关于对长江水质的评价和预测的分析

关于对长江水质的评价和预测的分析

摘要

本文研究的是长江水质的综合评价和水质污染预测问题。

问题一：关于对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区的水质

污染状况。我们通过对附件3长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据的分析，依据《地表水环境质量标准》，应用模糊数学综合评价法，建立了水质综合评价模型一。总体上看长江近两年来大部分地区受到不同程度的污染，个别地区污染十分严重，需要加强治理。例如，江西南昌滁槎、四川乐山岷江大桥污染比较严重。

问题二：在确定长江干流一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源时，我们沿

用模型一的思想，认为干流上观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水，并在合理假设的基础上，建立关系函数，计算出了长江干流近一年多主要污染物为高锰酸盐和氨氮的污染源主要都在湖南岳阳城陵矶地区。

问题三：假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，利用灰色预

测方法建立模型二对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。结果表明，未来10年内的长江水质发展趋势不容乐观，到2012年长江生态系统已濒于崩溃。

问题四：通过模型二的预测方法得到数据，可以计算出每年需要处理的污水总量、Ⅳ、

Ⅴ、劣Ⅴ类水质所占比例，到2012年达到极限，其污水处理量达到269.31亿吨，与年污水排放总量持平。此后，只有完全处理所有排放的污水才能满足题目要求。

关键词：模糊数学综合评价 灰色预测 治理污水

一 问题重述

1.1 问题的背景

长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。

水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。”

2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。

附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2(单位：1/天)。附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标(GB3838-2002) 给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。

1.2 问题的提出

请你们研究下列问题：

（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。 （2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?

（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。

（4）根据你的预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？ （5）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。

附表: 《地表水环境质量标准》（GB3838—2002）中4个主要项目标准限值 （单位：mg/L）

二 模型的假设

1. 假设一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。 2. 假设在长江干流当前观测点的位置逆流而上到前一个干流观测点时，其支流的主要指标的污染度都归结到前一个干流观测点处，即到达当前观测点的污染度不在中途增加。

3.反映江河自然净化能力的指标称为降解系数，假设长江干流的自然净化能力认为是近似均匀的，其主要污染物高锰酸盐和氨氮的降解系数通常介于0.1～0.5之间，我们取0.2 (单位：1/天)。

4.Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ类水为可饮用水，不在污染考虑的范围内；Ⅳ，Ⅴ，劣Ⅴ类水属于被污染的范畴。

5.不考虑污染带内任一点的污染物浓度随机性，可以认为污染物浓度均匀分布。

6.在解决第二个问题长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区时，不考虑支流上排放的污水对干流的影响。并且长江各个时期的水流速和水流量均匀相等，不会因为土沙的淤积而有所影响。

7.在对长江未来水质污染的发展趋势做预测分析时，假设未来十年内不会发生重大的灾情。

8.从长江上游到下游，从四川攀枝花到江苏南京林山的7个干流观测点分别标识为站点1到7，从四川乐山岷江大桥到江苏扬州三江营的10个支流观测点分别标识为站点8到17。

三 符号说明

Iij： 一个无量纲数,表示第i个观测站第j个评价指标的实际监测值相于水质标准超标

的倍数(i1,2,,17;j1,2,3

Cij：第i个观测站第j个评价指标的观测值(i1,2,,17;j1,2,3) Sj：第j个评价指标各级别水质标准限值的均值。(j1,2,3) Wij：第i个观测站第j个评价指标的权重(i1,2,,17;j1,2,3)

Ri：第i个观测站的模糊评价矩阵(i1,2,17) P(100,80,60,40,20,0)评分集

Ci：对第i个观测站的总评分值(i1,2,17) D：t时刻的污染物的剩余数量

D0：初始时刻的污染物的数量

t：水流行走经过的时间

Ai：第i个干流观测站水流量(i1,2,7)

Bij：第i个干流观测站第j个主要污染物排污量(i1,2,,7;j1,2) tij：第i个干流观测站第j个主要污染物的浓度(i1,2,,7;j1,2)

：降解系数，对各种主要污染物均取0.2（1/天）

Ti：水流从江段起点处观测站出发，到达江段终点处观测站所用时间（单位：天）

(i1,2,6)

Li：第i个江段长度（单位：km）(i1,2,6) Vi：每个干流观测站水流速监测值(i1,2,7)

Vi：第i个江段上水流的平均水流速度（单位：m/s）(i1,2,6)

（i1，，10） Di:未来10年内第i年的污水处理量（亿吨）

Hi:未来10内年第i年Ⅳ，Ⅴ类水排总共放的百分比（%）（i1，，10） Ri:未来10内年第i年污水排放总量（亿吨）（i1，，10）

R6(i):未来10内年第年劣Ⅴ类水排放的百分比（%） （i1，，10）

四 问题分析

问题一：要求对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价和分析各地区水质的污染状况。我们可以在建立模型时，充分利用题目中给出的检测数据，在合理假设的情况下，综合考虑一个地区各月份的观测数据，分别求出各地区近两年多的平均指标，确定各地区近两年多的总体水质标准，再用各种水质标准分别与全部观测点的水质标准比值来综合评价水质状况。由于题目中已知条件的不确定性和所给观测数据具有随机性而难以定量化，可以采用模糊数学理论，引入模糊隶属度和权重系数建立数学模型，计算出每一个地区水质的综合指数，从而评价各个地区水质污染状况。

问题二要求研究，分析长江干流一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区。根据题意，根据长江干流上的七个观测点，将长江干流分割成六个江段。对每个江段进行分析，江段起点处的观测点监测到的污染物，经过降解后未降解完的污染物量，加上支流汇入的污染物量和污染源排放出的污染物量，等于江段终点处的观测点监测到的污染物量。同时由于每个江段上支流和污染源位置分布的随机性，考虑两种情况：一是支流和污染源全部位在江段起点处，这样支流汇入和污染源排放出的污染物量可以达到最大值；二是支流和污染源全部位在江段终点处，这样支流汇入和污染源排放出的污染物量可以达到最小值。最后对每个江段得出的污染物量区间进行分析，我们是取得单位时间单位距离的平均排污量（最大值和最小值的平均）来进行比较，得出主要污染源所在的江段。

问题三，在假定不采取有效的治理措施的情况下，利用灰度系统理论，依照过去10年的主要统计数据建立水质污染预测的灰度模型。首先以GM（1，1）模型为基础，对水质级别的原始数据序列做1—AGO计算，得出一次累加生成数列，以此建立白化形式的微分方程函数，利用最小二乘法，计算出微分方程的解，实现对预测模型的曲线拟合。结果表明，未来10年内的长江水质发展趋势不容乐观，到2012年长江生态系统已濒于崩溃。

问题四要求根据预测分析的数据，在未来10年内将长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水，求每年需要处理的污水量。通过模型Ⅱ也可预测出未来10年内污水排放总量和长江水的总流量。在一定合理的模型假设基础上，运用已知条件建立关系式，即可计算出结果。

五 模型的建立和求解

5.1问题一的模型建立和求解：

评价对象为长江上17个观测站的污染情况。首先由附件3对17个观测站28个月的的数据进行整理，对观测数据进行算术平均的计算，算出这17个观测点主要指标的平均值。其结果见表1:

标准限值表以及附件3中长江流域主要城市水质检测报告，PH值对各类水来说都是处于标准限值范围内，反映不出污染的程度，因此我们认为PH值对各地区污染状况的区分影响不大，可以剔除该因子。

因此，评价因子集M为：{溶解氧、高锰酸盐指数、氨氮} 按照《地表水环境质量标准》，将水质级别分为6 级,因此确定评价集V = { I,II, III, IV, V，劣V} 。 评价研究使用的为《地表水环境质量标准》给出的各项目的标准限值，由题目给出，同时给出了劣V类水高锰酸盐指数和氨氮标准限值的上界，因为观察附件3数据，发现高锰酸盐指数的最大值为9.9 mg/L，氨氮的最大值为24.2 mg/L，同时参考V类的标准限值，我们认为劣V类高锰酸盐指数和氨氮标准限值上界应该分别取为20 mg/L和30 mg/L。参见下表2（单位均为mg/L）：

大,则该评价因子对水质的影响程度越大。

这里权重是通过计算超标比来计算取得的,各因素的监测值相对于水质标准的超标倍数越大,对污染的影响越大,从而权重越大。

对于成本性指标CODMn和NH3-N,它的计算式定义为：

Iij

CijSij

,j2,3 （1）

但对于收益性指标DO ,则计算式应定义为：

SijCij

Iij

,j1 （2）

当每个评价指标的超标比都计算完之后,通过归一化对数据进行标准化,便能算出每个评

价指标的权重:

Wij

Iij

3

（3）

ij

I

j1

由此得到权重矩阵Wij

用于模糊综合评价，如下表3：

5.12隶属函数和模糊评价矩阵的确定：

评价矩阵Ri是由隶属度rij为行组成的矩阵。隶属度是通过对隶属函数的计算来确定的,隶属函数我们采用“降半梯形”的函数。

溶解氧(DO)：由于根据标准将水质分为6级,因此溶解氧应有对应于6 个级别的隶属函数以DO的监测值为自变量x , 对第j级别的隶属度为uj(x)DO ,则溶解氧的6 级隶属函数分别为:

0,x6x5,5x6

x6x7.5,6x7.5 u2(x)DO,6x7.5

1.51.51,x7.50,x5或x7.5x3

,3x5x2,2x32x5

(x6),5x6 u4(x)DO,3x5

20,x3或x6

0,x2或x5



u1(x)DO

u3(x)DO

u5(x)DO

2x

1,x0,0x22x2

(x3),2x3 u6(x)DO,0x2

20,x3或x0

1,x2



同样可以得到高锰酸盐指数的6 级隶属函数为:

1,0x24x,2x4 u2(x)CODMn

2

0,x4

x2

2,2x46x,6x4 2

0,x2或x6

u1(x)CODMn

u3(x)CODMn

x4x6

,4x6,6x1022

10x15x,6x10 u4(x)CODMn,10x15 250,x4或x100,x6或x15

x10

2,10x151,x2015x20x,15x20 u6(x)CODMn,15x20 55

0,x150,x10或x20



x0.15

0.35,0.15x0.51x,0.5x1

0.35

0,0.15或x1

x1

0.5,1x1.52x,1.5x2 0.5

0,x1或x2

u5(x)CODMn

氨氮的6 级隶属函数为:

1,0x0.15

0.5x,0.15x0.5 u2(x)NH

0.35

0,x0.5

x0.5

0.5,0.5x11.5x,1x1.5 u4(x)NH

0.35

0,0.5或x1.5

x0.15

0.5,1.5x230x,2x30 u6(x)NH

28

0,x1.5或x2

u1(x)NH

3N3N

u3(x)NH

3N3N

u5(x)NH

3N3N

1,x30

x2,2x30

28

0,x2

将第i个观测站三个项目对28个月份平均的监测数据代入前面确定的对应的隶属函数中,就可以计算其隶属度,建立每i个观测站的模糊评价矩阵Ri：

1.0000

R10.7800

0.91001.0000

R30.5600

0.67001.0000

R50.7900

0.97000.9900

R70.9500

1.00001.0000

R90.6300

0.2000

0.7400

0.760000.58

0.330001.000000.33000

0.840001.0000

0.13000.6100

00.22000.090000.44000.330000.21000.03000.01000.0500000.37000.80000.26000.24000.17000.420.67000.380000.90000.67000.70000.1600000.87000.3900

[***********]

[***********].8300000.620000.100000.300000000

[***********]

01.0000



0 R20.9500

00.480001.0000



0 R40.1100

00.49000

00000000[1**********]0

000000000

0

00000000000.9100

0.9500



0.34000.86000

0.05000.66000.1400

000

000

000

0

00

0.9700



R60.7100

0.77000R80

0

00.05000.5200

00.89000.5100

000

000000000

[**************]0

00[1**********]00

00000

0

0 0

0

0 0

0.03000.29000.2300

0.56000.38000.1500

0.44000.62000.8500000

000

R10

1.0000



1.00001.0000

R11

R12

R13R14

R15

0



0.0900

00.51000.3900

000

000

000

0

0 0

R16

01.0000



0 R170.4900

00.6100

可以看到，第i个观测站的模糊评价矩阵Ri都是归一化的矩阵，这是由隶属函数决定的，

在计算隶属度的过程中就已经实现了对数据进行标准化的过程了，这样就排除了区间长度对评价结果的影响。

矩阵复合：

由权重矩阵可找出Wij第i个观测点的权重向量Wi，与 第i个观测站的模糊评价矩阵

Rj进行乘法复合得到： BiWiRi

B10.9173

B30.8169B50.9309B70.9788B90.7929

0.0827

0.18310.06910.02120.2071

0000

0000

0000

0 B20.9435

0.056500

00

00

0

0 B40.5770.42300 B60.87630 B80

0.1237

0

00

0 0 0

0

0.44410.5559

0 B100.4215

0.49760.0809

B111

0000

0 B120.6260

0.0451

0

0.24010.133900

0

B130.5039

0.4510

B140.7125

B150.1192B160.6144B170.7864

0.2875

0.30220.38560.2136

000

000

0

0.41750 0

0.0413

0.119800

00



总平均值和综合排序：

以Bi为行向量，评分集P（100，80，60，40，20，0）为列向量，两者进行乘法复合：

T

CiBiP，并对结果进行排序，可得下面排序表4：（分值越大说明污染程度越小）

表4 各个观测站的综合评分值排序表

由上表可得，受污染程度最轻的是湖北丹江口胡家岭，受污染程度最严重的是四川乐山岷江大桥与江西南昌滁槎。总体上看长江近两年来大部分地区受到不同程度的污染，个别地区十分严重，需要加强治理。

5.2第二问模型建立和求解：

根据题意，根据长江干流上的七个观测点，将长江干流分割成六个江段。

降解完的污染物量，加上支流汇入的污染物量和污染源排放出的污染物量，等于江段终点处的观测点监测到的污染物量。

对每个江段进行分析，江段起点处的观测点监测到的污染物，经过降解后未降解完的污染物量，加上支流汇入的污染物量和污染源排放出的污染物量，等于江段终点处的观测点监测到的污染物量。

附件3中给出了长江干流主要观测站点的基本数据表，我们可以从中得出每个江段的长度Li，也可以算出每个江段的平均水流速：

_

Vi

ViVi1

2

（4）

算出江段长度和平均水流速后，就可以算出水流从江段起点处到达江段终点处历经的时间（单位：天）：

Ti

Li1000Vi360024

（5）

求出Ti后，因为水流量和某种污染物浓度的乘积就等于某种污染物的量，从

而可以求出每个观测点监测到的每种污染物的量。水流从江段起点处流向江段终点处的过程中，污染物受到物理降解、化学降解和生物降解等作用，这里我们将这里的降解系数理解为降解速度。 由

dDdt

aD

,

可解得

DD0eat （6） 同时由于每个江段上支流和污染源位置分布的随机性，考虑两种情况： 一是支流和污染源全部位在江段起点处，这样支流汇入和污染源排放出的污染物量可以达到最大值；

下面是建立计算最大污染量模型：

(AitijBi1,j)eTAi1,j （7）

i

则

Bij,j

Ai1ti1,je

Ti

Aitij

（8）

二是支流和污染源全部位在江段终点处，这样支流汇入和污染源排放出的污染物量可以达到最小值。

下面是建立计算最小污染量模型：

Aitije

Ti

Bi1,jAi1ti1,j

i

（9）

则 Bi1,jAi1,jti1,jAitijeT （10）

最后对每个江段得出的污染物量区间进行分析，确定主要污染源所在的江段。

对本题，题目给定了主要污染物为两种：高锰酸盐指数和氨氮，因此我们只考虑这两个主要污染物即可。

根据（23）～（29），经过编程计算，可得到各个江段每个月高锰酸盐指数和氨氮的单位时间排污量的区间，再对月份计算均值可以得到各个江段高锰酸盐指数和氨氮的单位时间排污量的区间

我们考虑用取期望值来反映各个江段单位时间平均排污量如下（表7）：

计算出各个江段单位时间平均排污量后，再除以各个江段的长度可以得到各个江段单位时间单位距离的平均排污量（表8）：

宜昌到湖南岳阳江段。所以，综合来看，造成长江干流污染的主要污染源所在地区是湖北宜昌到湖南岳阳江段。

5.3问题三的模型建立和求解：

由于对长江水质近10年的污染状况的观测数据只有部分信息已知，而部分信息未知，因此可以建立灰色系统模型。我们分别利用枯水期，丰水期，水文年的支流，干流，全流域建立其六种水质级别的灰色预测模型。 建立GM（1，1）模型的原理为：

设x

（0）

x（1），x（2），,x（n））为原始数据列，作（

（0）（0）（0）

1—AGO（一次累加

生成数列），得

x

（1）

x（1），x（2），,x（n））（

（1）

（1）（1）（1）

=x（1），x（1）（

建立白化形式的微分方程

d

（1）

x

（0）

（2）,,x（n1）

（1）

x

（0）

（n）） （11）

dt

（1）

a

x

（1）

u

（12）

a，u），按最小二乘法得到 设a（



T

a（



BB）BY

T

1

T

1

（13）

1(1)(2)(x(1)x(2)21(1)(2)(x(2)x(3)其中B2



1(x(1)(n1)x(2)(n)2



11 1

x(0)(2)

(0)x(3)Y1(0)x(n)

易求得，微分方程的解为：

x

得还原方程为：

（1）

（k1）（x（1）

（0）

ua

）e

ak



ua

（14）

x

(0)

(k1)x

(1)

(k1)x

(1)

(k) （15）

根据GM（1，1）模型为基础,应用Matlab编程技术，输入已知数据，得出

未来10年六类水在枯水期，丰水期，水文年的全流域（实线）,干流（虚线），支流（双划线）发展预测趋势的百分比（%），并绘出下图：

Ⅰ类水

图1 未来10年Ⅰ类水发展预测趋势的百分比

Ⅱ类水：

图2 未来10年Ⅱ类水发展预测趋势的百分比

Ⅲ类水：

图3 未来10年Ⅲ类水发展预测趋势的百分比

图4 未来10年Ⅳ类水发展预测趋势的百分比

Ⅴ类水（图5）：

图5 未来10年Ⅴ类水发展预测趋势的百分比

图6 未来10年劣Ⅴ类水发展预测趋势的百分比

由图可以清晰的看出长江水域未来10年的水污染发展趋势会越来越严重。

表9 2005年到2014年的其Ⅳ，Ⅴ类水质所占比例求和

由表中知道，如果不治理污染的水， 在2012年长江水就没有可饮用水了，全部都为污水，所以说假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，长江的生态系统就会崩溃的。

5.4问题四的模型建立和求解：

根据附件4中所给出的每年长江排放的废水总量，可运用问题三中灰色预测模型算出长江从2005年到2014年的每年长江排放的废水总量（单位：亿吨），其结果为(表11)：

表12 2005年到2014年的每年长江总流量（单位：亿吨）

假设，对濒于崩溃的自然生态系统丧失自然降解能力，这不考虑自然降解的影响，完全靠人为的因素治理，这根据题目要求可以建立以下函数：

未来第i年需要处理的污水量：

D

i

（（

H

i

20）

R

6（i）

）0.01

R

i

（35）

st. 0DiR

i

编程计算出这样Di的值见表13所示，并绘出Di的曲线变化图（图7）：

350

300

250

200

150

100

50

02005

[***********][***********]

图7 未来10年每年处理的污水量（单位：亿吨）

随着时间的推移，排入长江的污水排放总量越来越大，长江水质污染越来越严重，为了使Ⅳ，Ⅴ类水质所占比例的和Hi20 ，其治理污水的量也越来越大，到2012年达到

极限，其污水处理量为269.31亿吨，以后就必须是有多少污水排放量处理就有多少污水处

理量。

六 模型的评价与应用

6.1模型的评价

优点：模糊数学综合评价模型考虑到不同评价因子对水质污染程度影响程度不同，定义了不同评价因子的权重；使用隶属度来划分分级界限既考虑到等级划分的连续性，也考虑到区间的大小对评价结果的影响，还考虑到而实测值在区间内的分布情况对评价结果的影响，模型准确性很好。运用灰色预测来对未来十年的各种数据的预测，并较好的分析了长江水质污染的发展趋势，以及今后每年至少要处理多少污水才能保持原有的生态平衡。

缺点：题目所得的结果依赖于附件中所给的数据，在实际中可能数据有所偏差，我们对有些数据只是进行简单的去均值，对结果有一定的影响，模型预测分析的结果和实际中的可能不一。模型单一，没有应用更多的模型进行对比，以获得更精确的数据。

改进：对于预测未来10年的数据，我们可以运用拟合算出数据于灰色预测进行对比，以便能获得更精确的数据。

6.2模型的应用

本文中的模糊数学综和评价模型和灰色预测可以应用到很多领域，如农业产量的预报，气象预报，投资分析等。

七 参考文献

【1】孙靖南、邹志红、任广平，《模糊综合评价在天然水体水质评价中的应用研究》

【2】王宏健，《全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编》 【3】刘来福、曾文艺，《数学模型与数学建模》 【4】周永正、詹棠森、方成鸿、邱望仁，《数学建模》

关于对长江水质的评价和预测的分析

摘要

本文研究的是长江水质的综合评价和水质污染预测问题。

问题一：关于对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区的水质

污染状况。我们通过对附件3长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据的分析，依据《地表水环境质量标准》，应用模糊数学综合评价法，建立了水质综合评价模型一。总体上看长江近两年来大部分地区受到不同程度的污染，个别地区污染十分严重，需要加强治理。例如，江西南昌滁槎、四川乐山岷江大桥污染比较严重。

问题二：在确定长江干流一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源时，我们沿

用模型一的思想，认为干流上观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水，并在合理假设的基础上，建立关系函数，计算出了长江干流近一年多主要污染物为高锰酸盐和氨氮的污染源主要都在湖南岳阳城陵矶地区。

问题三：假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，利用灰色预

测方法建立模型二对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。结果表明，未来10年内的长江水质发展趋势不容乐观，到2012年长江生态系统已濒于崩溃。

问题四：通过模型二的预测方法得到数据，可以计算出每年需要处理的污水总量、Ⅳ、

Ⅴ、劣Ⅴ类水质所占比例，到2012年达到极限，其污水处理量达到269.31亿吨，与年污水排放总量持平。此后，只有完全处理所有排放的污水才能满足题目要求。

关键词：模糊数学综合评价 灰色预测 治理污水

一 问题重述

1.1 问题的背景

长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。

水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。”

2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。

附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2(单位：1/天)。附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标(GB3838-2002) 给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。

1.2 问题的提出

请你们研究下列问题：

（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。 （2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?

（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。

（4）根据你的预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？ （5）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。

附表: 《地表水环境质量标准》（GB3838—2002）中4个主要项目标准限值 （单位：mg/L）

二 模型的假设

1. 假设一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。 2. 假设在长江干流当前观测点的位置逆流而上到前一个干流观测点时，其支流的主要指标的污染度都归结到前一个干流观测点处，即到达当前观测点的污染度不在中途增加。

3.反映江河自然净化能力的指标称为降解系数，假设长江干流的自然净化能力认为是近似均匀的，其主要污染物高锰酸盐和氨氮的降解系数通常介于0.1～0.5之间，我们取0.2 (单位：1/天)。

4.Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ类水为可饮用水，不在污染考虑的范围内；Ⅳ，Ⅴ，劣Ⅴ类水属于被污染的范畴。

5.不考虑污染带内任一点的污染物浓度随机性，可以认为污染物浓度均匀分布。

6.在解决第二个问题长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区时，不考虑支流上排放的污水对干流的影响。并且长江各个时期的水流速和水流量均匀相等，不会因为土沙的淤积而有所影响。

7.在对长江未来水质污染的发展趋势做预测分析时，假设未来十年内不会发生重大的灾情。

8.从长江上游到下游，从四川攀枝花到江苏南京林山的7个干流观测点分别标识为站点1到7，从四川乐山岷江大桥到江苏扬州三江营的10个支流观测点分别标识为站点8到17。

三 符号说明

Iij： 一个无量纲数,表示第i个观测站第j个评价指标的实际监测值相于水质标准超标

的倍数(i1,2,,17;j1,2,3

Cij：第i个观测站第j个评价指标的观测值(i1,2,,17;j1,2,3) Sj：第j个评价指标各级别水质标准限值的均值。(j1,2,3) Wij：第i个观测站第j个评价指标的权重(i1,2,,17;j1,2,3)

Ri：第i个观测站的模糊评价矩阵(i1,2,17) P(100,80,60,40,20,0)评分集

Ci：对第i个观测站的总评分值(i1,2,17) D：t时刻的污染物的剩余数量

D0：初始时刻的污染物的数量

t：水流行走经过的时间

Ai：第i个干流观测站水流量(i1,2,7)

Bij：第i个干流观测站第j个主要污染物排污量(i1,2,,7;j1,2) tij：第i个干流观测站第j个主要污染物的浓度(i1,2,,7;j1,2)

：降解系数，对各种主要污染物均取0.2（1/天）

Ti：水流从江段起点处观测站出发，到达江段终点处观测站所用时间（单位：天）

(i1,2,6)

Li：第i个江段长度（单位：km）(i1,2,6) Vi：每个干流观测站水流速监测值(i1,2,7)

Vi：第i个江段上水流的平均水流速度（单位：m/s）(i1,2,6)

（i1，，10） Di:未来10年内第i年的污水处理量（亿吨）

Hi:未来10内年第i年Ⅳ，Ⅴ类水排总共放的百分比（%）（i1，，10） Ri:未来10内年第i年污水排放总量（亿吨）（i1，，10）

R6(i):未来10内年第年劣Ⅴ类水排放的百分比（%） （i1，，10）

四 问题分析

问题一：要求对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价和分析各地区水质的污染状况。我们可以在建立模型时，充分利用题目中给出的检测数据，在合理假设的情况下，综合考虑一个地区各月份的观测数据，分别求出各地区近两年多的平均指标，确定各地区近两年多的总体水质标准，再用各种水质标准分别与全部观测点的水质标准比值来综合评价水质状况。由于题目中已知条件的不确定性和所给观测数据具有随机性而难以定量化，可以采用模糊数学理论，引入模糊隶属度和权重系数建立数学模型，计算出每一个地区水质的综合指数，从而评价各个地区水质污染状况。

问题二要求研究，分析长江干流一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区。根据题意，根据长江干流上的七个观测点，将长江干流分割成六个江段。对每个江段进行分析，江段起点处的观测点监测到的污染物，经过降解后未降解完的污染物量，加上支流汇入的污染物量和污染源排放出的污染物量，等于江段终点处的观测点监测到的污染物量。同时由于每个江段上支流和污染源位置分布的随机性，考虑两种情况：一是支流和污染源全部位在江段起点处，这样支流汇入和污染源排放出的污染物量可以达到最大值；二是支流和污染源全部位在江段终点处，这样支流汇入和污染源排放出的污染物量可以达到最小值。最后对每个江段得出的污染物量区间进行分析，我们是取得单位时间单位距离的平均排污量（最大值和最小值的平均）来进行比较，得出主要污染源所在的江段。

问题三，在假定不采取有效的治理措施的情况下，利用灰度系统理论，依照过去10年的主要统计数据建立水质污染预测的灰度模型。首先以GM（1，1）模型为基础，对水质级别的原始数据序列做1—AGO计算，得出一次累加生成数列，以此建立白化形式的微分方程函数，利用最小二乘法，计算出微分方程的解，实现对预测模型的曲线拟合。结果表明，未来10年内的长江水质发展趋势不容乐观，到2012年长江生态系统已濒于崩溃。

问题四要求根据预测分析的数据，在未来10年内将长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水，求每年需要处理的污水量。通过模型Ⅱ也可预测出未来10年内污水排放总量和长江水的总流量。在一定合理的模型假设基础上，运用已知条件建立关系式，即可计算出结果。

五 模型的建立和求解

5.1问题一的模型建立和求解：

评价对象为长江上17个观测站的污染情况。首先由附件3对17个观测站28个月的的数据进行整理，对观测数据进行算术平均的计算，算出这17个观测点主要指标的平均值。其结果见表1:

标准限值表以及附件3中长江流域主要城市水质检测报告，PH值对各类水来说都是处于标准限值范围内，反映不出污染的程度，因此我们认为PH值对各地区污染状况的区分影响不大，可以剔除该因子。

因此，评价因子集M为：{溶解氧、高锰酸盐指数、氨氮} 按照《地表水环境质量标准》，将水质级别分为6 级,因此确定评价集V = { I,II, III, IV, V，劣V} 。 评价研究使用的为《地表水环境质量标准》给出的各项目的标准限值，由题目给出，同时给出了劣V类水高锰酸盐指数和氨氮标准限值的上界，因为观察附件3数据，发现高锰酸盐指数的最大值为9.9 mg/L，氨氮的最大值为24.2 mg/L，同时参考V类的标准限值，我们认为劣V类高锰酸盐指数和氨氮标准限值上界应该分别取为20 mg/L和30 mg/L。参见下表2（单位均为mg/L）：

大,则该评价因子对水质的影响程度越大。

这里权重是通过计算超标比来计算取得的,各因素的监测值相对于水质标准的超标倍数越大,对污染的影响越大,从而权重越大。

对于成本性指标CODMn和NH3-N,它的计算式定义为：

Iij

CijSij

,j2,3 （1）

但对于收益性指标DO ,则计算式应定义为：

SijCij

Iij

,j1 （2）

当每个评价指标的超标比都计算完之后,通过归一化对数据进行标准化,便能算出每个评

价指标的权重:

Wij

Iij

3

（3）

ij

I

j1

由此得到权重矩阵Wij

用于模糊综合评价，如下表3：

5.12隶属函数和模糊评价矩阵的确定：

评价矩阵Ri是由隶属度rij为行组成的矩阵。隶属度是通过对隶属函数的计算来确定的,隶属函数我们采用“降半梯形”的函数。

溶解氧(DO)：由于根据标准将水质分为6级,因此溶解氧应有对应于6 个级别的隶属函数以DO的监测值为自变量x , 对第j级别的隶属度为uj(x)DO ,则溶解氧的6 级隶属函数分别为:

0,x6x5,5x6

x6x7.5,6x7.5 u2(x)DO,6x7.5

1.51.51,x7.50,x5或x7.5x3

,3x5x2,2x32x5

(x6),5x6 u4(x)DO,3x5

20,x3或x6

0,x2或x5



u1(x)DO

u3(x)DO

u5(x)DO

2x

1,x0,0x22x2

(x3),2x3 u6(x)DO,0x2

20,x3或x0

1,x2



同样可以得到高锰酸盐指数的6 级隶属函数为:

1,0x24x,2x4 u2(x)CODMn

2

0,x4

x2

2,2x46x,6x4 2

0,x2或x6

u1(x)CODMn

u3(x)CODMn

x4x6

,4x6,6x1022

10x15x,6x10 u4(x)CODMn,10x15 250,x4或x100,x6或x15

x10

2,10x151,x2015x20x,15x20 u6(x)CODMn,15x20 55

0,x150,x10或x20



x0.15

0.35,0.15x0.51x,0.5x1

0.35

0,0.15或x1

x1

0.5,1x1.52x,1.5x2 0.5

0,x1或x2

u5(x)CODMn

氨氮的6 级隶属函数为:

1,0x0.15

0.5x,0.15x0.5 u2(x)NH

0.35

0,x0.5

x0.5

0.5,0.5x11.5x,1x1.5 u4(x)NH

0.35

0,0.5或x1.5

x0.15

0.5,1.5x230x,2x30 u6(x)NH

28

0,x1.5或x2

u1(x)NH

3N3N

u3(x)NH

3N3N

u5(x)NH

3N3N

1,x30

x2,2x30

28

0,x2

将第i个观测站三个项目对28个月份平均的监测数据代入前面确定的对应的隶属函数中,就可以计算其隶属度,建立每i个观测站的模糊评价矩阵Ri：

1.0000

R10.7800

0.91001.0000

R30.5600

0.67001.0000

R50.7900

0.97000.9900

R70.9500

1.00001.0000

R90.6300

0.2000

0.7400

0.760000.58

0.330001.000000.33000

0.840001.0000

0.13000.6100

00.22000.090000.44000.330000.21000.03000.01000.0500000.37000.80000.26000.24000.17000.420.67000.380000.90000.67000.70000.1600000.87000.3900

[***********]

[***********].8300000.620000.100000.300000000

[***********]

01.0000



0 R20.9500

00.480001.0000



0 R40.1100

00.49000

00000000[1**********]0

000000000

0

00000000000.9100

0.9500



0.34000.86000

0.05000.66000.1400

000

000

000

0

00

0.9700



R60.7100

0.77000R80

0

00.05000.5200

00.89000.5100

000

000000000

[**************]0

00[1**********]00

00000

0

0 0

0

0 0

0.03000.29000.2300

0.56000.38000.1500

0.44000.62000.8500000

000

R10

1.0000



1.00001.0000

R11

R12

R13R14

R15

0



0.0900

00.51000.3900

000

000

000

0

0 0

R16

01.0000



0 R170.4900

00.6100

可以看到，第i个观测站的模糊评价矩阵Ri都是归一化的矩阵，这是由隶属函数决定的，

在计算隶属度的过程中就已经实现了对数据进行标准化的过程了，这样就排除了区间长度对评价结果的影响。

矩阵复合：

由权重矩阵可找出Wij第i个观测点的权重向量Wi，与 第i个观测站的模糊评价矩阵

Rj进行乘法复合得到： BiWiRi

B10.9173

B30.8169B50.9309B70.9788B90.7929

0.0827

0.18310.06910.02120.2071

0000

0000

0000

0 B20.9435

0.056500

00

00

0

0 B40.5770.42300 B60.87630 B80

0.1237

0

00

0 0 0

0

0.44410.5559

0 B100.4215

0.49760.0809

B111

0000

0 B120.6260

0.0451

0

0.24010.133900

0

B130.5039

0.4510

B140.7125

B150.1192B160.6144B170.7864

0.2875

0.30220.38560.2136

000

000

0

0.41750 0

0.0413

0.119800

00



总平均值和综合排序：

以Bi为行向量，评分集P（100，80，60，40，20，0）为列向量，两者进行乘法复合：

T

CiBiP，并对结果进行排序，可得下面排序表4：（分值越大说明污染程度越小）

表4 各个观测站的综合评分值排序表

由上表可得，受污染程度最轻的是湖北丹江口胡家岭，受污染程度最严重的是四川乐山岷江大桥与江西南昌滁槎。总体上看长江近两年来大部分地区受到不同程度的污染，个别地区十分严重，需要加强治理。

5.2第二问模型建立和求解：

根据题意，根据长江干流上的七个观测点，将长江干流分割成六个江段。

降解完的污染物量，加上支流汇入的污染物量和污染源排放出的污染物量，等于江段终点处的观测点监测到的污染物量。

对每个江段进行分析，江段起点处的观测点监测到的污染物，经过降解后未降解完的污染物量，加上支流汇入的污染物量和污染源排放出的污染物量，等于江段终点处的观测点监测到的污染物量。

附件3中给出了长江干流主要观测站点的基本数据表，我们可以从中得出每个江段的长度Li，也可以算出每个江段的平均水流速：

_

Vi

ViVi1

2

（4）

算出江段长度和平均水流速后，就可以算出水流从江段起点处到达江段终点处历经的时间（单位：天）：

Ti

Li1000Vi360024

（5）

求出Ti后，因为水流量和某种污染物浓度的乘积就等于某种污染物的量，从

而可以求出每个观测点监测到的每种污染物的量。水流从江段起点处流向江段终点处的过程中，污染物受到物理降解、化学降解和生物降解等作用，这里我们将这里的降解系数理解为降解速度。 由

dDdt

aD

,

可解得

DD0eat （6） 同时由于每个江段上支流和污染源位置分布的随机性，考虑两种情况： 一是支流和污染源全部位在江段起点处，这样支流汇入和污染源排放出的污染物量可以达到最大值；

下面是建立计算最大污染量模型：

(AitijBi1,j)eTAi1,j （7）

i

则

Bij,j

Ai1ti1,je

Ti

Aitij

（8）

二是支流和污染源全部位在江段终点处，这样支流汇入和污染源排放出的污染物量可以达到最小值。

下面是建立计算最小污染量模型：

Aitije

Ti

Bi1,jAi1ti1,j

i

（9）

则 Bi1,jAi1,jti1,jAitijeT （10）

最后对每个江段得出的污染物量区间进行分析，确定主要污染源所在的江段。

对本题，题目给定了主要污染物为两种：高锰酸盐指数和氨氮，因此我们只考虑这两个主要污染物即可。

根据（23）～（29），经过编程计算，可得到各个江段每个月高锰酸盐指数和氨氮的单位时间排污量的区间，再对月份计算均值可以得到各个江段高锰酸盐指数和氨氮的单位时间排污量的区间

我们考虑用取期望值来反映各个江段单位时间平均排污量如下（表7）：

计算出各个江段单位时间平均排污量后，再除以各个江段的长度可以得到各个江段单位时间单位距离的平均排污量（表8）：

宜昌到湖南岳阳江段。所以，综合来看，造成长江干流污染的主要污染源所在地区是湖北宜昌到湖南岳阳江段。

5.3问题三的模型建立和求解：

由于对长江水质近10年的污染状况的观测数据只有部分信息已知，而部分信息未知，因此可以建立灰色系统模型。我们分别利用枯水期，丰水期，水文年的支流，干流，全流域建立其六种水质级别的灰色预测模型。 建立GM（1，1）模型的原理为：

设x

（0）

x（1），x（2），,x（n））为原始数据列，作（

（0）（0）（0）

1—AGO（一次累加

生成数列），得

x

（1）

x（1），x（2），,x（n））（

（1）

（1）（1）（1）

=x（1），x（1）（

建立白化形式的微分方程

d

（1）

x

（0）

（2）,,x（n1）

（1）

x

（0）

（n）） （11）

dt

（1）

a

x

（1）

u

（12）

a，u），按最小二乘法得到 设a（



T

a（



BB）BY

T

1

T

1

（13）

1(1)(2)(x(1)x(2)21(1)(2)(x(2)x(3)其中B2



1(x(1)(n1)x(2)(n)2



11 1

x(0)(2)

(0)x(3)Y1(0)x(n)

易求得，微分方程的解为：

x

得还原方程为：

（1）

（k1）（x（1）

（0）

ua

）e

ak



ua

（14）

x

(0)

(k1)x

(1)

(k1)x

(1)

(k) （15）

根据GM（1，1）模型为基础,应用Matlab编程技术，输入已知数据，得出

未来10年六类水在枯水期，丰水期，水文年的全流域（实线）,干流（虚线），支流（双划线）发展预测趋势的百分比（%），并绘出下图：

Ⅰ类水

图1 未来10年Ⅰ类水发展预测趋势的百分比

Ⅱ类水：

图2 未来10年Ⅱ类水发展预测趋势的百分比

Ⅲ类水：

图3 未来10年Ⅲ类水发展预测趋势的百分比

图4 未来10年Ⅳ类水发展预测趋势的百分比

Ⅴ类水（图5）：

图5 未来10年Ⅴ类水发展预测趋势的百分比

图6 未来10年劣Ⅴ类水发展预测趋势的百分比

由图可以清晰的看出长江水域未来10年的水污染发展趋势会越来越严重。

表9 2005年到2014年的其Ⅳ，Ⅴ类水质所占比例求和

由表中知道，如果不治理污染的水， 在2012年长江水就没有可饮用水了，全部都为污水，所以说假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，长江的生态系统就会崩溃的。

5.4问题四的模型建立和求解：

根据附件4中所给出的每年长江排放的废水总量，可运用问题三中灰色预测模型算出长江从2005年到2014年的每年长江排放的废水总量（单位：亿吨），其结果为(表11)：

表12 2005年到2014年的每年长江总流量（单位：亿吨）

假设，对濒于崩溃的自然生态系统丧失自然降解能力，这不考虑自然降解的影响，完全靠人为的因素治理，这根据题目要求可以建立以下函数：

未来第i年需要处理的污水量：

D

i

（（

H

i

20）

R

6（i）

）0.01

R

i

（35）

st. 0DiR

i

编程计算出这样Di的值见表13所示，并绘出Di的曲线变化图（图7）：

350

300

250

200

150

100

50

02005

[***********][***********]

图7 未来10年每年处理的污水量（单位：亿吨）

随着时间的推移，排入长江的污水排放总量越来越大，长江水质污染越来越严重，为了使Ⅳ，Ⅴ类水质所占比例的和Hi20 ，其治理污水的量也越来越大，到2012年达到

极限，其污水处理量为269.31亿吨，以后就必须是有多少污水排放量处理就有多少污水处

理量。

六 模型的评价与应用

6.1模型的评价

优点：模糊数学综合评价模型考虑到不同评价因子对水质污染程度影响程度不同，定义了不同评价因子的权重；使用隶属度来划分分级界限既考虑到等级划分的连续性，也考虑到区间的大小对评价结果的影响，还考虑到而实测值在区间内的分布情况对评价结果的影响，模型准确性很好。运用灰色预测来对未来十年的各种数据的预测，并较好的分析了长江水质污染的发展趋势，以及今后每年至少要处理多少污水才能保持原有的生态平衡。

缺点：题目所得的结果依赖于附件中所给的数据，在实际中可能数据有所偏差，我们对有些数据只是进行简单的去均值，对结果有一定的影响，模型预测分析的结果和实际中的可能不一。模型单一，没有应用更多的模型进行对比，以获得更精确的数据。

改进：对于预测未来10年的数据，我们可以运用拟合算出数据于灰色预测进行对比，以便能获得更精确的数据。

6.2模型的应用

本文中的模糊数学综和评价模型和灰色预测可以应用到很多领域，如农业产量的预报，气象预报，投资分析等。

七 参考文献

【1】孙靖南、邹志红、任广平，《模糊综合评价在天然水体水质评价中的应用研究》

【2】王宏健，《全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编》 【3】刘来福、曾文艺，《数学模型与数学建模》 【4】周永正、詹棠森、方成鸿、邱望仁，《数学建模》