DOI :10. 16088/j . i ssn . 1001-6600. 2000. 02. 004
第18卷 第2期
2000年6月广西师范大学学报(自然科学版) Vol . 18 No . 2JOURNAL OF GUANGXI NORMAL UNI VERSITY June 2000
一、二、三维氢原子能级及其斯塔克效应的研究
李作春
(南宁地区教育学院物理系, 广西南宁530001)
摘 要:讨论了一维、二维氢原子的能级特点及研究了在弱均匀外电场中能级的分裂情况, 并将它们与三维氢原子进行比较, 可以看出一维、二维、三维氢原子的能级及其斯塔克效应有许多不同之处. 从对称性的角度讨论了能级简并被解除的原因.
关键词:一维、二维、三维氢原子; 能级; 斯塔克效应
分类号:O413 文献标识码:A 文章编号:1001-6600(2000) 02-0015-05
氢原子是最简单的原子, 在量子力学建立的初期, 已对它进行了广泛深入的研究. 近10多年来, 人们又对一、二维氢原子进行了研究, 了解到它们的一些性质. 所有这些研究表明, 一、二、三维氢原子有许多不同的性质, 置于外场中其状态及能级所发生的变化也各有其特点. 本文对其能级和斯塔克效应进行研究和讨论.
1 三维、二维、一维氢原子的能级及其简并性
1. 1 三维氢原子的能级公式及其波函数
三维氢原子的能级公式及其波函数在量子力学教科书中都有详细的研究和讨论[1, 2], 通过求解定态薛定谔方程, 可以得到能级:
E n 2 (n =1, 2, …) 2an
和波函数:
ψR nl (r ) Y lm (θ, φ) nl m =
其中R nl (r ) 为径向波函数, Y l m (θ, φ) 为球谐函数, a 为波尔半径.
由于对应于E n 的波函数ψnl m (r , θ, φ) 在给定n 后, l 可取l =0, 1, 2, …, n -1等共n 个值; 而且对应一个l , m 还可以取m =0, ±1, ±2, …,±l 等共(2l +1) 个值. l , m 不同, 波函数(2) 式也就不同, 因此, 对应于第n 个能级E n 有l ∑(2l +1) =n 2个波函数, 电子第n 个能级是n 2度简并的. =1
1. 2 二维氢原子的能级公式及其波函数
二维氢原子的定态薛定谔方程为
22( ) ψ(r ) =E ψ(r ) 2m r n -12(1) (2) (3)
[4][5]式中m 为约化质量, k =ze , 通过在平面极坐标(ζ, φ) 、平面抛物线坐标(ζ, η) 或其他方法
得到其能级和定态波函数分别为
收稿日期:1999 12 05
作者简介:李作春(1963—), 男, 广西宁明人, 南宁地区教育学院讲师2[3]可以
16 广西师范大学学报(自然科学版) 第18卷
E l (l =0, 1, 2, …) 22a (l 2
i m θψr , θ) =R lm (r e (m =0, ±1, ±2, …, ±l ) l m (2π
其中径向波函数
βl m R lm (r ) e -βl r /2·(βl r ) F (-l + m , 2 m +1, βl r ) (2 m ) ! (1- m ) ! (2l +1) 2(4) (5) (6) 2
参数βl =1/(2l +1) a , F 为合流超几何函数. 从上可知基态能级E 0无简并, 给定l , m 可取(2l a
+1) 个值, 所以激发态能级是(2l +1) 度简并的.
1. 3 一维氢原子能级公式及其波函数
类似于上面求解三维、二维氢原子定态问题, 可以得到一维氢原子的定态问题的能级公式和波函数[6].
E n (n =0, 1, 2, …) 2an
2(7) 基态能级E 0=-∞,对应波函数ψx ) =[δ(x ) ], 无简并. 对应一个激发态能级E n , 可构造偶、奇宇0(
称波函数各一个x F (1-n , 2,
+φx ) =ψx ) 1(n ((n =1, 2, …) -na -xF (1-n , 2, na ) e , x
+ψx ) , x >0n (
+-ψx ) , x 0na (8) φx ) =ψx ) 2(n (- (n =1, 2, …) (9)
因此, 激发态能级是二重简并的.
2 一、二、三维氢原子置于弱均匀电场中的斯塔克效应
2. 1 三维氢原子能级分裂数据
如前所述, 三维氢原子能级是n 2度简并的, 置于弱外电场中, 能级要发生分裂, 简并部分解除. 用
0) 微扰理论可算出基态能级一级修正E (0, 所以基态能级不分裂, 也不移动。用简并微扰理论可计算1=
其处于弱电场中的激发态能级一级修正, 从而得到能级分裂情况, 具体数据见文献[1, 2].
第一激发态(n =2) , 能级一级修正
E 21=3e εa , E 22=-3e εa , E 23=E 24=0.
分裂后的能级
222
E 21+3e εa , E 22-3e εa , E 23=E 248a 8a 8a
第二激发态(n =3) 能级一级修正
1) 1) 1) 1) 1) E (0, E (9e εa , E (9e εa , E (a , E (a . 31=32=33=-34e ε35e ε22
分裂后能级E 31, E 32+9e εa , E 33-9e εa , E 34e εa , E 35e εa . 18a 18a 18a 18a 218a 222222(1) (1) (1) (1)
第2期 李作春:一、二、三维氢原子能级及其斯塔克效应的研究 17
2. 2 二维氢原子能级分裂数据
由于二维氢原子能级是(2l +1) 度简并的, 当置于弱外电场中, 用微扰理论可算出基态能级一级修正为零, 说明基态能级不发生移动; 还可算出激发态能级一级修正, 得到能级分裂情况, 具体数据如下[7]:
(1) (1) (1) 第一激发态(l =1, m =0, ±1) 能级的一级修正E 10=0, E 114, E 1-14
分裂后的能级
222E 11, E 12, E 139a 9a 49a 4
(1) 1) ) 第二激发态(l =2, m =0, ±1, ±2) 能级一级修正E (0, E (, E 2120=2±1±242
分裂后的能级
22222E 2125a , E 2225a 4, E 2325a 4, E 2425a 2, E 2525a 22. 3 一维氢原子能级分裂数据
由于一维氢原子基态能级是非简并的, 当置于弱均匀外电场中时, 用非简并的定态微扰理论得到基态能级的一级修正为零, 说明在外电场中基态能级不发生分裂, 而一维氢原子激发态能级是二重简并的, 用简并的定态微扰理论来求得能级的一级修正, 具体数据见文献[8].
第一激发态能级一级修正(n =1)
1) 22E (e εa 14分裂后的能级
2424E 112a 4e εa , E 122a 4e εa .
第二激发态(n =2) 能量一级修正
1) E (24e εa 4. 2=±23e εa 4. 4分裂后的能级
224E 21+24e εa , E 22-24e εa 4. 8a 8a
3 讨 论
由以上数据看到, 一、二、三维氢原子各激发态能级简并度不同, 一维是二重简并的, 二维是(2l +1) 度简并, 三维是n 2度简并; 三维氢原子能级简并度最高, 一维氢原子简并度最低. 例如, 第三激发态, 三维氢原子简并度为9, 二维氢原子简并度为7, 一维氢原子简并度为2. 能级简并度不同, 与势场的对称性有关. 在直角坐标系中, 三维氢原子势场关于x , y , z 轴对称; 二维氢原子势场关于x , y 轴对称, 而一维氢原子势场仅关于x 轴对称. 可见, 对称性越高, 简并度越大.
加入外电场后, 一维、二维对称性完全被破坏, 所以简并能级在一级近似下被完全解除; 三维氢原子对称性只是部分受到破坏, 所以三维氢原子能级简并性只部分解除.
将能级及其分裂数据作图, 如图1. 从能级分裂图比较可看出, 一维氢原子激发态都分裂成两个能级, 对二维、三维氢原子第二和第三激发态能级分裂的条数相同, 均等于(2l +1) . 而二维氢原子是(2l +
1) 度简并的, 故二维氢原子的简并完全解除; 三维氢原子是n 2=l ∑(2l +1) 度简并, 比能级分裂的条数=0
, n -1
18 广西师范大学学报(自然科学版) 第18卷
图1 能级及其分裂图
从能级分裂宽度来比较, 三维氢原子第一、第二激发态能级分裂宽度分别为
ΔE 13=3e εa , ΔE 23e εa . 2
二维氢原子第一、第二激发态能级分裂宽度分别为
ΔE 12e εa , ΔE 22e εa . 44
一维氢原子第一、第二激发态能级分裂宽度分别为
ΔE 11e εa 4, ΔE 12=48e εa 4. 2
所以我们看到同一激发态, 三维氢原子能级分裂宽度最大, 二维次之. 由于a =0. 51×10-10m 1, 所以同一激发态一维氢原子能级分裂的宽度要比二、三维氢原子能级分裂宽度小得多.
2从以上的讨论可以看到, 一、二、三维氢原子都具有形式的势, 但由于其对称性有高低, 使得其r
状态有许多不同之处, 当它们置于弱均匀电场中时, 产生的效应也多有其特点, 特别是对于一、二维氢原子的性质尚有许多值得研究的问题, 下一步我们将对它们作深入的研究.
参考文献
1 曾谨言. 量子力学[M ]. 北京:科学出版社, 1981. 218～219, 313～316
2 周世勋. 量子力学教程[M ]. 北京:人民教育出版社, 1979. 68～75, 140～143
3 曾谨言等. 二维氢原子[J ].大学物理, 1988, 3:1
4 李元勋. 抛物线坐标系中的二维氢原子及其Runge -Lenz 矢量[J ]. 大学物理, 1997, 4:5
5[J , , :12
第2期 李作春:一、二、三维氢原子能级及其斯塔克效应的研究 196 钱伯初. 一维氢原子的束缚态[J ].大学物理, 1989, 7:5
7 邵 彬, 王荣瑶. 二维氢原子的斯塔克效应[J ].大学物理, 1995, 14(2) :9～11
8 李 珏. 一维氢原子的斯塔克效应[J ].大学物理, 2000, 19(3) :11～13
STUDIES ON ENERGY LEVEL S AND THEIR STARK EFFECTS FOR
HYDROGEN ATOM WITH ONE , TWO , OR THREE DIMENSIONS
LI Zuo -chun
(Department of Physics , Pedagogical Institude of Nanning , Nanning 530001China )
A bstract :Characteristics of hydrogen atom with one or two , dimensions and are discussed , the spliting of energy level in weak even electric field are studied , compared with the situations of three dimensions . It is concluded there are many differences between the two energy levels and their Stark effects of hydrogen atom with one and two dimensions respecively . The reasons of removing the ener gy combing are discussed from the view of symmetry .
Key words :one -dimensional hydrogen atom ; two -dimensional hydrogen atom ; three -dimensional respecively . dimen -sional hydr ogen atom ; energy level ; Stark effect
(责任编辑 李小玲)
声 明
为适应我国信息化建设需要, 扩大作者学术交流渠道, 本刊已加入《中国学术期刊(光盘版) 》和“中国期刊网”。作者著作权使用费与本刊稿酬一次性付给。如作者不同意将文章编入该数据库, 请在来稿时声明, 本刊将做适当处理。
广西师范大学学报编辑部
DOI :10. 16088/j . i ssn . 1001-6600. 2000. 02. 004
第18卷 第2期
2000年6月广西师范大学学报(自然科学版) Vol . 18 No . 2JOURNAL OF GUANGXI NORMAL UNI VERSITY June 2000
一、二、三维氢原子能级及其斯塔克效应的研究
李作春
(南宁地区教育学院物理系, 广西南宁530001)
摘 要:讨论了一维、二维氢原子的能级特点及研究了在弱均匀外电场中能级的分裂情况, 并将它们与三维氢原子进行比较, 可以看出一维、二维、三维氢原子的能级及其斯塔克效应有许多不同之处. 从对称性的角度讨论了能级简并被解除的原因.
关键词:一维、二维、三维氢原子; 能级; 斯塔克效应
分类号:O413 文献标识码:A 文章编号:1001-6600(2000) 02-0015-05
氢原子是最简单的原子, 在量子力学建立的初期, 已对它进行了广泛深入的研究. 近10多年来, 人们又对一、二维氢原子进行了研究, 了解到它们的一些性质. 所有这些研究表明, 一、二、三维氢原子有许多不同的性质, 置于外场中其状态及能级所发生的变化也各有其特点. 本文对其能级和斯塔克效应进行研究和讨论.
1 三维、二维、一维氢原子的能级及其简并性
1. 1 三维氢原子的能级公式及其波函数
三维氢原子的能级公式及其波函数在量子力学教科书中都有详细的研究和讨论[1, 2], 通过求解定态薛定谔方程, 可以得到能级:
E n 2 (n =1, 2, …) 2an
和波函数:
ψR nl (r ) Y lm (θ, φ) nl m =
其中R nl (r ) 为径向波函数, Y l m (θ, φ) 为球谐函数, a 为波尔半径.
由于对应于E n 的波函数ψnl m (r , θ, φ) 在给定n 后, l 可取l =0, 1, 2, …, n -1等共n 个值; 而且对应一个l , m 还可以取m =0, ±1, ±2, …,±l 等共(2l +1) 个值. l , m 不同, 波函数(2) 式也就不同, 因此, 对应于第n 个能级E n 有l ∑(2l +1) =n 2个波函数, 电子第n 个能级是n 2度简并的. =1
1. 2 二维氢原子的能级公式及其波函数
二维氢原子的定态薛定谔方程为
22( ) ψ(r ) =E ψ(r ) 2m r n -12(1) (2) (3)
[4][5]式中m 为约化质量, k =ze , 通过在平面极坐标(ζ, φ) 、平面抛物线坐标(ζ, η) 或其他方法
得到其能级和定态波函数分别为
收稿日期:1999 12 05
作者简介:李作春(1963—), 男, 广西宁明人, 南宁地区教育学院讲师2[3]可以
16 广西师范大学学报(自然科学版) 第18卷
E l (l =0, 1, 2, …) 22a (l 2
i m θψr , θ) =R lm (r e (m =0, ±1, ±2, …, ±l ) l m (2π
其中径向波函数
βl m R lm (r ) e -βl r /2·(βl r ) F (-l + m , 2 m +1, βl r ) (2 m ) ! (1- m ) ! (2l +1) 2(4) (5) (6) 2
参数βl =1/(2l +1) a , F 为合流超几何函数. 从上可知基态能级E 0无简并, 给定l , m 可取(2l a
+1) 个值, 所以激发态能级是(2l +1) 度简并的.
1. 3 一维氢原子能级公式及其波函数
类似于上面求解三维、二维氢原子定态问题, 可以得到一维氢原子的定态问题的能级公式和波函数[6].
E n (n =0, 1, 2, …) 2an
2(7) 基态能级E 0=-∞,对应波函数ψx ) =[δ(x ) ], 无简并. 对应一个激发态能级E n , 可构造偶、奇宇0(
称波函数各一个x F (1-n , 2,
+φx ) =ψx ) 1(n ((n =1, 2, …) -na -xF (1-n , 2, na ) e , x
+ψx ) , x >0n (
+-ψx ) , x 0na (8) φx ) =ψx ) 2(n (- (n =1, 2, …) (9)
因此, 激发态能级是二重简并的.
2 一、二、三维氢原子置于弱均匀电场中的斯塔克效应
2. 1 三维氢原子能级分裂数据
如前所述, 三维氢原子能级是n 2度简并的, 置于弱外电场中, 能级要发生分裂, 简并部分解除. 用
0) 微扰理论可算出基态能级一级修正E (0, 所以基态能级不分裂, 也不移动。用简并微扰理论可计算1=
其处于弱电场中的激发态能级一级修正, 从而得到能级分裂情况, 具体数据见文献[1, 2].
第一激发态(n =2) , 能级一级修正
E 21=3e εa , E 22=-3e εa , E 23=E 24=0.
分裂后的能级
222
E 21+3e εa , E 22-3e εa , E 23=E 248a 8a 8a
第二激发态(n =3) 能级一级修正
1) 1) 1) 1) 1) E (0, E (9e εa , E (9e εa , E (a , E (a . 31=32=33=-34e ε35e ε22
分裂后能级E 31, E 32+9e εa , E 33-9e εa , E 34e εa , E 35e εa . 18a 18a 18a 18a 218a 222222(1) (1) (1) (1)
第2期 李作春:一、二、三维氢原子能级及其斯塔克效应的研究 17
2. 2 二维氢原子能级分裂数据
由于二维氢原子能级是(2l +1) 度简并的, 当置于弱外电场中, 用微扰理论可算出基态能级一级修正为零, 说明基态能级不发生移动; 还可算出激发态能级一级修正, 得到能级分裂情况, 具体数据如下[7]:
(1) (1) (1) 第一激发态(l =1, m =0, ±1) 能级的一级修正E 10=0, E 114, E 1-14
分裂后的能级
222E 11, E 12, E 139a 9a 49a 4
(1) 1) ) 第二激发态(l =2, m =0, ±1, ±2) 能级一级修正E (0, E (, E 2120=2±1±242
分裂后的能级
22222E 2125a , E 2225a 4, E 2325a 4, E 2425a 2, E 2525a 22. 3 一维氢原子能级分裂数据
由于一维氢原子基态能级是非简并的, 当置于弱均匀外电场中时, 用非简并的定态微扰理论得到基态能级的一级修正为零, 说明在外电场中基态能级不发生分裂, 而一维氢原子激发态能级是二重简并的, 用简并的定态微扰理论来求得能级的一级修正, 具体数据见文献[8].
第一激发态能级一级修正(n =1)
1) 22E (e εa 14分裂后的能级
2424E 112a 4e εa , E 122a 4e εa .
第二激发态(n =2) 能量一级修正
1) E (24e εa 4. 2=±23e εa 4. 4分裂后的能级
224E 21+24e εa , E 22-24e εa 4. 8a 8a
3 讨 论
由以上数据看到, 一、二、三维氢原子各激发态能级简并度不同, 一维是二重简并的, 二维是(2l +1) 度简并, 三维是n 2度简并; 三维氢原子能级简并度最高, 一维氢原子简并度最低. 例如, 第三激发态, 三维氢原子简并度为9, 二维氢原子简并度为7, 一维氢原子简并度为2. 能级简并度不同, 与势场的对称性有关. 在直角坐标系中, 三维氢原子势场关于x , y , z 轴对称; 二维氢原子势场关于x , y 轴对称, 而一维氢原子势场仅关于x 轴对称. 可见, 对称性越高, 简并度越大.
加入外电场后, 一维、二维对称性完全被破坏, 所以简并能级在一级近似下被完全解除; 三维氢原子对称性只是部分受到破坏, 所以三维氢原子能级简并性只部分解除.
将能级及其分裂数据作图, 如图1. 从能级分裂图比较可看出, 一维氢原子激发态都分裂成两个能级, 对二维、三维氢原子第二和第三激发态能级分裂的条数相同, 均等于(2l +1) . 而二维氢原子是(2l +
1) 度简并的, 故二维氢原子的简并完全解除; 三维氢原子是n 2=l ∑(2l +1) 度简并, 比能级分裂的条数=0
, n -1
18 广西师范大学学报(自然科学版) 第18卷
图1 能级及其分裂图
从能级分裂宽度来比较, 三维氢原子第一、第二激发态能级分裂宽度分别为
ΔE 13=3e εa , ΔE 23e εa . 2
二维氢原子第一、第二激发态能级分裂宽度分别为
ΔE 12e εa , ΔE 22e εa . 44
一维氢原子第一、第二激发态能级分裂宽度分别为
ΔE 11e εa 4, ΔE 12=48e εa 4. 2
所以我们看到同一激发态, 三维氢原子能级分裂宽度最大, 二维次之. 由于a =0. 51×10-10m 1, 所以同一激发态一维氢原子能级分裂的宽度要比二、三维氢原子能级分裂宽度小得多.
2从以上的讨论可以看到, 一、二、三维氢原子都具有形式的势, 但由于其对称性有高低, 使得其r
状态有许多不同之处, 当它们置于弱均匀电场中时, 产生的效应也多有其特点, 特别是对于一、二维氢原子的性质尚有许多值得研究的问题, 下一步我们将对它们作深入的研究.
参考文献
1 曾谨言. 量子力学[M ]. 北京:科学出版社, 1981. 218～219, 313～316
2 周世勋. 量子力学教程[M ]. 北京:人民教育出版社, 1979. 68～75, 140～143
3 曾谨言等. 二维氢原子[J ].大学物理, 1988, 3:1
4 李元勋. 抛物线坐标系中的二维氢原子及其Runge -Lenz 矢量[J ]. 大学物理, 1997, 4:5
5[J , , :12
第2期 李作春:一、二、三维氢原子能级及其斯塔克效应的研究 196 钱伯初. 一维氢原子的束缚态[J ].大学物理, 1989, 7:5
7 邵 彬, 王荣瑶. 二维氢原子的斯塔克效应[J ].大学物理, 1995, 14(2) :9～11
8 李 珏. 一维氢原子的斯塔克效应[J ].大学物理, 2000, 19(3) :11～13
STUDIES ON ENERGY LEVEL S AND THEIR STARK EFFECTS FOR
HYDROGEN ATOM WITH ONE , TWO , OR THREE DIMENSIONS
LI Zuo -chun
(Department of Physics , Pedagogical Institude of Nanning , Nanning 530001China )
A bstract :Characteristics of hydrogen atom with one or two , dimensions and are discussed , the spliting of energy level in weak even electric field are studied , compared with the situations of three dimensions . It is concluded there are many differences between the two energy levels and their Stark effects of hydrogen atom with one and two dimensions respecively . The reasons of removing the ener gy combing are discussed from the view of symmetry .
Key words :one -dimensional hydrogen atom ; two -dimensional hydrogen atom ; three -dimensional respecively . dimen -sional hydr ogen atom ; energy level ; Stark effect
(责任编辑 李小玲)
声 明
为适应我国信息化建设需要, 扩大作者学术交流渠道, 本刊已加入《中国学术期刊(光盘版) 》和“中国期刊网”。作者著作权使用费与本刊稿酬一次性付给。如作者不同意将文章编入该数据库, 请在来稿时声明, 本刊将做适当处理。
广西师范大学学报编辑部