函数的单调性与最值
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
(2)如果函数y ＝f (x ) 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数
y ＝f (x ) 在这一区间具有(严格的) 单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x ) 的单调区间． 2．函数的最值
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1
(1)函数y ＝的单调递减区间是(－∞，0) ∪(0，＋∞) ．( )
x
(2)对于函数f (x ) ，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)·[f (x 1) －f (x 2) ]>0，则函数f (x ) 在D 上是增函数．( ) (3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( )
(4)函数y ＝f (x ) 在[1，＋∞) 上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞) ．( ) 1－x 2(5)函数y ＝的最大值为1.( )
1＋x
b
1．若函数y ＝ax 与y ＝－(0，＋∞) 上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞) 上是( )
x A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增
2x
2．函数f (x ) ＝在[1,2]的最大值和最小值分别是___________________________．
x ＋13．已知函数f (x ) ＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________．
题型一 函数单调性的判断
ax
例1 (1)判断函数f (x ) a >0)在x ∈(－1,1) 上的单调性． (2)求函数y x ＋x －6的单调区间．
x －1
思维升华 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论) 求解；②可导函数则可以利用导数解之． (2)复合函数y ＝f [g (x ) ]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u ) 与u ＝g (x ) 若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x ) ]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x ) ]必为减函数．
a
(1)判断函数f (x ) ＝x ＋a >0)在(0，＋∞) 上的单调性．（双勾函数，重难点函数）
x
题型二 利用单调性求参数范围
例2 (1)如果函数f (x ) ＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4) 上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) 1111
A ．a >－ B ．a C ≤a
4444
⎧(2-a )x +1, x
(2)已知f (x )=⎨2满足对任意x 1≠x 2，都有>0成立，那么a 的取值范围是
x －x 12
⎩ax , x ≥1
________．
思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
若f (x ) ＝－x 2＋2ax 与g (x ) ＝
a
在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) x ＋1
A ．(－1,0) ∪(0,1) B ．(－1,0) ∪(0,1] C ．(0,1) D．(0,1] 题型三 利用函数的单调性求最值
⎛x 1⎫
例3 已知定义在区间(0，＋∞) 上的函数f (x ) 满足f x ⎪⎪=f (x 1)-f (x 2)，且当x >1时，f (x )
⎝2⎭
(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x ) 为减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x ) 在[2,9]上的最小值． .
思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，f (x )x 2在所给区间内比较f (x 1) －f (x 2) 与0的大小，或与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1
f (x 2)x ＝x 2x 1＝x 2＋x 1－x 2等；(2)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图
x 2象法。
11
函数f (x ) ＝[a ，b ]上的最大值是1，最小值是，则a ＋b ＝________.
3x －1
利用函数的单调性解不等式
典例：(12分) 函数f (x ) 对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n ) ＝f (m ) ＋f (n ) －1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x ) 在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)
方法与技巧
1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断．
2．判断单调性的常用方法：定义法、图象法、导数法． 失误与防范
1．区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x ) 在区1
间(－1,0) 上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0) ∪(0,1)上却不一定是减函数如函数f (x ) ＝x
专项基础训练(时间：30分钟)
1．已知函数f (x ) ＝2ax 2＋4(a －3) x ＋5在区间(－∞，3) 上是减函数，则a 的取值范围是( ) 3333
A ．(0 B ．(0，] C ．[0，) D ．[0，]
44441
2．已知f (x ) 为R 上的减函数，则满足f ()>f (1)的实数x 的取值范围是( )
x
A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，0) ∪(0,1) D ．(－∞，0) ∪(1，＋∞)
⎧(a -3)x +5, x ≤1⎪
3．已知函数f (x )=⎨2a 是(－∞，＋∞) 上的减函数，那么a 的取值范围是( )
, x >1⎪⎩x
A ．(0,3) B ．(0,3] C ．(0,2) 4．已知函数f (x ) x －2x －3，则该函数的单调增区间为________．
5．已知函数f (x ) 为(0，＋∞) 上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3) ，则实数a 的取值范围为________． ax ＋1
6．设函数f (x ) ＝(－2，＋∞) 上是增函数，那么a 的取值范围是__________．
x ＋2a
x 2＋2x ＋a 1
7．已知函数f (x ) ＝x ∈[1，＋∞) ．(1)当a ＝时，求函数f (x ) 的最小值；
x 2(2)若对任意x ∈[1，＋∞) ，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．
D ．(0,2]
函数的单调性与最值
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
(2)如果函数y ＝f (x ) 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数
y ＝f (x ) 在这一区间具有(严格的) 单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x ) 的单调区间． 2．函数的最值
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1
(1)函数y ＝的单调递减区间是(－∞，0) ∪(0，＋∞) ．( )
x
(2)对于函数f (x ) ，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)·[f (x 1) －f (x 2) ]>0，则函数f (x ) 在D 上是增函数．( ) (3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( )
(4)函数y ＝f (x ) 在[1，＋∞) 上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞) ．( ) 1－x 2(5)函数y ＝的最大值为1.( )
1＋x
b
1．若函数y ＝ax 与y ＝－(0，＋∞) 上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞) 上是( )
x A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增
2x
2．函数f (x ) ＝在[1,2]的最大值和最小值分别是___________________________．
x ＋13．已知函数f (x ) ＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________．
题型一 函数单调性的判断
ax
例1 (1)判断函数f (x ) a >0)在x ∈(－1,1) 上的单调性． (2)求函数y x ＋x －6的单调区间．
x －1
思维升华 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论) 求解；②可导函数则可以利用导数解之． (2)复合函数y ＝f [g (x ) ]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u ) 与u ＝g (x ) 若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x ) ]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x ) ]必为减函数．
a
(1)判断函数f (x ) ＝x ＋a >0)在(0，＋∞) 上的单调性．（双勾函数，重难点函数）
x
题型二 利用单调性求参数范围
例2 (1)如果函数f (x ) ＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4) 上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) 1111
A ．a >－ B ．a C ≤a
4444
⎧(2-a )x +1, x
(2)已知f (x )=⎨2满足对任意x 1≠x 2，都有>0成立，那么a 的取值范围是
x －x 12
⎩ax , x ≥1
________．
思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
若f (x ) ＝－x 2＋2ax 与g (x ) ＝
a
在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) x ＋1
A ．(－1,0) ∪(0,1) B ．(－1,0) ∪(0,1] C ．(0,1) D．(0,1] 题型三 利用函数的单调性求最值
⎛x 1⎫
例3 已知定义在区间(0，＋∞) 上的函数f (x ) 满足f x ⎪⎪=f (x 1)-f (x 2)，且当x >1时，f (x )
⎝2⎭
(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x ) 为减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x ) 在[2,9]上的最小值． .
思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，f (x )x 2在所给区间内比较f (x 1) －f (x 2) 与0的大小，或与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1
f (x 2)x ＝x 2x 1＝x 2＋x 1－x 2等；(2)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图
x 2象法。
11
函数f (x ) ＝[a ，b ]上的最大值是1，最小值是，则a ＋b ＝________.
3x －1
利用函数的单调性解不等式
典例：(12分) 函数f (x ) 对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n ) ＝f (m ) ＋f (n ) －1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x ) 在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)
方法与技巧
1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断．
2．判断单调性的常用方法：定义法、图象法、导数法． 失误与防范
1．区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x ) 在区1
间(－1,0) 上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0) ∪(0,1)上却不一定是减函数如函数f (x ) ＝x
专项基础训练(时间：30分钟)
1．已知函数f (x ) ＝2ax 2＋4(a －3) x ＋5在区间(－∞，3) 上是减函数，则a 的取值范围是( ) 3333
A ．(0 B ．(0，] C ．[0，) D ．[0，]
44441
2．已知f (x ) 为R 上的减函数，则满足f ()>f (1)的实数x 的取值范围是( )
x
A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，0) ∪(0,1) D ．(－∞，0) ∪(1，＋∞)
⎧(a -3)x +5, x ≤1⎪
3．已知函数f (x )=⎨2a 是(－∞，＋∞) 上的减函数，那么a 的取值范围是( )
, x >1⎪⎩x
A ．(0,3) B ．(0,3] C ．(0,2) 4．已知函数f (x ) x －2x －3，则该函数的单调增区间为________．
5．已知函数f (x ) 为(0，＋∞) 上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3) ，则实数a 的取值范围为________． ax ＋1
6．设函数f (x ) ＝(－2，＋∞) 上是增函数，那么a 的取值范围是__________．
x ＋2a
x 2＋2x ＋a 1
7．已知函数f (x ) ＝x ∈[1，＋∞) ．(1)当a ＝时，求函数f (x ) 的最小值；
x 2(2)若对任意x ∈[1，＋∞) ，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．
D ．(0,2]