第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩
向量是研究代数问题的重要工具。在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。但是，在很多实际问题中，往往需要研究更多维的向量。例如，描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置(x , y , z )、时间t 以及三个速度分量v x , v y , v z ，这七个量组成的有序数组
(x , y , z , t , v , v
x
y
, v z )称为七维向量。更一般地，本章将引入n 维向量的概念，定义向量的线
性运算，并在此基础上讨论向量组的线性相关性，研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性，化二次型为标准形等奠定理论上的基础。 §1 n 维向量
作为二维向量、三维向量的推广，现给出n 维向量的定义
定义1 n 个数a 1, a 2, , a n 组成的有序数组（a 1, a 2, , a n ），称为n 维向量。数a i 称为向量的第i 个分量（或第i 个分量）。
向量通常用希腊字母α, β, γ, 等来表示。向量常写为一行
α=（a 1, a 2, , a n ）
⎛a 1
a 2
α=
a ⎝n
⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎭
有时为了运算方便，又可以写为一列
前者称为行向量，后者称为列向量。行向量、列向量都表示同一个n 维向量。
设α=(a 1, a 2, , a n ), β=(b 1, b 2, , b n ) 都是n 维向量，当且仅当它们各个对应的分 量相等，即a i =b i (i =1, 2, , n ) 时，称向量α与向量β相等，记作，α=β。
分量全为零的向量称为零向量，记为0，即 0=(0, 0, , 0)
若α=(a 1, a 2, , a n ) ，则称(-a 1, -a 2, , -a n ) 为α的负向量，记为-α。 下面讨论n 维向量的运算。
定义2 设α=(a 1, a 2, , a n ), β=(b 1, b 2, , b n ) 都是n 维向量，那么向量
(a 1+b 1, a 2+b 2, , a n +b n ) 叫做向量α与β的和向量，记做α+β，即
α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, , a n +b n ) 向量α与β的差向量可以定义为α+(-β) ，即
α-β=α+(-β) =(a 1-b 1, a 2-b 2, , a n -b n )
定义3 设α=(a 1, a 2, , a n ) 是n 维向量，那么向量(λa 1, λa 2, , λa n ) λ是一个数，叫做数λ与向量α的数量乘积（简称数乘），记为λα，即
λα=(λa 1, λa 2, , λa )
向量的和、差及数乘运算统称为向量的线性运算。向量的线性运算满足下列运算规律
性质1 设α, β, γ都是n 维向量，λ, μ是常数，则 （1） α+β=β+α
（2） (α+β) +γ=α+(β+γ) （3）
α+0=α
（4） α+(-α) =0 （5） 1⋅α=α （6） λ(μα) =(λμ) α （7） λ(α+β) =λα+λβ （8） (λ+μ) α=λα+μα
n 维行向量也可以看成1行n 列的矩阵，n 维列向量可以看成n 行1列的矩阵。n 维向量的线性运算与矩阵的运算是基本一致的。
§2 线性相关与线性无关
这一节，我们将进一步研究n 维向量之间的线性关系。其中向量组的线性相关与线性无关是非常重要的概念，许多代数问题的研究都涉及到这个概念。
定义1 已知n 维行（列）向量组α1, α2, , αm ， 如果存在不全为零的一组数
λ1, λ2, , λm ，使
λ1α1+λ2α2+ +λm αm =0 （2.1） 则称向量组α1, α2, , αm 线性相关，否则称向量组线性无关。
例如，n 维行向量组ε1=(1, 0, , 0), ε2=(0, 1, , 0), , εn =(0, 0, , 1) ，若有一组数
λ1, λ2, , λm ，使(2.1)式成立，即
λ1ε1+λ2ε2+ +λm εm =(λ1, λ2, , λm ) =0
则显然必有λ1=0, λ2=0, , λm =0，从而向量组ε1, ε2, , εn 线性无关。
而对向量组α1=(1, 2, 3), α2=(2, 3, 1), α3=(5, 9, 10) ，不难验证3α1+α2-α3=0 ， 所以它是线性相关的。
定义2 对于n 维行（列）向量α1, α2, , αm , β，如果存在一组数λ1, λ2, , λm ，使 β=λ1α1+λ2α2+ +λm αm
则称向量β是向量组α1, α2, , αm 的一个线性组合，或称向量β可以由向量组
α1, α2, , αm 线性表示（或线性表出）。
定理1 向量组α1, α2, , αm （m ≥2）线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余m -1个向量线性表示。
证 必要性。设α1, α2, , αm 线性相关，则存在m 个不全为零的数λ1, λ2, , λm ，使
λ1α1+λ2α2+ +λm αm =0
不妨设λ1≠0，于是
α1=-
λλλ2
α2-3α3- -m αm λ1λ1λ1
故α1可以由α2, α3, , αm 线性表示
充分性。不妨设α1可以由α2, α3, , αm 线性表示，即
α1=λ2α2+λ3α3+ +λm αm
则有一组不全为零的数1, -λ2, -λ3 , -λm ，使
1⋅α1-λ2α2-λ3α3- -λm αm =0
所以向量组α1, α2, , αm 是线性相关的。证毕。
定理2 设α1, α2, , αm 线性无关，而α1, α2, , αm , β线性相关，则β能由
α1, α2, , αm 线性表示，且表示法是唯一的。
证 假设α1, α2, , αm , β线性相关，则存在一组不全为零的数λ1, λ2, , λm , λ，使得
λ1α1+λ2α2+ +λm αm +λβ=0
若λ=0，则λ1, λ2, , λm 不全为零，且
λ1α1+λ2α2+ +λm αm =0
这与α1, α2, , αm 线性无关相矛盾。因此λ≠0，故 β=-
1
λ
（λ1α1+λ2α2+ +λm αm ）
即β可以由向量α1, α2, , αm 线性表示。
再证唯一性。设有下列任意两个线性表示式 β=λ1α1+λ2α2+ +λm αm
β=k 1α1+k 2α2+ +k m αm
两式相减得
(λ1-k 1) α1+(λ2-k 2) α2+ +(λm -k m ) αm =0 由于α1, α2, , αm 线性无关，所以必有
λ1-k 1=0, 即
λ1=k 1,
λ2-k 2=0, , λm -k m =0
λ2=k 2, , λm =k m
所以β由α1, α2, , αm 线性表示的表示方法是唯一的。
性质1 在向量组α1, α2, , αm 中，若有部分向量构成的向量组线性相关，则全体向量组也线性相关；反之，若全体向量组线性无关，则任意部分向量组也线性无关。
证 不妨设α1, α2, , αr (1≤r ≤m ) 线性相关，那么存在不全为零的数λ1, λ2, , λr ，使得
λ1α1+λ2α2+ +λr αr =0 从而
λ1α1+λ2α2+ +λr αr +0⋅αr +1+ +0⋅αm =0
因为λ1, λ2, , λr 不全为零，所以λ1, λ2, , λr ，0，…，0不全为零。故全体向量组
α1, α2, , αm 也线性相关。
剩下的结论用反证法立即可知。
推论1 含有零向量的向量组必线性相关。
例1 设n 维向量εi =(0, , 0, 1, 0, , 0) ，其中第i 个分量为1，其余分量为0，
β=(b 1, b 2, , b n ) 为任一n 维向量，则β可以由ε1, ε2, , εn 线性表示。
证 因为
β=b 1ε1+b 2ε2+ +b n εn
故β可以由ε1, ε2, , εn 线性表示。
例2 两个向量α=(a 1, a 2, , a n ), β=(b 1, b 2, , b n ) 线性相关的充要条件是α=k β或β=k α，即α与β的分量对应成比例。
证 由定理1可知，α与β线性相关的充要条件是：α可以由β线性表示或β可以由α线性表示，所以两个向量α与β线性相关的充要条件是α=k β或β=k α，即α与β的分量对应成比例。
例3 设α1, α2, α3线性无关，证明α1, α1+α2, α1+α2+α3也线性无关 证 设有一组数k 1, k 2, k 3，使
k 1α1+k 2(α1+α2) +k 3(α1+α2+α3) =0
即
（2.2）
(k 1+k 2+k 3) α1+(k 2+k 3) α2+k 3α3=0
因为α1, α2, α3线性无关，所以
⎧k 1+k 2+k 3=0
⎪
k 2+k 3=0⎨
⎪k 3=0⎩
这是三个方程三个未知数的齐次线性方程组，它的系数行列式
111
D=0
11=1≠0
001
所以由克莱姆法则可知，此方程组只有零解，即 k 1=k 2=k 3=0
这表明只有当k 1, k 2, k 3全为零时，（2.2）式才成立，即α1, α1+α2, α1+α2+α3也线性无关。
又上节的性质1可知：若向量组线性无关，则任意部分向量均线性无关。若向量组线性相关，那么是否能找到向量个数最多的线性无关向量组？为了研究这些问题，我们需要引进极大线性无关组的概念和向量组的秩的概念。
一．极大线性无关组
定义1 设向量组A ，如果：
（1）A 中有r 个向量α1, α2, , αr 线性无关； （2）A 中任一向量都可以由α1, α2, , αr 线性表示。
则称α1, α2, , αr 是向量组A 的一个极大线性无关组（或极大无关组）。
例1 全体n 维实向量构成的向量组记作R n ，求R n 的一个极大线性无关组。 解 我们知道，ε1, ε2, , εn （εi 参照本章§2例1）线性无关，又任一向量
§3 向量组的秩与等价向量组
α=(a 1, a 2, , a n ) 都可表示为
α=a 1ε1+a 2ε2+ +a n εn 所以，ε1, ε2, , εn 是R 的极大线性无关组。
例2 试在向量组α1=(1, 1, 1, 1), α2=(1, 2, -1, -2), α3=(-1, -2, 1, 2) 中找出它的一个极大线性无关组。
n
α2线性无关。解 α1与α2的对应分量不成比例，所以α1，又因为α3=-α2，故α2, α3
线性相关，所以α1, α2, α3线性相关。又有
α1=α1+0⋅α2, α2=0⋅α1+α2, α3=0⋅α1+(-1) α2，
所以α1, α2, α3中的任一向量都可由α1，α2线性表示，故α1，α2是向量组α1, α2, α3的一个极大线性无关组。
二．等价向量组
定义2 设向量组A ：α1, α2, , αs ；B ：β1, β2, , βt 。若B 中任一向量都可以由A 中的向量线性表示，则称B 可以由A 线性表示。如果B 可以由A 线性表示，而且A 也可以由B 线性表示，则称A 与B 等价。
定理1 如果线性无关的向量组A ：α1, α2, , αs 可以由向量组B ：β1, β2, , βt 线性表示，则s ≤t 。
证 反证法，假设s >t ，由于A 可以由B 线性表示，故α1, α2, , αs 中的每一个向量都可以由β1, β2, , βt 线性表示，所以可设
αj =则
x 1α1+x 2α2+ +x s αs =
t
∑k
i =1
t
ij
βi (j =1, 2, , s )
∑(x ∑k
j
j =1s
i =1ij
s t
ij
βi )
=
由于
∑(∑k
i =1
j =1
x j ) βi =0
∑k
j =1
s
ij
x j =0 (i =1, 2, , t )
是一个关于x 1, x 2, , x s 的齐次线性方程组，因为未知数个数s 大于方程个数t ，所以有非零解。即存在不全为零的数x 1, x 2, , x s ，使
x 1α1+x 2α2+ +x s αs =0
这与α1, α2, , αs 线性无关矛盾。从而假使不成立，故s ≤t 。
推论1 设两个线性无关的向量组A ：α1, α2, , αs 和B ：β1, β2, , βt 。如果A 与B 等价，则s =t 。
三．向量组的秩
由向量组的极大线性无关组定义可知，一个向量组的任意两个极大线性无关组必等价，又由定理1知，它们所含向量的个数相同。
定义3 向量组A 的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩，记作
rank (A ) ，简记为r (A ) 。
定理2 如果向量组A 可以由向量组B 线性表示，则r (A ) ≤r (B ) 。
证 记s =r (A ), t =r (B ) 。设向量组A 的一个极大线性无关组为α1, α2, , αs ；向量组B 的一个极大线性无关组为β1, β2, , βt ，由于向量组A 可以由向量组B 线性表示，则向量组α1, α2, , αs 也可以由向量组B 线性表示，又由于向量组B 可以由β1, β2, , βt 线性表示。所以α1, α2, , αs 也可以由β1, β2, , βt 线性表示，由定理1知，s ≤t 。即，
r (A ) ≤r (B ) 。
推论2 向量组A 与向量组B 等价，则r (A ) =r (B ) 。 推论3 n +1个n 维向量一定线性相关。
⎛a 1i ⎫ ⎪ a 2i ⎪
定理3 设n 维向量组α1, α2, , αm αi = i =1, 2, , m
⎪ ⎪ a ⎪⎝ni ⎭
r （r
⎛a 1i ⎫ ⎪ a ⎪βi = 2i ⎪
⎪ a ⎪⎝ri ⎭
i =1, 2, , m
则（1）如果α1, α2, , αm 线性相关，那么β1, β2, , βm 也线性相关； （2）如果β1, β2, , βm 线性无关，那么α1, α2, , αm 也线性无关。 证 （1）α1, α2, , αm 线性相关，则存在一组不全为零的常数k 1, k 2, , k m ，使 k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0 则
a 11k 1+a 12k 2+ +a 1m k m =0
a 21k 1+a 22k 2+ +a 2m k m =0
a r 1k 1+a r 2k 2+ +a rm k m =0 a n 1k 1+a n 2k 2+ +a nm k m =0
由前r 个等式可知
k 1β1+k 2β2+ +k m βm =0
故β1, β2, , βm 也线性相关。
（2）逆否命题显然成立。
§4 矩阵的秩 相抵标准型
一．矩阵的行秩与列秩
对于矩阵A ，我们把它的每一行（列）称为A 的一个行（列）向量。 定义1 设矩阵A ，A 的行（列）向量组的秩称为A 的行（列）秩。 阶梯形矩阵
⎛a 11 0
A =
0 0⎝
a 12000
a 13a 2300
a 14a 24a 340
a 15⎫⎪a 25⎪
a 35⎪⎪0⎪⎭
其中a 11≠0, a 23≠0, a 34≠0，则A 的行秩=3，列秩=3。这是因为：
若把A 按行分块为
⎛α1⎫
⎪ α2⎪A = α⎪
3⎪ α⎪⎝4⎭
则由x 1α1+x 2α2+x 3α3=0容易推出，数x 1, x 2, x 3必须全为零，所以α1, α2, α3线性无关，而α4=0。所以A 的行秩等于3。
若再把A 按列分块为
A =(β1, β2, β3, β4, β5)
同样，由y 1β1+y 3β3+y 4β4=0可推出y 1=y 3=y 4=0，故β1, β3, β4线性无关，又易证β1, β2, β3, β4, β5中任意4个向量都线性相关（因为βi 的第四个分量都为零，又由于任意4个三维向量都线性相关），所以，β1, β3, β4是向量组β1, β2, β3, β4, β5的一个极大线性无关组，因此A 的列秩也等于3。
由此例子可以得到一般的结论：阶梯形矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数。
定理1 如果对矩阵A 作初等行变换将其化为B ，则B 的行秩等于A 的行秩。 证 只需证明每作一次倍乘、倍加和对换行变换，矩阵的行秩都不变。
设A 是m ⨯n 矩阵，A 的 m 个行向量记为α1, α2, , αm 。
（1） 对换A 的某两行位置，所得到的矩阵B 的m 个行向量仍是A 的m 个行向量，
显然B 的行秩等于A 的行秩。
（2） 把A 的第i 行乘非零常数c 得矩阵B ，则B 的m 个行向量为α1, α2, , c αi , , αm 。显然，B 的行向量组与A 的行向量组是等价的。故根据本章§3的推论2知，B 的行秩等于A 的行秩。 （3） 把A 的第i 行乘非零常数c 加到A 的第j 行得矩阵B
⎛α1⎫⎛β1⎫⎛α1⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ β⎪ α⎪i 行乘c αi i
⎪ i ⎪ ⎪
−→ A = ⎪−− ⎪记作 ⎪=B
β⎪ ⎪加到j 行 c α+α⎪
αi j j ⎪ j ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
ααm ⎝⎭⎝βm ⎭⎝m ⎭
显然，B 的行向量组可以由A 的行向量组线性表示。又有，c αi +αj =βj 得，
αj =βj -c αi =βj -c βi ，故，A 的行向量组也可由B 的行向量组线性表示。因此A 与
B 等价，则A 与B 的行秩也相等。
初等行变换也不改变矩阵的列秩，这是因为：
定理2 对矩阵A 作初等行变换将其化为B ，则A 与B 的任何对应的列向量组有相同的线性相关性。即
初等行变换
−→（β1, β2, , βn ) =B A=（α1, α2, , αn ）−−−−
则向量组αi 1, αi 2, , αi r 与βi 1, βi 2, , βi r (1≤i 1
证 对矩阵A 作初等行变换化为B ，就是用若干个初等矩阵P 1, P 2, , P s 左乘A 使之等于B 。记P =P s P s -1 P 2P 1，则有，
PA=B
从而
P αj =βj , 取
A 1=（αi 1, αi 2, , αi r ）， B 1=（βi 1, βi 2, , βi r ） 则PA 1=B 1，记
j =1, 2, , n
⎛x i 1⎫ ⎪ x i ⎪X 1= 2⎪
⎪ x i ⎪⎝r ⎭
故对于线性方程组B 1X 1=PA 1X 1=0，因为P 为可逆矩阵，所以，B 1X 1=0与A 1X 1=0是同解的齐次线性方程组。 A 1X 1=0，即为
x i 1αi 1+x i 2αi 2+ +x i r αi r =0
B 1X 1=0，即为
x i 1βi 1+x i 2βi 2+ +x i r βi r =0
由于上述两等式是同解方程，所以αi 1, αi 2, , αi r 与βi 1, βi 2, , βi r 有相同的线性相关性。 定理2也提供了求向量组的秩及其极大线性无关组的一个简便而有效的方法。
例1 求向量组α1=(1, 3, 0, 5), α2=(1, 2, 1, 4), α3=(1, 1, 2, 3), α4=(0, 1, 2, 4),
α5=(1, -3, 0, -7) 的秩和它的一个极大线性无关组，并把其余向量表示为所求的极大线性无
关组的线性组合。
', α2', α3', α4', α5'为列作矩阵A ，并对A 作初等行变换 解 以α1
⎛1
3A =
0 5⎝
110
1⎫1⎛11⎪r 2-3r 1
211-3⎪ 0-1-2
−−−→ 011220⎪2⎪r 4-5r 1
0-1-2434-7⎪⎭⎝
1⎫
⎪
1-6⎪
⎪20⎪
4-12⎪⎭00
1⎛11
r 3+r 2
0-1-2
−−−→
000
r 4-r 2 000⎝⎛1r 2+r 3
−−−→
0 0⎝
110
1⎫r -r ⎛1⎪43 1-6⎪−−−→ 03-6⎪(-1) r 0
2 ⎪ 0⎪3-6⎭1
r 3⎝30
11
1⎫⎪
12-16⎪
⎪001-2⎪
0000⎪⎭
1⎫⎛1
⎪r 1-r 2
1204⎪ 0
−−−→ 0001-2⎪⎪ ⎪ 00000⎭⎝0-10-3⎫
⎪
1204⎪
=B ⎪001-2⎪
0000⎪⎭
记B=(β1, β2, β3, β4, β5) 。
容易看出B 的列向量β1, β2, β4线性无关，而β3, β5可由β1, β2, β4线性表示 β3=-β1+2β2,
β5=-3β1+4β2-2β4
因此，α1, α2, α4是向量组α1, α2, α3, α4, α5的一个极大线性无关组，且
α3=-α1+2α2, α5=-3α1+4α2-2α4
显然，α1, α2, α3, α4, α5的秩为3。
由定理1和定理2知：初等行变换既不改变矩阵的行秩也不改变矩阵的列秩，同样可证，初等列变换也不改变矩阵的行秩和列秩。总之，初等变换不改变矩阵的行秩和列秩。由于矩阵总可以通过初等变换化为阶梯矩阵，而阶梯矩阵的行秩等于它的列秩，因此可以得到下面的定理
定理3 矩阵的行秩等于其列秩。
由于矩阵的行秩与列秩相等，所以我们给出下面的定义：
定义2 矩阵的行秩和列秩统称为矩阵A 的秩，记作：r(A)或秩（A ）。
由于n 阶可逆矩阵总可以通过初等变换化为单位矩阵，因此n 阶可逆矩阵的秩为n 。所以，n 阶矩阵A 可逆的充要条件是：r(A)=n 。
定理4 n 阶矩阵A 的秩等于n 的充要条件是A 为非奇异矩阵（即A ≠0）。
二．矩阵的非零子式与秩的关系
定义3 矩阵A=(a ij ) m ⨯n 的任意k 行(i 1, i 2, , i k 行) 和任意k 列（j 1, j 2, , j k 列） 的交点的k 个元素按原顺序排列成的k 阶行列式
2
a i 1j 1a i 2j 1
a i 1j 2a i 2j 2 a i k j 2
a i 1j k a i 2j k
a i k j 1
a i k j k
称为A 的k 阶子行列式，简称A 的k 阶子式。当k 阶子式为零（不等于零）时，称为k 阶零子式（非零子式）。当i 1=j 1, i 2=j 2, , i k =j k 时，称为A 的k 阶主子式。
如果矩阵A 存在r 阶非零子式，而所有的r+1阶子式（如果有r+1阶子式）都等于零，则矩阵A 的非零子式的最高阶数为r ，因为由所有的r+1阶子式都等于零可推出所有更高阶的子式都等于零。
定理5 矩阵A 的非零子式的最高阶数等于矩阵A 的秩r(A)。
证 设 r(A)= r ，即A 的行秩为r ，不妨设A 的前r 个行向量线性无关，把A 的前r 行作成的矩阵记作A 1，则A 1的列秩=A 1的行秩=r。不妨再设A 1的前r 个列向量线性无关，则由定理4可知，A 的左上角的r 阶主子式为非零子式，又因为A 的任意r+1个行向量线性相
关，因此，在A 的任意r+1个行中作成的任一个r+1阶子式都是零子式。故A 的非零子式的最高阶数等于r 。
综上所述，关于矩阵的秩的基本结论是：矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的非零子式的最高阶数；初等变换不改变矩阵秩。
三．矩阵秩的常用性质
关于矩阵的秩，有下面几个常用的性质： 性质1 r(A+B)≤r(A)+r(B)
证 设A 、B 均是m ⨯n 矩阵，r(A)=s， r(B)=t， 将A 、B 按列分块为
A=(α1, α2, , αn ) ， B=(β1, β2, , βn ) 则
A +B =(α1+β1, α2+β2, , αn +βn )
不妨设A 和B 的列向量组的极大线性无关组分别为α1, α2, , αs 和β1, β2, , βt ，于是A+B的列向量可以由α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 线性表示，所以 r(A+B)=A+B的列秩≤秩（α1, α2, , αs , β1, β2, , βt ）≤s+t
性质2 r(AB)≤min(r(A),r(B))
证 设A 、B 分别是m ⨯n , n ⨯s 矩阵。 A =a ij
将A 按列分块
A =(α1, α2, , αn ) 则
()
m ⨯n
,
B =(b jk )n ⨯s
⎛b 11b 12
b 21b 22
AB=(α1, α2, , αn )
b
⎝n 1b n 2 b 1s ⎫
⎪
b 2s ⎪
⎪ ⎪
b ns ⎪⎭
故AB 的列向量可由A 的列向量α1, α2, , αn 线性表示，故
r(AB) =A B的列秩≤A 的列秩=r(A)
类似地，将B 按行分块，可得 r(AB)≤ r(B)。
性质3 设A 是m ⨯n 矩阵，P 、Q 分别是m 阶、n 阶可逆矩阵，则 r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)
证 由于可逆矩阵P 、Q 可以表示为若干个初等矩阵的乘积，而初等变换不改变矩阵的秩，故结论成立。
四．矩阵的相抵标准形
最后我们讨论，一个秩为r 的矩阵通过初等变换化为怎样的最简单的矩阵，也就是矩阵
的相抵标准形（或说等价标准形）。
定义4 若存在可逆矩阵P 、Q 使 PAQ=B，就称A 相抵于B 。记作A ≅B 。 根据定义，容易证明矩阵的相抵关系有以下性质： （1） 反身性：即A ≅A
（2） 对称性：即若A ≅B , 则B ≅A （由于有对称性，A ≅B 一般就说A 与B 相抵）。 （3） 传递性：即若A ≅B , B ≅C , 则A ≅C 。
所以相抵是一种等价关系。
定理6 若A 为m ⨯n 矩阵，且r(A)=r，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得
⎛E r
PAQ = 0
⎝
其中E r 为r 阶单位矩阵。
0⎫⎪ 0⎪⎭m ⨯n
证 对A 作初等行变换，将A 化为有r 个非零行的阶梯矩阵。
⎛1
P s P 2P 1A = 0
0 ⎝0
*1000
**100
***00
*⎫⎪*⎪ ⎪⎪
*⎪=U 1 0⎪⎪ ⎪⎪0⎭
其中P 1, P 2, , P s 为初等矩阵。再对U 1作倍加初等列变换和列对换，可将U 1化为
⎛10 00 0⎫
⎪01 00 0 ⎪ ⎪ ⎪⎛E r
U 1Q 1Q 2 Q t = 00 10 0⎪=
00 00 0⎪⎝0 ⎪ ⎪ ⎪00 00 0⎝⎭
其中Q 1, Q 2, , Q t 为初等矩阵。 所以，存在可逆矩阵P =P s P 2P 1, PAQ =
0⎫
⎪ 0⎪⎭
Q =Q 1Q 2 Q t ，使 0⎫
⎪ 0⎪⎭m ⨯n
⎛E r
⎝0
我们把上式右端
⎛E r
⎝00⎫⎪称为A 的相抵标准形（或等价标准形）。容易知道，秩相⎪0⎭m ⨯n
同的同型矩阵必相抵于同一相抵标准形。因此，任意两个秩相同的同型矩阵是相抵的。
§5 n 维向量空间
在本章§1中，我们定义了n 维向量，并且对它规定了加法和数乘两种运算。在向量的线性运算基础上，我们进一步引进向量空间的概念。
定义1 设V 为n 维向量的非空集合，R 是实数域。若V 对加法和数乘运算封闭，即
（1）∀α, β∈V , 有α+β∈V ； （2）∀α∈V ，λ∈R ，有λα∈V 。 则称集合V 为向量空间。
例1 3维实向量的全体R 3，就是一个向量空间。因为任意两个3维向量之和仍为3向量，数λ乘3维向量也仍为3维向量，它们都属于R 3。我们可以用有向线段形象地表示3维向量，从而向量空间R 3可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体。
类似地，n 维向量的全体R n ，也是一个向量空间。不过当n >3时，它没有直观的几何意义。
例2 集合V ={X |X =(0, x 2, , x n ), x 2, , x n ∈R }是一个向量空间。因为若
α=(0, a 2, , a n )∈V , β=(0, b 2, , b n )∈V ，则α+β=(0, a 2+b 2, , a n +b n )∈V ，
λα=(0, λ2α2, , λn αn )∈B 。
例3 集合V ={X |X =(1, x 2, , x n ),
x 2, , x n ∈R }不是向量空间，因为
α=(1, a 2, , a n )∈V , 而2α=(2, 2a 2, , 2a n )∉V 。
例4 设α, β为两个已知的n 维向量，集合 V ={X |X =λα+μβ, 是一个向量空间。因为若X 1=λ1α+μ1β,
λ, μ∈R }
X 2=λ2α+μ2β，则有
X 1+X 2=(λ1+λ2) α+(μ1+μ2) β∈V kX 1=(k λ1) α+(k μ1) β∈V
这个向量空间称为由向量α, β所生成的向量空间。
一般地，由向量α1, α2, , αm 所生成的向量空间为
V ={X |X =λ1α1+λ2α2+ +λm αm , λ1, λ2, , λm ∈R }
定义2 设有向量空间V 1, V 2，如果V 1⊂V 2，就称V 1是V 2的子空间。
例如，向量空间V ={X |X =(0, x 2, , x n ), x 2, , x n ∈R }是R n 的子空间。
定义3 设α1, α2, , αr 是向量空间V 的向量，且满足 （1） α1, α2, , αr 线性无关；
（2） V 中任一向量都可以由α1, α2, , αr 线性表示。
则称α1, α2, , αr 为向量空间V 的一个基，r 称为向量空间V 的维数，并称V 为r 维向量空间。
只含零向量的集合也是一个向量空间，它没有基，它的维数规定为0。
若把向量空间V 看作向量组，则V 的基就是向量组的极大线性无关组，V 的维数就是向量组的秩。
n 维向量ε1, ε2, , εn （εi 参照本章§2例1）是R 的一个基，所以R 的维数为n 。易知，任何n 个线性无关的n 维向量与ε1, ε2, , εn 等价，所以任何n 个线性无关的n 维向量都是向量空间R 的一个基。
定义4 设α1, α2, , αr 是向量空间V 的一个基，α∈V ，若 α=x 1α1+x 2α2+ +x r αr
则称有序数组(x 1, x 2, , x r )为向量α在基 α1, α2, , αr 下的坐标，记为(x 1, x 2, , x r )或
n
n
n
(x 1, x 2, , x r )'。
显然，向量空间的基不是唯一的，但向量在给定基下的坐标是唯一的。
例如，n 维向量α=(a 1, a 2, , a n ) 在基ε1, ε2, , εn 下的坐标为(a 1, a 2, , a n ) 。 例5 求n 维向量α=(a 1, a 2, , a n ) '在基β1=(1, -1, 0, , 0) ', β2=(0, 1, -1, , 0) '，
, βn -1=(0, , 0, 1, -1) ', βn =(0, , 0, 1) '下的坐标。
解 设
α=x 1β1+x 2β2+ +x n βn =(β1, β2, , βn )
⎛x 1⎫ ⎪ x 2⎪ ⎪ ⎪ x ⎪⎝n ⎭
即
0⎛1
-11 0-1
00 00⎝
即
0⎫⎛x 1⎫⎛a 1⎫
⎪ ⎪⎪
00⎪ x 2⎪ a 2⎪ 00⎪ x 3⎪ a 3⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪x a 10⎪n -1n -1⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ -11⎭⎝x n ⎭⎝a n ⎪⎭
x 1=a 1⎧
⎪-x +x =a
122⎪⎪
⎨-x 2+x 3=a 3
⎪ ⎪⎪⎩-x n -1+x n =a n
解得
⎧x 1=a 1
⎪x =a +a 212⎪⎪
⎨x 3=a 1+a 2+a 3
⎪ ⎪⎪⎩x n =a 1+a 2+ +a n
所以α在基β1, β2, , βn 下的坐标为(a 1, a 1+a 2, , a 1+a 2+ +a n )。
§6 向量的内积与正交矩阵
在解析几何中，已经讨论过向量的数量积、长度，现在我们把它推广到n 维空间的情形。
一．向量的内积
n
定义1 设α=（a 1, a 2, , a n ），β=(b 1, b 2, , b n ) 是R 的两个向量，
记
(α, β) =a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n 称(α, β) 为向量α与β的内积。
利用矩阵乘法的运算，上述α，β表示矩阵，那么内积可以表示为
⎛b 1⎫ ⎪ b 2⎪
(α, β) =(a 1, a 2, a n ) ⎪=αβ'
⎪ b ⎪⎝n ⎭
根据内积的定义，容易证明以下性质： 性质1 设α, β为n 维向量，k 为实数，则 （1）(α, β) =(β, α) ； （2）(k α, β) =k (α, β),
k 为实数；
（3）(α+β, γ) =(α, γ) +(β, γ) ；
（4）(α, α) ≥0. 其中, (α, α) =0的充要条件是α=0。
有了n 维向量的内积定义，便可将三维空间的向量长度推广到n 维空间。 定义2 设α=（a 1, a 2, , a n ）是R 的向量，记 =称为向量α的长度。
若=1，则称α为单位向量。 向量的长度满足以下性质：
性质2 设α, β为n 维向量，k 为实数，则
（1）非负性： 当α≠0时，>0。当α=0时，=0； （2）齐次性： k α=k ；
（3）柯西不等式： (α, β) ≤⋅β； （4）三角不等式： +β≤+β。 证 （1）、（2）容易证明。现证（3）、柯西不等式
若β=0，性质（3）显然成立。若β≠0，则(β, β)>0。作向量α+t β（t ∈R ），则 (α+t β, α+t β)≥0 即
n
α, α=
22
a 12+a 2+ +a n
(β，β)t +2(α，β)t +(α，α)≥0
2
上式左端是关于t 的二次多项式，因此便有 ∆=4(α, β)-4(α, α)(β, β)≤0
2
即
(α, β)≤(α, α)(β, β)
2
故
(α, β) ≤⋅β
再证（4）、三角不等式 即
+β≤+β
二．单位正交基
定义3 对于n 维非零向量α, β，如果(α, β)=0，则称向量α与β正交。一组非零的n 维向量，如果它们两两正交，则称之为正交向量组。
定理1 正交向量组必线性无关。
证 设α1, α2, , αm 是一个正交向量组， k 1, k 2, , k m 为m 个数，且有 k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0 等式两边与αi 内积得，
0=(0, αi ) =（k 1α1+k 2α2+ +k m αm ，αi ）
+β
2
=(α+β, α+β)=(α, α)+2(α, β)+(β, β)≤+2⋅β+β
2
2
=(+β)
2
=k 1(α1, αi )+k 2(α2, αi )+ +k i (αi , αi )+ +k m (αm , αi )
由于α1, α2, , αm 两两正交，所以由上式得 k i (αi , αi )=0
再由αi ≠0知，(αi , αi )≠0，所以，k i =0(i =1, 2, , m ) ，因此，α1, α2, , αm 线性无关。
向量空间中，由正交向量组构成的基，称为正交基。如果正交基由单位向量组成，则称为单位正交基（或称为标准正交基）。
n n
例如，R 的一组基ε1=(1, 0, , 0), ε2=(0, 1, , 0), , εn =(0, 0, , 1) 是R 的一个单
位正交基。
由于在单位正交基下讨论问题比较方便，所以下面介绍将一组基化为单位正交基的方法。
三．施密特(Schmit)正交化方法
设α1, α2, , αr 是向量空间V 的一个基。先将该向量组正交化： 令
β1=α1, 选取λ使(β1, β2) =0，即选 λ=-于是有
β2=α2-再取
β3=α3+k 1β1+k 2β2 选取k 1, k 2使
(β1, β3)=0
由此得两个方程
⎨
解得
k 1=-
那么
β3=α3-继续做下去, βr =αr -
β2=α2+λβ1,
(β1, α2)
β1, β1(β1, α2)
β
β1, β11
(β2, β3)=0
⎧(β1, α3)+k 1(β1, β1)+k 2(β1, β2)=0
⎩(β2, α3)+k 1(β2, β1)+k 2(β2, β2)=0
(β1, α3)β1, β1k 2=-
(β2, α3)
β2, β2(β1, α3)(β, α)
β1-23β2
β1, β1β2, β2(β1, αr )(β, α)(β, α)β1-2r β2- -r -1r βr -1
β1, β1β2, β2βr -1, βr -1于是得到一组正交向量组β1, β2, , βr 。
由于空间V 对线性运算封闭，所以β1, β2, , βr ∈V ，因此，β1, β2, , βr 是V 的一个正交基。再将β1, β2, , βr 单位化，得到一个标准正交基：
β1
, β1
β2β, , r 。 β2βr
上述向量空间基的正交化方法称为施密特正交化方法。
例1 已知B={α1, α2, α3}是R 3的一组基。其中， α1=(1, -1, 0), α2=(1, 0, 1), α3=(1, -1, 1)。 试用施密特正交化方法，由B 构造R 3的一组标准正交基。
解 先将该向量组正交化，得
β1=α1=(1, -1, 0)；
β2=α2-
(β1, α2)1⎛11⎫β1=(1, 0, 1)-(1, -1, 0)= , , 1⎪；
β1, β12⎝22⎭(β1, α3)(β, α)
β1-23β2
β1, β1β2, β2211⎫
(1, -1, 0)-2⎛ , , 1⎪ 23⎝22⎭
β3=α3-
=(1, -1, 1)-
⎛111⎫
= -, -, ⎪ ⎝333⎭
再将β1, β2, β3单位化，得到R 的一组标准正交基： η1=
3
1
β1
1
β1=
⎛1⎝2⎛1
,
-1
⎫, 0⎪； 2⎭
2⎫
η2=
β2= , , ⎪； ⎪β2⎝6⎭
1
η3=
β3= , -, ⎪ -⎪。 β3⎭⎝
1⎛111⎫
四．正交矩阵
正交矩阵是一种重要的实矩阵，下面给出正交矩阵的定义。 定义4 设n 阶方阵A ，如果A 'A =E ，则称A 为正交矩阵。
定理2 A 为n 阶正交矩阵的充分必要条件是A 的列（或行）向量为R n 的一组标准正交基。
证 只证列向量情形。设
⎛ a 11a 12 a 1n ⎫
A = a a
21
22 a ⎪
2n ⎪
⎪
=(α1, α2, , αn )
⎝a n 1
a n 2
a ⎪
nn ⎪⎭
其中
⎛ a 1i ⎫
α a ⎪2i ⎪
i = ⎪
⎪⎝a ni ⎪⎭
则
⎛ α1'⎫⎛α1'α1α1'α2 A 'A = α'⎪ 2⎪ 'α ⎪(α α2
1α2'α21, α2, , αn )=
⎝α'⎪n ⎪ ⎭ ⎝α'n α1
α'n α
2 因此A 'A =E 的充必条件是； αi 'αi =(αi , αi )=1,
(i =1, 2, , n ) αi 'αj =(αi , αj )=0
(j ≠i ,
i , j , =1, 2, , n )
即A 的列向量{
α, αn
1, α2, n }为R 的一组标准正交基。 定理3 设A 为n 阶正交矩阵，则 （1） A =1或A =-1； （2） A
-1
=A '；
（3） A '也为n 阶正交矩阵。
证（1） A 为n 阶正交矩阵。 A 'A =E A 'A =A '⋅A =A 2
=1
所以
A =±1 （2） 由A 'A =E 知
A -1=A '。
（3）因为
α1
'αn ⎫'⎪2αn ⎪
⎪
'⎪n αn ⎪⎭
αα
(A ') 'A '=A A '=AA -1=E
所以，A '也为n 阶正交矩阵。
例2 证明： α1= , -一个标准正交基。
证
⎛1⎝322⎫⎛212⎫⎛221⎫
, -⎪, α2= -, , -⎪, α3= -, -, ⎪是R 3的33⎭⎝333⎭⎝333⎭
⎛1
32
', α2', α3')= - (α1
3 2 -⎝3
3
23132-3-
2⎫-⎪3⎪记2
-⎪=A 3⎪1⎪⎪3⎭
因为A 'A =E ，所以α1, α2, α3是R 的一个标准正交基。
习
1、设α=(2, 3, 0), β=(0, -3, 1), γ=(2, -4, 1)，求2α-3β+γ。
2、解向量方程3(α1-X )+2(α2+X )=5(α3+X )，其中α1=(2, 5, 1, 3)，
题 三
α2=(10, 1, 5, 10), α3=(4, 1, -1, 1)。
3、判别下列向量组的线性相关性：
（1） α1=(1, 1, 1), α2=(0, 2, 5), α3=(1, 3, 6)； （2） α1=(0, 1, 2), α2=(1, 2, 1), α3=(1, 3, 4)；
（3） α1=(1, 2, 1, -1), α2=(1, -1, 2, 4), α3=(0, 3, 1, 2), α4=(3, 0, 7, 14)； (4 ) α1=(1, 1, 1, 1), α2=(1, 1, -1, -1), α3=(1, -1, 1, -1), α4=(1, -1, -1, 1)。
4、试证：任意一个4维向量β=(b 1, b 2, b 3, b 4)都可由向量组α1=(1, 0, 0, 0)，
α2=(1, 1, 0, 0)，α3=(1, 1, 1, 0)，α4=(1, 1, 1, 1)线性表示，并且表示方式是唯一的，写出这种
表示方式。
5、证明：若α1, α2线性无关，则α1+α2, α1-α2也线性无关。
6、设α1, α2, α3线性无关，证明α1+α2, α2+α3, α3+α1也线性无关。
7、证明：若α1, α2, α3线性无关，β=λ1α1+λ2α2+λα3，那么
（1） 当λ=0时，α1, α2, β线性相关； （2） 当λ≠0时，α1, α2, β线性无关。 8、设a 1, a 2, , a n 是互不相同的实数，令
α1=(1, a 1, a 12, , a 1n -1)
2n -1
)α2=(1, a 2, a 2, , a 2
2n -1)αn =(1, a n , a n , , a n
求证：任一n 维向量都可以由向量组α1, α2, , αn 线性表示。
9、m 个m+1维向量α1=(1, 0, , 0, a 1), α2=(0, 1, , 0, a 2), , αm =(0, 0, , 1, a m )是否线性相关？
10、如果α1, α2, α3, α4线性相关，但其中任意三个向量都线性无关，证明必存在一组全不为0的数k 1, k 2, k 3, k 4，使得
k 1α1+k 2α2+k 3α3+k 4α4=0
11、若α1, α2, , αr 线性无关，证明：β, α1, α2, , αr 线性无关的充要条件是β不能由α1, α2, , αr 线性表示。
12、求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关
组线性表示。
（1）α1=(1, 1, 1), α2=(1, 1, 0), α3=(1, 0, 0), α4=(1, 2, -3)；
（2）α1=(1, 2, 1, 3), α2=(4, -1, -5, -6), α3=(1, -3, -4, -7), α4=(2, 1, -1, 0)；
⎛1⎫⎛0⎫⎛3⎫⎛2⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ -1⎪ 3⎪ 0⎪ 1⎪ -1⎪
（3）α1= ⎪, α2= ⎪, α3= ⎪, α4= ⎪, α5= ⎪；
21752 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4⎪ 2⎪ 14⎪ 6⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ 2⎪ 0⎪ 1⎪
（4）α1= 2⎪, α2= 1⎪, α3= 3⎪, α4= 0⎪。
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2⎪ 5⎪ -1⎪ 4⎪ 1⎪ -1⎪ 3⎪ -1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
13、设r (α1, α2, α3)=r (α1, α2, α3, α4)。证明：向量组α1, α2, α3与向量组
α1, α2, α3, α4等价。
14、设V 1={X |X =(x 1, x 2, , x n ),
x 1+x 2+ +x n =0, x 1, x 2, , x n ∈R }，
V 2={X |X =(x 1, x 2, , x n ), x 1+x 2+ +x n =1, x 1, x 2, , x n ∈R }，
问V 1, V 2是不是R n 的子空间，为什么？
15、设α1=(2, -1, 3), α2=(1, 0, -1), α3=(0, -1, 5)。它们的一切线性组合记为 V ={x 1α1+x 2α2+x 3α3|x 1, x 2, x 3∈R } 证明：V 是R 3的一个子空间，并求出V 的一个基。
3
16、证明：α1=(2, 1, 0), α2=(0, 1, 2), α3=(-2, 1, 2)是R 的一个基。并求出向量
α=(-4, 2, 6)在基α1, α2, α3下的坐标。
17、求下列矩阵的秩。
⎛1 0 （1）
0 0⎝5⎫⎛1-1⎪
0-1-2-3⎪ 2-2
（2） 300004⎪⎪ ⎪ 03012-1⎭⎝
234
0⎫
⎪
4-20⎪
⎪6-11⎪
001⎪⎭
21
⎛1
⎛32-1-3-2⎫
⎪ 2
1-3⎪ （4） （3） 2-13
0 45-5-61⎪ ⎝⎭ 0⎝
18、设A 、B 是同形矩阵，证明： A 与B 相抵的充分必要条件是r(A)=r(B)。
19、k 在实数范围内取何值时，下列向量正交。
（1）α=
100⎫
⎪
110⎪
⎪211⎪
021⎪⎭
⎛1⎫
, 1, -1, -2⎪, β=(5, k , 4, 1)； ⎝k ⎭
（2）α= 2,
⎛⎝1⎫
, -1, 0⎪, β=(0, 1, k , -1)。 k ⎭
20、把下列向量组正交化、单位化。
（1）α1=(3, 0, 4), α2=(-1, 0, 7), α3=(2, 9, 11)； （2）α1=(1, 0, 1), α2=(2, 1, 0), α3=(0, 1, 1)。
21、设α1=(1, 1, 1), α2=(1, -2, 1)，求一个单位向量X ，使X 与α1, α2都正交。 22、设A , B 都是n 阶正交矩阵，证明 （1） AB 也是正交矩阵；
（2） A 'B 也是正交矩阵。
23、证明：若A 是正交矩阵，则A 的伴随矩阵A *也是正交矩阵。 24、设A 是n 阶正交矩阵。证明：对任意的n 维列向量α, β，均有 (A α, A β)=(α, β) 25、设
⎛2 2 A = 0
-2 2⎝
2622-326
2⎫⎪3⎪1⎪⎪ 3⎪2⎪3⎪⎭
证明：A 是正交矩阵。
26、判别下列矩阵是否为正交矩阵
⎛1
（1） 0
-2
6⎝
1-3
112
6
1⎫⎛⎪ 1⎪ 1⎪ -1； （2）⎪ 22⎪
21⎪
⎪⎝36⎭
-
1
2
112
⎫⎪⎪⎪。 ⎪⎪-1⎪⎭
1312
第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩
向量是研究代数问题的重要工具。在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。但是，在很多实际问题中，往往需要研究更多维的向量。例如，描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置(x , y , z )、时间t 以及三个速度分量v x , v y , v z ，这七个量组成的有序数组
(x , y , z , t , v , v
x
y
, v z )称为七维向量。更一般地，本章将引入n 维向量的概念，定义向量的线
性运算，并在此基础上讨论向量组的线性相关性，研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性，化二次型为标准形等奠定理论上的基础。 §1 n 维向量
作为二维向量、三维向量的推广，现给出n 维向量的定义
定义1 n 个数a 1, a 2, , a n 组成的有序数组（a 1, a 2, , a n ），称为n 维向量。数a i 称为向量的第i 个分量（或第i 个分量）。
向量通常用希腊字母α, β, γ, 等来表示。向量常写为一行
α=（a 1, a 2, , a n ）
⎛a 1
a 2
α=
a ⎝n
⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎭
有时为了运算方便，又可以写为一列
前者称为行向量，后者称为列向量。行向量、列向量都表示同一个n 维向量。
设α=(a 1, a 2, , a n ), β=(b 1, b 2, , b n ) 都是n 维向量，当且仅当它们各个对应的分 量相等，即a i =b i (i =1, 2, , n ) 时，称向量α与向量β相等，记作，α=β。
分量全为零的向量称为零向量，记为0，即 0=(0, 0, , 0)
若α=(a 1, a 2, , a n ) ，则称(-a 1, -a 2, , -a n ) 为α的负向量，记为-α。 下面讨论n 维向量的运算。
定义2 设α=(a 1, a 2, , a n ), β=(b 1, b 2, , b n ) 都是n 维向量，那么向量
(a 1+b 1, a 2+b 2, , a n +b n ) 叫做向量α与β的和向量，记做α+β，即
α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, , a n +b n ) 向量α与β的差向量可以定义为α+(-β) ，即
α-β=α+(-β) =(a 1-b 1, a 2-b 2, , a n -b n )
定义3 设α=(a 1, a 2, , a n ) 是n 维向量，那么向量(λa 1, λa 2, , λa n ) λ是一个数，叫做数λ与向量α的数量乘积（简称数乘），记为λα，即
λα=(λa 1, λa 2, , λa )
向量的和、差及数乘运算统称为向量的线性运算。向量的线性运算满足下列运算规律
性质1 设α, β, γ都是n 维向量，λ, μ是常数，则 （1） α+β=β+α
（2） (α+β) +γ=α+(β+γ) （3）
α+0=α
（4） α+(-α) =0 （5） 1⋅α=α （6） λ(μα) =(λμ) α （7） λ(α+β) =λα+λβ （8） (λ+μ) α=λα+μα
n 维行向量也可以看成1行n 列的矩阵，n 维列向量可以看成n 行1列的矩阵。n 维向量的线性运算与矩阵的运算是基本一致的。
§2 线性相关与线性无关
这一节，我们将进一步研究n 维向量之间的线性关系。其中向量组的线性相关与线性无关是非常重要的概念，许多代数问题的研究都涉及到这个概念。
定义1 已知n 维行（列）向量组α1, α2, , αm ， 如果存在不全为零的一组数
λ1, λ2, , λm ，使
λ1α1+λ2α2+ +λm αm =0 （2.1） 则称向量组α1, α2, , αm 线性相关，否则称向量组线性无关。
例如，n 维行向量组ε1=(1, 0, , 0), ε2=(0, 1, , 0), , εn =(0, 0, , 1) ，若有一组数
λ1, λ2, , λm ，使(2.1)式成立，即
λ1ε1+λ2ε2+ +λm εm =(λ1, λ2, , λm ) =0
则显然必有λ1=0, λ2=0, , λm =0，从而向量组ε1, ε2, , εn 线性无关。
而对向量组α1=(1, 2, 3), α2=(2, 3, 1), α3=(5, 9, 10) ，不难验证3α1+α2-α3=0 ， 所以它是线性相关的。
定义2 对于n 维行（列）向量α1, α2, , αm , β，如果存在一组数λ1, λ2, , λm ，使 β=λ1α1+λ2α2+ +λm αm
则称向量β是向量组α1, α2, , αm 的一个线性组合，或称向量β可以由向量组
α1, α2, , αm 线性表示（或线性表出）。
定理1 向量组α1, α2, , αm （m ≥2）线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余m -1个向量线性表示。
证 必要性。设α1, α2, , αm 线性相关，则存在m 个不全为零的数λ1, λ2, , λm ，使
λ1α1+λ2α2+ +λm αm =0
不妨设λ1≠0，于是
α1=-
λλλ2
α2-3α3- -m αm λ1λ1λ1
故α1可以由α2, α3, , αm 线性表示
充分性。不妨设α1可以由α2, α3, , αm 线性表示，即
α1=λ2α2+λ3α3+ +λm αm
则有一组不全为零的数1, -λ2, -λ3 , -λm ，使
1⋅α1-λ2α2-λ3α3- -λm αm =0
所以向量组α1, α2, , αm 是线性相关的。证毕。
定理2 设α1, α2, , αm 线性无关，而α1, α2, , αm , β线性相关，则β能由
α1, α2, , αm 线性表示，且表示法是唯一的。
证 假设α1, α2, , αm , β线性相关，则存在一组不全为零的数λ1, λ2, , λm , λ，使得
λ1α1+λ2α2+ +λm αm +λβ=0
若λ=0，则λ1, λ2, , λm 不全为零，且
λ1α1+λ2α2+ +λm αm =0
这与α1, α2, , αm 线性无关相矛盾。因此λ≠0，故 β=-
1
λ
（λ1α1+λ2α2+ +λm αm ）
即β可以由向量α1, α2, , αm 线性表示。
再证唯一性。设有下列任意两个线性表示式 β=λ1α1+λ2α2+ +λm αm
β=k 1α1+k 2α2+ +k m αm
两式相减得
(λ1-k 1) α1+(λ2-k 2) α2+ +(λm -k m ) αm =0 由于α1, α2, , αm 线性无关，所以必有
λ1-k 1=0, 即
λ1=k 1,
λ2-k 2=0, , λm -k m =0
λ2=k 2, , λm =k m
所以β由α1, α2, , αm 线性表示的表示方法是唯一的。
性质1 在向量组α1, α2, , αm 中，若有部分向量构成的向量组线性相关，则全体向量组也线性相关；反之，若全体向量组线性无关，则任意部分向量组也线性无关。
证 不妨设α1, α2, , αr (1≤r ≤m ) 线性相关，那么存在不全为零的数λ1, λ2, , λr ，使得
λ1α1+λ2α2+ +λr αr =0 从而
λ1α1+λ2α2+ +λr αr +0⋅αr +1+ +0⋅αm =0
因为λ1, λ2, , λr 不全为零，所以λ1, λ2, , λr ，0，…，0不全为零。故全体向量组
α1, α2, , αm 也线性相关。
剩下的结论用反证法立即可知。
推论1 含有零向量的向量组必线性相关。
例1 设n 维向量εi =(0, , 0, 1, 0, , 0) ，其中第i 个分量为1，其余分量为0，
β=(b 1, b 2, , b n ) 为任一n 维向量，则β可以由ε1, ε2, , εn 线性表示。
证 因为
β=b 1ε1+b 2ε2+ +b n εn
故β可以由ε1, ε2, , εn 线性表示。
例2 两个向量α=(a 1, a 2, , a n ), β=(b 1, b 2, , b n ) 线性相关的充要条件是α=k β或β=k α，即α与β的分量对应成比例。
证 由定理1可知，α与β线性相关的充要条件是：α可以由β线性表示或β可以由α线性表示，所以两个向量α与β线性相关的充要条件是α=k β或β=k α，即α与β的分量对应成比例。
例3 设α1, α2, α3线性无关，证明α1, α1+α2, α1+α2+α3也线性无关 证 设有一组数k 1, k 2, k 3，使
k 1α1+k 2(α1+α2) +k 3(α1+α2+α3) =0
即
（2.2）
(k 1+k 2+k 3) α1+(k 2+k 3) α2+k 3α3=0
因为α1, α2, α3线性无关，所以
⎧k 1+k 2+k 3=0
⎪
k 2+k 3=0⎨
⎪k 3=0⎩
这是三个方程三个未知数的齐次线性方程组，它的系数行列式
111
D=0
11=1≠0
001
所以由克莱姆法则可知，此方程组只有零解，即 k 1=k 2=k 3=0
这表明只有当k 1, k 2, k 3全为零时，（2.2）式才成立，即α1, α1+α2, α1+α2+α3也线性无关。
又上节的性质1可知：若向量组线性无关，则任意部分向量均线性无关。若向量组线性相关，那么是否能找到向量个数最多的线性无关向量组？为了研究这些问题，我们需要引进极大线性无关组的概念和向量组的秩的概念。
一．极大线性无关组
定义1 设向量组A ，如果：
（1）A 中有r 个向量α1, α2, , αr 线性无关； （2）A 中任一向量都可以由α1, α2, , αr 线性表示。
则称α1, α2, , αr 是向量组A 的一个极大线性无关组（或极大无关组）。
例1 全体n 维实向量构成的向量组记作R n ，求R n 的一个极大线性无关组。 解 我们知道，ε1, ε2, , εn （εi 参照本章§2例1）线性无关，又任一向量
§3 向量组的秩与等价向量组
α=(a 1, a 2, , a n ) 都可表示为
α=a 1ε1+a 2ε2+ +a n εn 所以，ε1, ε2, , εn 是R 的极大线性无关组。
例2 试在向量组α1=(1, 1, 1, 1), α2=(1, 2, -1, -2), α3=(-1, -2, 1, 2) 中找出它的一个极大线性无关组。
n
α2线性无关。解 α1与α2的对应分量不成比例，所以α1，又因为α3=-α2，故α2, α3
线性相关，所以α1, α2, α3线性相关。又有
α1=α1+0⋅α2, α2=0⋅α1+α2, α3=0⋅α1+(-1) α2，
所以α1, α2, α3中的任一向量都可由α1，α2线性表示，故α1，α2是向量组α1, α2, α3的一个极大线性无关组。
二．等价向量组
定义2 设向量组A ：α1, α2, , αs ；B ：β1, β2, , βt 。若B 中任一向量都可以由A 中的向量线性表示，则称B 可以由A 线性表示。如果B 可以由A 线性表示，而且A 也可以由B 线性表示，则称A 与B 等价。
定理1 如果线性无关的向量组A ：α1, α2, , αs 可以由向量组B ：β1, β2, , βt 线性表示，则s ≤t 。
证 反证法，假设s >t ，由于A 可以由B 线性表示，故α1, α2, , αs 中的每一个向量都可以由β1, β2, , βt 线性表示，所以可设
αj =则
x 1α1+x 2α2+ +x s αs =
t
∑k
i =1
t
ij
βi (j =1, 2, , s )
∑(x ∑k
j
j =1s
i =1ij
s t
ij
βi )
=
由于
∑(∑k
i =1
j =1
x j ) βi =0
∑k
j =1
s
ij
x j =0 (i =1, 2, , t )
是一个关于x 1, x 2, , x s 的齐次线性方程组，因为未知数个数s 大于方程个数t ，所以有非零解。即存在不全为零的数x 1, x 2, , x s ，使
x 1α1+x 2α2+ +x s αs =0
这与α1, α2, , αs 线性无关矛盾。从而假使不成立，故s ≤t 。
推论1 设两个线性无关的向量组A ：α1, α2, , αs 和B ：β1, β2, , βt 。如果A 与B 等价，则s =t 。
三．向量组的秩
由向量组的极大线性无关组定义可知，一个向量组的任意两个极大线性无关组必等价，又由定理1知，它们所含向量的个数相同。
定义3 向量组A 的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩，记作
rank (A ) ，简记为r (A ) 。
定理2 如果向量组A 可以由向量组B 线性表示，则r (A ) ≤r (B ) 。
证 记s =r (A ), t =r (B ) 。设向量组A 的一个极大线性无关组为α1, α2, , αs ；向量组B 的一个极大线性无关组为β1, β2, , βt ，由于向量组A 可以由向量组B 线性表示，则向量组α1, α2, , αs 也可以由向量组B 线性表示，又由于向量组B 可以由β1, β2, , βt 线性表示。所以α1, α2, , αs 也可以由β1, β2, , βt 线性表示，由定理1知，s ≤t 。即，
r (A ) ≤r (B ) 。
推论2 向量组A 与向量组B 等价，则r (A ) =r (B ) 。 推论3 n +1个n 维向量一定线性相关。
⎛a 1i ⎫ ⎪ a 2i ⎪
定理3 设n 维向量组α1, α2, , αm αi = i =1, 2, , m
⎪ ⎪ a ⎪⎝ni ⎭
r （r
⎛a 1i ⎫ ⎪ a ⎪βi = 2i ⎪
⎪ a ⎪⎝ri ⎭
i =1, 2, , m
则（1）如果α1, α2, , αm 线性相关，那么β1, β2, , βm 也线性相关； （2）如果β1, β2, , βm 线性无关，那么α1, α2, , αm 也线性无关。 证 （1）α1, α2, , αm 线性相关，则存在一组不全为零的常数k 1, k 2, , k m ，使 k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0 则
a 11k 1+a 12k 2+ +a 1m k m =0
a 21k 1+a 22k 2+ +a 2m k m =0
a r 1k 1+a r 2k 2+ +a rm k m =0 a n 1k 1+a n 2k 2+ +a nm k m =0
由前r 个等式可知
k 1β1+k 2β2+ +k m βm =0
故β1, β2, , βm 也线性相关。
（2）逆否命题显然成立。
§4 矩阵的秩 相抵标准型
一．矩阵的行秩与列秩
对于矩阵A ，我们把它的每一行（列）称为A 的一个行（列）向量。 定义1 设矩阵A ，A 的行（列）向量组的秩称为A 的行（列）秩。 阶梯形矩阵
⎛a 11 0
A =
0 0⎝
a 12000
a 13a 2300
a 14a 24a 340
a 15⎫⎪a 25⎪
a 35⎪⎪0⎪⎭
其中a 11≠0, a 23≠0, a 34≠0，则A 的行秩=3，列秩=3。这是因为：
若把A 按行分块为
⎛α1⎫
⎪ α2⎪A = α⎪
3⎪ α⎪⎝4⎭
则由x 1α1+x 2α2+x 3α3=0容易推出，数x 1, x 2, x 3必须全为零，所以α1, α2, α3线性无关，而α4=0。所以A 的行秩等于3。
若再把A 按列分块为
A =(β1, β2, β3, β4, β5)
同样，由y 1β1+y 3β3+y 4β4=0可推出y 1=y 3=y 4=0，故β1, β3, β4线性无关，又易证β1, β2, β3, β4, β5中任意4个向量都线性相关（因为βi 的第四个分量都为零，又由于任意4个三维向量都线性相关），所以，β1, β3, β4是向量组β1, β2, β3, β4, β5的一个极大线性无关组，因此A 的列秩也等于3。
由此例子可以得到一般的结论：阶梯形矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数。
定理1 如果对矩阵A 作初等行变换将其化为B ，则B 的行秩等于A 的行秩。 证 只需证明每作一次倍乘、倍加和对换行变换，矩阵的行秩都不变。
设A 是m ⨯n 矩阵，A 的 m 个行向量记为α1, α2, , αm 。
（1） 对换A 的某两行位置，所得到的矩阵B 的m 个行向量仍是A 的m 个行向量，
显然B 的行秩等于A 的行秩。
（2） 把A 的第i 行乘非零常数c 得矩阵B ，则B 的m 个行向量为α1, α2, , c αi , , αm 。显然，B 的行向量组与A 的行向量组是等价的。故根据本章§3的推论2知，B 的行秩等于A 的行秩。 （3） 把A 的第i 行乘非零常数c 加到A 的第j 行得矩阵B
⎛α1⎫⎛β1⎫⎛α1⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ β⎪ α⎪i 行乘c αi i
⎪ i ⎪ ⎪
−→ A = ⎪−− ⎪记作 ⎪=B
β⎪ ⎪加到j 行 c α+α⎪
αi j j ⎪ j ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
ααm ⎝⎭⎝βm ⎭⎝m ⎭
显然，B 的行向量组可以由A 的行向量组线性表示。又有，c αi +αj =βj 得，
αj =βj -c αi =βj -c βi ，故，A 的行向量组也可由B 的行向量组线性表示。因此A 与
B 等价，则A 与B 的行秩也相等。
初等行变换也不改变矩阵的列秩，这是因为：
定理2 对矩阵A 作初等行变换将其化为B ，则A 与B 的任何对应的列向量组有相同的线性相关性。即
初等行变换
−→（β1, β2, , βn ) =B A=（α1, α2, , αn ）−−−−
则向量组αi 1, αi 2, , αi r 与βi 1, βi 2, , βi r (1≤i 1
证 对矩阵A 作初等行变换化为B ，就是用若干个初等矩阵P 1, P 2, , P s 左乘A 使之等于B 。记P =P s P s -1 P 2P 1，则有，
PA=B
从而
P αj =βj , 取
A 1=（αi 1, αi 2, , αi r ）， B 1=（βi 1, βi 2, , βi r ） 则PA 1=B 1，记
j =1, 2, , n
⎛x i 1⎫ ⎪ x i ⎪X 1= 2⎪
⎪ x i ⎪⎝r ⎭
故对于线性方程组B 1X 1=PA 1X 1=0，因为P 为可逆矩阵，所以，B 1X 1=0与A 1X 1=0是同解的齐次线性方程组。 A 1X 1=0，即为
x i 1αi 1+x i 2αi 2+ +x i r αi r =0
B 1X 1=0，即为
x i 1βi 1+x i 2βi 2+ +x i r βi r =0
由于上述两等式是同解方程，所以αi 1, αi 2, , αi r 与βi 1, βi 2, , βi r 有相同的线性相关性。 定理2也提供了求向量组的秩及其极大线性无关组的一个简便而有效的方法。
例1 求向量组α1=(1, 3, 0, 5), α2=(1, 2, 1, 4), α3=(1, 1, 2, 3), α4=(0, 1, 2, 4),
α5=(1, -3, 0, -7) 的秩和它的一个极大线性无关组，并把其余向量表示为所求的极大线性无
关组的线性组合。
', α2', α3', α4', α5'为列作矩阵A ，并对A 作初等行变换 解 以α1
⎛1
3A =
0 5⎝
110
1⎫1⎛11⎪r 2-3r 1
211-3⎪ 0-1-2
−−−→ 011220⎪2⎪r 4-5r 1
0-1-2434-7⎪⎭⎝
1⎫
⎪
1-6⎪
⎪20⎪
4-12⎪⎭00
1⎛11
r 3+r 2
0-1-2
−−−→
000
r 4-r 2 000⎝⎛1r 2+r 3
−−−→
0 0⎝
110
1⎫r -r ⎛1⎪43 1-6⎪−−−→ 03-6⎪(-1) r 0
2 ⎪ 0⎪3-6⎭1
r 3⎝30
11
1⎫⎪
12-16⎪
⎪001-2⎪
0000⎪⎭
1⎫⎛1
⎪r 1-r 2
1204⎪ 0
−−−→ 0001-2⎪⎪ ⎪ 00000⎭⎝0-10-3⎫
⎪
1204⎪
=B ⎪001-2⎪
0000⎪⎭
记B=(β1, β2, β3, β4, β5) 。
容易看出B 的列向量β1, β2, β4线性无关，而β3, β5可由β1, β2, β4线性表示 β3=-β1+2β2,
β5=-3β1+4β2-2β4
因此，α1, α2, α4是向量组α1, α2, α3, α4, α5的一个极大线性无关组，且
α3=-α1+2α2, α5=-3α1+4α2-2α4
显然，α1, α2, α3, α4, α5的秩为3。
由定理1和定理2知：初等行变换既不改变矩阵的行秩也不改变矩阵的列秩，同样可证，初等列变换也不改变矩阵的行秩和列秩。总之，初等变换不改变矩阵的行秩和列秩。由于矩阵总可以通过初等变换化为阶梯矩阵，而阶梯矩阵的行秩等于它的列秩，因此可以得到下面的定理
定理3 矩阵的行秩等于其列秩。
由于矩阵的行秩与列秩相等，所以我们给出下面的定义：
定义2 矩阵的行秩和列秩统称为矩阵A 的秩，记作：r(A)或秩（A ）。
由于n 阶可逆矩阵总可以通过初等变换化为单位矩阵，因此n 阶可逆矩阵的秩为n 。所以，n 阶矩阵A 可逆的充要条件是：r(A)=n 。
定理4 n 阶矩阵A 的秩等于n 的充要条件是A 为非奇异矩阵（即A ≠0）。
二．矩阵的非零子式与秩的关系
定义3 矩阵A=(a ij ) m ⨯n 的任意k 行(i 1, i 2, , i k 行) 和任意k 列（j 1, j 2, , j k 列） 的交点的k 个元素按原顺序排列成的k 阶行列式
2
a i 1j 1a i 2j 1
a i 1j 2a i 2j 2 a i k j 2
a i 1j k a i 2j k
a i k j 1
a i k j k
称为A 的k 阶子行列式，简称A 的k 阶子式。当k 阶子式为零（不等于零）时，称为k 阶零子式（非零子式）。当i 1=j 1, i 2=j 2, , i k =j k 时，称为A 的k 阶主子式。
如果矩阵A 存在r 阶非零子式，而所有的r+1阶子式（如果有r+1阶子式）都等于零，则矩阵A 的非零子式的最高阶数为r ，因为由所有的r+1阶子式都等于零可推出所有更高阶的子式都等于零。
定理5 矩阵A 的非零子式的最高阶数等于矩阵A 的秩r(A)。
证 设 r(A)= r ，即A 的行秩为r ，不妨设A 的前r 个行向量线性无关，把A 的前r 行作成的矩阵记作A 1，则A 1的列秩=A 1的行秩=r。不妨再设A 1的前r 个列向量线性无关，则由定理4可知，A 的左上角的r 阶主子式为非零子式，又因为A 的任意r+1个行向量线性相
关，因此，在A 的任意r+1个行中作成的任一个r+1阶子式都是零子式。故A 的非零子式的最高阶数等于r 。
综上所述，关于矩阵的秩的基本结论是：矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的非零子式的最高阶数；初等变换不改变矩阵秩。
三．矩阵秩的常用性质
关于矩阵的秩，有下面几个常用的性质： 性质1 r(A+B)≤r(A)+r(B)
证 设A 、B 均是m ⨯n 矩阵，r(A)=s， r(B)=t， 将A 、B 按列分块为
A=(α1, α2, , αn ) ， B=(β1, β2, , βn ) 则
A +B =(α1+β1, α2+β2, , αn +βn )
不妨设A 和B 的列向量组的极大线性无关组分别为α1, α2, , αs 和β1, β2, , βt ，于是A+B的列向量可以由α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 线性表示，所以 r(A+B)=A+B的列秩≤秩（α1, α2, , αs , β1, β2, , βt ）≤s+t
性质2 r(AB)≤min(r(A),r(B))
证 设A 、B 分别是m ⨯n , n ⨯s 矩阵。 A =a ij
将A 按列分块
A =(α1, α2, , αn ) 则
()
m ⨯n
,
B =(b jk )n ⨯s
⎛b 11b 12
b 21b 22
AB=(α1, α2, , αn )
b
⎝n 1b n 2 b 1s ⎫
⎪
b 2s ⎪
⎪ ⎪
b ns ⎪⎭
故AB 的列向量可由A 的列向量α1, α2, , αn 线性表示，故
r(AB) =A B的列秩≤A 的列秩=r(A)
类似地，将B 按行分块，可得 r(AB)≤ r(B)。
性质3 设A 是m ⨯n 矩阵，P 、Q 分别是m 阶、n 阶可逆矩阵，则 r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)
证 由于可逆矩阵P 、Q 可以表示为若干个初等矩阵的乘积，而初等变换不改变矩阵的秩，故结论成立。
四．矩阵的相抵标准形
最后我们讨论，一个秩为r 的矩阵通过初等变换化为怎样的最简单的矩阵，也就是矩阵
的相抵标准形（或说等价标准形）。
定义4 若存在可逆矩阵P 、Q 使 PAQ=B，就称A 相抵于B 。记作A ≅B 。 根据定义，容易证明矩阵的相抵关系有以下性质： （1） 反身性：即A ≅A
（2） 对称性：即若A ≅B , 则B ≅A （由于有对称性，A ≅B 一般就说A 与B 相抵）。 （3） 传递性：即若A ≅B , B ≅C , 则A ≅C 。
所以相抵是一种等价关系。
定理6 若A 为m ⨯n 矩阵，且r(A)=r，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得
⎛E r
PAQ = 0
⎝
其中E r 为r 阶单位矩阵。
0⎫⎪ 0⎪⎭m ⨯n
证 对A 作初等行变换，将A 化为有r 个非零行的阶梯矩阵。
⎛1
P s P 2P 1A = 0
0 ⎝0
*1000
**100
***00
*⎫⎪*⎪ ⎪⎪
*⎪=U 1 0⎪⎪ ⎪⎪0⎭
其中P 1, P 2, , P s 为初等矩阵。再对U 1作倍加初等列变换和列对换，可将U 1化为
⎛10 00 0⎫
⎪01 00 0 ⎪ ⎪ ⎪⎛E r
U 1Q 1Q 2 Q t = 00 10 0⎪=
00 00 0⎪⎝0 ⎪ ⎪ ⎪00 00 0⎝⎭
其中Q 1, Q 2, , Q t 为初等矩阵。 所以，存在可逆矩阵P =P s P 2P 1, PAQ =
0⎫
⎪ 0⎪⎭
Q =Q 1Q 2 Q t ，使 0⎫
⎪ 0⎪⎭m ⨯n
⎛E r
⎝0
我们把上式右端
⎛E r
⎝00⎫⎪称为A 的相抵标准形（或等价标准形）。容易知道，秩相⎪0⎭m ⨯n
同的同型矩阵必相抵于同一相抵标准形。因此，任意两个秩相同的同型矩阵是相抵的。
§5 n 维向量空间
在本章§1中，我们定义了n 维向量，并且对它规定了加法和数乘两种运算。在向量的线性运算基础上，我们进一步引进向量空间的概念。
定义1 设V 为n 维向量的非空集合，R 是实数域。若V 对加法和数乘运算封闭，即
（1）∀α, β∈V , 有α+β∈V ； （2）∀α∈V ，λ∈R ，有λα∈V 。 则称集合V 为向量空间。
例1 3维实向量的全体R 3，就是一个向量空间。因为任意两个3维向量之和仍为3向量，数λ乘3维向量也仍为3维向量，它们都属于R 3。我们可以用有向线段形象地表示3维向量，从而向量空间R 3可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体。
类似地，n 维向量的全体R n ，也是一个向量空间。不过当n >3时，它没有直观的几何意义。
例2 集合V ={X |X =(0, x 2, , x n ), x 2, , x n ∈R }是一个向量空间。因为若
α=(0, a 2, , a n )∈V , β=(0, b 2, , b n )∈V ，则α+β=(0, a 2+b 2, , a n +b n )∈V ，
λα=(0, λ2α2, , λn αn )∈B 。
例3 集合V ={X |X =(1, x 2, , x n ),
x 2, , x n ∈R }不是向量空间，因为
α=(1, a 2, , a n )∈V , 而2α=(2, 2a 2, , 2a n )∉V 。
例4 设α, β为两个已知的n 维向量，集合 V ={X |X =λα+μβ, 是一个向量空间。因为若X 1=λ1α+μ1β,
λ, μ∈R }
X 2=λ2α+μ2β，则有
X 1+X 2=(λ1+λ2) α+(μ1+μ2) β∈V kX 1=(k λ1) α+(k μ1) β∈V
这个向量空间称为由向量α, β所生成的向量空间。
一般地，由向量α1, α2, , αm 所生成的向量空间为
V ={X |X =λ1α1+λ2α2+ +λm αm , λ1, λ2, , λm ∈R }
定义2 设有向量空间V 1, V 2，如果V 1⊂V 2，就称V 1是V 2的子空间。
例如，向量空间V ={X |X =(0, x 2, , x n ), x 2, , x n ∈R }是R n 的子空间。
定义3 设α1, α2, , αr 是向量空间V 的向量，且满足 （1） α1, α2, , αr 线性无关；
（2） V 中任一向量都可以由α1, α2, , αr 线性表示。
则称α1, α2, , αr 为向量空间V 的一个基，r 称为向量空间V 的维数，并称V 为r 维向量空间。
只含零向量的集合也是一个向量空间，它没有基，它的维数规定为0。
若把向量空间V 看作向量组，则V 的基就是向量组的极大线性无关组，V 的维数就是向量组的秩。
n 维向量ε1, ε2, , εn （εi 参照本章§2例1）是R 的一个基，所以R 的维数为n 。易知，任何n 个线性无关的n 维向量与ε1, ε2, , εn 等价，所以任何n 个线性无关的n 维向量都是向量空间R 的一个基。
定义4 设α1, α2, , αr 是向量空间V 的一个基，α∈V ，若 α=x 1α1+x 2α2+ +x r αr
则称有序数组(x 1, x 2, , x r )为向量α在基 α1, α2, , αr 下的坐标，记为(x 1, x 2, , x r )或
n
n
n
(x 1, x 2, , x r )'。
显然，向量空间的基不是唯一的，但向量在给定基下的坐标是唯一的。
例如，n 维向量α=(a 1, a 2, , a n ) 在基ε1, ε2, , εn 下的坐标为(a 1, a 2, , a n ) 。 例5 求n 维向量α=(a 1, a 2, , a n ) '在基β1=(1, -1, 0, , 0) ', β2=(0, 1, -1, , 0) '，
, βn -1=(0, , 0, 1, -1) ', βn =(0, , 0, 1) '下的坐标。
解 设
α=x 1β1+x 2β2+ +x n βn =(β1, β2, , βn )
⎛x 1⎫ ⎪ x 2⎪ ⎪ ⎪ x ⎪⎝n ⎭
即
0⎛1
-11 0-1
00 00⎝
即
0⎫⎛x 1⎫⎛a 1⎫
⎪ ⎪⎪
00⎪ x 2⎪ a 2⎪ 00⎪ x 3⎪ a 3⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪x a 10⎪n -1n -1⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ -11⎭⎝x n ⎭⎝a n ⎪⎭
x 1=a 1⎧
⎪-x +x =a
122⎪⎪
⎨-x 2+x 3=a 3
⎪ ⎪⎪⎩-x n -1+x n =a n
解得
⎧x 1=a 1
⎪x =a +a 212⎪⎪
⎨x 3=a 1+a 2+a 3
⎪ ⎪⎪⎩x n =a 1+a 2+ +a n
所以α在基β1, β2, , βn 下的坐标为(a 1, a 1+a 2, , a 1+a 2+ +a n )。
§6 向量的内积与正交矩阵
在解析几何中，已经讨论过向量的数量积、长度，现在我们把它推广到n 维空间的情形。
一．向量的内积
n
定义1 设α=（a 1, a 2, , a n ），β=(b 1, b 2, , b n ) 是R 的两个向量，
记
(α, β) =a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n 称(α, β) 为向量α与β的内积。
利用矩阵乘法的运算，上述α，β表示矩阵，那么内积可以表示为
⎛b 1⎫ ⎪ b 2⎪
(α, β) =(a 1, a 2, a n ) ⎪=αβ'
⎪ b ⎪⎝n ⎭
根据内积的定义，容易证明以下性质： 性质1 设α, β为n 维向量，k 为实数，则 （1）(α, β) =(β, α) ； （2）(k α, β) =k (α, β),
k 为实数；
（3）(α+β, γ) =(α, γ) +(β, γ) ；
（4）(α, α) ≥0. 其中, (α, α) =0的充要条件是α=0。
有了n 维向量的内积定义，便可将三维空间的向量长度推广到n 维空间。 定义2 设α=（a 1, a 2, , a n ）是R 的向量，记 =称为向量α的长度。
若=1，则称α为单位向量。 向量的长度满足以下性质：
性质2 设α, β为n 维向量，k 为实数，则
（1）非负性： 当α≠0时，>0。当α=0时，=0； （2）齐次性： k α=k ；
（3）柯西不等式： (α, β) ≤⋅β； （4）三角不等式： +β≤+β。 证 （1）、（2）容易证明。现证（3）、柯西不等式
若β=0，性质（3）显然成立。若β≠0，则(β, β)>0。作向量α+t β（t ∈R ），则 (α+t β, α+t β)≥0 即
n
α, α=
22
a 12+a 2+ +a n
(β，β)t +2(α，β)t +(α，α)≥0
2
上式左端是关于t 的二次多项式，因此便有 ∆=4(α, β)-4(α, α)(β, β)≤0
2
即
(α, β)≤(α, α)(β, β)
2
故
(α, β) ≤⋅β
再证（4）、三角不等式 即
+β≤+β
二．单位正交基
定义3 对于n 维非零向量α, β，如果(α, β)=0，则称向量α与β正交。一组非零的n 维向量，如果它们两两正交，则称之为正交向量组。
定理1 正交向量组必线性无关。
证 设α1, α2, , αm 是一个正交向量组， k 1, k 2, , k m 为m 个数，且有 k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0 等式两边与αi 内积得，
0=(0, αi ) =（k 1α1+k 2α2+ +k m αm ，αi ）
+β
2
=(α+β, α+β)=(α, α)+2(α, β)+(β, β)≤+2⋅β+β
2
2
=(+β)
2
=k 1(α1, αi )+k 2(α2, αi )+ +k i (αi , αi )+ +k m (αm , αi )
由于α1, α2, , αm 两两正交，所以由上式得 k i (αi , αi )=0
再由αi ≠0知，(αi , αi )≠0，所以，k i =0(i =1, 2, , m ) ，因此，α1, α2, , αm 线性无关。
向量空间中，由正交向量组构成的基，称为正交基。如果正交基由单位向量组成，则称为单位正交基（或称为标准正交基）。
n n
例如，R 的一组基ε1=(1, 0, , 0), ε2=(0, 1, , 0), , εn =(0, 0, , 1) 是R 的一个单
位正交基。
由于在单位正交基下讨论问题比较方便，所以下面介绍将一组基化为单位正交基的方法。
三．施密特(Schmit)正交化方法
设α1, α2, , αr 是向量空间V 的一个基。先将该向量组正交化： 令
β1=α1, 选取λ使(β1, β2) =0，即选 λ=-于是有
β2=α2-再取
β3=α3+k 1β1+k 2β2 选取k 1, k 2使
(β1, β3)=0
由此得两个方程
⎨
解得
k 1=-
那么
β3=α3-继续做下去, βr =αr -
β2=α2+λβ1,
(β1, α2)
β1, β1(β1, α2)
β
β1, β11
(β2, β3)=0
⎧(β1, α3)+k 1(β1, β1)+k 2(β1, β2)=0
⎩(β2, α3)+k 1(β2, β1)+k 2(β2, β2)=0
(β1, α3)β1, β1k 2=-
(β2, α3)
β2, β2(β1, α3)(β, α)
β1-23β2
β1, β1β2, β2(β1, αr )(β, α)(β, α)β1-2r β2- -r -1r βr -1
β1, β1β2, β2βr -1, βr -1于是得到一组正交向量组β1, β2, , βr 。
由于空间V 对线性运算封闭，所以β1, β2, , βr ∈V ，因此，β1, β2, , βr 是V 的一个正交基。再将β1, β2, , βr 单位化，得到一个标准正交基：
β1
, β1
β2β, , r 。 β2βr
上述向量空间基的正交化方法称为施密特正交化方法。
例1 已知B={α1, α2, α3}是R 3的一组基。其中， α1=(1, -1, 0), α2=(1, 0, 1), α3=(1, -1, 1)。 试用施密特正交化方法，由B 构造R 3的一组标准正交基。
解 先将该向量组正交化，得
β1=α1=(1, -1, 0)；
β2=α2-
(β1, α2)1⎛11⎫β1=(1, 0, 1)-(1, -1, 0)= , , 1⎪；
β1, β12⎝22⎭(β1, α3)(β, α)
β1-23β2
β1, β1β2, β2211⎫
(1, -1, 0)-2⎛ , , 1⎪ 23⎝22⎭
β3=α3-
=(1, -1, 1)-
⎛111⎫
= -, -, ⎪ ⎝333⎭
再将β1, β2, β3单位化，得到R 的一组标准正交基： η1=
3
1
β1
1
β1=
⎛1⎝2⎛1
,
-1
⎫, 0⎪； 2⎭
2⎫
η2=
β2= , , ⎪； ⎪β2⎝6⎭
1
η3=
β3= , -, ⎪ -⎪。 β3⎭⎝
1⎛111⎫
四．正交矩阵
正交矩阵是一种重要的实矩阵，下面给出正交矩阵的定义。 定义4 设n 阶方阵A ，如果A 'A =E ，则称A 为正交矩阵。
定理2 A 为n 阶正交矩阵的充分必要条件是A 的列（或行）向量为R n 的一组标准正交基。
证 只证列向量情形。设
⎛ a 11a 12 a 1n ⎫
A = a a
21
22 a ⎪
2n ⎪
⎪
=(α1, α2, , αn )
⎝a n 1
a n 2
a ⎪
nn ⎪⎭
其中
⎛ a 1i ⎫
α a ⎪2i ⎪
i = ⎪
⎪⎝a ni ⎪⎭
则
⎛ α1'⎫⎛α1'α1α1'α2 A 'A = α'⎪ 2⎪ 'α ⎪(α α2
1α2'α21, α2, , αn )=
⎝α'⎪n ⎪ ⎭ ⎝α'n α1
α'n α
2 因此A 'A =E 的充必条件是； αi 'αi =(αi , αi )=1,
(i =1, 2, , n ) αi 'αj =(αi , αj )=0
(j ≠i ,
i , j , =1, 2, , n )
即A 的列向量{
α, αn
1, α2, n }为R 的一组标准正交基。 定理3 设A 为n 阶正交矩阵，则 （1） A =1或A =-1； （2） A
-1
=A '；
（3） A '也为n 阶正交矩阵。
证（1） A 为n 阶正交矩阵。 A 'A =E A 'A =A '⋅A =A 2
=1
所以
A =±1 （2） 由A 'A =E 知
A -1=A '。
（3）因为
α1
'αn ⎫'⎪2αn ⎪
⎪
'⎪n αn ⎪⎭
αα
(A ') 'A '=A A '=AA -1=E
所以，A '也为n 阶正交矩阵。
例2 证明： α1= , -一个标准正交基。
证
⎛1⎝322⎫⎛212⎫⎛221⎫
, -⎪, α2= -, , -⎪, α3= -, -, ⎪是R 3的33⎭⎝333⎭⎝333⎭
⎛1
32
', α2', α3')= - (α1
3 2 -⎝3
3
23132-3-
2⎫-⎪3⎪记2
-⎪=A 3⎪1⎪⎪3⎭
因为A 'A =E ，所以α1, α2, α3是R 的一个标准正交基。
习
1、设α=(2, 3, 0), β=(0, -3, 1), γ=(2, -4, 1)，求2α-3β+γ。
2、解向量方程3(α1-X )+2(α2+X )=5(α3+X )，其中α1=(2, 5, 1, 3)，
题 三
α2=(10, 1, 5, 10), α3=(4, 1, -1, 1)。
3、判别下列向量组的线性相关性：
（1） α1=(1, 1, 1), α2=(0, 2, 5), α3=(1, 3, 6)； （2） α1=(0, 1, 2), α2=(1, 2, 1), α3=(1, 3, 4)；
（3） α1=(1, 2, 1, -1), α2=(1, -1, 2, 4), α3=(0, 3, 1, 2), α4=(3, 0, 7, 14)； (4 ) α1=(1, 1, 1, 1), α2=(1, 1, -1, -1), α3=(1, -1, 1, -1), α4=(1, -1, -1, 1)。
4、试证：任意一个4维向量β=(b 1, b 2, b 3, b 4)都可由向量组α1=(1, 0, 0, 0)，
α2=(1, 1, 0, 0)，α3=(1, 1, 1, 0)，α4=(1, 1, 1, 1)线性表示，并且表示方式是唯一的，写出这种
表示方式。
5、证明：若α1, α2线性无关，则α1+α2, α1-α2也线性无关。
6、设α1, α2, α3线性无关，证明α1+α2, α2+α3, α3+α1也线性无关。
7、证明：若α1, α2, α3线性无关，β=λ1α1+λ2α2+λα3，那么
（1） 当λ=0时，α1, α2, β线性相关； （2） 当λ≠0时，α1, α2, β线性无关。 8、设a 1, a 2, , a n 是互不相同的实数，令
α1=(1, a 1, a 12, , a 1n -1)
2n -1
)α2=(1, a 2, a 2, , a 2
2n -1)αn =(1, a n , a n , , a n
求证：任一n 维向量都可以由向量组α1, α2, , αn 线性表示。
9、m 个m+1维向量α1=(1, 0, , 0, a 1), α2=(0, 1, , 0, a 2), , αm =(0, 0, , 1, a m )是否线性相关？
10、如果α1, α2, α3, α4线性相关，但其中任意三个向量都线性无关，证明必存在一组全不为0的数k 1, k 2, k 3, k 4，使得
k 1α1+k 2α2+k 3α3+k 4α4=0
11、若α1, α2, , αr 线性无关，证明：β, α1, α2, , αr 线性无关的充要条件是β不能由α1, α2, , αr 线性表示。
12、求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关
组线性表示。
（1）α1=(1, 1, 1), α2=(1, 1, 0), α3=(1, 0, 0), α4=(1, 2, -3)；
（2）α1=(1, 2, 1, 3), α2=(4, -1, -5, -6), α3=(1, -3, -4, -7), α4=(2, 1, -1, 0)；
⎛1⎫⎛0⎫⎛3⎫⎛2⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ -1⎪ 3⎪ 0⎪ 1⎪ -1⎪
（3）α1= ⎪, α2= ⎪, α3= ⎪, α4= ⎪, α5= ⎪；
21752 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4⎪ 2⎪ 14⎪ 6⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ 2⎪ 0⎪ 1⎪
（4）α1= 2⎪, α2= 1⎪, α3= 3⎪, α4= 0⎪。
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2⎪ 5⎪ -1⎪ 4⎪ 1⎪ -1⎪ 3⎪ -1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
13、设r (α1, α2, α3)=r (α1, α2, α3, α4)。证明：向量组α1, α2, α3与向量组
α1, α2, α3, α4等价。
14、设V 1={X |X =(x 1, x 2, , x n ),
x 1+x 2+ +x n =0, x 1, x 2, , x n ∈R }，
V 2={X |X =(x 1, x 2, , x n ), x 1+x 2+ +x n =1, x 1, x 2, , x n ∈R }，
问V 1, V 2是不是R n 的子空间，为什么？
15、设α1=(2, -1, 3), α2=(1, 0, -1), α3=(0, -1, 5)。它们的一切线性组合记为 V ={x 1α1+x 2α2+x 3α3|x 1, x 2, x 3∈R } 证明：V 是R 3的一个子空间，并求出V 的一个基。
3
16、证明：α1=(2, 1, 0), α2=(0, 1, 2), α3=(-2, 1, 2)是R 的一个基。并求出向量
α=(-4, 2, 6)在基α1, α2, α3下的坐标。
17、求下列矩阵的秩。
⎛1 0 （1）
0 0⎝5⎫⎛1-1⎪
0-1-2-3⎪ 2-2
（2） 300004⎪⎪ ⎪ 03012-1⎭⎝
234
0⎫
⎪
4-20⎪
⎪6-11⎪
001⎪⎭
21
⎛1
⎛32-1-3-2⎫
⎪ 2
1-3⎪ （4） （3） 2-13
0 45-5-61⎪ ⎝⎭ 0⎝
18、设A 、B 是同形矩阵，证明： A 与B 相抵的充分必要条件是r(A)=r(B)。
19、k 在实数范围内取何值时，下列向量正交。
（1）α=
100⎫
⎪
110⎪
⎪211⎪
021⎪⎭
⎛1⎫
, 1, -1, -2⎪, β=(5, k , 4, 1)； ⎝k ⎭
（2）α= 2,
⎛⎝1⎫
, -1, 0⎪, β=(0, 1, k , -1)。 k ⎭
20、把下列向量组正交化、单位化。
（1）α1=(3, 0, 4), α2=(-1, 0, 7), α3=(2, 9, 11)； （2）α1=(1, 0, 1), α2=(2, 1, 0), α3=(0, 1, 1)。
21、设α1=(1, 1, 1), α2=(1, -2, 1)，求一个单位向量X ，使X 与α1, α2都正交。 22、设A , B 都是n 阶正交矩阵，证明 （1） AB 也是正交矩阵；
（2） A 'B 也是正交矩阵。
23、证明：若A 是正交矩阵，则A 的伴随矩阵A *也是正交矩阵。 24、设A 是n 阶正交矩阵。证明：对任意的n 维列向量α, β，均有 (A α, A β)=(α, β) 25、设
⎛2 2 A = 0
-2 2⎝
2622-326
2⎫⎪3⎪1⎪⎪ 3⎪2⎪3⎪⎭
证明：A 是正交矩阵。
26、判别下列矩阵是否为正交矩阵
⎛1
（1） 0
-2
6⎝
1-3
112
6
1⎫⎛⎪ 1⎪ 1⎪ -1； （2）⎪ 22⎪
21⎪
⎪⎝36⎭
-
1
2
112
⎫⎪⎪⎪。 ⎪⎪-1⎪⎭
1312