《不等式的性质》教学案例
教材分析：
人教版七年级下册第九章第一节中要学习的《不等式的性质》是以后学习解不等式的依据。这节课“概念原理性”的教学内容，需要学生亲历知识的发现过程，能够与已有的知识经验产生联系，这样才能准确的理解性质内容并加以应用。
学情分析：
学生已经学习了“等式的性质”和利用等式性质解方程。而“不等式性质”在得出的方法上和内容上都与“等式性质”有密切的联系，此时选择“类比”的方法对于帮助学生“知识迁移”是很恰当的。
对于规律、性质的得出，学生认知上更习惯于从具体到一般，从数字到字母，所以设计具体的数学比较题，再从中发现蕴含的规律是符合学生认知规律的。
学练结合能够及时对新知进行辨析与巩固，所以应用性质的习题要做到针对性强。 教法学法分析：
利用“课前知识储备卷”根据本节课的需要，把“等式性质”的回顾置于课前，使课上重点集中于类比得出”不等式性质“，同时也为学生自己理解数学知识的系统性提供感性的对比资料。
规律的发现、性质的得出离不开学生的观察、归纳与表达，独立学习后的小组合学、展示更有利于同学间对性质内容的理解的交流与互融；而教师的指导更多体现在引导学生能够对比“等式性质”与“不等式性质”，得出二者的异同，从而突破本节课的难点：准确理解不等式性质（3）。
课堂实录：
一、交流知识储备，引出课题。
填空并回忆等式性质 1.a=b a+5 b+5 a-5 b-5 a+c b+c a-c b-c 2. a=b 3a 3b -2a -2b
a b 由（1）回忆等式性质1： ，字母表达式为： 。 33其中a 、b 、c 分别是什么？ 。
由（2）回忆等式性质2： ，字母表达式为： 。 其中a 、b 、c 分别是什么数？ 。
3. 解一道方程题，归纳解方程的一般步骤有： 。
其中去分母的方法是： ，此步根据的是 ，移项要 ，此步根据的是 ，
系数化为1的方法是 ，此步的根据是 。解一元一次方程就是将方程转化为 的形式。
设计目的：回顾“等式性质”的得出方法以及内容和字母表达式，为学习不等式性质提供类比资料。回顾“等式性质”的应用——解方程的步骤，为应用不等式性质解不等式提供类比资料。
生：口答各题
师：从具体的数据中，我们发现了等式的性质，并应用它求方程的解。应用同样的方法，我们可不可以归纳出“不等式的性质”呢？“不等式的性质和等式的性质有什么联系吗？”下面我们将继续研究。
二、小组合学，得出性质。
（一）交流储备卷
回忆有理数的大小比较，填空
（1）5＞3 5+2 3+2 5-2 3-2
（2）-1＜3 -1+2 3+2 -1-3 3-3
（3）6＞2 6×5 2×5 6÷2 2÷2
6×（-5） 2×（-5） 6÷（-2） 2÷（-2）
（4）-12＜8 （-12）×2 8×2
（-12）÷4 8÷4
（-12）×（-2） 8×（-2）
（-12）÷（-4） 8÷（-4）
生：口答填空结果
（二）问题引导，小组交流
师：问题1：观察（1）（2）中不等号方向是否改变，类比等式性质1，你能得出不等式的性质1吗？
问题2： 观察（3）（4）中不等号方向是否改变，类比等式性质2，你又有怎样的发现？用自己的语言说一说。
学生：独立思考后，小组交流，因为问题问的比较明确所以学生的思维指向比较集中，发言也很积极。
教师巡视，发现：不等式性质1的得出比较容易，且学生理解的较好。不等式性质2与3，部分学生能够从乘（除）正数或负数角度进行讨论，表述语言有的还不够严密。
（三）小组展示，加深理解
展示问题1：
生1：我们小组观察（1）（2），得出：在不等式的两边加上或减去一个数，不等式仍然成立。 生2：不等式的两边应该是“同时”加上或减去一个数，不等式仍然成立。
生3：“不等式仍然成立”应该改成“不等号的方向不变。”
师：你完整的表达一下你们组的发现。
生3：在不等式的两边同时加上或减去一个数，不等号的方向不变。
师：加或减的这个数取值有要求吗？
生4：没有。它可以是正数、也可以是负数。
生5：这个数可以是0吗？
生6：我认为这个数可以是0。比如5＞3 ，5+0＞3+0。
师：其实在不等式的两边同时加上或减去一个式子，不等号的方向也不变。请各位同学把性质1写下来并举例说明。
学生写下性质1并交流自己举出的例子。
展示问题2：
生1：我们小组观察（3）（4），发现：在不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等式仍然成立。比如6＞2 6×5＞2×5
生2：我们小组还发现：在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等式改变。比如6＞2 6×（-5）＜2×（-5）
生3：我来纠正一下。在不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变，不是不等式仍然成立。
生4：还有“在不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变，不是不等式改变。 师：哪组再说说观察（3）（4），你的发现？
生5：不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变。不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变。
师：当不等式两边同时乘以或除以一个非零数时，不等号的方向是否改变取决于谁呢？这一点和等式性质有什么不同？
学生独立沉思一会后，小组内纷纷交流。
生6：不等号的方向取决于乘以或除以的这个数是正数还是负数。如果是正数，不等号的方
向不变；如果是负数，不等号的方向改变。
生7：我要补充一下，这一点和等式性质不一样。在等式性质中，不管乘以或除以的数是正数还是负数，等式都成立。可是在不等式中，就要看看乘以或除以的数是正还是负，如果是负数就要注意不等号要改变。
师：大家赞成他的见解吗？
生：点头同意
师：这样不等式的性质就有三条，其中第2条和第3条都是关于乘除变形的，但要格外注意正负之分，因为它们的结论不同。请大家把性质2、3的内容写下来并再举例交流。
学生写好性质内容后，就例子积极的进行交流。教师巡视，鼓励学生将例子写下来，并举出不同类型的例子。
师：谁来说说自己所举的例子？
生8：我的例子是„„
生9：我的例子是„„
师：可以举一举应用性质3的例子吗？
生10：我的例子是„„
生11：我的例子是„„
„„
师：如果我用字母来表示数，你能准确应用不等式性质得到结论吗？
三、学练结合，应用性质
1. 设a ＞b ，用“＞”或“＜”填空, 并说明理由。 (1)3a 3b (2) 3a-5 3b-5 (3) -2.5a -2.5b (4)-2.5a+1 -2.5b+1 (5)a+c b+c (6)ac bc（c ≠0）
你能用字母表示不等式的性质吗？
目的：应用不等式性质。从数字上升到字母，抽象得到字母表达式。
生：独立做，再展示。
师：重点讨论ac bc（c ≠0）根据什么来填写不等号呢？
生：根据c 表示的是正数还是负数，如果c 是正数，不等号仍是“＞”，如果c 是负数，不等号变成“＜”。
2. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集。
例 (1)x-7＞26
解：根据 ，不等式两边同时
得：
此解集在数轴上表示为：
（2）-4x ≥3
解：根据 ，不等式两边同时
得：
此解集在数轴上表示为：
目的：应用不等式性质，解决求不等式的解的问题。
在完成题目后，有同学提出自己的见解。
生1：老师，在（1）中，所作的变形不就是“移项“吗？
生2：老师，在（2）中，所作的变形好像就是“系数化成1”。
师：其他人有和他们一样的感受吗？
生：有
师：其实啊，你们的判断是对的。解一元一次不等式的步骤和解一元一次方程的步骤一
样，但是也有区别。你知道区别在哪一步吗？
生纷纷交流，不一会有人举手。
生3：区别在“系数化成1”那一步。因为有的系数是负数，这时不等式两边都除以负数，根据不等式性质3，不等号的方向要改变。
师：想一想他的话，你同意吗？
师：仿照解方程的步骤，完成下列解不等式。要写清每一步变形的依据。
（为突出重点，杜绝人为设计的难题，所以去分母时，分母为负数的情况暂不提及） 练习：解不等式 112x 〈(6+x ) x ≥-50（3） -(1)3x ≤2x+1 ；（2）223
四、回顾小结，理解升华。
课后反思：
（一）学生必须亲历新知的得出过程
《数学课程标准》明确指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。本节课中不等式性质的得出过程就遵循了这样的规律，学生通过计算和比较，从特殊到一般，从具体到抽象地归纳出不等式的基本性质，正是由于学生经历了这样的思考和探索的过程，才使得学生能理解不等式的基本性质，记忆起来也非常快。
（二）重视数学知识间的联系
数学知识间紧密联系，新知一般都是旧知的延伸和扩展，旧知又是学习新知的基础，要想学生对新知识融会贯通就必须考虑学生的认知水平和知识结构，使新知和旧知联系起来形成知识网络。
如果学生仅仅通过探究总结出不等式的三个基本性质，因为三个性质孤立地存在于学生的头脑中，加之又是新的知识，在理解和运用时就难免出现各种各样的问题。本节课的储备小卷中，先复习等式的性质和一元一次方程的解法，帮学生把等式的基本性质和不等式的基本性质形成知识链，更易于学生的接受和掌握，最为主要的是这样还为应用不等式的基本性质解一元一次不等式扫清了障碍。（三）类比法的恰当运用
类比法是将不同事物进行比较，找出不同事物之间的某种类似之处，从而由一类事物所具有的某种规律导致发现另一种事物也具有类似的规律。数学教学中的类比法除了要比较不同事物质之间的某种类似之处以外，还要比较他们之间的不同之处，即进行对比，找出它们的不同点，使知识条理化、系统化。
本节课的类比体现在三个方面：
一是类比等式性质的得出方法进行不等式性质的研究；
二是类比等式性质的内容进行不等式性质的归纳；
三是类比解一元一次方程的方法得到解一元一次不等式的方法。本节课通过新课前对一元一次方程的解法进行复习，使得学生很容易发现一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法其实是极其类似的，不同点是在“将未知数系数化为1”时，如果两端同时乘（或除以）一个负数，则不等号的方向改变，这样一元一次不等式的解法其实就变成一元一次方程解法这个知识点的复习和延伸了。
（四）一切从学生的实际出发
学生是学习的主体，学生是教学的根本，在实际的教学中不能脱离学生的实际进行教学，要处处为学生着想，教学设计时时为学生服务。认识不等式的性质后，直接就进行性质的应
用，就解一元一次不等式，对于学生来说是较难的。所以在本节课，教师设计让学生先说一说自己对性质的理解，再举例说明。学生举例的过程其实就是应用的过程，也是对性质进行个性化理解的过程，而生生交流，不但扩大了展示面，也让学生之间能够有机会彼此学习和纠正。
《不等式的性质》教学案例
教材分析：
人教版七年级下册第九章第一节中要学习的《不等式的性质》是以后学习解不等式的依据。这节课“概念原理性”的教学内容，需要学生亲历知识的发现过程，能够与已有的知识经验产生联系，这样才能准确的理解性质内容并加以应用。
学情分析：
学生已经学习了“等式的性质”和利用等式性质解方程。而“不等式性质”在得出的方法上和内容上都与“等式性质”有密切的联系，此时选择“类比”的方法对于帮助学生“知识迁移”是很恰当的。
对于规律、性质的得出，学生认知上更习惯于从具体到一般，从数字到字母，所以设计具体的数学比较题，再从中发现蕴含的规律是符合学生认知规律的。
学练结合能够及时对新知进行辨析与巩固，所以应用性质的习题要做到针对性强。 教法学法分析：
利用“课前知识储备卷”根据本节课的需要，把“等式性质”的回顾置于课前，使课上重点集中于类比得出”不等式性质“，同时也为学生自己理解数学知识的系统性提供感性的对比资料。
规律的发现、性质的得出离不开学生的观察、归纳与表达，独立学习后的小组合学、展示更有利于同学间对性质内容的理解的交流与互融；而教师的指导更多体现在引导学生能够对比“等式性质”与“不等式性质”，得出二者的异同，从而突破本节课的难点：准确理解不等式性质（3）。
课堂实录：
一、交流知识储备，引出课题。
填空并回忆等式性质 1.a=b a+5 b+5 a-5 b-5 a+c b+c a-c b-c 2. a=b 3a 3b -2a -2b
a b 由（1）回忆等式性质1： ，字母表达式为： 。 33其中a 、b 、c 分别是什么？ 。
由（2）回忆等式性质2： ，字母表达式为： 。 其中a 、b 、c 分别是什么数？ 。
3. 解一道方程题，归纳解方程的一般步骤有： 。
其中去分母的方法是： ，此步根据的是 ，移项要 ，此步根据的是 ，
系数化为1的方法是 ，此步的根据是 。解一元一次方程就是将方程转化为 的形式。
设计目的：回顾“等式性质”的得出方法以及内容和字母表达式，为学习不等式性质提供类比资料。回顾“等式性质”的应用——解方程的步骤，为应用不等式性质解不等式提供类比资料。
生：口答各题
师：从具体的数据中，我们发现了等式的性质，并应用它求方程的解。应用同样的方法，我们可不可以归纳出“不等式的性质”呢？“不等式的性质和等式的性质有什么联系吗？”下面我们将继续研究。
二、小组合学，得出性质。
（一）交流储备卷
回忆有理数的大小比较，填空
（1）5＞3 5+2 3+2 5-2 3-2
（2）-1＜3 -1+2 3+2 -1-3 3-3
（3）6＞2 6×5 2×5 6÷2 2÷2
6×（-5） 2×（-5） 6÷（-2） 2÷（-2）
（4）-12＜8 （-12）×2 8×2
（-12）÷4 8÷4
（-12）×（-2） 8×（-2）
（-12）÷（-4） 8÷（-4）
生：口答填空结果
（二）问题引导，小组交流
师：问题1：观察（1）（2）中不等号方向是否改变，类比等式性质1，你能得出不等式的性质1吗？
问题2： 观察（3）（4）中不等号方向是否改变，类比等式性质2，你又有怎样的发现？用自己的语言说一说。
学生：独立思考后，小组交流，因为问题问的比较明确所以学生的思维指向比较集中，发言也很积极。
教师巡视，发现：不等式性质1的得出比较容易，且学生理解的较好。不等式性质2与3，部分学生能够从乘（除）正数或负数角度进行讨论，表述语言有的还不够严密。
（三）小组展示，加深理解
展示问题1：
生1：我们小组观察（1）（2），得出：在不等式的两边加上或减去一个数，不等式仍然成立。 生2：不等式的两边应该是“同时”加上或减去一个数，不等式仍然成立。
生3：“不等式仍然成立”应该改成“不等号的方向不变。”
师：你完整的表达一下你们组的发现。
生3：在不等式的两边同时加上或减去一个数，不等号的方向不变。
师：加或减的这个数取值有要求吗？
生4：没有。它可以是正数、也可以是负数。
生5：这个数可以是0吗？
生6：我认为这个数可以是0。比如5＞3 ，5+0＞3+0。
师：其实在不等式的两边同时加上或减去一个式子，不等号的方向也不变。请各位同学把性质1写下来并举例说明。
学生写下性质1并交流自己举出的例子。
展示问题2：
生1：我们小组观察（3）（4），发现：在不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等式仍然成立。比如6＞2 6×5＞2×5
生2：我们小组还发现：在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等式改变。比如6＞2 6×（-5）＜2×（-5）
生3：我来纠正一下。在不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变，不是不等式仍然成立。
生4：还有“在不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变，不是不等式改变。 师：哪组再说说观察（3）（4），你的发现？
生5：不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变。不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变。
师：当不等式两边同时乘以或除以一个非零数时，不等号的方向是否改变取决于谁呢？这一点和等式性质有什么不同？
学生独立沉思一会后，小组内纷纷交流。
生6：不等号的方向取决于乘以或除以的这个数是正数还是负数。如果是正数，不等号的方
向不变；如果是负数，不等号的方向改变。
生7：我要补充一下，这一点和等式性质不一样。在等式性质中，不管乘以或除以的数是正数还是负数，等式都成立。可是在不等式中，就要看看乘以或除以的数是正还是负，如果是负数就要注意不等号要改变。
师：大家赞成他的见解吗？
生：点头同意
师：这样不等式的性质就有三条，其中第2条和第3条都是关于乘除变形的，但要格外注意正负之分，因为它们的结论不同。请大家把性质2、3的内容写下来并再举例交流。
学生写好性质内容后，就例子积极的进行交流。教师巡视，鼓励学生将例子写下来，并举出不同类型的例子。
师：谁来说说自己所举的例子？
生8：我的例子是„„
生9：我的例子是„„
师：可以举一举应用性质3的例子吗？
生10：我的例子是„„
生11：我的例子是„„
„„
师：如果我用字母来表示数，你能准确应用不等式性质得到结论吗？
三、学练结合，应用性质
1. 设a ＞b ，用“＞”或“＜”填空, 并说明理由。 (1)3a 3b (2) 3a-5 3b-5 (3) -2.5a -2.5b (4)-2.5a+1 -2.5b+1 (5)a+c b+c (6)ac bc（c ≠0）
你能用字母表示不等式的性质吗？
目的：应用不等式性质。从数字上升到字母，抽象得到字母表达式。
生：独立做，再展示。
师：重点讨论ac bc（c ≠0）根据什么来填写不等号呢？
生：根据c 表示的是正数还是负数，如果c 是正数，不等号仍是“＞”，如果c 是负数，不等号变成“＜”。
2. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集。
例 (1)x-7＞26
解：根据 ，不等式两边同时
得：
此解集在数轴上表示为：
（2）-4x ≥3
解：根据 ，不等式两边同时
得：
此解集在数轴上表示为：
目的：应用不等式性质，解决求不等式的解的问题。
在完成题目后，有同学提出自己的见解。
生1：老师，在（1）中，所作的变形不就是“移项“吗？
生2：老师，在（2）中，所作的变形好像就是“系数化成1”。
师：其他人有和他们一样的感受吗？
生：有
师：其实啊，你们的判断是对的。解一元一次不等式的步骤和解一元一次方程的步骤一
样，但是也有区别。你知道区别在哪一步吗？
生纷纷交流，不一会有人举手。
生3：区别在“系数化成1”那一步。因为有的系数是负数，这时不等式两边都除以负数，根据不等式性质3，不等号的方向要改变。
师：想一想他的话，你同意吗？
师：仿照解方程的步骤，完成下列解不等式。要写清每一步变形的依据。
（为突出重点，杜绝人为设计的难题，所以去分母时，分母为负数的情况暂不提及） 练习：解不等式 112x 〈(6+x ) x ≥-50（3） -(1)3x ≤2x+1 ；（2）223
四、回顾小结，理解升华。
课后反思：
（一）学生必须亲历新知的得出过程
《数学课程标准》明确指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。本节课中不等式性质的得出过程就遵循了这样的规律，学生通过计算和比较，从特殊到一般，从具体到抽象地归纳出不等式的基本性质，正是由于学生经历了这样的思考和探索的过程，才使得学生能理解不等式的基本性质，记忆起来也非常快。
（二）重视数学知识间的联系
数学知识间紧密联系，新知一般都是旧知的延伸和扩展，旧知又是学习新知的基础，要想学生对新知识融会贯通就必须考虑学生的认知水平和知识结构，使新知和旧知联系起来形成知识网络。
如果学生仅仅通过探究总结出不等式的三个基本性质，因为三个性质孤立地存在于学生的头脑中，加之又是新的知识，在理解和运用时就难免出现各种各样的问题。本节课的储备小卷中，先复习等式的性质和一元一次方程的解法，帮学生把等式的基本性质和不等式的基本性质形成知识链，更易于学生的接受和掌握，最为主要的是这样还为应用不等式的基本性质解一元一次不等式扫清了障碍。（三）类比法的恰当运用
类比法是将不同事物进行比较，找出不同事物之间的某种类似之处，从而由一类事物所具有的某种规律导致发现另一种事物也具有类似的规律。数学教学中的类比法除了要比较不同事物质之间的某种类似之处以外，还要比较他们之间的不同之处，即进行对比，找出它们的不同点，使知识条理化、系统化。
本节课的类比体现在三个方面：
一是类比等式性质的得出方法进行不等式性质的研究；
二是类比等式性质的内容进行不等式性质的归纳；
三是类比解一元一次方程的方法得到解一元一次不等式的方法。本节课通过新课前对一元一次方程的解法进行复习，使得学生很容易发现一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法其实是极其类似的，不同点是在“将未知数系数化为1”时，如果两端同时乘（或除以）一个负数，则不等号的方向改变，这样一元一次不等式的解法其实就变成一元一次方程解法这个知识点的复习和延伸了。
（四）一切从学生的实际出发
学生是学习的主体，学生是教学的根本，在实际的教学中不能脱离学生的实际进行教学，要处处为学生着想，教学设计时时为学生服务。认识不等式的性质后，直接就进行性质的应
用，就解一元一次不等式，对于学生来说是较难的。所以在本节课，教师设计让学生先说一说自己对性质的理解，再举例说明。学生举例的过程其实就是应用的过程，也是对性质进行个性化理解的过程，而生生交流，不但扩大了展示面，也让学生之间能够有机会彼此学习和纠正。