考 试 试 卷
一、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．y =x cos x ，则dy =．
2．若l i m x →∞x (x -1) (x -2) (x 3-) (2x -1) k =h >0，则k = ，h = .
3．设f(x)在x=a处可导, 则lim h →0
⎧1-cos 2x ⎪4．设f (x ) =⎨x 2
⎪k ⎩x ≠0x =0f (a +2h ) -f (a -h ) h ，当k = 时，f (x ) 连续；
5．y =2x -1
x -33的渐近线是
二、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．当x →∞时，下列函数为无穷小量的是 ( )
A ．ln (1+x ) B ．x 2+sin x C ．1
x sin x D ．arctan (2x -1) x 2．设f (x ) =
(A) ln ln x ，则f '(x ) =（ ） ln x x -ln ln x 1+lnln x x +ln ln x 1-lnln x (B) (C) (D) x ln 2x x ln 2x x ln 2x x ln 2x
3．函数f (x ) 在x =x 0处取得极大值，则必有（ ）。
（A ）f '(x 0) =0； （B ）f ''(x 0)
（C ）f '(x 0) =0或f '(x 0) 不存在； （D ）f '(x 0) =0且f ''(x 0)
4．方程x 5+5x +1=0在区间（0，1）内有（ ）个实根
(A) 2 (B) 3 (C) 1 (D) 0
5．设f (x ) 的一个原函数为sin x ，则⎰xf '(x ) dx =（ ）
(A) x cos x -sin x +c (B) x sin x -cos x +c
(C) x sin x -sin x +c (D) x cos x -cos x +c
三、计算题（本大题共7小题，每题7分，共49分）
1.
x →0
e x -e sin x 2. 求lim . x →0sin x (1-cos x )
⎧x =a (1-cos t ) d 2y 3. ⎨，求2. y =a sin t dx ⎩24. 求由方程2y -x =(x -y ) ln(x -y ) 所确定的函数y =y (x ) 的微分dy . 5. ⎰x 2+4x +5
. x 6
求⎰
7. 求⎰e x cos3xdx .
四、应用题（每题8分，共16分）
1 设某企业在生产一种商品x 件时总收益为R(x)=100x－x 2，总成本函数为C(x)=200+50x+x2, 问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得最大利润的情况下，总税额最大？
2 . 过点(1, 0) 向曲线y =x -2作切线，求切线与曲线所围成图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。
五、证明题（本题5分） .
x 3sin x >x - . 证明：当0
试卷评分标准（ A 卷 ）
课程编号： 0801301 课程名称： 高等数学
一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．x cos x (cos x 1. 3. 3f ' (a ) 4. -sin x ⋅ln x ) dx 2. k =4，h =x 16
5.
二. 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
C D C D A
三．、计算题（本大题共7小题，每题7分，共49分）
1.
解：2
2
x →0=x →0==lim x x →0
2x →0x =2
22
2. 解：原式=lim e sin x [e (x -sin x ) -1]
x →01=2lim x -sin x 1-cos x
3x →0x 3=2lim x →032 2x x
=2lim sin x
3x →02x =1
3
3. 解：dy a cos t d 2y -csc 2t
dx =a sin t =cot t dx 2=a sin t =-1
a csc 3t
4. 解：方程两边求微分： 2dy -dx =ln(x -y )(dx -dy ) +dx -dy
所以 dy =ln(x -y ) +2
ln(x -y ) +3dx
5. 解：原式=1d (x 2+4x +5)
2⎰x 2+4x +5-2⎰dx
x 2+4x +5 =1
2ln(x 2+4x +5) -2arctan(x +2) +C
6 解：原式
=2+c
7 解：I=11x 11x 1x x x =－=+e d sin 3x e sin 3x sin 3xe dx e sin 3x e d cos3x ⎰⎰⎰33339
111=… =e x sin 3x +e x sin 3x －⎰e x cos3xdx , 399
3e x sin 3x +e x cos3c 移项得I=+c。 10
四、应用题（每题8分，共16分）
1. 解：设每件征收的货物税为a,
L(x)=R(x) －C(x) －ax=100x－x 2－(200+50x+x2) －ax=－2x 2+(50－a) x －200
(50-a ) . 此时L(x)取得最大值. 税收为 4
a (50-a ) (50-2a ) 1 T =ax = . 令T ' ==0, 得a=25 .T " =-
a=25时T 取得最大值. 故征收货物税应为25 .
2. 解： y '=x -11 设切点为(x0 , y0) 则切线方程为 y = 2x 0-22x -2
x 0-1 2x 0-2 切点处有y 0=x 0-2 y 0 =
可得切点为 （3，1），切线方程为 y =
所求体积为 V= π
32*12- ⎰π(x -2) dx =23x -1 22πππ-= 326
五、证明题（每小题5分，共5分）
证明： f(x)=sinx-x+x3/6 f '(x)=cosx-1+x2/2 f "(x)=x-sinx>0 则 0f '(0)=0
0f (0)=0
x 3
s i x n >x - 即 0
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一、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．y =x cos x ，则dy =．
2．若l i m x →∞x (x -1) (x -2) (x 3-) (2x -1) k =h >0，则k = ，h = .
3．设f(x)在x=a处可导, 则lim h →0
⎧1-cos 2x ⎪4．设f (x ) =⎨x 2
⎪k ⎩x ≠0x =0f (a +2h ) -f (a -h ) h ，当k = 时，f (x ) 连续；
5．y =2x -1
x -33的渐近线是
二、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．当x →∞时，下列函数为无穷小量的是 ( )
A ．ln (1+x ) B ．x 2+sin x C ．1
x sin x D ．arctan (2x -1) x 2．设f (x ) =
(A) ln ln x ，则f '(x ) =（ ） ln x x -ln ln x 1+lnln x x +ln ln x 1-lnln x (B) (C) (D) x ln 2x x ln 2x x ln 2x x ln 2x
3．函数f (x ) 在x =x 0处取得极大值，则必有（ ）。
（A ）f '(x 0) =0； （B ）f ''(x 0)
（C ）f '(x 0) =0或f '(x 0) 不存在； （D ）f '(x 0) =0且f ''(x 0)
4．方程x 5+5x +1=0在区间（0，1）内有（ ）个实根
(A) 2 (B) 3 (C) 1 (D) 0
5．设f (x ) 的一个原函数为sin x ，则⎰xf '(x ) dx =（ ）
(A) x cos x -sin x +c (B) x sin x -cos x +c
(C) x sin x -sin x +c (D) x cos x -cos x +c
三、计算题（本大题共7小题，每题7分，共49分）
1.
x →0
e x -e sin x 2. 求lim . x →0sin x (1-cos x )
⎧x =a (1-cos t ) d 2y 3. ⎨，求2. y =a sin t dx ⎩24. 求由方程2y -x =(x -y ) ln(x -y ) 所确定的函数y =y (x ) 的微分dy . 5. ⎰x 2+4x +5
. x 6
求⎰
7. 求⎰e x cos3xdx .
四、应用题（每题8分，共16分）
1 设某企业在生产一种商品x 件时总收益为R(x)=100x－x 2，总成本函数为C(x)=200+50x+x2, 问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得最大利润的情况下，总税额最大？
2 . 过点(1, 0) 向曲线y =x -2作切线，求切线与曲线所围成图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。
五、证明题（本题5分） .
x 3sin x >x - . 证明：当0
试卷评分标准（ A 卷 ）
课程编号： 0801301 课程名称： 高等数学
一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．x cos x (cos x 1. 3. 3f ' (a ) 4. -sin x ⋅ln x ) dx 2. k =4，h =x 16
5.
二. 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
C D C D A
三．、计算题（本大题共7小题，每题7分，共49分）
1.
解：2
2
x →0=x →0==lim x x →0
2x →0x =2
22
2. 解：原式=lim e sin x [e (x -sin x ) -1]
x →01=2lim x -sin x 1-cos x
3x →0x 3=2lim x →032 2x x
=2lim sin x
3x →02x =1
3
3. 解：dy a cos t d 2y -csc 2t
dx =a sin t =cot t dx 2=a sin t =-1
a csc 3t
4. 解：方程两边求微分： 2dy -dx =ln(x -y )(dx -dy ) +dx -dy
所以 dy =ln(x -y ) +2
ln(x -y ) +3dx
5. 解：原式=1d (x 2+4x +5)
2⎰x 2+4x +5-2⎰dx
x 2+4x +5 =1
2ln(x 2+4x +5) -2arctan(x +2) +C
6 解：原式
=2+c
7 解：I=11x 11x 1x x x =－=+e d sin 3x e sin 3x sin 3xe dx e sin 3x e d cos3x ⎰⎰⎰33339
111=… =e x sin 3x +e x sin 3x －⎰e x cos3xdx , 399
3e x sin 3x +e x cos3c 移项得I=+c。 10
四、应用题（每题8分，共16分）
1. 解：设每件征收的货物税为a,
L(x)=R(x) －C(x) －ax=100x－x 2－(200+50x+x2) －ax=－2x 2+(50－a) x －200
(50-a ) . 此时L(x)取得最大值. 税收为 4
a (50-a ) (50-2a ) 1 T =ax = . 令T ' ==0, 得a=25 .T " =-
a=25时T 取得最大值. 故征收货物税应为25 .
2. 解： y '=x -11 设切点为(x0 , y0) 则切线方程为 y = 2x 0-22x -2
x 0-1 2x 0-2 切点处有y 0=x 0-2 y 0 =
可得切点为 （3，1），切线方程为 y =
所求体积为 V= π
32*12- ⎰π(x -2) dx =23x -1 22πππ-= 326
五、证明题（每小题5分，共5分）
证明： f(x)=sinx-x+x3/6 f '(x)=cosx-1+x2/2 f "(x)=x-sinx>0 则 0f '(0)=0
0f (0)=0
x 3
s i x n >x - 即 0