信用风险管理的基础知识
数学科学学院 统计学 0810077 王一川
为什么是信用风险管理在银行业是一个重要的问题？为了回答这个问题，让我们举一个虽然很简单，但是很实际的例子。假设有一个大型房地产公司要求内部银行给予10亿欧元的贷款，那么银行的信用高级分析师就该犯难了，到底是否应该贷款给这家公司呢？让我们进一步假设分析师已经知道，银行的信贷风险总监已与建筑公司总裁相识多年，更糟的是，信贷分析师从最近的研究报告得知，建筑行业最近面临危机，而这家公司在银行内部的信用评级又恰恰很差。我们的分析师应该怎样做？好吧，大多数人肯定会说这个分析师会拒绝着份交易，基于他所得到的资料和目前的市场形势。而另一种方法是同意给予贷款，但要对可能由合约产生的损失进行信用风险管理（例如一个所谓的信用衍生工具）。诚然我们故意夸大了描述，但是刚刚我们假设的情况的确时有发生，一个信贷人员在遇到以上情况时也是很难做出决定。从任何一个资产负债表中我们都能看出处理信用违约是一个银行的日常业务就像信用卡业务和在ATM 机业务一样。因此银行在很多年以前就开始考虑贷款保险，而那些保险的范例现在将引导我们去了解金融信用风险管理的核心。
1.1预期损失
介绍中所描述的情况建议我们为预期的损失保险，就像我们所知道财产和人身保险一样。此外，历史表明，即使是好的客户也有对他们的财政义务违约的潜力，因此，不仅是那些不良贷款，所有的贷款都应该被保险。保险行为背后的基本目的是一样的，都是为了回避风险。
贷款人可以用完全一样的方式：每一笔贷款安排适当的风险溢价和收集收集这些内部的银行账户的风险溢价建立预计损失准备，这将创建一个用于覆盖拖欠贷款而产生的损失资本缓冲。
在概率论中，预期总是指期望或均值，风险管理中这也是如此。其基本思路如下：银行给每一个客户一个违约概率（DP ）default probability。一个损失比例称为违约损失（违约损失率）given default (LGD)，是用来描述贷款的， 一个违
约风险暴露（Exposure at Default, EAD），在所考虑的时期内的损失。债务人的所有损失都是由如下的损失函数定义的：
L = EAD × LGD × L 和 L = 1D, P(D) = DP, (1. 1)
其中D 表示在一定时间内（通常是一年）债务人违约的事件，P(D)表示D 事件发生的概率。虽然我们不会讲太多技术细节，但我们还是应该在这里提到，我们的模型是基于一定的概率空间(Ω,F, P) 的，包括一个样本空间Ω，一个σ-代数F ，和一个概率测度P 。F 中的元素都是可测的事件模型，而且直觉告诉我们，违约事件应该可以衡量的。此外，依据我们共同的认同现有的资料我们可以定义F ，而且债务人违约与否也是属于可测事件集的。
故我们得出预期损失expected loss (EL)的计算公式：
EL = E[˜ L] = EAD × LGD × P(D) = EAD × LGD × DP,
因为伯努利一维随机变量的期望是其事件的概率。为了获得代表(1. 2)的EL ，我们需要更多的公式因素假设。举例来说，我们可以假定违约风险暴露和违约损失率是恒定值，当然这不一定是根据所有情况的，还有各种各样的情况，例如，在模型中，由于不确定性摊销，预期风险的分数不得不被定义成随机的。在这种情况下EL 的仍是由公式（1.1）给出的。如果可以假设违约风险暴露，违约损失，和违约事件D 是相互独立的。违约风险暴露 和 违约损失是一些潜在的随机变量的期望的话。但这种相互独立的假设是值得怀疑的和非常简化的。故，我们可以说，（1.2）为最简单的表示公式，越多简单的假设被抛弃，预期损失的公式就越接近真实。
然而，我们并不应该被公式（1.2）中的那些独立性假设所困扰。无论如果公式（1.1）中的成分独立与否，预期损失的基本概念是相同的。况且，我们现在的惯例是，违约风险暴露是确定的，非随机的。而损失的严重性（SEV ），在违约的情况下将被随机给出。
1.1.1违约概率
给每一位客户银行信贷组合的违约概率并不是很容易得事情，当前，基本上有两种给出违约概率方法：
•从市场数据得到的校准违约概率
这种最著名最有代表性的方法是基于预期违约频率(EDF)，由kmv 公司给出的。 KMV 模型是美国旧金山市KMV 公司于1997年建立的用来估计借款企业违约概率的方法。该模型认为，贷款的信用风险是在给定负债的情况下由债务人的资产市场价值决定的。但资产并没有真实地在市场交易，资产的市场价值不能直接观测到。为此，模型将银行的贷款问题倒转一个角度，从借款企业所有者的角度考虑贷款归还的问题。在债务到期日，如果公司资产的市场价值高于公司债务值（违约点），则公司股权价值为公司资产市场价值与债务值之间的差额；如果此时公司资产价值低于公司债务值，则公司变卖所有资产用以偿还债务，股权价值变为零。
下面是KMV 模型的运用步骤：
首先，它利用Black-Scholes 期权定价公式，根据企业资产的市场价值、资产价值的波动性、到期时间、无风险借贷利率及负债的账面价值估计出企业股权的市场价值及其波动性。
其次根据公司的负债计算出公司的违约实施点 (default exercise point，为企业1年以下短期债务的价值加上未清偿长期债务账面价值的一半) ，计算借款人的违约距离。
最后，根据企业的违约距离与预期违约率(EDF) 之间的对应关系，求出企业的预期违约率。
另一个依据市场数据的违约几率校准方法是基于贸易产品的信用风险和信用利差轴承进行的，如公司债券和信用衍生产品（信用违约掉期）
•从评级得到的违约校正概率。
在这种方法中违约概率与评级有关，给投资者的评级是由一些外部机构给出的，如穆迪投资服务公司。由于评级不是我们所讨论的主要内容，我们只简单地解释一下评级一些基础知识。详情请见米歇尔. 科罗赫的调查报告。
1.1.1.1评级
评级基本上描述了客户的信誉，据此可以定量和定性的评估一个客户。在实践中，评定程序往往是基于评判和较严格界定的成果与纯数学程序评级分析师的经验。事实证明，在美国和加拿大，大部分的公共债务发行人评级至少要由三个
主要评级机构Moody’s, S&P, and Fitch完成。他们对企业债券违约的报告是公开的有如下三个网站。 www.moodys.com , www.standardandpoors.com , www. fitchratings.com.
但是，在欧洲发行交易的债务工具（如债券）的公司不如美国多。因此， 欧洲很多公司的银行账户没有外部评级。因此，银行需要更多的努力，他们构建自己的银行内部评级体系。据此他们必须考虑许多不同的因素判断公司的经济前途。
•未来盈利和现金流量，
•债务，短期和长期负债，金融债务，
•资本结构（例如，杠杆率）
•流动性资产
• 国家环境
• 市场环境
•质量管理，公司结构等
我们从没有得到一家公司详尽无遗的数据，这显然意味着信用评级应该是一个属性，不能由一个纯粹的数学方式获得。
作为一种统计工具的结果，评级总是重新由在评级过程负责评价的专家评价，这是一个在银行的最佳实践。经常的情况是，统计工具仅提供了关于客户评级的第一步，但由于各种潜在的软因素，最后决定评级仍然是评级分析师。现在我们知道，评级机构已经建立了信用评级有序规模的评级制度方面的一系列描述。穆迪和标准普尔评级类别略有不同，但不难发现两者之间的关系。举个例子， 如前所述，穆迪的评价系统是在意义上稍有不同。其评级类别为Aaa, Aa, A,Baa, Ba, B, Caa, Ca, C, 其中最高的信誉为AAA 级，最差的是CCC 。
1.1.1.2用校准违约概率来评级
依据评级而给出一个违约概率的过程被称为校准。在这一段中，我们将演示如何进行这样的校准工作。一类评级违约概率校准最终结果是一个映射， Rating → DP, e.g., {AAA,AA, ...,C} → [0, 1], R → DP(R),
下面，我们将解释穆迪的数据是如何对外部评级违约概率进行校准。通过穆迪的网站或其他资源，很容易来获得他们对公司债券违约率最近的一项研究。我们能找到一个显示1983年至2000年的违约频率表。
现在，一个重要的观察是，在所有已被观察到的评级中没有默认的最佳评级。这并不奇怪，例如评级AAA 级通常使用默认校准2个基点的违约概率（bp 代表基点和0.01%的违约概率）
然而，我们的解决方案用于说明目的就足够了，因为它显示了主要的想法。我们分三个步骤进行校准。
1. 由hi(R)表示评级R 下的历史违约概率，i 表示年，
2. 下一步我们将平均值m(R)表示为坐标系中的一个点。其中X 轴指的是评级类别（编号从1（Aaa ）到16（B3））。人们可以看到在图表中对数标度下，平均违约频率m （r ）可以回归为一条拟合线。
从不同的违约研究得到的有力证据和经验，我们可以知道，违约概率与信用评级呈指数增长的关系。出于这个原因，我们选择了一个合适的指数函数，使用标准的回归理论，或者直接使用任何提供基本的统计功能的软件，人们很容易得到下面我们的数据拟合指数函数 ：
3. 最后一步，我们用我们的回归方程估计的违约概率DP （x ），由给出的分为1至16等的评级类别x 。上图告诉我们结果，就是我们现在所说的违约概率穆迪的评级校准。请注意，我们回归的代入值即使是最好的等级AAA ，还有一个小但正面的违约概率。此外，我们的希望是，我们的回归分析，没有历史采样观测数据的错误。虽然对违约概率还有很多可以说的，但是由于时间原因，我们停止讨论。
信用风险管理的基础知识
数学科学学院 统计学 0810077 王一川
为什么是信用风险管理在银行业是一个重要的问题？为了回答这个问题，让我们举一个虽然很简单，但是很实际的例子。假设有一个大型房地产公司要求内部银行给予10亿欧元的贷款，那么银行的信用高级分析师就该犯难了，到底是否应该贷款给这家公司呢？让我们进一步假设分析师已经知道，银行的信贷风险总监已与建筑公司总裁相识多年，更糟的是，信贷分析师从最近的研究报告得知，建筑行业最近面临危机，而这家公司在银行内部的信用评级又恰恰很差。我们的分析师应该怎样做？好吧，大多数人肯定会说这个分析师会拒绝着份交易，基于他所得到的资料和目前的市场形势。而另一种方法是同意给予贷款，但要对可能由合约产生的损失进行信用风险管理（例如一个所谓的信用衍生工具）。诚然我们故意夸大了描述，但是刚刚我们假设的情况的确时有发生，一个信贷人员在遇到以上情况时也是很难做出决定。从任何一个资产负债表中我们都能看出处理信用违约是一个银行的日常业务就像信用卡业务和在ATM 机业务一样。因此银行在很多年以前就开始考虑贷款保险，而那些保险的范例现在将引导我们去了解金融信用风险管理的核心。
1.1预期损失
介绍中所描述的情况建议我们为预期的损失保险，就像我们所知道财产和人身保险一样。此外，历史表明，即使是好的客户也有对他们的财政义务违约的潜力，因此，不仅是那些不良贷款，所有的贷款都应该被保险。保险行为背后的基本目的是一样的，都是为了回避风险。
贷款人可以用完全一样的方式：每一笔贷款安排适当的风险溢价和收集收集这些内部的银行账户的风险溢价建立预计损失准备，这将创建一个用于覆盖拖欠贷款而产生的损失资本缓冲。
在概率论中，预期总是指期望或均值，风险管理中这也是如此。其基本思路如下：银行给每一个客户一个违约概率（DP ）default probability。一个损失比例称为违约损失（违约损失率）given default (LGD)，是用来描述贷款的， 一个违
约风险暴露（Exposure at Default, EAD），在所考虑的时期内的损失。债务人的所有损失都是由如下的损失函数定义的：
L = EAD × LGD × L 和 L = 1D, P(D) = DP, (1. 1)
其中D 表示在一定时间内（通常是一年）债务人违约的事件，P(D)表示D 事件发生的概率。虽然我们不会讲太多技术细节，但我们还是应该在这里提到，我们的模型是基于一定的概率空间(Ω,F, P) 的，包括一个样本空间Ω，一个σ-代数F ，和一个概率测度P 。F 中的元素都是可测的事件模型，而且直觉告诉我们，违约事件应该可以衡量的。此外，依据我们共同的认同现有的资料我们可以定义F ，而且债务人违约与否也是属于可测事件集的。
故我们得出预期损失expected loss (EL)的计算公式：
EL = E[˜ L] = EAD × LGD × P(D) = EAD × LGD × DP,
因为伯努利一维随机变量的期望是其事件的概率。为了获得代表(1. 2)的EL ，我们需要更多的公式因素假设。举例来说，我们可以假定违约风险暴露和违约损失率是恒定值，当然这不一定是根据所有情况的，还有各种各样的情况，例如，在模型中，由于不确定性摊销，预期风险的分数不得不被定义成随机的。在这种情况下EL 的仍是由公式（1.1）给出的。如果可以假设违约风险暴露，违约损失，和违约事件D 是相互独立的。违约风险暴露 和 违约损失是一些潜在的随机变量的期望的话。但这种相互独立的假设是值得怀疑的和非常简化的。故，我们可以说，（1.2）为最简单的表示公式，越多简单的假设被抛弃，预期损失的公式就越接近真实。
然而，我们并不应该被公式（1.2）中的那些独立性假设所困扰。无论如果公式（1.1）中的成分独立与否，预期损失的基本概念是相同的。况且，我们现在的惯例是，违约风险暴露是确定的，非随机的。而损失的严重性（SEV ），在违约的情况下将被随机给出。
1.1.1违约概率
给每一位客户银行信贷组合的违约概率并不是很容易得事情，当前，基本上有两种给出违约概率方法：
•从市场数据得到的校准违约概率
这种最著名最有代表性的方法是基于预期违约频率(EDF)，由kmv 公司给出的。 KMV 模型是美国旧金山市KMV 公司于1997年建立的用来估计借款企业违约概率的方法。该模型认为，贷款的信用风险是在给定负债的情况下由债务人的资产市场价值决定的。但资产并没有真实地在市场交易，资产的市场价值不能直接观测到。为此，模型将银行的贷款问题倒转一个角度，从借款企业所有者的角度考虑贷款归还的问题。在债务到期日，如果公司资产的市场价值高于公司债务值（违约点），则公司股权价值为公司资产市场价值与债务值之间的差额；如果此时公司资产价值低于公司债务值，则公司变卖所有资产用以偿还债务，股权价值变为零。
下面是KMV 模型的运用步骤：
首先，它利用Black-Scholes 期权定价公式，根据企业资产的市场价值、资产价值的波动性、到期时间、无风险借贷利率及负债的账面价值估计出企业股权的市场价值及其波动性。
其次根据公司的负债计算出公司的违约实施点 (default exercise point，为企业1年以下短期债务的价值加上未清偿长期债务账面价值的一半) ，计算借款人的违约距离。
最后，根据企业的违约距离与预期违约率(EDF) 之间的对应关系，求出企业的预期违约率。
另一个依据市场数据的违约几率校准方法是基于贸易产品的信用风险和信用利差轴承进行的，如公司债券和信用衍生产品（信用违约掉期）
•从评级得到的违约校正概率。
在这种方法中违约概率与评级有关，给投资者的评级是由一些外部机构给出的，如穆迪投资服务公司。由于评级不是我们所讨论的主要内容，我们只简单地解释一下评级一些基础知识。详情请见米歇尔. 科罗赫的调查报告。
1.1.1.1评级
评级基本上描述了客户的信誉，据此可以定量和定性的评估一个客户。在实践中，评定程序往往是基于评判和较严格界定的成果与纯数学程序评级分析师的经验。事实证明，在美国和加拿大，大部分的公共债务发行人评级至少要由三个
主要评级机构Moody’s, S&P, and Fitch完成。他们对企业债券违约的报告是公开的有如下三个网站。 www.moodys.com , www.standardandpoors.com , www. fitchratings.com.
但是，在欧洲发行交易的债务工具（如债券）的公司不如美国多。因此， 欧洲很多公司的银行账户没有外部评级。因此，银行需要更多的努力，他们构建自己的银行内部评级体系。据此他们必须考虑许多不同的因素判断公司的经济前途。
•未来盈利和现金流量，
•债务，短期和长期负债，金融债务，
•资本结构（例如，杠杆率）
•流动性资产
• 国家环境
• 市场环境
•质量管理，公司结构等
我们从没有得到一家公司详尽无遗的数据，这显然意味着信用评级应该是一个属性，不能由一个纯粹的数学方式获得。
作为一种统计工具的结果，评级总是重新由在评级过程负责评价的专家评价，这是一个在银行的最佳实践。经常的情况是，统计工具仅提供了关于客户评级的第一步，但由于各种潜在的软因素，最后决定评级仍然是评级分析师。现在我们知道，评级机构已经建立了信用评级有序规模的评级制度方面的一系列描述。穆迪和标准普尔评级类别略有不同，但不难发现两者之间的关系。举个例子， 如前所述，穆迪的评价系统是在意义上稍有不同。其评级类别为Aaa, Aa, A,Baa, Ba, B, Caa, Ca, C, 其中最高的信誉为AAA 级，最差的是CCC 。
1.1.1.2用校准违约概率来评级
依据评级而给出一个违约概率的过程被称为校准。在这一段中，我们将演示如何进行这样的校准工作。一类评级违约概率校准最终结果是一个映射， Rating → DP, e.g., {AAA,AA, ...,C} → [0, 1], R → DP(R),
下面，我们将解释穆迪的数据是如何对外部评级违约概率进行校准。通过穆迪的网站或其他资源，很容易来获得他们对公司债券违约率最近的一项研究。我们能找到一个显示1983年至2000年的违约频率表。
现在，一个重要的观察是，在所有已被观察到的评级中没有默认的最佳评级。这并不奇怪，例如评级AAA 级通常使用默认校准2个基点的违约概率（bp 代表基点和0.01%的违约概率）
然而，我们的解决方案用于说明目的就足够了，因为它显示了主要的想法。我们分三个步骤进行校准。
1. 由hi(R)表示评级R 下的历史违约概率，i 表示年，
2. 下一步我们将平均值m(R)表示为坐标系中的一个点。其中X 轴指的是评级类别（编号从1（Aaa ）到16（B3））。人们可以看到在图表中对数标度下，平均违约频率m （r ）可以回归为一条拟合线。
从不同的违约研究得到的有力证据和经验，我们可以知道，违约概率与信用评级呈指数增长的关系。出于这个原因，我们选择了一个合适的指数函数，使用标准的回归理论，或者直接使用任何提供基本的统计功能的软件，人们很容易得到下面我们的数据拟合指数函数 ：
3. 最后一步，我们用我们的回归方程估计的违约概率DP （x ），由给出的分为1至16等的评级类别x 。上图告诉我们结果，就是我们现在所说的违约概率穆迪的评级校准。请注意，我们回归的代入值即使是最好的等级AAA ，还有一个小但正面的违约概率。此外，我们的希望是，我们的回归分析，没有历史采样观测数据的错误。虽然对违约概率还有很多可以说的，但是由于时间原因，我们停止讨论。