一阶常微分方程习题(一)

一阶常微分方程习题（一） 1．dy

dx=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 =2xdx 两边积分有：ln|y|=x2+c 解：dy

y

y=ex+ec=cex22另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1

特解为y= ex.

2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y2dx=-(x+1)dy dyy22dy=-1x1dx

两边积分: -1

y=-ln|x+1|+ln|c| y=1

ln|c(x1)|

另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=1

ln|c(x1)|

2

3 3．dydx=1y

xyxy

解：原方程为：dydx

1=1yy21xx3 1y

y2dy=xx3dx

两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx2

4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0

解：原方程为： 1y

ydy=-x1

xdx

两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为：

dydx=-

y

x

2xyxy dydxxdudx令-=u 则du==u+x 代入有： u1

u11dx

ln(u2+1)x2=c-2arctgu

即 ln(y2+x2)=c-2arctg

6. xdydxyx2. -y+xy=0

dydx

dydx22 解：原方程为： yx=yx+|x|xdudx-(yx) 2则令

1=u =u+ x1

x u2 du=sgnx dx arcsiny

x=sgnx ln|x|+c

7. tgydx-ctgxdy=0

解:原方程为：dytgy=dx

ctgx

两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=1ccosx=c

cosx 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.

所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dydx+ey3x2

y=0

2

解：原方程为：dydx=ey

ye3x

2 e3x-3ey2=c.

dydx9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：=yxlny

x

令

yx=u ,则dydx=u+ xdudx

u+ xdu

dx=ulnu

ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln

10. dy

dxyx=cy. =exy

dy

dx 解：原方程为：

ey=cex 11 dy

dx=exey =(x+y)2

dydx 解：令x+y=u,则

du

dx=dudx-1 -1=u2

1

1u2du=dx

arctgu=x+c

arctg(x+y)=x+c 12. dydx=1

(xy)2

dydxdudx解：令x+y=u,则

dudx=-1 -1=1

u2

u-arctgu=x+c

y-arctg(x+y)=c. 13. dydx=2xy1

x2y1

解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx

xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0

dxy-d(y2-y)-dx2+x=c

xy-y2+y-x2-x=c 14: dydx=xy5

xy2

解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx

xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0

dxy-d(1

2y2+2y)-d(1

2x2+5x)=0

y2+4y+x2+10x-2xy=c. 15: dy

dx=(x+1) 2+(4y+1)

dy

dx2+8xy1 解：原方程为：=（x+4y）2+3

dydx令x+4y=u 则

1du4dx

du

dx=1du4dx-14 -14=u2+3 =4 u2+13 3

2u=tg(6x+c)-1 2

3tg(6x+c)=

xdy

ydx(x+4y+1). 16:证明方程=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：

1） y(1+x2y2)dx=xdy

2） xdyydx=2x y

2-xy2222

du

dx 证明： 令xy=u,则x

则

dydydx+y=ux2 dxxdu=1duxdx-，有：

udx=f(u)+1

11

x u(f(u)1)du=dx

所以原方程可化为变量分离方程。

1） 令xy=u 则dydx=1duxdx-u

x2 (1) 原方程可化为：dydx

将1代入2式有：

u=u2+cx 2x1duxdx=y[1+（xy）2] (2) -ux2=ux(1+u2) 17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。

解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x- x )+ y

则与x轴，y轴交点分别为：

x= x0 - y0y' y= y0 - x0 y’

则 x=2 x0 = x0 - y0y' 所以 xy=c



418.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中 =

解：由题意得：y’=y

x 。 1ydy=1

x dx

ln|y|=ln|xc| y=cx.

  = 则y=tgx 所以 c=1 y=x. 4

19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx

则：y=kx2 +c 即为所求。

一阶常微分方程习题（一） 1．dy

dx=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 =2xdx 两边积分有：ln|y|=x2+c 解：dy

y

y=ex+ec=cex22另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1

特解为y= ex.

2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y2dx=-(x+1)dy dyy22dy=-1x1dx

两边积分: -1

y=-ln|x+1|+ln|c| y=1

ln|c(x1)|

另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=1

ln|c(x1)|

2

3 3．dydx=1y

xyxy

解：原方程为：dydx

1=1yy21xx3 1y

y2dy=xx3dx

两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx2

4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0

解：原方程为： 1y

ydy=-x1

xdx

两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为：

dydx=-

y

x

2xyxy dydxxdudx令-=u 则du==u+x 代入有： u1

u11dx

ln(u2+1)x2=c-2arctgu

即 ln(y2+x2)=c-2arctg

6. xdydxyx2. -y+xy=0

dydx

dydx22 解：原方程为： yx=yx+|x|xdudx-(yx) 2则令

1=u =u+ x1

x u2 du=sgnx dx arcsiny

x=sgnx ln|x|+c

7. tgydx-ctgxdy=0

解:原方程为：dytgy=dx

ctgx

两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=1ccosx=c

cosx 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.

所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dydx+ey3x2

y=0

2

解：原方程为：dydx=ey

ye3x

2 e3x-3ey2=c.

dydx9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：=yxlny

x

令

yx=u ,则dydx=u+ xdudx

u+ xdu

dx=ulnu

ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln

10. dy

dxyx=cy. =exy

dy

dx 解：原方程为：

ey=cex 11 dy

dx=exey =(x+y)2

dydx 解：令x+y=u,则

du

dx=dudx-1 -1=u2

1

1u2du=dx

arctgu=x+c

arctg(x+y)=x+c 12. dydx=1

(xy)2

dydxdudx解：令x+y=u,则

dudx=-1 -1=1

u2

u-arctgu=x+c

y-arctg(x+y)=c. 13. dydx=2xy1

x2y1

解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx

xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0

dxy-d(y2-y)-dx2+x=c

xy-y2+y-x2-x=c 14: dydx=xy5

xy2

解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx

xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0

dxy-d(1

2y2+2y)-d(1

2x2+5x)=0

y2+4y+x2+10x-2xy=c. 15: dy

dx=(x+1) 2+(4y+1)

dy

dx2+8xy1 解：原方程为：=（x+4y）2+3

dydx令x+4y=u 则

1du4dx

du

dx=1du4dx-14 -14=u2+3 =4 u2+13 3

2u=tg(6x+c)-1 2

3tg(6x+c)=

xdy

ydx(x+4y+1). 16:证明方程=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：

1） y(1+x2y2)dx=xdy

2） xdyydx=2x y

2-xy2222

du

dx 证明： 令xy=u,则x

则

dydydx+y=ux2 dxxdu=1duxdx-，有：

udx=f(u)+1

11

x u(f(u)1)du=dx

所以原方程可化为变量分离方程。

1） 令xy=u 则dydx=1duxdx-u

x2 (1) 原方程可化为：dydx

将1代入2式有：

u=u2+cx 2x1duxdx=y[1+（xy）2] (2) -ux2=ux(1+u2) 17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。

解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x- x )+ y

则与x轴，y轴交点分别为：

x= x0 - y0y' y= y0 - x0 y’

则 x=2 x0 = x0 - y0y' 所以 xy=c



418.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中 =

解：由题意得：y’=y

x 。 1ydy=1

x dx

ln|y|=ln|xc| y=cx.

  = 则y=tgx 所以 c=1 y=x. 4

19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx

则：y=kx2 +c 即为所求。