专题九：“一线三角型”模型的应用
1、如图，在△ABC 中，AB=AC，P 、M 分别在BC 、AC 边上，
且∠APM =∠B ，AP=MP，求证：△APB ≌△PMC 。
分析：证明两个三角形全等，找边、角的等量关系，根据
已有的知识经验，学生很快能够解决。
2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形，如图，
2△ABC 为等边三角形，∠APM =60︒，BP=1,CM =，求△ABC 的边长。 3
3、如图，等腰梯形ABCD 中， AD//BC,AD =3cm , BC =7cm , ∠B =60︒， P 为BC 上一点（不与B 、C 重合），连结AP ，过P 点作PM 交DC 于M ，使得 ∠APM =∠B 。
（1）求证：△ABP ∽△PCM ；
（2）求AB 的长；
（3）在底边BC 上是否存在一点P ，使得DM:MC=5:3？若存在，
求出BP 的长；若不存在，请说明理由。
4、如图，AB ⊥BD , CD ⊥BD ，且AB =6cm , CD =4cm , BD =14cm ，
问：在BD 上是否存在P 点，使以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、D 、C 为顶点的三角形相似？如果存在，求BP 的长；如果不存在，请说明理由。
5、已知在梯形ABCD 中，AD//BC,AD
（1）如图a ，P 是AD 上的一点，满足∠BPC =∠A 。
①求证：△ABP ∽△DPC ；②求AP 的长。
（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE =∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么：
①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP =x , CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围；
②当CE=1时，求出AP 的长。
6、正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，
当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，如图。
（1）证明Rt △ABM ∽Rt △MCN ；
（2）设BM =x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数
关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出
最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，求x 的值。
7、如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点
B 、C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，
设BP 的长为xcm ，CQ 的长为ycm 。
（1）求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；
1（2）当y =cm 时，求x 的值。 4
8、如图，边长为1的正方形OABC 的顶点为坐标原点，点A 在
x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上。动点D 在线段BC 上移动
（不与B 、C 重合），连结OD ，过点D 作DE ⊥OD ，交边AB 于点E ，
连结OE ，设CD=t。
1（1）当t =时，求直线DE 的函数表达式； 3
（2）当OD 2+DE 2的算术平方根取最小值时，求点E 的坐标。
9、如图，在矩形ABCD 中，AB =m （m 是大于0的常数），
BC=8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合），连结DE ，
作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE =x , BF =y 。
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）若m =8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
12（3）若y =，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？ m
10、如图，已知在矩形ABCD 中，AB=2,BC=3，P 是线段AD 边
上的任意一点（不含端点A 、D ），连结PC ，过点P 作PE ⊥PC 交
AB 于E 。
（1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围。
11、在四边形ABCD 中AB ⊥BC , DC ⊥BC , AB =a , DC =b , BC =a +b ，且a ≤b ，取AD 的中点P ，连结PB 、PC 。
（1）试判断三角形PBC 的形状；
（2）在线段BC 上，是否存在点M ，使AM ⊥MD 。若存在，
请求出BM 的长；若不存在，请说明理由。
专题九：“一线三角型”模型的应用
1、如图，在△ABC 中，AB=AC，P 、M 分别在BC 、AC 边上，
且∠APM =∠B ，AP=MP，求证：△APB ≌△PMC 。
分析：证明两个三角形全等，找边、角的等量关系，根据
已有的知识经验，学生很快能够解决。
2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形，如图，
2△ABC 为等边三角形，∠APM =60︒，BP=1,CM =，求△ABC 的边长。 3
3、如图，等腰梯形ABCD 中， AD//BC,AD =3cm , BC =7cm , ∠B =60︒， P 为BC 上一点（不与B 、C 重合），连结AP ，过P 点作PM 交DC 于M ，使得 ∠APM =∠B 。
（1）求证：△ABP ∽△PCM ；
（2）求AB 的长；
（3）在底边BC 上是否存在一点P ，使得DM:MC=5:3？若存在，
求出BP 的长；若不存在，请说明理由。
4、如图，AB ⊥BD , CD ⊥BD ，且AB =6cm , CD =4cm , BD =14cm ，
问：在BD 上是否存在P 点，使以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、D 、C 为顶点的三角形相似？如果存在，求BP 的长；如果不存在，请说明理由。
5、已知在梯形ABCD 中，AD//BC,AD
（1）如图a ，P 是AD 上的一点，满足∠BPC =∠A 。
①求证：△ABP ∽△DPC ；②求AP 的长。
（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE =∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么：
①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP =x , CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围；
②当CE=1时，求出AP 的长。
6、正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，
当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，如图。
（1）证明Rt △ABM ∽Rt △MCN ；
（2）设BM =x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数
关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出
最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，求x 的值。
7、如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点
B 、C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，
设BP 的长为xcm ，CQ 的长为ycm 。
（1）求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；
1（2）当y =cm 时，求x 的值。 4
8、如图，边长为1的正方形OABC 的顶点为坐标原点，点A 在
x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上。动点D 在线段BC 上移动
（不与B 、C 重合），连结OD ，过点D 作DE ⊥OD ，交边AB 于点E ，
连结OE ，设CD=t。
1（1）当t =时，求直线DE 的函数表达式； 3
（2）当OD 2+DE 2的算术平方根取最小值时，求点E 的坐标。
9、如图，在矩形ABCD 中，AB =m （m 是大于0的常数），
BC=8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合），连结DE ，
作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE =x , BF =y 。
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）若m =8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
12（3）若y =，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？ m
10、如图，已知在矩形ABCD 中，AB=2,BC=3，P 是线段AD 边
上的任意一点（不含端点A 、D ），连结PC ，过点P 作PE ⊥PC 交
AB 于E 。
（1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围。
11、在四边形ABCD 中AB ⊥BC , DC ⊥BC , AB =a , DC =b , BC =a +b ，且a ≤b ，取AD 的中点P ，连结PB 、PC 。
（1）试判断三角形PBC 的形状；
（2）在线段BC 上，是否存在点M ，使AM ⊥MD 。若存在，
请求出BM 的长；若不存在，请说明理由。