述的概率意义。然而就像古希腊神话中的战神贝叶斯保险费也有其致命伤，理论上的完阿喀琉斯，
美解决不了现实应用过程中太复杂的缺点。我们可以从前文的例子中看到，贝叶斯保费法的计算过程是比较复杂的，甚至有时可能因运算过于复杂而无由于现实情况的复杂性，法得出直观的结果。此外，
有时候可能无法用我们已知的分布类型来对损失数据进行拟合，更加限制了贝叶斯修正保险费的应用。
随着计算机技术的发展和新方法的出现，比如马尔科夫链蒙特卡罗模拟方法给贝叶斯保险费的应用提供了新的空间，这将是贝叶斯保险费研究的一我们必须清楚贝叶斯保险费的个广阔领域。最后，
测算主要仍然是属于技术层面的范畴，在市场经济中保险公司的经营者需要综合考虑公司所处的经济
ＢａｅｓｉａｎＳｔａｔｉｓｔｉｃｓｉｎＡｄｕｓｔｍｅｎｔｏｆＰｒｅｍｉｕｍ ｙｊ
ｅｉＣＨＥＮ ＺｈｅｎＷＡＮＧ Ｆｅｉ－ｇ，ｆ
（，’，’）ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｔａｔｉｓｔｉｃｓＸｉａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｏｆＦｉｎａｎｃｅａｎｄＥｃｏｎｏｍｉｃｓＸｉａｎ７１０１００，Ｃｈｉｎａ ｙ
：ＡｂｓｔｒａｃｔＡｄｕｓｔｍｅｎｔｏｆｂｔｈｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍａｒｋｅｔｍａｎａｅｍｅｎｔｉｓｖｅｒｉｍｏｒｔａｎｔｆｏｒｔｈｅｉｎｒｅｍｉｕｍ －ｊｙｇｙｐｐ ｓｕｒａｎｃｅｃｏｍａｎ．ＴｈｉｓｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓＢａｅｓｉａｎａｄｕｓｔｅｄｍｅｔｈｏｄｂｕｓｉｎｅｘａｍｌｅａｎａｌｚｅｓｔｈｅａｅｒｒｅｍｉｕｍ ｐｙｐｐｙｐｊｙｇｐｙ ｏｆｖａｌｕａｔｉｏｎｕｎｄｅｒＢａｅｓｉａｎａｄｕｓｔｅｄｍｅｔｈｏｄ．Ｂｏｔｈｍｅｔｈｏｄａｎｄｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｒｅｍｉｕｍｒｅｍｉｕｍ ｙｐｙｐｊ ｂｅａｌｉｅｄｉｎｓｍａｌｌｓａｍｌｅｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆｎｏｎｌｉｆｅｉｎｓｕｒａｎｃｅｃｏｕｌｄｒｅｍｉｕｍｒａｃｔｉｃｅ． － ｐｐｐｐｐ：；；；ｒｉｏｒｏｓｔｅｒｉｏｒｒｅｍｉｕｍＫｅｗｏｒｄｓＢａｅｓｉａｎｓｔａｔｉｓｔｉｃｓｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＢａｅｓｉａｎ ｐｐｐｙｙｙ
（责任编辑：高士荣）
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