东南大学工程矩阵理论期终考试试卷09-10-2

一. （10％）求C

中，V122的子空间V1,V2的交空间V1V2及和空间V1V2的基和维数，其x

xyxy|x,yC,V|x,yC2． yyx

二. （10%）欧氏空间R[x]3中的内积定义为：对(x),(x)R[x]3，

(x),(x)(x)(x)dx。令1，x，x2， WL(,)。11

求在W中的正投影，即求0W，使得0min． W

三. （20%）在22矩阵空间C22上定义线性变换f如下：对任意矩阵XC22，

a2af(X)，其中，a为X的迹tr(X)。

3a4a

1. 求f在C22的基E11,E12,E21,E22下的矩阵M；

2. 分别求f的值域R(f)及核子空间K(f)的基及维数；

3. 求f的特征值及相应的特征子空间的基；

4. 问：是否存在C22的基，使得f在这组基下的矩阵为对角阵？为什么？

1a7四. （10%）根据参数a,b不同的值，讨论矩阵A02b的Jordan标准形，并求矩

001

阵(AI)100的秩。

101五. （14%）假设矩阵A002．

101

1. 求A的广义逆矩阵A；

At2. 求一个次数不超过2的多项式f()，使得f(A)Ae． 

六. （10%）假设f是n维酉空间V上的线性变换，若对任意,V，有

(f(),)(f,(。) )

1. 证明：在V的标准正交基下，f的矩阵为Hermite矩阵；

2. 证明：存在V的一组标准正交基，使得f的矩阵为对角阵。

七. （8%）假设sn矩阵A的秩为r

，证明A2AF2。

八. （8%）假设A是ACsn的广义逆矩阵，证明：CnK(A)R(A)，其中，

K(A),R(A)分别表示矩阵A的核空间和A的值域．

九. （12%）假设A,B都n阶Hermite矩阵．

1. 如果A是正定的，证明：存在可逆矩阵C，使得CHAC,CHBC都是对角阵；

2. 如果A,B都是半正定的，并且A的秩r(A)n1，证明：存在可逆矩阵C，

使得CHAC,CHBC都是对角阵。