学案9 受力分析 共点力的平衡
一、概念规律题组
1．在同一平面内有三个互成角度的共点力，F 1＝5 N ，F 2＝8 N ，F 3＝6 N ，它们恰好平衡，那么其中( )
A ．F 1和F 2的合力最大 B ．F 1和F 3的合力最小 C ．F 1和F 2的合力最小 D ．F 1和F 3的合力最大
2．下列几组共点力分别作用于同一物体上，有可能使物体做匀速直线运动的是( ) A ．1 N 、5 N 、3 N B ．3 N 、4 N 、8 N C ．4 N 、10 N 、5 N D ．4 N 、12 N 、8 N 3．关于物体的平衡状态，下列说法不正确的是( ) A ．做匀速直线运动的物体一定处于平衡状态 B ．若物体的速度为零，则物体处于平衡状态 C ．若物体的加速度为零，则物体处于平衡状态 D ．若物体所受合力为零，则一定处于平衡状态
图1
4．如图1所示，一木箱放在水平面上，在一斜向下方的推力F 作用下仍静止不动，那么力F 与木箱所受摩擦力的合力的方向( ) A ．竖直向上 B ．竖直向下 C ．水平向左 D ．水平向右
二、思想方法题组
图2
5．如图2所示，一个质量为m ，顶角为α的直角劈和一个质量为M 的长方形木块，夹在两竖直墙之间，不计摩擦，则M 对左墙压力的大小为( ) A ．Mg tan α B ．Mg ＋mg tan α C ．mg cot α D ．mg sin α
6．质量均为m 的a 、b 两木块叠放在水平面上，如图3所示，a 受到斜向上与水平面成θ角的力F 作用，b 受到斜向下与水平面成θ角等大的力F 作用，两力在同一竖直平面内，此时两木块保持静止，则(
)
图3
A ．b 对a 的支持力一定等于mg
B ．水平面对b 的支持力可能大于2mg C ．a 、b 之间一定存在静摩擦力
D ．b 与水平面之间可能存在静摩擦力
．
1．受力分析的方法
(1)整体法和隔离法 (2)假设法
在受力分析时，若不能确定某未知力是否存在，可先对其作出存在或不存在的假设，然后再就该力存在与否对物体运动状态影响的不同来判断该力是否存在． 【例1】
图4
如图4所示，物体A 靠在竖直墙面上，在力F 的作用下，A 、B 保持静止．物体A 的受力个数为( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [规范思维]
图5
[针对训练1] (2010·安徽·19)L型木板P(上表面光滑) 放在固定斜面上，轻质弹簧一端固定在木板上，另一端与置于木板上表面的滑块Q 相连，如图5所示．若P 、Q 一起沿斜面匀速下滑，不计空气阻力．则木板P 的受力个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 二、共点力作用下的平衡问题 ①直角三角形
如果共点的三个力平衡，且三个力构成直角三角形，则可根据三角形的边角关系，利用三角函数或勾股定理求解．
图6
【例2】 (2009·山东理综·16)如图6所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心．一质量为m 的小滑块，在水平力F 的作用下静止于P 点．设滑块所受支持力为F N ，OP 与水平方向的夹角为θ. 下列关系正确的是( )
mg
A ．F ＝ B ．F ＝mg tan θ
tan θmg
C ．F N ＝ D ．F N ＝mg tan θ
tan θ
[规范思维]
[针对训练2] (2009·浙江理综·14)如图7所示，质量为m 的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，则斜面对
三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为( )
A .
3113mg B mg 和mg 2222
1133
和mg
2222②动态三角形
“动态平衡”是指平衡问题中的一个力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变
化，所以叫动态平衡，这是力的平衡问题中的一类难题．解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”．
C . mg 和μmg D .
图8
【例3】 如图8所示，两根等长的绳子AB 和BC 吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB 与水平方向的夹角不变，将绳子BC 逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC 的拉力变化情况是( ) A ．增大 B ．先减小，后增大 C ．减小 D ．先增大，后减小 [规范思维]
③相似三角形
如果三个共点的平衡力构不成直角三角形，但力三角形与某个几何三角形相似，则可用相似三角形的特点求解． 【例4】
如
图9
图9所示，一可视为质点的小球A 用细线拴住系在O 点，在O 点正下方固定一个小球B(也可视为质点) ．由于A 、B 两球间存在斥力，A 球被排斥开，当细线与竖直方向夹角为α时系统静止．由于某种原因，两球间的斥力减小导致α角减小．已知两球间的斥力总是沿着两球心的连线．试分析α角逐渐减小的过程中，细线的拉力如何变化？
(2)正交分解法
图10
【例5】 如图10所示，在倾角为θ的粗糙斜面上，有一个质量为m 的物体被水平力F 推着静止于斜面上，已知物体与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ
好不下滑，则推力F 为多少？若物体恰好不上滑，则推力F 为多少？(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
11
如图11所示，质量分别为m 1、m 2的两个物体通过轻弹簧连接，在力F 的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(m1在地面，m 2在空中) ，力F 与水平方向成θ角．则m 1所受支持力F N 和摩擦力F f 正确的是( )
①FN ＝m 1g ＋m 2g －F sin θ ②FN ＝m 1g ＋m 2g －F cos θ ③Ff ＝F cos θ ④Ff ＝F sin θ
A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④ (3)整体法与隔离法在共点力平衡问题中的应用 【例6】 (2011·广东省实验中学模拟)
图12
如图12所示，质量为m 的正方体和质量为M 的正方体放在两竖直墙和水平面间，处于静止状态．m 和M 相接触的边与竖直方向的夹角为α，若不计一切摩擦，求： (1)水平面对正方体M 的弹力大小； (2)墙面对正方体m 的弹力大小．
[针对训练4] (2009·海南·3)
图13
两刚性球a 和b 的质量分别为m a 和m b ，直径分别为d a 和d b (da >db ) ．将a 、b 依次放入一竖直放置、内径为d 的平底圆筒内，如图13所示．设a 、b 两球静止时对圆筒侧面的压力大小分别为F N 1和F N 2，筒底所受的压力大小为F. 已知重力加速度为g. 若所有接触都是光滑的，则( )
A ．F ＝(ma ＋m b )g F N 1＝F N 2 B ．F ＝(ma ＋m b )g F N 1≠FN 2 C ．m a g
【基础演练】
图14
1．(2010·广东理综·13)图14为节日里悬挂灯笼的一种方式，A 、B 点等高，O 为结点，轻绳AO 、BO 长度相等，拉力分别为F A 、F B ，灯笼受到的重力为G.
下列表述正确的是(
)
A ．F A 一定小于G B ．F A 与F B 大小相等
C ．F A 与F B 是一对平衡力 D ．F A 与F B 大小之和等于G 2．(2010·清华附中模拟)
图15
如图15所示，水平地面上的物体A ，在斜向上的拉力F 的作用下，向右做匀速运动，则下列说法中正确的是( )
A ．物体A 可能只受到三个力的作用 B ．物体A 一定受到了三个力的作用
C ．物体A 受到的滑动摩擦力大小为F cos θ
D ．物体A 对水平地面的压力的大小一定为F sin θ 3.
图16
如图16所示，一条细绳跨过定滑轮连接物体A 、B ，A 悬挂起来，B 穿在一根竖直杆上，两物体均保持静止，不计绳与滑轮、B 与竖直杆间的摩擦，已知绳与竖直杆间的夹角为θ，则物体A 、B 的质量之比m A ∶mB 等于( ) A ．cos θ∶1 B ．1∶cos θ C ．tan θ∶1 D ．1∶sin θ
图17 图18 图19
4．(2010·广东四校联考) 用一轻绳将小球P 系于光滑墙壁上的O 点，在墙壁和球P 之间夹有一矩形物块Q ，如图17所示．P 、Q 均处于静止状态，则下列相关说法正确的是( )
A ．P 物体受3个力 B ．Q 受到3个力
C ．若绳子变长，绳子的拉力将变小 D ．若绳子变短，Q 受到的静摩擦力将增大 5.(2011·阜阳期中) 如图18所示，物体m 通过定滑轮牵引另一水平面上的物体沿斜面匀速下滑，此过程中斜面仍静止，斜面质量为M ，则水平地面对斜面体( )
A ．无摩擦力 B ．有水平向右的摩擦力 C ．支持力为(M＋m)g D ．支持力大于(M＋m)g
6．(2011·安徽合肥一模) 如图19所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A ，A 的左端紧靠竖直墙，A 与竖直墙之间放一光滑圆球B ，整个装置处于静止状态，若把A 向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则( )
A ．B 对墙的压力增大 B ．A 与B 之间的作用力增大 C ．地面对A 的摩擦力减小 D ．A 对地面的压力减小 7．图20中弹簧秤、绳和滑轮的重量以及绳与滑轮间的摩擦均不计，物体的重力都是G ，在甲、乙、丙三种情况下，弹簧秤的读数分别是F 1、F 2、F 3，则(
)
图20
A ．F 3>F1＝F 2 B ．F 3＝F 1>F2 C ．F 1＝F 2＝F 3 D ．F 1>F2＝F 3
图21
8．(2011·陕西西安八校联考) 如图21所示，小圆环A 吊着一个质量为m 2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细线一端拴在小圆环A 上，另一端跨过固定在大圆环最高点B 的一个小滑轮后吊一个质量为m 1的物块．如果小圆环、滑轮、绳子的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计，绳子又不可伸长，若平衡时弦AB 所对应的圆心角为α，则两物块的质量比m 1∶m2应为( )
αααα
A ．2sin B ．2cos C ．cos D ．sin 2222
9．如图22所示，
图22
两个质量均为m 的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根长度均为l 的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M 的木块上，两个小环之间的距离也为l ，小环保持静止．试求：
(1)小环对杆的压力； (2)小环与杆之间的动摩擦因数μ至少为多大．
10．(2011·矾高月考) 质量为m 的物体A 放在倾角为θ＝37°的斜面上时，恰好能匀速下滑，如图23(a ) 所示；现用细线系住物体A ，并平行于斜面向上绕过光滑的定滑轮，另一端系住物体B ，物体A 恰好能沿斜面匀速上滑，如图(b ) 所示，求物体B 的质量．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8)
(a ) (b )
图23
学案9 受力分析 共点力的平衡
【课前双基回扣】 1．BD
2．D [三力满足|F 1－F 2|≤F 3≤|F 1＋F 2|合力就可能为零，即做匀速直线运动．] 3．ACD
4.B
5．C [对m 进行分析可知，M 对m 向右上的支持力大小为F ＝的斜向下的力为F ＝
mg
sin α
，从而可知m 对M
对M 进行分析可知，墙壁对M 有向右的支持力大小等于F sin α
的水平分量，即mg cot α.]
6．C [对a 、b 整体，合外力为零，故水平面与b 之间无摩擦力，否则无法平衡，D 错；由竖直方向受力平衡可知两个力F 的竖直分量平衡，故地面对b 的支持力等于2mg ，B 错；对a 采用隔离法分析，受到竖直向上的b 对a 的支持力、竖直向下的重力、水平向左的摩擦力和力F 四个力的作用，摩擦力不可能为零，否则a 不能平衡，由竖直方向受力平衡条件知b 对a 的支持力小于a 的重力mg ，A 错、C 对．] 思维提升
1．注意区分速度为零与受力平衡，物体处于平衡状态时，加速度为零，速度可以为零，可以不为零；反之，物体速度为零，若加速度不为零，也不平衡． 2．平衡条件的推论：
(1)二力平衡时，两力必大小相等，方向相反．
(2)三力平衡时，三力必共面，且任两力的合力与第三个力大小相等、方向相反． (3)多力平衡时，任何一个力与其余力的合力大小相等、方向相反．
3．整体法与隔离法是进行受力分析的常用方法．对于不能直接确定的力，经常用假设法．
【核心考点突破】 例1 B [B 共受四个力作用而平衡，其中A 对B 有两个作用力，且该二力合力方向竖直向下(如图乙所示) ，由牛顿第三定律知，B 对A 亦有两个作用力，且其合力方向竖直向上，由平衡条件可知，墙对A 无弹力作用，由摩擦力产生的条件可知，墙对A 亦无摩擦力；
也可以用整体法判断墙与A 间有无作用力：
mg
对A 、B 整体，由平衡条件知，墙对A 无弹力作用，因为水平方向合力为零，若有弹力，无其他力与其平衡．假设墙与A 间无摩擦力，则A 、B 亦能得平衡，即A 与墙之间没有相对滑动趋势，所以墙对A 无摩擦力，因此，A 共受三个力作用(如图甲所示) ．]
[规范思维] 两物体接触面间不一定存在弹力，有弹力也不一定有摩擦力，但有摩擦力就一定有弹力．接触面间是否有弹力和摩擦力，要结合物体运动状态，利用物理规律和假设法或转换研究对象做出判断．假设此力存在并设明方向，再利用平衡条件或牛顿第二定律列式即可判断． 例
2 A
[对小滑块受力分析如图所示．根据三角函数可得F ＝ F N ＝F 合＝ 故
tan θsin θ
只有选项A 正确．]
[规范思维] 本题可用直角三角形法求解，也可用正交分解法求解． 例
3
mg mg
B [对力的处理(求合力) 采用合成法，应用合力为零求解时采用图解法(画动态平行四边形法) ．作出力的平行四边形，如右图所示．由图可看出，F BC 先减小后增大．] [规范思维] 利用图解法解题的条件：(1)物体受三个力的作用而处于平衡状态．(2)一个力不变，另一个力的方向不变，第三个力的大小、方向均变化．
动态平衡的分析思路：①确定研究对象，经受力分析，画出受力分析图．②在同一幅图上，画出力变化时的矢量三角形，从而分析两力的变化． 例4 细线的拉力大小不变
解析 系统静止时，对A 球受力分析如图所示，将斥力F 和线的拉力F T 合成，合力与重力G 等大反向．
将力F T 平移后构成力的矢量三角形△AFP ，与长度间的几何三角形△BAO 相似． 根据对应边成比例可得：F T G
，
AO BO
所以力F T ＝·G .
AO BO
AO ，BO 长度不变，G 恒定，故F T 大小不变． 在α角逐渐减小的过程中，虽然△BAO 形状变化，但在α角确定的瞬间，仍然有△AFP
AO
∽△BAO ，F T ＝·G 仍成立．故细线的拉力大小不变．
BO
[规范思维] 在物体受三个力作用而平衡时，可以对物体分析受力后，作力的矢量三角形(即所作力的平行四边形的一半) ，寻找力的矢量三角形与几何三角形是否相似，若相似，可用本法．这类问题中的三角形往往不是或不能确定是直角三角形，不方便或不能用力的正交分解法求解．
sin θ－μcos θμcos θ＋sin θ例mg
μsin θ＋cos θcos θ－μsin θ
解析 因为μ
当物体恰好不下滑时，受力如图甲所示，有 mg sin θ＝F cos θ＋F f ，F f ＝μF N ， F N ＝mg cos θ＋F sin θ
sin θ－μcos θ
联立解得F ＝mg
μsin θ＋cos θ
当物体恰好不上滑时，受力如图乙所示，有 mg sin θ＋F f ＝F cos θ，F f ＝μF N ， F N ＝mg cos θ＋F sin θ
μcos θ＋sin θ
联立解得F ＝mg .
cos θ－μsin θ
[规范思维] 本题中物体受三个以上的力的作用，必须用正交分解法求解．正交分解法的技巧：选择x 、y 轴方向时，要使尽可能多的力落在坐标轴上，尽可能少分解力． 例6 (1)(M ＋m ) g (2)mg cot α
解析 (1)以两个正方体整体为研究对象，整体受到向上的支持力和向下的重力，处于静止状态
所以水平面对正方体M 的弹力大小为F N ＝(M ＋m ) g . (2)对正方体m 进行受力分析如右图所示．
把F N2沿水平方向和竖直方向分解有F N2cos α＝F N1 F N2sin α＝mg 解得F N1＝mg cot α.
[规范思维] 灵活地选取研究对象可以使问题简化．对加速度相同的几个物体或处于平衡状态的几个物体，如果不计算它们间的内力，则优先考虑整体法；单独求某个物体的受力时，一般采用隔离法． [针对训练]
1．C [P 受重力、斜面的支持力、弹簧的弹力、Q 对P 的压力及斜面对P 的摩擦力，共5个力．]
2．A [分析物体的受力情况如图．三棱柱受重力、斜面的支持力和摩擦力的共同作用
31
而静止，故F N ＝mg cos θ＝mg ，F f ＝mg sin θ＝mg ，
A 选项正确．]
22
3．AC [将(m 1＋m 2) 看作一个整体，在竖直方向，F sin θ＋F N ＝(m 1＋m 2) g ，在水平方向，F cos θ＝F f ，故选项A 、C 正确．] 4．A
【课时效果检测】
1．B 2.BC 3．
B
[对B 物进行受力分析如图所示，B 处于平衡态，由图可知
m B g m A 1
＝cos θ，所以＝，m A g m B cos θ
B 正确．]
4．AC 5.BD 6.C 7.C
8．A [绳AB 中的张力为m 1g ，m 2对小圆环A 的拉力为m 2g ，大圆环对小圆环A 的弹力沿大圆环半径向外，因为小圆环A 静止不动，故绳AB 对小圆环的拉力与m 2对小圆环的拉力的合力沿大圆环半径方向指向圆心O ，由几何关系可知，选项A 正确．]
13M 9．(1)＋mg 方向竖直向下 (2)
23 M ＋2m
解析 (1)以木块M 和两个小环作为整体进行受力分析，由平衡条件得2F N ＝(M ＋2m ) g ，
1
即F N ＝＋mg
2
1
由牛顿第三定律知小环对杆的压力F N ′＝Mg ＋mg ，方向竖直向下．
2
(2)对M 受力分析由平衡条件得2F T cos 30°＝Mg
′
临界状态，小环受到的静摩擦力达到最大值，则有F T sin 30°＝μF N
3M
解得，动摩擦因数μmin ＝.
3 M ＋2m
10．1.2
m
解析 当物体A 沿斜面匀速下滑时，受力图如图甲，沿斜面方向的合力为0，有
F f ＝mg sin θ
当物体A 沿斜面匀速上滑时，受力图如图乙，A 物体所受摩擦力大小不变，方向沿斜面向下，沿斜面方向的合力仍为0，有F T A ＝F f ′＋mg sin θ 对物体B F T B ＝m B g
由牛顿第三定律可知 F T A ＝F T B 由以上各式求出 m B ＝1.2m .
易错点评
1．进行受力分析时，一般是分析性质力，而不分析效果力；此外，分力与合力也不能同时进行分析．这样做可防止多力或漏力．
2．对于三力平衡问题，一般是根据推论利用合成法或分解法求解．
3．对于多力平衡问题，一般用正交分解法，用此法时，坐标轴不一定水平与竖直，应根据具体情况灵活选取．
4．若不涉及物体间内部相互作用，一般用整体法，即以整体为对象；反之，若研究物体间内部的相互作用，则要用隔离法，选对象的原则是受力较少的隔离体．
学案9 受力分析 共点力的平衡
一、概念规律题组
1．在同一平面内有三个互成角度的共点力，F 1＝5 N ，F 2＝8 N ，F 3＝6 N ，它们恰好平衡，那么其中( )
A ．F 1和F 2的合力最大 B ．F 1和F 3的合力最小 C ．F 1和F 2的合力最小 D ．F 1和F 3的合力最大
2．下列几组共点力分别作用于同一物体上，有可能使物体做匀速直线运动的是( ) A ．1 N 、5 N 、3 N B ．3 N 、4 N 、8 N C ．4 N 、10 N 、5 N D ．4 N 、12 N 、8 N 3．关于物体的平衡状态，下列说法不正确的是( ) A ．做匀速直线运动的物体一定处于平衡状态 B ．若物体的速度为零，则物体处于平衡状态 C ．若物体的加速度为零，则物体处于平衡状态 D ．若物体所受合力为零，则一定处于平衡状态
图1
4．如图1所示，一木箱放在水平面上，在一斜向下方的推力F 作用下仍静止不动，那么力F 与木箱所受摩擦力的合力的方向( ) A ．竖直向上 B ．竖直向下 C ．水平向左 D ．水平向右
二、思想方法题组
图2
5．如图2所示，一个质量为m ，顶角为α的直角劈和一个质量为M 的长方形木块，夹在两竖直墙之间，不计摩擦，则M 对左墙压力的大小为( ) A ．Mg tan α B ．Mg ＋mg tan α C ．mg cot α D ．mg sin α
6．质量均为m 的a 、b 两木块叠放在水平面上，如图3所示，a 受到斜向上与水平面成θ角的力F 作用，b 受到斜向下与水平面成θ角等大的力F 作用，两力在同一竖直平面内，此时两木块保持静止，则(
)
图3
A ．b 对a 的支持力一定等于mg
B ．水平面对b 的支持力可能大于2mg C ．a 、b 之间一定存在静摩擦力
D ．b 与水平面之间可能存在静摩擦力
．
1．受力分析的方法
(1)整体法和隔离法 (2)假设法
在受力分析时，若不能确定某未知力是否存在，可先对其作出存在或不存在的假设，然后再就该力存在与否对物体运动状态影响的不同来判断该力是否存在． 【例1】
图4
如图4所示，物体A 靠在竖直墙面上，在力F 的作用下，A 、B 保持静止．物体A 的受力个数为( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [规范思维]
图5
[针对训练1] (2010·安徽·19)L型木板P(上表面光滑) 放在固定斜面上，轻质弹簧一端固定在木板上，另一端与置于木板上表面的滑块Q 相连，如图5所示．若P 、Q 一起沿斜面匀速下滑，不计空气阻力．则木板P 的受力个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 二、共点力作用下的平衡问题 ①直角三角形
如果共点的三个力平衡，且三个力构成直角三角形，则可根据三角形的边角关系，利用三角函数或勾股定理求解．
图6
【例2】 (2009·山东理综·16)如图6所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心．一质量为m 的小滑块，在水平力F 的作用下静止于P 点．设滑块所受支持力为F N ，OP 与水平方向的夹角为θ. 下列关系正确的是( )
mg
A ．F ＝ B ．F ＝mg tan θ
tan θmg
C ．F N ＝ D ．F N ＝mg tan θ
tan θ
[规范思维]
[针对训练2] (2009·浙江理综·14)如图7所示，质量为m 的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，则斜面对
三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为( )
A .
3113mg B mg 和mg 2222
1133
和mg
2222②动态三角形
“动态平衡”是指平衡问题中的一个力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变
化，所以叫动态平衡，这是力的平衡问题中的一类难题．解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”．
C . mg 和μmg D .
图8
【例3】 如图8所示，两根等长的绳子AB 和BC 吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB 与水平方向的夹角不变，将绳子BC 逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC 的拉力变化情况是( ) A ．增大 B ．先减小，后增大 C ．减小 D ．先增大，后减小 [规范思维]
③相似三角形
如果三个共点的平衡力构不成直角三角形，但力三角形与某个几何三角形相似，则可用相似三角形的特点求解． 【例4】
如
图9
图9所示，一可视为质点的小球A 用细线拴住系在O 点，在O 点正下方固定一个小球B(也可视为质点) ．由于A 、B 两球间存在斥力，A 球被排斥开，当细线与竖直方向夹角为α时系统静止．由于某种原因，两球间的斥力减小导致α角减小．已知两球间的斥力总是沿着两球心的连线．试分析α角逐渐减小的过程中，细线的拉力如何变化？
(2)正交分解法
图10
【例5】 如图10所示，在倾角为θ的粗糙斜面上，有一个质量为m 的物体被水平力F 推着静止于斜面上，已知物体与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ
好不下滑，则推力F 为多少？若物体恰好不上滑，则推力F 为多少？(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
11
如图11所示，质量分别为m 1、m 2的两个物体通过轻弹簧连接，在力F 的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(m1在地面，m 2在空中) ，力F 与水平方向成θ角．则m 1所受支持力F N 和摩擦力F f 正确的是( )
①FN ＝m 1g ＋m 2g －F sin θ ②FN ＝m 1g ＋m 2g －F cos θ ③Ff ＝F cos θ ④Ff ＝F sin θ
A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④ (3)整体法与隔离法在共点力平衡问题中的应用 【例6】 (2011·广东省实验中学模拟)
图12
如图12所示，质量为m 的正方体和质量为M 的正方体放在两竖直墙和水平面间，处于静止状态．m 和M 相接触的边与竖直方向的夹角为α，若不计一切摩擦，求： (1)水平面对正方体M 的弹力大小； (2)墙面对正方体m 的弹力大小．
[针对训练4] (2009·海南·3)
图13
两刚性球a 和b 的质量分别为m a 和m b ，直径分别为d a 和d b (da >db ) ．将a 、b 依次放入一竖直放置、内径为d 的平底圆筒内，如图13所示．设a 、b 两球静止时对圆筒侧面的压力大小分别为F N 1和F N 2，筒底所受的压力大小为F. 已知重力加速度为g. 若所有接触都是光滑的，则( )
A ．F ＝(ma ＋m b )g F N 1＝F N 2 B ．F ＝(ma ＋m b )g F N 1≠FN 2 C ．m a g
【基础演练】
图14
1．(2010·广东理综·13)图14为节日里悬挂灯笼的一种方式，A 、B 点等高，O 为结点，轻绳AO 、BO 长度相等，拉力分别为F A 、F B ，灯笼受到的重力为G.
下列表述正确的是(
)
A ．F A 一定小于G B ．F A 与F B 大小相等
C ．F A 与F B 是一对平衡力 D ．F A 与F B 大小之和等于G 2．(2010·清华附中模拟)
图15
如图15所示，水平地面上的物体A ，在斜向上的拉力F 的作用下，向右做匀速运动，则下列说法中正确的是( )
A ．物体A 可能只受到三个力的作用 B ．物体A 一定受到了三个力的作用
C ．物体A 受到的滑动摩擦力大小为F cos θ
D ．物体A 对水平地面的压力的大小一定为F sin θ 3.
图16
如图16所示，一条细绳跨过定滑轮连接物体A 、B ，A 悬挂起来，B 穿在一根竖直杆上，两物体均保持静止，不计绳与滑轮、B 与竖直杆间的摩擦，已知绳与竖直杆间的夹角为θ，则物体A 、B 的质量之比m A ∶mB 等于( ) A ．cos θ∶1 B ．1∶cos θ C ．tan θ∶1 D ．1∶sin θ
图17 图18 图19
4．(2010·广东四校联考) 用一轻绳将小球P 系于光滑墙壁上的O 点，在墙壁和球P 之间夹有一矩形物块Q ，如图17所示．P 、Q 均处于静止状态，则下列相关说法正确的是( )
A ．P 物体受3个力 B ．Q 受到3个力
C ．若绳子变长，绳子的拉力将变小 D ．若绳子变短，Q 受到的静摩擦力将增大 5.(2011·阜阳期中) 如图18所示，物体m 通过定滑轮牵引另一水平面上的物体沿斜面匀速下滑，此过程中斜面仍静止，斜面质量为M ，则水平地面对斜面体( )
A ．无摩擦力 B ．有水平向右的摩擦力 C ．支持力为(M＋m)g D ．支持力大于(M＋m)g
6．(2011·安徽合肥一模) 如图19所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A ，A 的左端紧靠竖直墙，A 与竖直墙之间放一光滑圆球B ，整个装置处于静止状态，若把A 向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则( )
A ．B 对墙的压力增大 B ．A 与B 之间的作用力增大 C ．地面对A 的摩擦力减小 D ．A 对地面的压力减小 7．图20中弹簧秤、绳和滑轮的重量以及绳与滑轮间的摩擦均不计，物体的重力都是G ，在甲、乙、丙三种情况下，弹簧秤的读数分别是F 1、F 2、F 3，则(
)
图20
A ．F 3>F1＝F 2 B ．F 3＝F 1>F2 C ．F 1＝F 2＝F 3 D ．F 1>F2＝F 3
图21
8．(2011·陕西西安八校联考) 如图21所示，小圆环A 吊着一个质量为m 2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细线一端拴在小圆环A 上，另一端跨过固定在大圆环最高点B 的一个小滑轮后吊一个质量为m 1的物块．如果小圆环、滑轮、绳子的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计，绳子又不可伸长，若平衡时弦AB 所对应的圆心角为α，则两物块的质量比m 1∶m2应为( )
αααα
A ．2sin B ．2cos C ．cos D ．sin 2222
9．如图22所示，
图22
两个质量均为m 的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根长度均为l 的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M 的木块上，两个小环之间的距离也为l ，小环保持静止．试求：
(1)小环对杆的压力； (2)小环与杆之间的动摩擦因数μ至少为多大．
10．(2011·矾高月考) 质量为m 的物体A 放在倾角为θ＝37°的斜面上时，恰好能匀速下滑，如图23(a ) 所示；现用细线系住物体A ，并平行于斜面向上绕过光滑的定滑轮，另一端系住物体B ，物体A 恰好能沿斜面匀速上滑，如图(b ) 所示，求物体B 的质量．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8)
(a ) (b )
图23
学案9 受力分析 共点力的平衡
【课前双基回扣】 1．BD
2．D [三力满足|F 1－F 2|≤F 3≤|F 1＋F 2|合力就可能为零，即做匀速直线运动．] 3．ACD
4.B
5．C [对m 进行分析可知，M 对m 向右上的支持力大小为F ＝的斜向下的力为F ＝
mg
sin α
，从而可知m 对M
对M 进行分析可知，墙壁对M 有向右的支持力大小等于F sin α
的水平分量，即mg cot α.]
6．C [对a 、b 整体，合外力为零，故水平面与b 之间无摩擦力，否则无法平衡，D 错；由竖直方向受力平衡可知两个力F 的竖直分量平衡，故地面对b 的支持力等于2mg ，B 错；对a 采用隔离法分析，受到竖直向上的b 对a 的支持力、竖直向下的重力、水平向左的摩擦力和力F 四个力的作用，摩擦力不可能为零，否则a 不能平衡，由竖直方向受力平衡条件知b 对a 的支持力小于a 的重力mg ，A 错、C 对．] 思维提升
1．注意区分速度为零与受力平衡，物体处于平衡状态时，加速度为零，速度可以为零，可以不为零；反之，物体速度为零，若加速度不为零，也不平衡． 2．平衡条件的推论：
(1)二力平衡时，两力必大小相等，方向相反．
(2)三力平衡时，三力必共面，且任两力的合力与第三个力大小相等、方向相反． (3)多力平衡时，任何一个力与其余力的合力大小相等、方向相反．
3．整体法与隔离法是进行受力分析的常用方法．对于不能直接确定的力，经常用假设法．
【核心考点突破】 例1 B [B 共受四个力作用而平衡，其中A 对B 有两个作用力，且该二力合力方向竖直向下(如图乙所示) ，由牛顿第三定律知，B 对A 亦有两个作用力，且其合力方向竖直向上，由平衡条件可知，墙对A 无弹力作用，由摩擦力产生的条件可知，墙对A 亦无摩擦力；
也可以用整体法判断墙与A 间有无作用力：
mg
对A 、B 整体，由平衡条件知，墙对A 无弹力作用，因为水平方向合力为零，若有弹力，无其他力与其平衡．假设墙与A 间无摩擦力，则A 、B 亦能得平衡，即A 与墙之间没有相对滑动趋势，所以墙对A 无摩擦力，因此，A 共受三个力作用(如图甲所示) ．]
[规范思维] 两物体接触面间不一定存在弹力，有弹力也不一定有摩擦力，但有摩擦力就一定有弹力．接触面间是否有弹力和摩擦力，要结合物体运动状态，利用物理规律和假设法或转换研究对象做出判断．假设此力存在并设明方向，再利用平衡条件或牛顿第二定律列式即可判断． 例
2 A
[对小滑块受力分析如图所示．根据三角函数可得F ＝ F N ＝F 合＝ 故
tan θsin θ
只有选项A 正确．]
[规范思维] 本题可用直角三角形法求解，也可用正交分解法求解． 例
3
mg mg
B [对力的处理(求合力) 采用合成法，应用合力为零求解时采用图解法(画动态平行四边形法) ．作出力的平行四边形，如右图所示．由图可看出，F BC 先减小后增大．] [规范思维] 利用图解法解题的条件：(1)物体受三个力的作用而处于平衡状态．(2)一个力不变，另一个力的方向不变，第三个力的大小、方向均变化．
动态平衡的分析思路：①确定研究对象，经受力分析，画出受力分析图．②在同一幅图上，画出力变化时的矢量三角形，从而分析两力的变化． 例4 细线的拉力大小不变
解析 系统静止时，对A 球受力分析如图所示，将斥力F 和线的拉力F T 合成，合力与重力G 等大反向．
将力F T 平移后构成力的矢量三角形△AFP ，与长度间的几何三角形△BAO 相似． 根据对应边成比例可得：F T G
，
AO BO
所以力F T ＝·G .
AO BO
AO ，BO 长度不变，G 恒定，故F T 大小不变． 在α角逐渐减小的过程中，虽然△BAO 形状变化，但在α角确定的瞬间，仍然有△AFP
AO
∽△BAO ，F T ＝·G 仍成立．故细线的拉力大小不变．
BO
[规范思维] 在物体受三个力作用而平衡时，可以对物体分析受力后，作力的矢量三角形(即所作力的平行四边形的一半) ，寻找力的矢量三角形与几何三角形是否相似，若相似，可用本法．这类问题中的三角形往往不是或不能确定是直角三角形，不方便或不能用力的正交分解法求解．
sin θ－μcos θμcos θ＋sin θ例mg
μsin θ＋cos θcos θ－μsin θ
解析 因为μ
当物体恰好不下滑时，受力如图甲所示，有 mg sin θ＝F cos θ＋F f ，F f ＝μF N ， F N ＝mg cos θ＋F sin θ
sin θ－μcos θ
联立解得F ＝mg
μsin θ＋cos θ
当物体恰好不上滑时，受力如图乙所示，有 mg sin θ＋F f ＝F cos θ，F f ＝μF N ， F N ＝mg cos θ＋F sin θ
μcos θ＋sin θ
联立解得F ＝mg .
cos θ－μsin θ
[规范思维] 本题中物体受三个以上的力的作用，必须用正交分解法求解．正交分解法的技巧：选择x 、y 轴方向时，要使尽可能多的力落在坐标轴上，尽可能少分解力． 例6 (1)(M ＋m ) g (2)mg cot α
解析 (1)以两个正方体整体为研究对象，整体受到向上的支持力和向下的重力，处于静止状态
所以水平面对正方体M 的弹力大小为F N ＝(M ＋m ) g . (2)对正方体m 进行受力分析如右图所示．
把F N2沿水平方向和竖直方向分解有F N2cos α＝F N1 F N2sin α＝mg 解得F N1＝mg cot α.
[规范思维] 灵活地选取研究对象可以使问题简化．对加速度相同的几个物体或处于平衡状态的几个物体，如果不计算它们间的内力，则优先考虑整体法；单独求某个物体的受力时，一般采用隔离法． [针对训练]
1．C [P 受重力、斜面的支持力、弹簧的弹力、Q 对P 的压力及斜面对P 的摩擦力，共5个力．]
2．A [分析物体的受力情况如图．三棱柱受重力、斜面的支持力和摩擦力的共同作用
31
而静止，故F N ＝mg cos θ＝mg ，F f ＝mg sin θ＝mg ，
A 选项正确．]
22
3．AC [将(m 1＋m 2) 看作一个整体，在竖直方向，F sin θ＋F N ＝(m 1＋m 2) g ，在水平方向，F cos θ＝F f ，故选项A 、C 正确．] 4．A
【课时效果检测】
1．B 2.BC 3．
B
[对B 物进行受力分析如图所示，B 处于平衡态，由图可知
m B g m A 1
＝cos θ，所以＝，m A g m B cos θ
B 正确．]
4．AC 5.BD 6.C 7.C
8．A [绳AB 中的张力为m 1g ，m 2对小圆环A 的拉力为m 2g ，大圆环对小圆环A 的弹力沿大圆环半径向外，因为小圆环A 静止不动，故绳AB 对小圆环的拉力与m 2对小圆环的拉力的合力沿大圆环半径方向指向圆心O ，由几何关系可知，选项A 正确．]
13M 9．(1)＋mg 方向竖直向下 (2)
23 M ＋2m
解析 (1)以木块M 和两个小环作为整体进行受力分析，由平衡条件得2F N ＝(M ＋2m ) g ，
1
即F N ＝＋mg
2
1
由牛顿第三定律知小环对杆的压力F N ′＝Mg ＋mg ，方向竖直向下．
2
(2)对M 受力分析由平衡条件得2F T cos 30°＝Mg
′
临界状态，小环受到的静摩擦力达到最大值，则有F T sin 30°＝μF N
3M
解得，动摩擦因数μmin ＝.
3 M ＋2m
10．1.2
m
解析 当物体A 沿斜面匀速下滑时，受力图如图甲，沿斜面方向的合力为0，有
F f ＝mg sin θ
当物体A 沿斜面匀速上滑时，受力图如图乙，A 物体所受摩擦力大小不变，方向沿斜面向下，沿斜面方向的合力仍为0，有F T A ＝F f ′＋mg sin θ 对物体B F T B ＝m B g
由牛顿第三定律可知 F T A ＝F T B 由以上各式求出 m B ＝1.2m .
易错点评
1．进行受力分析时，一般是分析性质力，而不分析效果力；此外，分力与合力也不能同时进行分析．这样做可防止多力或漏力．
2．对于三力平衡问题，一般是根据推论利用合成法或分解法求解．
3．对于多力平衡问题，一般用正交分解法，用此法时，坐标轴不一定水平与竖直，应根据具体情况灵活选取．
4．若不涉及物体间内部相互作用，一般用整体法，即以整体为对象；反之，若研究物体间内部的相互作用，则要用隔离法，选对象的原则是受力较少的隔离体．