高中数学第八章-圆锥曲线方程
考试内容：
椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程． 双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质． 抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质． 考试要求：
（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． §08. 一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
PF 1+PF 2=2a F 1F 2方程为椭圆, PF 1+PF 2=2a F 1F 2无轨迹,
PF 1+PF 2=2a =F 1F 2F 1, F 2为端点的线段
圆锥曲线方程 知识要点
⑴①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x 轴上：
y 2a 2
+x 2b 2
=1(a b 0) .
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a b 0) . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：
2
②一般方程：Ax +By =1(A 0, B 0) . ③椭圆的标准参数方程：
⎧x =a cos θπ
（一象限θ应是属于0 θ ）. ⎨
2⎩y =b sin θ
2
x 2a
2
+
y 2b
2
=1的参数方程为
⑵①顶点：(±a , 0)(0, ±b ) 或(0, ±a )(±b , 0) . ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长2a ，短轴长2b . ③焦点：(-c , 0)(c , 0) 或(0, -c )(0, c ) . ④焦距：F 1F 2=2c , c =a -b
a 2c
y =±. ⑥离心率：e =(0 e 1) . ⑦焦点半径：
c a
2
2
a 2
. ⑤准线：x =±或
c
i. 设P (x 0, y 0) 为椭圆
x 2a
2
+
y 2b
2
PF 1=a =1(a b 0) 上的一点，F 1, F 2 +ex 0, PF 2=a -ex 0⇒
由椭圆方程的第二定义可以推出. ii. 设P (x 0, y 0) 为椭圆
x 2b
2
+
y 2a
2
PF 1 =a +ey 0, PF 2=a -ey 0⇒=1(a b 0) 上的一点，F 1, F 2
由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知：pF 1=e (x 0+a ) =a +ex 0(x 0 0), pF 2=e (a -x 0) =ex 0-a (x 0 0) 归结起来为
c
c
2
2
“左加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得N (a cos θ, b sin θ) →方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经. 坐标：d =⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆程
x 2a 2
+y 2b 2
2b 2a 2
b 2b 2
(-c , ) 和(c , )
a a
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a b 0) 的离心率是e =
c
(c =a 2-b 2) ，方a
=t (t 是大于0的参数，a b 0) 的离心率也是e =
c
我们称此方程为共离心率的a
椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：b 2tan
x 2a
2
+
y 2b
2
=1上的点. F 1, F 2为焦点，若∠F 1PF 2=θ，则∆PF 1F 2的面积为
θ2
（用余弦定理与PF 1+PF 2=2a 可得）. 若是双曲线，则面积为b 2⋅cot
θ2
.
二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义：
PF 1-PF 2=2a F 1F 2方程为双曲线PF 1-PF 2=2a F 1F 2无轨迹
α) , asin α)
N 的轨迹是椭圆
PF 1-PF 2=2a =F 1F 2F 1, F 2的一个端点的一条射线
⑴①双曲线标准方程：Ax 2+Cy 2=1(AC 0) .
x 2a 2
-
y 2b 2
=1(a , b 0),
y 2a 2
-
x 2b 2
=1(a , b 0) . 一般方程：
⑵①i. 焦点在x 轴上：
a 2x y
顶点：(a , 0), (-a , 0) 焦点：(c , 0), (-c , 0) 准线方程x =± 渐近线方程：±=0或
c a b
x 2a 2
-
y 2b 2
=0
a 2
ii. 焦点在y 轴上：顶点：(0, -a ), (0, a ) . 焦点：(0, c ), (0, -c ) . 准线方程：y =±. 渐近线
c
⎧x =a sec θ⎧x =b tan θy 2x 2y x
方程：±=0或2-2=0，参数方程：⎨或⎨ .
y =b tan θy =a sec θa b a b ⎩⎩
2a 2c
②轴x , y 为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率e =. ④准线距
c a 2b 2c
（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系c 2=a 2+b 2, e =. ⑥焦点半径公式：对于双曲
a a
线方程
x 2a 2
-
y 2b 2
=1（F 1, F 2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则： MF 1=ex 0+a MF 2=ex 0-a
构成满足MF 1-MF 2=2a
M 'F 1=-ex 0-a M 'F 2=-ex 0+a
（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半
MF 1=ey 0-a MF 2=ey 0+a
'
'
M 'F 1=-ey 0+a
M 'F 2=-ey 0-a
⑶等轴双曲线：双曲线x 2-y 2=±a 2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y =±x ，离心率e =2. ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭
x 2y 2x 2y 2x 2y 2
双曲线. 2-2=λ与2-2=-λ互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：2-2=0.
a b a b a b
⑸共渐近线的双曲线系方程：
x 2a 2
-
y 2b 2
=λ(λ≠0) 的渐近线方程为
2
2
x 2a 2
-
y 22
=0如果双曲线的
y x x y
渐近线为±=0时，它的双曲线方程可设为2-2=λ(λ≠0) .
a b a b
例如：若双曲线一条渐近线为y =
2
11
x 且过p (3, -) 22
2
2
解：令双曲线的方程为：
y x 1x
-=1-y 2=λ(λ≠0) ，代入(3, -) 得8224
⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐“∆”近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P 在双曲线离比为m ︰n.
x 2a
2
-
y 2b
2
=1，则常用结论1：P 到焦点的距离为m = n ，则P 到两准线的距
PF 1
简证：
d 1m = = . d 2PF 2n
e
常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
三、抛物线方程.
3. 设p 0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
2
4ac -b 2b
-) . 注：①ay +by +c =x 顶点(
4a 2a
②y 2=2px (p ≠0) 则焦点半径PF =x +P ; x 2=2py (p ≠0) 则焦点半径为PF =y +P .
2
2
③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.
⎧x =2pt 2⎧x =2pt
④y =2px （或x =2py ）的参数方程为⎨（或⎨）（t 为参数）. 2
y =2pt y =2pt ⎩⎩
2
2
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹. 当0 e 1时，轨迹为椭圆； 当e =1时，轨迹为抛物线； 当e 1时，轨迹为双曲线； 当e =0时，轨迹为圆（e =
c
，当c =0, a =b 时）. a
5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.
因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.
注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线
5. 方程y 2=ax与x 2=ay的焦点坐标及准线方程. 6. 共渐近线的双曲线系方程.
高中数学第八章-圆锥曲线方程
考试内容：
椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程． 双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质． 抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质． 考试要求：
（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． §08. 一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
PF 1+PF 2=2a F 1F 2方程为椭圆, PF 1+PF 2=2a F 1F 2无轨迹,
PF 1+PF 2=2a =F 1F 2F 1, F 2为端点的线段
圆锥曲线方程 知识要点
⑴①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x 轴上：
y 2a 2
+x 2b 2
=1(a b 0) .
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a b 0) . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：
2
②一般方程：Ax +By =1(A 0, B 0) . ③椭圆的标准参数方程：
⎧x =a cos θπ
（一象限θ应是属于0 θ ）. ⎨
2⎩y =b sin θ
2
x 2a
2
+
y 2b
2
=1的参数方程为
⑵①顶点：(±a , 0)(0, ±b ) 或(0, ±a )(±b , 0) . ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长2a ，短轴长2b . ③焦点：(-c , 0)(c , 0) 或(0, -c )(0, c ) . ④焦距：F 1F 2=2c , c =a -b
a 2c
y =±. ⑥离心率：e =(0 e 1) . ⑦焦点半径：
c a
2
2
a 2
. ⑤准线：x =±或
c
i. 设P (x 0, y 0) 为椭圆
x 2a
2
+
y 2b
2
PF 1=a =1(a b 0) 上的一点，F 1, F 2 +ex 0, PF 2=a -ex 0⇒
由椭圆方程的第二定义可以推出. ii. 设P (x 0, y 0) 为椭圆
x 2b
2
+
y 2a
2
PF 1 =a +ey 0, PF 2=a -ey 0⇒=1(a b 0) 上的一点，F 1, F 2
由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知：pF 1=e (x 0+a ) =a +ex 0(x 0 0), pF 2=e (a -x 0) =ex 0-a (x 0 0) 归结起来为
c
c
2
2
“左加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得N (a cos θ, b sin θ) →方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经. 坐标：d =⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆程
x 2a 2
+y 2b 2
2b 2a 2
b 2b 2
(-c , ) 和(c , )
a a
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a b 0) 的离心率是e =
c
(c =a 2-b 2) ，方a
=t (t 是大于0的参数，a b 0) 的离心率也是e =
c
我们称此方程为共离心率的a
椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：b 2tan
x 2a
2
+
y 2b
2
=1上的点. F 1, F 2为焦点，若∠F 1PF 2=θ，则∆PF 1F 2的面积为
θ2
（用余弦定理与PF 1+PF 2=2a 可得）. 若是双曲线，则面积为b 2⋅cot
θ2
.
二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义：
PF 1-PF 2=2a F 1F 2方程为双曲线PF 1-PF 2=2a F 1F 2无轨迹
α) , asin α)
N 的轨迹是椭圆
PF 1-PF 2=2a =F 1F 2F 1, F 2的一个端点的一条射线
⑴①双曲线标准方程：Ax 2+Cy 2=1(AC 0) .
x 2a 2
-
y 2b 2
=1(a , b 0),
y 2a 2
-
x 2b 2
=1(a , b 0) . 一般方程：
⑵①i. 焦点在x 轴上：
a 2x y
顶点：(a , 0), (-a , 0) 焦点：(c , 0), (-c , 0) 准线方程x =± 渐近线方程：±=0或
c a b
x 2a 2
-
y 2b 2
=0
a 2
ii. 焦点在y 轴上：顶点：(0, -a ), (0, a ) . 焦点：(0, c ), (0, -c ) . 准线方程：y =±. 渐近线
c
⎧x =a sec θ⎧x =b tan θy 2x 2y x
方程：±=0或2-2=0，参数方程：⎨或⎨ .
y =b tan θy =a sec θa b a b ⎩⎩
2a 2c
②轴x , y 为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率e =. ④准线距
c a 2b 2c
（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系c 2=a 2+b 2, e =. ⑥焦点半径公式：对于双曲
a a
线方程
x 2a 2
-
y 2b 2
=1（F 1, F 2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则： MF 1=ex 0+a MF 2=ex 0-a
构成满足MF 1-MF 2=2a
M 'F 1=-ex 0-a M 'F 2=-ex 0+a
（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半
MF 1=ey 0-a MF 2=ey 0+a
'
'
M 'F 1=-ey 0+a
M 'F 2=-ey 0-a
⑶等轴双曲线：双曲线x 2-y 2=±a 2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y =±x ，离心率e =2. ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭
x 2y 2x 2y 2x 2y 2
双曲线. 2-2=λ与2-2=-λ互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：2-2=0.
a b a b a b
⑸共渐近线的双曲线系方程：
x 2a 2
-
y 2b 2
=λ(λ≠0) 的渐近线方程为
2
2
x 2a 2
-
y 22
=0如果双曲线的
y x x y
渐近线为±=0时，它的双曲线方程可设为2-2=λ(λ≠0) .
a b a b
例如：若双曲线一条渐近线为y =
2
11
x 且过p (3, -) 22
2
2
解：令双曲线的方程为：
y x 1x
-=1-y 2=λ(λ≠0) ，代入(3, -) 得8224
⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐“∆”近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P 在双曲线离比为m ︰n.
x 2a
2
-
y 2b
2
=1，则常用结论1：P 到焦点的距离为m = n ，则P 到两准线的距
PF 1
简证：
d 1m = = . d 2PF 2n
e
常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
三、抛物线方程.
3. 设p 0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
2
4ac -b 2b
-) . 注：①ay +by +c =x 顶点(
4a 2a
②y 2=2px (p ≠0) 则焦点半径PF =x +P ; x 2=2py (p ≠0) 则焦点半径为PF =y +P .
2
2
③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.
⎧x =2pt 2⎧x =2pt
④y =2px （或x =2py ）的参数方程为⎨（或⎨）（t 为参数）. 2
y =2pt y =2pt ⎩⎩
2
2
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹. 当0 e 1时，轨迹为椭圆； 当e =1时，轨迹为抛物线； 当e 1时，轨迹为双曲线； 当e =0时，轨迹为圆（e =
c
，当c =0, a =b 时）. a
5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.
因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.
注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线
5. 方程y 2=ax与x 2=ay的焦点坐标及准线方程. 6. 共渐近线的双曲线系方程.