二次函数
考点1 二次函数的概念
(a,b,c是常数，a ≠0) 的函数叫做二次函数. 其中x 是自变量，a 、b 、c 分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论.
【易错提示】(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号；(2)所求的二次函数解析式最后要化成一般式.
考点5 二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系 考点6 二次函数的应用
1. 二次函数y=(x-h)+k的图象平移时，主要看顶点坐标的变化，一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行.
2. 二次函数的图象由对称轴分开，在对称轴的同侧具有相同的性质，在顶点处有最大值或最小值，如果自变量的取值中不包含顶点，那么在取最大值或最小值时，要依据其增减性而定.
2
3. 求二次函数图象与x 轴的交点的方法是令y=0解关于x 的方程；求函数图象与y 轴的交点的方法是令x=0得y 的值，最后把所得的数值写成坐标的形式.
命题点1 二次函数的图象和性质
例1 (2013·昭通) 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是(
)
A.a ＞0 B.3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根 C.a ＋b ＋c ＝0 D. 当x ＜1时，y 随x 的增大而减小
方法归纳：解决此类问题应注意观察所给抛物线的特征，逐个排除不符合的选项
.
1. （2014·上海）如果将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是( ) A.y ＝x 2－1 B.y ＝x 2＋1 C.y ＝(x－1) 2 D.y ＝(x＋1) 2 2. （2012·巴中）对于二次函数y=2(x+1)(x-3)，下列说法正确的是( )
A. 图象的开口向下 B. 当x>1时，y 随x 的增大而减小 C. 当x
4. （2014·珠海）如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为
.
5. （2014·滨州）已知二次函数y=x-4x+3.
2
（1）用配方法求其函数的顶点C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；
（2）求函数图象与x 轴的交点A ，B 的坐标（A 在B 的左侧），及△ABC 的面积.
命题点2 二次函数的图象与系数的关系
例2 抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.b 2-4ac ＜0 B.abc ＜0 C.-
b
＜-1 D.a-b+c＜
0 2a
方法归纳：解决此类问题应当了解a,b,c, Δ=b2-4ac,a+b+c,a-b+c的符号判定的方法，同时还要观察对称轴x=-
b . 2a
1. (2014·黔东南) 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象如图所示，下列4个结论： ①abc ＜0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b 2-4ac ＞0. 其中正确结论的有( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
2. (2014·陕西) 二次函数y=ax+bx+c（a ≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A.c ＞-1 B.b ＞0 C.2a+b≠0 D.9a+c＞
3b
2
3. （2014·巴中）已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是(
)
2
A.abc ＜0 B.-3a+c＜0
C.b 2-4ac ≥0 D. 将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c 命题点3 确定二次函数的解析式
例3 （2013·泰州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A,C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数y=-
22
x +bx+c的图象经过B,C 两点
. 3
（1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数的图象探索：当y>0时x 的取值范围. 【思路点拨】（1）通过正方形的边长得出点Ｂ，Ｃ的坐标，然后代入函数解析式列方程求解； （２）求出函数图象与x 轴的交点坐标，结合图象求解.
【解答】
方法归纳：求二次函数的解析式，通常采用待定系数法，根据题目给出的条件选择不同的函数表达式，这样便于计算
.
1. （2013·安徽）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，-1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式.
2. （2014·宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A （2,0），B （0，-1）和C （4,5）三点.
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，求点D 的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.
1. （2013·益阳）抛物线y=2（x-3）2+1的顶点坐标是( )
A. （3，1） B. （3，-1） C. （-3，1） D. （-3，-1）
2. （2014·宿迁）若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的解析式为( ) A.y=(x+2)2+3 B.y=(x－2) 2+3 C.y=(x+2)2－3 D.y=(x－2) 2－3
3. （2013·泰安）设A （-2，y 1),B(1,y2),C(2,y3) 是抛物线y=-(x+1)2+m上的三点，则y 1,y 2,y 3的大小关系为( ) A.y 1＞y 2＞y 3 B.y 1＞y 3＞y 2 C.y 3＞y 2＞y 1 D.y 2＞y 1＞y 3 4. (2014·东营) 若函数y=mx2+(m+2)x+
1
m+1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( ) 2
12
x 共有的性质是( ) 2
A.0 B.0或2 C.2或-2 D.0,2或-2 5. （2014·毕节）抛物线y=2x2，y=-2x2,y=
A. 开口向下 B. 对称轴是y 轴 C. 都有最低点 D.y 随x 的增大而减小
6. （2014·黄石）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，则函数值y ＞0时，x 的取值范围是(
)
A.x ＜-1 B.x ＞3 C.-1＜x ＜3 D.x ＜-1或x ＞3 7. （2014·新疆）对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向下 B. 对称轴是x=-1 C. 顶点坐标是（1，2） D. 与x 轴有两个交点 8. （2014·淄博）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B （0，-2）. 它与反比例函数y= 则这个二次函数的解析式为( )
A.y=x2-x-2 B.y=x2-x+2 C.y=x2+x-2 D.y=x2
+x+2
8
的图象交于点A （m ，4），x
9. （2013·广安）已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论： ①abc ＞0，②2a+b=0，③b 2-4ac ＜0，④4a+2b+c＞0. 其中正确的是( )
A. ①③ B. 只有② C. ②④ D. ③④
2
10. （2014·长沙）抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是.
11. （2013·北京）请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式12. 已知函数y=-3(x-2)2+4，当.
13. （2013·河南）点A （2，y 1）,B （3，y 2）是二次函数y=x2－2x ＋1的图象上两点，则y 1与y 2的大小关系为y 1y 2（填“＞”“＜”或“=”）.
14. (2014·安徽) 某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为 .
15. (2013·温州) 如图，抛物线y=a(x－1) 2+4与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C. 过点C 作CD ∥x 轴交抛物线的对称轴于点D ，连接BD. 已知点A 的坐标为（－1,0）
.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求梯形COBD 的面积.
16. （2014·龙东）如图, 二次函数y=ax2+bx+3的图象与x 轴交于A （－3,0）和B （1,0）两点，交y 轴于点C ，点C,D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点
B,D.
（1）请直接写出D 点的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.
1. （2014·荆州）将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )
A.y ＝(x－4) 2－6 B.y ＝(x－4) 2－2 C.y ＝(x－2) 2－2 D.y ＝(x－1) 2－3 2. （2014·黔东南）已知抛物线y=x2-x-1与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式m 2-m+2 014的值为( ) A.2 012 B.2 013 C.2 014 D.2 015 3. （2014·长沙）函数y=
a
与y=ax2(a≠0) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是(
) x
4. （2014·泰安）已知函数y=-（x-m ）（x-n ）（其中m ＜n ）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是( )
m n
x
5. （2014·凉山）下列图形中阴影部分的面积相等的是(
)
A. ②③ B. ③④ C. ①② D. ①④
2则该二次函数图象的对称轴为( ) A.y 轴
B. 直线x=
53 C. 直线x=2 D. 直线x= 22
7. （2014·烟台）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的部分图象如图所示，图象过点（－1，0），对称轴为直线x=2,下列结
论：其中正确的结论有( )
①4a+b=0; ②9a+c＞3b; ③8a+7b+2c＞0;
④当x ＞－1时，y 的值随x 的值的增大而增大.
A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
8. （2014·齐齐哈尔）如图，已知抛物线的顶点为A （1，4）, 抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C,D 两点. 点P 是x 轴上的一个动点.
（1）求此抛物线的解析式;
（2）当PA+PB的值最小时，求点P 的坐标.
9.(2014·徐州) 某种商品每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图
.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
参考答案
考点解读
①y=ax2+bx+c ②上 ③下 ④减小 ⑤增大 ⑥增大 ⑦减小 ⑧上 ⑨下 ⑩小
17唯一 ○18两个不同 ○19没有 ○20a+b+c ⑪y ⑫左 ⑬右 ⑭原点 ⑮正 ⑯负 ○
22
21a-b+c ○22＞ ○23＜ ○24y=ax+bx+c ○25y=a(x-h)+k ○26y=a(x-x1)(x-x2) ○27x ○
28横 ○29＞ ○30＜ ○
各个击破 例1 B
解析：根据抛物线的开口向下，可判断a ＜0，故A 错误；由抛物线与x 轴的交点（-1,0) 和对称轴x=1可知抛物线与x 轴的另一个交点是（3,0），故B 正确；由当x=1时，y=a+b+c≠0，故Ｃ错误；从图象即可看出，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，故Ｄ错误. 故选B. 题组训练
1. C 2. C 3. (1,2) 4. 直线x=2 5. (1)y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1,
∴其函数的顶点C 的坐标为（2，-1），
∴当x ≤2时，y 随x 的增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的增大而增大. (2)令y=0,则x 2-4x+3=0，解得x 1=1,x2=3, ∴A （1，0），B （3，0），AB=|1-3|=2. 过点C 作CD ⊥x 轴于D ，则△ABC 的面积=
11
AB ·CD=×2×1=1. 22
例2 C 解析：由图象与x 轴有2个交点可判断Ａ错误；根据图象的开口方向、对称轴、与y 轴的交点可判断a ＜0，-
b
＜-1，c ＞0，即abc ＞0，故B 错误，C 正确；由当x=-1时，y=a-b+c＞0可判断D 错误. 故答案选C. 2a
题组训练 1. B 2. D 3. B
例3 (1)由题意可得：B （2,2），C （0,2），
224
x +bx+c，得c=2，b=， 33
24
∴二次函数的解析式是y=-x 2+x+2.
33
24
(2)解-x 2+x+2=0，得x 1=3，x 2=-1.
33
将B,C 坐标代入y=-
由图象可知：y>0时x 的取值范围是-1＜x ＜3.
题组训练
1. 设二次函数的解析式为y=a（x-1）2-1（a ≠0）， ∵函数图象经过原点（0，0）， ∴a （0-1）2-1=0，解得a=1， ∴该函数解析式为y=（x-1）2-1.
2. (1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过B （0，－1）， ∴二次函数解析式为y=ax2+bx－1.
∵二次函数y=ax2+bx－1的图象过A （2,0）和C （4,5）两点，
1⎧a =, ⎪⎧4a +2b -1=0，⎪2
∴⎨解得⎨
116a +4b -1=5. ⎩⎪b =－.
⎪⎩2121
x －x －1. 22
11
(2)当y=0时，x 2－x －1=0，
22
∴y=
解得x=2或x=-1，
∴D （-1,0）.
(3)如图，当-1＜x ＜4时, 一次函数的值大于二次函数的值
.
整合集训 基础过关
1. A 2. B 3. A 4. D 5. B 6. D 7. C 8. A 9. C
10. (2,5) 11. y ＝x 2＋1 12. 2 4 13. ＜ 14. y=a(1＋x) 2
15. (1)把A （－1,0）代入y=a(x－1) 2+4，得
0=4a+4，∴a=－1.
∴y=－(x－1) 2+4.
(2)当x=0时，y=3，∴OC=3.
∵抛物线y=－(x－1) 2+4的对称轴是直线x=1，∴CD=1.
∵A （－1,0），∴B （3,0），∴OB=3.
∴S 梯形COBD =（1+3) ⨯3=6. 2
16. (1)D （-2，3）.
(2)把点A,B 代入y=ax2+bx+3中，得
⎧9a -3b +3=0, ⎧a =-1, 解得 ⎨⎨⎩a +b +3=0. ⎩b =-2.
∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.
(3)x ＜-2或x ＞1.
能力提升
1. B 2. D 3. D 4. C 5. A 6. D
7. B 提示：∵抛物线的对称轴为直线x=-b =2，∴b=-4a，即4a+b=0，故①正确； 2a
∵当x=-3时，y ＜0，∴9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b ，故②错误；
∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），∴a-b+c=0，
而b=-4a，∴a+4a+c=0，即c=-5a，∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∴8a+7b+2c＞0，故③正确;
观察图象，④明显错误, 即正确的结论是①③2个.
8. (1)∵抛物线顶点坐标为（1,4），
∴设y=a(x-1)2+4，
由于抛物线过点B(0，3) ，
∴3=a(0-1)2+4，解得a=-1.
∴解析式为y=-(x-1)2+4，
即y=-x2+2x+3.
(2)作点B 关于x 轴的对称点E （0，-3），连接AE 交x 轴于点P
.
设AE 解析式y=kx+b，则
⎧k +b =4, ⎧k =7, 解得 ⎨⎨⎩b =-3. ⎩b =-3.
∴y AE =7x-3.
当y=0时，x=33，∴点P 坐标为(，0). 77
9. (1)y=ax2+bx-75图象过点（5，0），（7，16），
⎧25a +5b -75=0, ⎧a =-1, ∴⎨解得⎨ 49a +7b -75=16. b =20. ⎩⎩
y=-x2+20x-75的顶点坐标是（10，25）.
当x=10时，y 最大=25.
答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元.
(2)∵函数y=-x2+20x-75图象的对称轴为直线x=10，
可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），
又∵函数y=-x2+20x-75图象开口向下，
∴当7≤x ≤13时，y ≥16.
答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元.
二次函数
考点1 二次函数的概念
(a,b,c是常数，a ≠0) 的函数叫做二次函数. 其中x 是自变量，a 、b 、c 分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论.
【易错提示】(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号；(2)所求的二次函数解析式最后要化成一般式.
考点5 二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系 考点6 二次函数的应用
1. 二次函数y=(x-h)+k的图象平移时，主要看顶点坐标的变化，一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行.
2. 二次函数的图象由对称轴分开，在对称轴的同侧具有相同的性质，在顶点处有最大值或最小值，如果自变量的取值中不包含顶点，那么在取最大值或最小值时，要依据其增减性而定.
2
3. 求二次函数图象与x 轴的交点的方法是令y=0解关于x 的方程；求函数图象与y 轴的交点的方法是令x=0得y 的值，最后把所得的数值写成坐标的形式.
命题点1 二次函数的图象和性质
例1 (2013·昭通) 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是(
)
A.a ＞0 B.3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根 C.a ＋b ＋c ＝0 D. 当x ＜1时，y 随x 的增大而减小
方法归纳：解决此类问题应注意观察所给抛物线的特征，逐个排除不符合的选项
.
1. （2014·上海）如果将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是( ) A.y ＝x 2－1 B.y ＝x 2＋1 C.y ＝(x－1) 2 D.y ＝(x＋1) 2 2. （2012·巴中）对于二次函数y=2(x+1)(x-3)，下列说法正确的是( )
A. 图象的开口向下 B. 当x>1时，y 随x 的增大而减小 C. 当x
4. （2014·珠海）如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为
.
5. （2014·滨州）已知二次函数y=x-4x+3.
2
（1）用配方法求其函数的顶点C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；
（2）求函数图象与x 轴的交点A ，B 的坐标（A 在B 的左侧），及△ABC 的面积.
命题点2 二次函数的图象与系数的关系
例2 抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.b 2-4ac ＜0 B.abc ＜0 C.-
b
＜-1 D.a-b+c＜
0 2a
方法归纳：解决此类问题应当了解a,b,c, Δ=b2-4ac,a+b+c,a-b+c的符号判定的方法，同时还要观察对称轴x=-
b . 2a
1. (2014·黔东南) 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象如图所示，下列4个结论： ①abc ＜0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b 2-4ac ＞0. 其中正确结论的有( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
2. (2014·陕西) 二次函数y=ax+bx+c（a ≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A.c ＞-1 B.b ＞0 C.2a+b≠0 D.9a+c＞
3b
2
3. （2014·巴中）已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是(
)
2
A.abc ＜0 B.-3a+c＜0
C.b 2-4ac ≥0 D. 将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c 命题点3 确定二次函数的解析式
例3 （2013·泰州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A,C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数y=-
22
x +bx+c的图象经过B,C 两点
. 3
（1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数的图象探索：当y>0时x 的取值范围. 【思路点拨】（1）通过正方形的边长得出点Ｂ，Ｃ的坐标，然后代入函数解析式列方程求解； （２）求出函数图象与x 轴的交点坐标，结合图象求解.
【解答】
方法归纳：求二次函数的解析式，通常采用待定系数法，根据题目给出的条件选择不同的函数表达式，这样便于计算
.
1. （2013·安徽）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，-1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式.
2. （2014·宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A （2,0），B （0，-1）和C （4,5）三点.
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，求点D 的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.
1. （2013·益阳）抛物线y=2（x-3）2+1的顶点坐标是( )
A. （3，1） B. （3，-1） C. （-3，1） D. （-3，-1）
2. （2014·宿迁）若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的解析式为( ) A.y=(x+2)2+3 B.y=(x－2) 2+3 C.y=(x+2)2－3 D.y=(x－2) 2－3
3. （2013·泰安）设A （-2，y 1),B(1,y2),C(2,y3) 是抛物线y=-(x+1)2+m上的三点，则y 1,y 2,y 3的大小关系为( ) A.y 1＞y 2＞y 3 B.y 1＞y 3＞y 2 C.y 3＞y 2＞y 1 D.y 2＞y 1＞y 3 4. (2014·东营) 若函数y=mx2+(m+2)x+
1
m+1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( ) 2
12
x 共有的性质是( ) 2
A.0 B.0或2 C.2或-2 D.0,2或-2 5. （2014·毕节）抛物线y=2x2，y=-2x2,y=
A. 开口向下 B. 对称轴是y 轴 C. 都有最低点 D.y 随x 的增大而减小
6. （2014·黄石）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，则函数值y ＞0时，x 的取值范围是(
)
A.x ＜-1 B.x ＞3 C.-1＜x ＜3 D.x ＜-1或x ＞3 7. （2014·新疆）对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向下 B. 对称轴是x=-1 C. 顶点坐标是（1，2） D. 与x 轴有两个交点 8. （2014·淄博）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B （0，-2）. 它与反比例函数y= 则这个二次函数的解析式为( )
A.y=x2-x-2 B.y=x2-x+2 C.y=x2+x-2 D.y=x2
+x+2
8
的图象交于点A （m ，4），x
9. （2013·广安）已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论： ①abc ＞0，②2a+b=0，③b 2-4ac ＜0，④4a+2b+c＞0. 其中正确的是( )
A. ①③ B. 只有② C. ②④ D. ③④
2
10. （2014·长沙）抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是.
11. （2013·北京）请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式12. 已知函数y=-3(x-2)2+4，当.
13. （2013·河南）点A （2，y 1）,B （3，y 2）是二次函数y=x2－2x ＋1的图象上两点，则y 1与y 2的大小关系为y 1y 2（填“＞”“＜”或“=”）.
14. (2014·安徽) 某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为 .
15. (2013·温州) 如图，抛物线y=a(x－1) 2+4与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C. 过点C 作CD ∥x 轴交抛物线的对称轴于点D ，连接BD. 已知点A 的坐标为（－1,0）
.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求梯形COBD 的面积.
16. （2014·龙东）如图, 二次函数y=ax2+bx+3的图象与x 轴交于A （－3,0）和B （1,0）两点，交y 轴于点C ，点C,D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点
B,D.
（1）请直接写出D 点的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.
1. （2014·荆州）将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )
A.y ＝(x－4) 2－6 B.y ＝(x－4) 2－2 C.y ＝(x－2) 2－2 D.y ＝(x－1) 2－3 2. （2014·黔东南）已知抛物线y=x2-x-1与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式m 2-m+2 014的值为( ) A.2 012 B.2 013 C.2 014 D.2 015 3. （2014·长沙）函数y=
a
与y=ax2(a≠0) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是(
) x
4. （2014·泰安）已知函数y=-（x-m ）（x-n ）（其中m ＜n ）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是( )
m n
x
5. （2014·凉山）下列图形中阴影部分的面积相等的是(
)
A. ②③ B. ③④ C. ①② D. ①④
2则该二次函数图象的对称轴为( ) A.y 轴
B. 直线x=
53 C. 直线x=2 D. 直线x= 22
7. （2014·烟台）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的部分图象如图所示，图象过点（－1，0），对称轴为直线x=2,下列结
论：其中正确的结论有( )
①4a+b=0; ②9a+c＞3b; ③8a+7b+2c＞0;
④当x ＞－1时，y 的值随x 的值的增大而增大.
A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
8. （2014·齐齐哈尔）如图，已知抛物线的顶点为A （1，4）, 抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C,D 两点. 点P 是x 轴上的一个动点.
（1）求此抛物线的解析式;
（2）当PA+PB的值最小时，求点P 的坐标.
9.(2014·徐州) 某种商品每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图
.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
参考答案
考点解读
①y=ax2+bx+c ②上 ③下 ④减小 ⑤增大 ⑥增大 ⑦减小 ⑧上 ⑨下 ⑩小
17唯一 ○18两个不同 ○19没有 ○20a+b+c ⑪y ⑫左 ⑬右 ⑭原点 ⑮正 ⑯负 ○
22
21a-b+c ○22＞ ○23＜ ○24y=ax+bx+c ○25y=a(x-h)+k ○26y=a(x-x1)(x-x2) ○27x ○
28横 ○29＞ ○30＜ ○
各个击破 例1 B
解析：根据抛物线的开口向下，可判断a ＜0，故A 错误；由抛物线与x 轴的交点（-1,0) 和对称轴x=1可知抛物线与x 轴的另一个交点是（3,0），故B 正确；由当x=1时，y=a+b+c≠0，故Ｃ错误；从图象即可看出，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，故Ｄ错误. 故选B. 题组训练
1. C 2. C 3. (1,2) 4. 直线x=2 5. (1)y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1,
∴其函数的顶点C 的坐标为（2，-1），
∴当x ≤2时，y 随x 的增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的增大而增大. (2)令y=0,则x 2-4x+3=0，解得x 1=1,x2=3, ∴A （1，0），B （3，0），AB=|1-3|=2. 过点C 作CD ⊥x 轴于D ，则△ABC 的面积=
11
AB ·CD=×2×1=1. 22
例2 C 解析：由图象与x 轴有2个交点可判断Ａ错误；根据图象的开口方向、对称轴、与y 轴的交点可判断a ＜0，-
b
＜-1，c ＞0，即abc ＞0，故B 错误，C 正确；由当x=-1时，y=a-b+c＞0可判断D 错误. 故答案选C. 2a
题组训练 1. B 2. D 3. B
例3 (1)由题意可得：B （2,2），C （0,2），
224
x +bx+c，得c=2，b=， 33
24
∴二次函数的解析式是y=-x 2+x+2.
33
24
(2)解-x 2+x+2=0，得x 1=3，x 2=-1.
33
将B,C 坐标代入y=-
由图象可知：y>0时x 的取值范围是-1＜x ＜3.
题组训练
1. 设二次函数的解析式为y=a（x-1）2-1（a ≠0）， ∵函数图象经过原点（0，0）， ∴a （0-1）2-1=0，解得a=1， ∴该函数解析式为y=（x-1）2-1.
2. (1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过B （0，－1）， ∴二次函数解析式为y=ax2+bx－1.
∵二次函数y=ax2+bx－1的图象过A （2,0）和C （4,5）两点，
1⎧a =, ⎪⎧4a +2b -1=0，⎪2
∴⎨解得⎨
116a +4b -1=5. ⎩⎪b =－.
⎪⎩2121
x －x －1. 22
11
(2)当y=0时，x 2－x －1=0，
22
∴y=
解得x=2或x=-1，
∴D （-1,0）.
(3)如图，当-1＜x ＜4时, 一次函数的值大于二次函数的值
.
整合集训 基础过关
1. A 2. B 3. A 4. D 5. B 6. D 7. C 8. A 9. C
10. (2,5) 11. y ＝x 2＋1 12. 2 4 13. ＜ 14. y=a(1＋x) 2
15. (1)把A （－1,0）代入y=a(x－1) 2+4，得
0=4a+4，∴a=－1.
∴y=－(x－1) 2+4.
(2)当x=0时，y=3，∴OC=3.
∵抛物线y=－(x－1) 2+4的对称轴是直线x=1，∴CD=1.
∵A （－1,0），∴B （3,0），∴OB=3.
∴S 梯形COBD =（1+3) ⨯3=6. 2
16. (1)D （-2，3）.
(2)把点A,B 代入y=ax2+bx+3中，得
⎧9a -3b +3=0, ⎧a =-1, 解得 ⎨⎨⎩a +b +3=0. ⎩b =-2.
∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.
(3)x ＜-2或x ＞1.
能力提升
1. B 2. D 3. D 4. C 5. A 6. D
7. B 提示：∵抛物线的对称轴为直线x=-b =2，∴b=-4a，即4a+b=0，故①正确； 2a
∵当x=-3时，y ＜0，∴9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b ，故②错误；
∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），∴a-b+c=0，
而b=-4a，∴a+4a+c=0，即c=-5a，∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∴8a+7b+2c＞0，故③正确;
观察图象，④明显错误, 即正确的结论是①③2个.
8. (1)∵抛物线顶点坐标为（1,4），
∴设y=a(x-1)2+4，
由于抛物线过点B(0，3) ，
∴3=a(0-1)2+4，解得a=-1.
∴解析式为y=-(x-1)2+4，
即y=-x2+2x+3.
(2)作点B 关于x 轴的对称点E （0，-3），连接AE 交x 轴于点P
.
设AE 解析式y=kx+b，则
⎧k +b =4, ⎧k =7, 解得 ⎨⎨⎩b =-3. ⎩b =-3.
∴y AE =7x-3.
当y=0时，x=33，∴点P 坐标为(，0). 77
9. (1)y=ax2+bx-75图象过点（5，0），（7，16），
⎧25a +5b -75=0, ⎧a =-1, ∴⎨解得⎨ 49a +7b -75=16. b =20. ⎩⎩
y=-x2+20x-75的顶点坐标是（10，25）.
当x=10时，y 最大=25.
答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元.
(2)∵函数y=-x2+20x-75图象的对称轴为直线x=10，
可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），
又∵函数y=-x2+20x-75图象开口向下，
∴当7≤x ≤13时，y ≥16.
答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元.