飞行力学综合作业（一）
飞机飞行性能计算
学生姓名： 姜 南
学 号： 11051136
专业方向：飞行器设计与工程
指导教师： 王衍洋
（2014年 5月 4日）
摘要
在给出飞机基本飞行参数的情况下，研究飞机的基本飞行性能对于了解并且掌握该飞机的相关信息是相当必要的。飞机的飞行性能主要包含了平飞性能、上升性能、续航性能、起落性能和其它的机动性能。在该报告中主要研究平飞性能和上升性能。
用简单推力法计算飞机的基本飞行性能，包括各高度上的航迹倾角γ和上升率VV，最大航迹倾角γmax 和最快上升率VV.max，最大、最小平飞速度，以及最短上升时间。用C 语言编写相关的计算程序，利用所给的有关数据完成计算并结合所学习的飞行动力学对所得的计算结果作出分析，将合理的结果写到报告中。再对影响飞行性能的主要参数——飞机的起飞质量作原质量的0.90-1.10倍的步长为0.01的改变，并与原来的计算结果作比较，定量直观的认识相关参数对飞行性能的影响程度，为以后的设计工作提供一定的参考。
目录
一、计算目的与内容.................................................. 1
1、计算目的 ..................................................... 1
2、计算内容 ..................................................... 1
二、计算原理与方法.................................................. 2
1、飞机质量m ................................................... 2
2、发动机可用推力Ta ............................................. 2
3、平飞需用推力TR . .............................................. 2
4、剩余推力∆T................................................... 2
5、最小平飞速度Vmin和最大平飞速度Vmax ........................... 2
6、航迹倾角γ和上升率VV.......................................... 4
7、理论静升限Hmax.a和实用静升限Hmax.s ............................ 4
8、最短上升时间tc.min............................................. 4
三、编程原理与方法.................................................. 5
1、程序框架 ..................................................... 5
2、函数调用 ..................................................... 5
3、程序结构 ..................................................... 5
（1）航迹倾角γ和上升率VV .................................... 5
（2）最大航迹倾角γmax及对应速度Vγ和最快上升率VV.max及对应速度Vqc . ......................................................... 6
（3）最短上升时间tc.min ....................................... 6
（4）最小平飞速度Vmin和最大平飞速度Vmax ..................... 7
四、计算过程与结果分析.............................................. 8
1、原始数据 ..................................................... 8
2、基本性能计算 ................................................. 8
（1）飞机质量m .............................................. 8
（2）可用推力Ta ............................................. 8
（3）平飞需用推力TR ......................................... 9
（4）剩余推力∆T ............................................ 11
（5）升力系数CL ............................................ 12
（6）阻力系数CD ............................................ 12
（7）升阻比K ............................................... 13
（8）航迹倾角γ ............................................. 14
（9）上升率VV .............................................. 16
（10）最大航迹倾角γmax和最快上升率VV.max .................... 17
（11）理论静升限Hmax.a和实用静升限Hmax.s . .................... 19
（12）最小平飞速度Vmin和最大平飞速度Vmax ................... 20
（13）飞行包线.............................................. 23
（14）最短上升时间tc.min ..................................... 23
3、改变飞机起飞质量对飞机性能影响的计算 ........................ 24
（1）升力系数CL ............................................ 24
（2）阻力系数CD ............................................ 25
（3）升阻比K ............................................... 26
（4）最大航迹倾角γ ......................................... 27
（5）最快上升率VV.max ....................................... 28
（6）最陡上升马赫数Mγ ...................................... 29
（7）快升马赫数Mqc ......................................... 31
（8）最小平飞马赫数Mmin .................................... 32
（9）最大平飞马赫数Mmax .................................... 33
（10）飞行包线.............................................. 34
（11）理论静升限Hmax.a ...................................... 35
（12）实用静升限Hmax.s ...................................... 36
（13）最短上升时间tc.min ..................................... 37
4、结论 ........................................................ 39
5、有关讨论 .................................................... 40
附录............................................................... 41
1、用三点抛物线求极值的方法 .................................... 41
2、用三点抛物线插值的方法 ...................................... 41
3、使用抛物线插值求极值子函数 .................................. 41
4、使用抛物线插值子函数 ........................................ 42
5、迭代法求Mmin.a程序 .......................................... 42
6、计算最短上升时间tc.min程序.................................... 43
参考文献........................................................... 45
一、计算目的与内容
1、计算目的
巩固用简单推力法计算飞机基本飞行性能、以及续航性能和起飞着陆性能的计算原理、方法和步骤，培养学生独立分析和解决工程实际问题的能力。
2、计算内容
（1）计算F-16飞机当发动机以最大状态工作时，在H = 0m、3000m 、6000m 、9000m 、11000m 、13000m 、15000m 、18000m 、20000m 等9个高度上，M = 0.3、0.5、0.7、0.9、1.0、1.1、1.3、1.5、1.7、2.0等10个马赫数时的航迹倾角γ和上升率VV，并绘制各高度上γ 和VV 随M 数变化的曲线；
（2）计算各高度上的最大航迹倾角γmax 和与其相对应的最陡上升速度Vγ(或Mγ) ，计算各高度上的最快上升率VV.max和与其相对应的快升速度Vqc (或Mqc ) ，绘制γmax 和VV.max 随高度H 变化的曲线，并由该图确定理论升限 max.a 和实用升限 max. ；
（3）计算各高度上的最大平飞速度Vmax (或Mmax ) 和最小平飞速度Vm (或Mm ) ；
（4）绘制由Mm ~H ， Mmax ~H ，Mγ ~H 和Mqc ~H 组成的飞行包线。其中Mm ~H 曲线要用由 .a决定的最小平飞速度Mm .a 随H 变化的曲线和由平飞需用推力曲线与可用推力曲线的左交点确定的最小平飞速度Mm . 随H 变化的曲线来表示；
（5）计算该飞机当发动机以最大状态工作时从海平面上升到实用升限 max. 的最短上升时间 c.m 。
（6）对飞机的起飞质量作原质量的0.90-1.10倍的步长为0.01的改变，定量计算其对飞机飞行性能的影响，并与原来的计算结果作比较。
二、计算原理与方法
1、飞机质量m
飞机的质量取为包括50%燃油量的飞机质量： m=m0−mT 2
式中，m0代表飞机的起飞质量；m =m̅ ∙m0，代表燃油质量，其中m̅ 代表飞机上燃油的相对质量。
2、发动机可用推力Ta
对于最大状态模式下，发动机可用推力Ta与飞行马赫数M 和飞行高度H 的
̃(M, ) 关系为： Ta(M, ) =T0∙T
̅00m0g，代表0高度和0速度下的发动机台架推力；T̃(M, ) 代式中，T0=T
表发动机的推力相对关系。
当飞行高度大于11km 时，用以下公式计算发动机特性：
ρHTa(M, ) =Ta.11(M, =11km) ∙ ρH=11km
式中，Ta.11(M, =11km) 指11km 高度时的发动机推力，ρH、ρH=11km指在计算高度H 和11km 高度时的大气密度。
3、平飞需用推力TR
飞机定直平飞时的升力系数、阻力系数、升阻比，平飞需用推力：
L=mg
2ρVS
1K=L TR= DρV2S D22 D= D0+A L
4、剩余推力∆T
剩余推力计算公式为： ∆T=Ta−TR
5、最小平飞速度Vmin和最大平飞速度Vmax
由图1(a)可知，Ta曲线与TR曲线的左交点对应推力限制的最小平飞马赫数
Mm .T，右交点对应最大平飞马赫数Mmax.T。
由图1(b)可知：
若∆Ti0，则第i 点和第i +1点之间的∆T=0对应的M 数为Mm .T； 若∆Ti>0，∆Ti+1
图1 简单推力法确定平飞速度范围的原理图
因此，只要根据已知的n 个∆T，分别判断寻找符合上述两种情况的i 值，则可利用已知的(∆Ti−1，Mi−1) ，(∆Ti，Mi) 和(∆Ti+1，Mi+1) 三点进行插值，即可求得对应∆T=0的M 数，即Mm .T或Mmax.T。根据已知三点作抛物线，求任意一个已知自变量为M 的函数值，或求已知函数值为∆T的自变量M 的插值法，可事先编成一个子程序（方法见附录2，函数见附录4）。
迎角限制的最小平飞马赫数Mm .a由气动特性确定：Mm .a=√ρaSCL.a2mg真正的最小平飞马赫数Mm 取Mm .a和Mm .T（如果存在的话）中大者。 最大允许的平飞马赫数由以下条件确定：
Mmax.a =min [Ms, M(Vi.max)]
其中，Ms代表临界允许马赫数；M(Vi.max) 代表最大允许的等效空速Vi.max所对应的马赫数（由最大允许的动压限制）：
M(Vi.max) =Vi.max√aHH
真正的最大平飞马赫数Mmax 取Mmax.a和Mmax.T中大者。
6、航迹倾角γ和上升率VV
航迹倾角γ和最大航迹倾角γmax 的计算公式为：
γ=arcsin (mg) γmax =arcsin (
对应γmax 的M 数为最陡上升M 数Mγ。
上升率VV和最大上升率VV.max的计算公式为：
VV=∆TVmg∆T∆Tmg =∆TMamg VV.max=(∆TV)max mg=(∆TMa)max mg
对应VV.max的M 数为快升M 数Mqc 。
所以，求γmax 和VV.max就转化为分别求∆Tmax 和(∆TMa)max 。
在与数列M1，M2，……对应的∆T(M1) ，∆T(M2) ，……中和∆TV(M1) ，∆TV(M2) ，……中寻找∆Tmax 和(∆TMa)max 可用同一数学方法。例如求∆Tmax ，可首先在n 个已知的∆T中找出其中最大的一个∆T′max ，设为∆T(Mi) ，然后过∆T(Mi) ，∆T(Mi−1) 和∆T(Mi+1) 三点做抛物线，再求这抛物线的最大值∆Tmax （方法见附录1，函数见附录3）。如果∆T′max ∆T(M ) ，即∆T′max 不是数列的最后一点的∆T，则∆Tmax 存在，并且很接近∆T′max 。
7、理论静升限Hmax.a和实用静升限Hmax.s
可根据VV.max~H 曲线图确定理论静升限 max.a 和实用静升限 max. 。
max.a = (VV.max=0)
max.a = (VV.max=VV.a.m =5m/s)
8、最短上升时间tc.min
最短上升时间的计算公式为： c.m =∑ i=1(∆H
VV.max)
计算时，显然当n 越大（即∆ 越小）时计算结果越精确。按前面给的9个高度的VV.max和∆ 来决定 c.m 误差很大，特别是在升限附近误差更大。取∆ =10m ，补充高度上的VV.max值用现有的9个VV.max值中相应的三点进行插值计算结果。（所编程序见附录6）
三、编程原理与方法
1、程序框架
数据的调入——调用函数的声明——变量类型的声明——在原始数据的条件下运用简单推力法依次计算各项最终数据——改变质量（步长1%，质量分布从90%-110%），依次计算并输出。
2、函数调用
主程序用无参函数编译，所有数据的录入和输出都通过指针对文件的打开、关闭、只读、只写完成；插值函数用有参函数编译，将需要的参数通过函数返回主程序
3、程序结构
（1）航迹倾角γ和上升率VV
（2）最大航迹倾角γmax及对应速度Vγ和最快上升率VV.max及对应速度Vqc
（3）最短上升时间tc.min
（4）最小平飞速度Vmin和最大平飞速度Vmax
四、计算过程与结果分析
1、原始数据
F-16属于1类飞机——高机动性飞机，其发动机属于2类发动机，处于最大状态。基本的飞机设计和飞行状态参数见表1。
表1 F-16基本的飞机设计和飞行状态参数
2、基本性能计算
（1）飞机质量m
m m̅ ∙m00.32×13000
m=m0−=m0−=13000−=10920kg
222
（2）可用推力Ta
可用推力计算结果见表2，可用推力随高度、马赫数变化曲线见图2。
图2 可用推力变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，同一高度下，可用推力大致随马赫数的增加而增加，亚声速区增加较缓，超声速区增加较快，但有最大值限制；不同高度下，可用推力随高度的增加而减小，且变化趋缓；当H >11km 时，可用推力变化不显著。
变化原因在于：同一高度下，随着马赫数的增加，进入发动机的空气质量流量和尾喷管的喷流速度都增加，可用推力增加，且随着马赫数的不断增加，进入发动机的空气质量流量和尾喷管的喷流速度的增加也愈加显著，可用推力迅速增加，增值超声速的某个马赫数时，可用推力达到最大值；不同高度下，随着高度的增加，空气密度减小，进入发动机的空气质量流量将减小，故可用推力降低。
（3）平飞需用推力TR
平飞需用推力计算结果见表3，平飞需用推力随高度、马赫数变化曲线见图3。
图3 平飞需用推力变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，在同一高度下，平飞需用推力整体随着马赫数的增加，先减小后增大，且进入跨声速直至超声速范围后，平飞需用推力急剧增加；不同高度下，平飞需用推力曲线随高度增加而向右移动，超声速时曲线稍向上移动，且在超声速范围内，随飞行高度增加，曲线变得比较平缓。
变化原因在于：同一高度下，飞行马赫数较低时，由于升力系数较大，升致阻力在阻力中占主要地位，随着马赫数的增加，升力系数逐渐降低，升致阻力也逐渐减小，而零升阻力越来越大，在某个飞行马赫数下，两者恰好相等，此时飞机总阻力最小，即平飞需用推力最小；当飞行速度超过有利速度后，零升阻力大于升致阻力，并逐渐在总阻力中占主要地位，随马赫数的增加而增加；当飞行马
赫数进入跨声速范围，由于波阻的出现，零升阻力系数随马赫数的增加而迅速增加，因此平飞需用推力迅速增加；不同高度下，随着高度的增加，零升阻力减小，而升致阻力增大，导致曲线向右移动；在亚声速范围内，由于最大升阻比基本为常数，故平飞需用推力最小值基本不随高度的变化而变化；而随着高度的增加，有利马赫数可能大于临界马赫数，出现波阻，使得总阻力增加，造成超声速飞机平飞需用推力曲线稍向上移动；超声速范围内，随着高度的增加，零升阻力在总阻力中占主要地位，且随飞行高度增加而减小，故平飞需用推力曲线变得比较平缓。
（4）剩余推力∆T
剩余推力计算结果见表4，剩余推力随高度、马赫数变化曲线见图4。
图4 剩余推力变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，在同一高度下，剩余推力随马赫数的增加，先增大后减小；不同高度下，亚声速区剩余推力随高度增加而减小，超声速区则随高度增加而增加；当 ≤11km 时，超声速区剩余推力变化较大，当 ≥11km 时，超声速区剩余推力变化缓慢；当高度在一定范围内（ ≤9km ）时，剩余推力曲线与横坐标轴只有一个右交点，即不存在Mm .T；当 ≥17km 时，剩余推力值恒为负，即不能实现平飞。
（5）升力系数CL
升力系数计算结果见表5，升力系数随马赫数变化曲线见图5。
表5 升力系数计算结果
图5 升力系数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，升力系数随马赫数的增加而减小，且亚声速区减小幅度较大，超声速区变化较缓。
（6）阻力系数CD
阻力系数计算结果见表6，阻力系数随马赫数变化曲线见图6。
表6 阻力系数计算结果
图6 阻力系数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，阻力系数随马赫数的增加而减小，且亚声速区减小幅度较大，超声速区变化较缓。
（7）升阻比K
升阻比计算结果见表7，升阻比随马赫数变化曲线见图7。
表7 升阻比计算结果
图7 升阻比变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，升阻比随马赫数的增加，先增大至最大值后减小，且超声速区变化较缓。原因在于：飞行马赫数较低时，升力系数和阻力系数都较大，升阻比较小；随着马赫数的增加，升力系数和阻力系数均迅速较小，且阻力系数变化更快，因此升阻比逐渐增加；当阻力系数中零升阻力系数等于升致阻力系数时，升阻比达到最大值；而后随着马赫数的增加，升力系数和阻力系数均逐渐减小，且变化趋缓，因此升阻比逐渐减小且变化趋缓。
（8）航迹倾角γ
在计算航迹倾角γ的过程中，若mg>−1，则γ=arcsin (mg) 计算无意义。此时，作mg=−1处理。航迹倾角计算结果见表8、表9，航迹倾角随高度、马赫数变化曲线见图8。
∆T
∆T
∆T
图8 航迹倾角变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，在同一高度下，航迹倾角随马赫数的变化趋势大致是随着马赫数的增加，先缓慢增至最大值即最大航迹倾角，然后减小；在 11km 范围内的一定高度下，航迹倾角在跨声速区下降阶段不明显；在不同高度下，在亚声速阶段随着高度的增加航迹倾角下降，在超声速阶段则随着高度的增加而增大。
高度一定时，上升率与剩余推力成正比，在亚声速下随马赫数增大而增大，而在跨声速下，由于剩余推力的急剧减小，上升率急剧下降。随着高度的增加，在亚声速阶段，由于剩余推力的减小，上升率不断减小。而在超声速阶段由于剩余推力减小较慢，曲线逐渐平缓。
（9）上升率VV
上升率计算结果见表10，上升率随高度、马赫数变化曲线见图9。
图9 上升率变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，在同一高度下，上升率随马赫数的变化趋势大致是随着马赫数的增加，先缓慢增至最大值，然后减小；在 11km 范围内的一定高度下，上升率在跨声速区下降阶段不明显；在不同高度下，在亚声速阶段随着高度的上升率下降，在超声速阶段则随着高度的增加而增大。
高度一定时，上升率与剩余推力和飞行速度的乘积成正比，在亚声速下随马赫数增大而增大，而在跨声速下，由于剩余推力的急剧减小，上升率急剧下降。随着高度的增加，在亚声速阶段，由于剩余推力的减小，上升率不断减小。而在超声速阶段由于剩余推力减小较慢，曲线逐渐平缓。
（10）最大航迹倾角γmax和最快上升率VV.max
计算最大航迹倾角γmax 即为计算∆Tmax ，用三点抛物线插值求极值的方法计算，详见附录一。寻求各个高度下∆T最大的点，并与之前后两点进行插值，求极值得∆Tmax ，进而求得γmax 。在某高度下，∆T最大的点可能在边界上，取该点与其之前（之后）两点进行计算。计算最快上升率VV.max即为计算∆(TV)max ，过程与之类似。
最大航迹倾角、最陡上升马赫数及相应速度和最快上升率、快升马赫数及相应速度计算结果见表11，最大航迹倾角随高度变化曲线见图10，最快上升率随高度变化曲线见图11，最陡上升马赫数、快升马赫数随高度变化曲线见图12。
表11 最大航迹倾角、最陡上升马赫数及相应速度 和最快上升率、快升马赫数及相应速度计算结果
图10 最大航迹倾角变化曲线
图11 最快上升率变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，最大航迹倾角和最快上升率均随高度的增加而减小，因为剩余推力和剩余功率均随高度的增加而减小。
图12 最陡上升马赫数、快升马赫数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，最陡上升马赫数随高度的增加而不断增加，而快升马赫数在 11km 时，随高度的增加而稍微减小。
（11）理论静升限Hmax.a和实用静升限Hmax.s
由VV.max~H 曲线图确定理论静升限 max.a 和实用静升限 max. 分别为（如图13、图14）
max.a =16040m max. =15320m
程序中，通过三点抛物线插值的方法，取 =11km 、 =13km 、 =15km 三个高度所对应的最快上升率进行插值，分别计算VV.max=0、VV.max=5m/s时所对应的高度，得理论静升限H max.a 和实用静升限H max. 分别为
max.a =16097.335m max. =15332.756m
图13 确定理论静升限
图14 确定实用静升限
（12）最小平飞速度Vmin和最大平飞速度Vmax
最小平飞速度Vm 由推力限制的最小平飞速度Vm . 和由迎角限制的最小平飞速度Vm .a共同决定，取其中的较大值。计算Vm . 时，用三点抛物线插值的方法进行计算，由∆T 0确定Mm . 的插值点，调用三点抛物线插值子函数求各个高度上的Mm .T值。在某些高度上，可能不存在∆T 0的情形，令Mm . =0.001。此外，在某些高度上，可能最值点存在于边界，也做相应的处理。计算Vm .a时，由于Mm .a=√
2mgρaSCL.a
L.a与马赫数有关，故此
公式为隐函数，只能用迭代法求解。（详见附录5）先取一个初值C .a
计算出
Mm .a(0)，再由马赫数M 的三点抛物线插值求出Mm .a(0)所对应得 L.a，代入公式计算出新的Mm .a(1)，将新的Mm .a(1)赋给Mm .a(0)，重复上面的步骤直到Mm .a(1)与Mm .a(0)相差很小（如10-6）为止。
最大平飞速度Vmax 由推力限制的最大平飞速度Vmax. 和Vmax.a 共同决定，取其中的较小值。其中，计算Vmax.T的方法与计算Vm .T相似。Vmax.a由飞机的临界允许马赫数Ms和最大允许的等效空速Vi.max所对应的马赫数M(Vi.max) （由最大允许的动压限制）共同决定，取其中的较小值。
最小平飞速度及最小平飞马赫数计算结果见表12，最小平飞马赫数随高度变化曲线见图15；最大平飞速度及最大平飞马赫数计算结果见表13，最大平飞马赫数随高度变化曲线见图16。
图15 最小平飞马赫数变化曲线
图16 最大平飞马赫数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，最小平飞马赫数随高度的增加而不断增加。在飞行高度较小时，最小平飞马赫数由迎角限制决定；飞行高度较大时，最小平飞马赫数由推力限制决定。
最大平飞马赫数由推力限制的最大平飞马赫数、飞机的临界允许马赫数和最大允许的等效空速所对应的马赫数三者决定。就本飞机而言，主要由推力限制的最大平飞马赫数决定。在 11km 时，随高度的增加而减小，且较为明显。原因在于： 11km
时，可用推力减小，故最大平飞速度减小，最
大平飞马赫数随之减小。
（13）飞行包线
飞行包线由Mm ~H 、 Mmax ~H 、Mγ ~H 和Mqc ~H 组成，见图17。
图17 飞行包线
（14）最短上升时间tc.min
将所给高度分为四段，每段由点（ VVmax, H ）进行三点抛物线插值，取步长为10m ，计算每个高度上的VVmax ，并计算每段步长上的上升时间，将每段高度步长上的上升时间累加，即得最短上升时间 c.m =338.597s 。（详见附录6）
3、改变飞机起飞质量对飞机性能影响的计算
对飞机的起飞质量作原质量的0.90-1.10倍的步长为0.01的改变，定量计算其对飞机飞行性能的影响，并与原来的计算结果作比较，具体如下： （1）升力系数CL
起飞质量改变后，升力系数计算结果见表14，升力系数变化曲线见图18。
表14 改变飞机起飞质量对升力系数的影响
图18 升力系数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，同一马赫数下，升力系数随起飞质量的增加而增大，在低马赫数下变化较为显著，在超声速区变化微小。
（2）阻力系数CD
起飞质量改变后，阻力系数计算结果见表15，阻力系数变化曲线见图19。
图19 阻力系数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，同一马赫数下，阻力系数随起飞质量的增加而增大，在低马赫数下变化较为显著，在超声速区几乎没有变化。
（3）升阻比K
起飞质量改变后，升阻比计算结果见表16，升阻比变化曲线见图20。
图20 升阻比变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，同一马赫数下，在亚声速区和跨声速区，升阻比随起飞质量的增加而减小，在超声速区，升阻比随起飞质量的增加而增大，且跨声速区变化明显。
（4）最大航迹倾角γ
起飞质量改变后，最大航迹倾角计算结果见表17，最大航迹倾角变化曲线见图21。
图21 最大航迹倾角变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，同一高度下，一定高度范围内，最大航迹倾角随起飞质量的增加有微小增加；在较高飞行高度下（ ≥15km ），最大航迹倾角随起飞质量的增加有微小减小。总的来说，起飞质量对最大航迹倾角几乎没有影响。
（5）最快上升率VV.max
起飞质量改变后，最快上升率计算结果见表18，最快上升率变化曲线见图22。
图22 最快上升率变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，同一高度下，一定高度范围内，最快上升率随起飞质量的增加有微小增加；在较高飞行高度下（H ≥15km ），最快上升率随起飞质量的增加有微小减小。总的来说，起飞质量对最快上升率几乎没有影响。
（6）最陡上升马赫数Mγ
起飞质量改变后，最陡上升马赫数计算结果见表19，最陡上升马赫数变化曲线见图23。
表19 最陡上升马赫数计算结果
图23 最陡上升马赫数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，最陡上升马赫数随起飞质量的增加而小幅增大，曲线整体右移。
（7）快升马赫数Mqc
起飞质量改变后，快升马赫数计算结果见表20，快升马赫数变化曲线见图24。
表20 快升马赫数计算结果
图24 快升马赫数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，快升马赫数随起飞质量的增加而增大，曲线整体右移。
（8）最小平飞马赫数Mmin
起飞质量改变后，最小平飞马赫数计算结果见表21，最小平飞马赫数变化曲线见图25。
表21 最小平飞马赫数计算结果
图25 最小平飞马赫数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，最小平飞马赫数整体随起飞质量的增加而小幅增大。但 =11km 时，m0=1.01、m0=1.02和 =13km 时，m0=1.05、m0=1.06、m0=1.07、m0=1.08共5处对应点，出现较大偏差，有待进一步研究与讨论。
（9）最大平飞马赫数Mmax
起飞质量改变后，最大平飞马赫数计算结果见表22，最大平飞马赫数变化曲线见图26。
表22 最大平飞马赫数计算结果
图26 最大平飞马赫数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，最大平飞马赫数整体随起飞质量的增加而增大，且 =11km 附近增加较大。但 =11km 时，m0≥1.03的质量点和 =13km 时，m0=1.09、m0=1.1对应点，出现计算错误的情况，有待进一步研究与讨论。
（10）飞行包线
起飞质量改变后，选取m0=0.9、m0=1.95、m0=1.0三处起飞质量，进行飞行包线的绘制，见图27。
图27 飞行包线
由飞行包线可知，当飞机质量增大时，最小平飞马赫数变化微小，而最大平飞马赫数有明显增大，故使飞行包线范围增大。
（11）理论静升限Hmax.a
起飞质量改变后，理论静升限计算结果见表23，理论静升限随起飞质量变化曲线见图28。
图28 理论静升限随起飞质量变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，理论静升限整体来说随起飞质量的增大而约成线性减小。而m0=1、m0=1.01、m0=1.02三处起飞质量所对应的理论静升限不符合规律，经检查验证，程序无误，具体原因有待进一步研究与讨论。
（12）实用静升限Hmax.
起飞质量改变后，实用静升限计算结果见表24，实用静升限随起飞质量变化曲线见图29。
图29 实用静升限随起飞质量变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，实用静升限整体来说随起飞质量的增大而约成线性减小。而m0=1、m0=1.01、m0=1.02三处起飞质量所对应的实用静升限不符合规律，经检查验证，程序无误，具体原因有待进一步研究与讨论。
（13）最短上升时间tc.m
起飞质量改变后，最短上升时间计算结果见表25，最短上升时间随起飞质量变化曲线见图30。
图30 最短上升时间随起飞质量变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，最短上升时间整体来说随起飞质量的增大而减小。而m0=1、m0=1.01、m0=1.02三处起飞质量所对应的最短上升时间不符合规律，经检查验证，程序无误，具体原因有待进一步研究与讨论。
4、结论
（1）同一高度下，可用推力大致随马赫数的增加而增加；不同高度下，可用推力随高度的增加而减小，且变化趋缓。
（2）在同一高度下，平飞需用推力整体随着马赫数的增加，先减小后增大，且进入跨声速直至超声速范围后，平飞需用推力急剧增加；不同高度下，平飞需用推力曲线随高度增加而向右移动，超声速时曲线稍向上移动，且在超声速范围内，随飞行高度增加，曲线变得比较平缓。
（3）在同一高度下，剩余推力随马赫数的增加，先增大后减小；不同高度下，亚声速区剩余推力随高度增加而减小，超声速区则随高度增加而增加。
（4）升力系数、阻力系数随马赫数的增加而减小，且亚声速区减小幅度较大，超声速区变化较缓。
（5）升阻比随马赫数的增加，先增大至最大值后减小，且超声速区变化较缓。
（6）在同一高度下，航迹倾角、上升率随马赫数的增加，先缓慢增至最大值即最大航迹倾角，然后减小；在不同高度下，在亚声速阶段随着高度的增加航迹倾角下降，在超声速阶段则随着高度的增加而增大。
（7）最大航迹倾角和最快上升率均随高度的增加而减小。
（8）最小平飞马赫数随高度的增加而不断增加；在飞行高度较小时，最小平飞马赫数由迎角限制决定；飞行高度较大时，最小平飞马赫数由推力限制决定。
（9）最大平飞马赫数由推力限制的最大平飞马赫数、飞机的临界允许马赫数和最大允许的等效空速所对应的马赫数三者决定。就本飞机而言，主要由推力限制的最大平飞马赫数决定。在 11km 时，随高度的增加而减小，且较为明显。
（10）同一马赫数下，升力系数、阻力系数随起飞质量的增加而增大，在低马赫数下变化较为显著，在超声速区变化微小。
（11）同一马赫数下，在亚声速区和跨声速区，升阻比随起飞质量的增加而减小，在超声速区，升阻比随起飞质量的增加而增大，且跨声速区变化明显。
（12）同一高度下，一定高度范围内，最大航迹倾角、最快上升率随起飞质
量的增加有微小增加；在较高飞行高度下（ ≥15km ），最大航迹倾角、最快上升率随起飞质量的增加有微小减小。总的来说，起飞质量对最大航迹倾角、最快上升率几乎没有影响。
（13）最陡上升马赫数随起飞质量的增加而小幅增大，曲线整体右移。 （14）快升马赫数随起飞质量的增加而增大，曲线整体右移。 （15）最小平飞马赫数整体随起飞质量的增加而小幅增大。
（16）最大平飞马赫数整体随起飞质量的增加而增大，且 =11km 附近增加较大。
（17）飞机起飞质量增大，飞机飞行包线范围增大。 （18）理论静升限、实用静升限随起飞质量的增大而减小。 （19）最短上升时间随起飞质量的增大而减小。
5、有关讨论
随着飞行起飞质量的增大，在计算最大平飞马赫数、理论静升限、实用静升限、最短上升时间时，出现了某些数据点计算错误或不符合规律的情况，经分析认为，原因可能如下：在某些起飞质量的情况下，可能会出现剩余推力曲线与横坐标轴有多个交点，而程序中所取的数据并不是计算中想要得到的数据，因此出现较大偏差。要修正这个情况，需要在对图像分析的基础上，修改程序，用选择语句进行判断，并做进一步处理。然而，由于知识、能力、时间等若干方面的原因，笔者未能进行深入分析，对此笔者深表遗憾。但笔者希望，在后续的学习过程中，在老师的教导下，在同学们的帮助下，对此情形进行更加深入的研究与讨论。最后，由于笔者水平有限，分析计算过程中难免有不妥之处，还请老师和同学们指教。
附录
1、用三点抛物线求极值的方法
按已知三点做抛物线，取该抛物线的顶点为函数的最大值。设已知三点为(xi−1, yi−1) 、(xi,yi) 、(xi+1, yi+1) ，其中xi−1
y=yi−1+B(x−xi−1) + (x−xi−1)(x−xi)
令
dydx
=0，得
B+ (xm−xi) + (xm−xi−1) =0 （1）
解得
xm=
将式（2）代入方程，可得
ymax=yi−1+B(xm−xi−1) + (xm−xi−1)(xm−xi)
式中
yi−yi−1B=
ii−1
y−yy−y− =
i+1i
xi−1+xi
2
−
B2C
（2）
2、用三点抛物线插值的方法
由附录1的讨论可得抛物线方程为
y=yi−1+B(x−xi−1) + (x−xi−1)(x−xi)
已知x可求出y值。
3、使用抛物线插值求极值子函数
float extrem(float X1,float Y1,float X2,float Y2,float X3,float Y3) {float B,C,Ymax; B=(Y2-Y1)/(X2-X1);
C=((Y3-Y1)/(X3-X1)-(Y2-Y1)/(X2-X1))/(X3-X2);
Xm=(X1+X2)/2-B/(2*C);
Ymax=Y1+B*(Xm-X1)+C*(Xm-X1)*(Xm-X2); return(Ymax); }
4、使用抛物线插值子函数
float chazhi(float X1,float Y1,float X2,float Y2,float X3,float Y3,float X) {float B,C,Y; B=(Y2-Y1)/(X2-X1);
C=((Y3-Y1)/(X3-X1)-(Y2-Y1)/(X2-X1))/(X3-X2); Y=Y1+B*(X-X1)+C*(X-X1)*(X-X2); return(Y); }
5、迭代法求Mm .a程序
double chazhi(double X1,double Y1,double X2,double Y2,double X3,double Y3,double X);
double cl[10][9],dcl[10][9]; double Vmin1[9];
double CL[10]={0.932,0.932,0.912,0.86,0.821,0.772,0.655,0.557,0.515,0.505}; for (j=0;j
x1[j]=0; for(i=0;i
if(dcl[i][j]>0&&dcl[i+1][j]
x1[j]=dcl[i][j];y1[j]=Ma[i]; x2[j]=dcl[i+1][j];y2[j]=Ma[i+1]; x3[j]=dcl[i+2][j];y3[j]=Ma[i+2];
}
}
if(dcl[8][j]>0&&dcl[9][j]
x1[j]=dcl[7][j];y1[j]=Ma[7];
x2[j]=dcl[8][j];y2[j]=Ma[8]; x3[j]=dcl[9][j];y3[j]=Ma[9];
}
if(x1[j]==0) {
x1[j]=cl[0][j];y1[j]=Ma[0]; x2[j]=cl[1][j];y2[j]=Ma[1]; x3[j]=cl[2][j];y3[j]=Ma[2];
Vmin1[j]=chazhi(x1[j],y1[j],x2[j],y2[j],x3[j],y3[j],CL[0])*a[j]; } else
Vmin1[j]=chazhi(x1[j],y1[j],x2[j],y2[j],x3[j],y3[j],0)*a[j]; y2[j]=dcl[0][j]; for(i=0;i
if(y2[j]
y2[j]=dcl[i][j]; }
} if(y2[j]
Vmin1[j]=(CL[0]-cl[1][j])/(cl[0][j]-cl[1][j])*Ma[0]+
(CL[0]-cl[0][j])/(cl[1][j]-cl[0][j])*Ma[1];
} }
6、计算最短上升时间tc.m 程序
double time[1700],VvmaxH; for(i=0;i
if(i*10
{time[i]=10/chazhi(0,Vvmax[0],3000,Vvmax[1],6000,Vvmax[2],(i+0.5)*10);} else if(i*10
time[i]=10/chazhi(6000,Vvmax[2],9000,Vvmax[3],11000,Vvmax[4],(i+0.5)*10);
}
else if(i*10
time[i]=10/chazhi(11000,Vvmax[4],13000,Vvmax[5],15000,Vvmax[6],(i+0.5)*10);
}
else if(i*10
H2)
{
VvmaxH=chazhi(11000,Vvmax[4],13000,Vvmax[5],15000,Vvmax[6],0.5*H2+10*i); time[i]=(H2-i*10)/VvmaxH;} else
time[i]=10/chazhi(11000,Vvmax[6],12500,Vvmax[7],13500,Vvmax[8],(i+0.5)*10);
}
else if(i*10>H2) {time[i]=0;}
} double sum; sum=time[0]; for(i=1;i
{sum=time[i]+sum;}
参考文献
[1]方振平，陈万春，张曙光. 航空飞行器飞行动力学[M]北京航空航天大学出版社.
飞行力学综合作业（一）
飞机飞行性能计算
学生姓名： 姜 南
学 号： 11051136
专业方向：飞行器设计与工程
指导教师： 王衍洋
（2014年 5月 4日）
摘要
在给出飞机基本飞行参数的情况下，研究飞机的基本飞行性能对于了解并且掌握该飞机的相关信息是相当必要的。飞机的飞行性能主要包含了平飞性能、上升性能、续航性能、起落性能和其它的机动性能。在该报告中主要研究平飞性能和上升性能。
用简单推力法计算飞机的基本飞行性能，包括各高度上的航迹倾角γ和上升率VV，最大航迹倾角γmax 和最快上升率VV.max，最大、最小平飞速度，以及最短上升时间。用C 语言编写相关的计算程序，利用所给的有关数据完成计算并结合所学习的飞行动力学对所得的计算结果作出分析，将合理的结果写到报告中。再对影响飞行性能的主要参数——飞机的起飞质量作原质量的0.90-1.10倍的步长为0.01的改变，并与原来的计算结果作比较，定量直观的认识相关参数对飞行性能的影响程度，为以后的设计工作提供一定的参考。
目录
一、计算目的与内容.................................................. 1
1、计算目的 ..................................................... 1
2、计算内容 ..................................................... 1
二、计算原理与方法.................................................. 2
1、飞机质量m ................................................... 2
2、发动机可用推力Ta ............................................. 2
3、平飞需用推力TR . .............................................. 2
4、剩余推力∆T................................................... 2
5、最小平飞速度Vmin和最大平飞速度Vmax ........................... 2
6、航迹倾角γ和上升率VV.......................................... 4
7、理论静升限Hmax.a和实用静升限Hmax.s ............................ 4
8、最短上升时间tc.min............................................. 4
三、编程原理与方法.................................................. 5
1、程序框架 ..................................................... 5
2、函数调用 ..................................................... 5
3、程序结构 ..................................................... 5
（1）航迹倾角γ和上升率VV .................................... 5
（2）最大航迹倾角γmax及对应速度Vγ和最快上升率VV.max及对应速度Vqc . ......................................................... 6
（3）最短上升时间tc.min ....................................... 6
（4）最小平飞速度Vmin和最大平飞速度Vmax ..................... 7
四、计算过程与结果分析.............................................. 8
1、原始数据 ..................................................... 8
2、基本性能计算 ................................................. 8
（1）飞机质量m .............................................. 8
（2）可用推力Ta ............................................. 8
（3）平飞需用推力TR ......................................... 9
（4）剩余推力∆T ............................................ 11
（5）升力系数CL ............................................ 12
（6）阻力系数CD ............................................ 12
（7）升阻比K ............................................... 13
（8）航迹倾角γ ............................................. 14
（9）上升率VV .............................................. 16
（10）最大航迹倾角γmax和最快上升率VV.max .................... 17
（11）理论静升限Hmax.a和实用静升限Hmax.s . .................... 19
（12）最小平飞速度Vmin和最大平飞速度Vmax ................... 20
（13）飞行包线.............................................. 23
（14）最短上升时间tc.min ..................................... 23
3、改变飞机起飞质量对飞机性能影响的计算 ........................ 24
（1）升力系数CL ............................................ 24
（2）阻力系数CD ............................................ 25
（3）升阻比K ............................................... 26
（4）最大航迹倾角γ ......................................... 27
（5）最快上升率VV.max ....................................... 28
（6）最陡上升马赫数Mγ ...................................... 29
（7）快升马赫数Mqc ......................................... 31
（8）最小平飞马赫数Mmin .................................... 32
（9）最大平飞马赫数Mmax .................................... 33
（10）飞行包线.............................................. 34
（11）理论静升限Hmax.a ...................................... 35
（12）实用静升限Hmax.s ...................................... 36
（13）最短上升时间tc.min ..................................... 37
4、结论 ........................................................ 39
5、有关讨论 .................................................... 40
附录............................................................... 41
1、用三点抛物线求极值的方法 .................................... 41
2、用三点抛物线插值的方法 ...................................... 41
3、使用抛物线插值求极值子函数 .................................. 41
4、使用抛物线插值子函数 ........................................ 42
5、迭代法求Mmin.a程序 .......................................... 42
6、计算最短上升时间tc.min程序.................................... 43
参考文献........................................................... 45
一、计算目的与内容
1、计算目的
巩固用简单推力法计算飞机基本飞行性能、以及续航性能和起飞着陆性能的计算原理、方法和步骤，培养学生独立分析和解决工程实际问题的能力。
2、计算内容
（1）计算F-16飞机当发动机以最大状态工作时，在H = 0m、3000m 、6000m 、9000m 、11000m 、13000m 、15000m 、18000m 、20000m 等9个高度上，M = 0.3、0.5、0.7、0.9、1.0、1.1、1.3、1.5、1.7、2.0等10个马赫数时的航迹倾角γ和上升率VV，并绘制各高度上γ 和VV 随M 数变化的曲线；
（2）计算各高度上的最大航迹倾角γmax 和与其相对应的最陡上升速度Vγ(或Mγ) ，计算各高度上的最快上升率VV.max和与其相对应的快升速度Vqc (或Mqc ) ，绘制γmax 和VV.max 随高度H 变化的曲线，并由该图确定理论升限 max.a 和实用升限 max. ；
（3）计算各高度上的最大平飞速度Vmax (或Mmax ) 和最小平飞速度Vm (或Mm ) ；
（4）绘制由Mm ~H ， Mmax ~H ，Mγ ~H 和Mqc ~H 组成的飞行包线。其中Mm ~H 曲线要用由 .a决定的最小平飞速度Mm .a 随H 变化的曲线和由平飞需用推力曲线与可用推力曲线的左交点确定的最小平飞速度Mm . 随H 变化的曲线来表示；
（5）计算该飞机当发动机以最大状态工作时从海平面上升到实用升限 max. 的最短上升时间 c.m 。
（6）对飞机的起飞质量作原质量的0.90-1.10倍的步长为0.01的改变，定量计算其对飞机飞行性能的影响，并与原来的计算结果作比较。
二、计算原理与方法
1、飞机质量m
飞机的质量取为包括50%燃油量的飞机质量： m=m0−mT 2
式中，m0代表飞机的起飞质量；m =m̅ ∙m0，代表燃油质量，其中m̅ 代表飞机上燃油的相对质量。
2、发动机可用推力Ta
对于最大状态模式下，发动机可用推力Ta与飞行马赫数M 和飞行高度H 的
̃(M, ) 关系为： Ta(M, ) =T0∙T
̅00m0g，代表0高度和0速度下的发动机台架推力；T̃(M, ) 代式中，T0=T
表发动机的推力相对关系。
当飞行高度大于11km 时，用以下公式计算发动机特性：
ρHTa(M, ) =Ta.11(M, =11km) ∙ ρH=11km
式中，Ta.11(M, =11km) 指11km 高度时的发动机推力，ρH、ρH=11km指在计算高度H 和11km 高度时的大气密度。
3、平飞需用推力TR
飞机定直平飞时的升力系数、阻力系数、升阻比，平飞需用推力：
L=mg
2ρVS
1K=L TR= DρV2S D22 D= D0+A L
4、剩余推力∆T
剩余推力计算公式为： ∆T=Ta−TR
5、最小平飞速度Vmin和最大平飞速度Vmax
由图1(a)可知，Ta曲线与TR曲线的左交点对应推力限制的最小平飞马赫数
Mm .T，右交点对应最大平飞马赫数Mmax.T。
由图1(b)可知：
若∆Ti0，则第i 点和第i +1点之间的∆T=0对应的M 数为Mm .T； 若∆Ti>0，∆Ti+1
图1 简单推力法确定平飞速度范围的原理图
因此，只要根据已知的n 个∆T，分别判断寻找符合上述两种情况的i 值，则可利用已知的(∆Ti−1，Mi−1) ，(∆Ti，Mi) 和(∆Ti+1，Mi+1) 三点进行插值，即可求得对应∆T=0的M 数，即Mm .T或Mmax.T。根据已知三点作抛物线，求任意一个已知自变量为M 的函数值，或求已知函数值为∆T的自变量M 的插值法，可事先编成一个子程序（方法见附录2，函数见附录4）。
迎角限制的最小平飞马赫数Mm .a由气动特性确定：Mm .a=√ρaSCL.a2mg真正的最小平飞马赫数Mm 取Mm .a和Mm .T（如果存在的话）中大者。 最大允许的平飞马赫数由以下条件确定：
Mmax.a =min [Ms, M(Vi.max)]
其中，Ms代表临界允许马赫数；M(Vi.max) 代表最大允许的等效空速Vi.max所对应的马赫数（由最大允许的动压限制）：
M(Vi.max) =Vi.max√aHH
真正的最大平飞马赫数Mmax 取Mmax.a和Mmax.T中大者。
6、航迹倾角γ和上升率VV
航迹倾角γ和最大航迹倾角γmax 的计算公式为：
γ=arcsin (mg) γmax =arcsin (
对应γmax 的M 数为最陡上升M 数Mγ。
上升率VV和最大上升率VV.max的计算公式为：
VV=∆TVmg∆T∆Tmg =∆TMamg VV.max=(∆TV)max mg=(∆TMa)max mg
对应VV.max的M 数为快升M 数Mqc 。
所以，求γmax 和VV.max就转化为分别求∆Tmax 和(∆TMa)max 。
在与数列M1，M2，……对应的∆T(M1) ，∆T(M2) ，……中和∆TV(M1) ，∆TV(M2) ，……中寻找∆Tmax 和(∆TMa)max 可用同一数学方法。例如求∆Tmax ，可首先在n 个已知的∆T中找出其中最大的一个∆T′max ，设为∆T(Mi) ，然后过∆T(Mi) ，∆T(Mi−1) 和∆T(Mi+1) 三点做抛物线，再求这抛物线的最大值∆Tmax （方法见附录1，函数见附录3）。如果∆T′max ∆T(M ) ，即∆T′max 不是数列的最后一点的∆T，则∆Tmax 存在，并且很接近∆T′max 。
7、理论静升限Hmax.a和实用静升限Hmax.s
可根据VV.max~H 曲线图确定理论静升限 max.a 和实用静升限 max. 。
max.a = (VV.max=0)
max.a = (VV.max=VV.a.m =5m/s)
8、最短上升时间tc.min
最短上升时间的计算公式为： c.m =∑ i=1(∆H
VV.max)
计算时，显然当n 越大（即∆ 越小）时计算结果越精确。按前面给的9个高度的VV.max和∆ 来决定 c.m 误差很大，特别是在升限附近误差更大。取∆ =10m ，补充高度上的VV.max值用现有的9个VV.max值中相应的三点进行插值计算结果。（所编程序见附录6）
三、编程原理与方法
1、程序框架
数据的调入——调用函数的声明——变量类型的声明——在原始数据的条件下运用简单推力法依次计算各项最终数据——改变质量（步长1%，质量分布从90%-110%），依次计算并输出。
2、函数调用
主程序用无参函数编译，所有数据的录入和输出都通过指针对文件的打开、关闭、只读、只写完成；插值函数用有参函数编译，将需要的参数通过函数返回主程序
3、程序结构
（1）航迹倾角γ和上升率VV
（2）最大航迹倾角γmax及对应速度Vγ和最快上升率VV.max及对应速度Vqc
（3）最短上升时间tc.min
（4）最小平飞速度Vmin和最大平飞速度Vmax
四、计算过程与结果分析
1、原始数据
F-16属于1类飞机——高机动性飞机，其发动机属于2类发动机，处于最大状态。基本的飞机设计和飞行状态参数见表1。
表1 F-16基本的飞机设计和飞行状态参数
2、基本性能计算
（1）飞机质量m
m m̅ ∙m00.32×13000
m=m0−=m0−=13000−=10920kg
222
（2）可用推力Ta
可用推力计算结果见表2，可用推力随高度、马赫数变化曲线见图2。
图2 可用推力变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，同一高度下，可用推力大致随马赫数的增加而增加，亚声速区增加较缓，超声速区增加较快，但有最大值限制；不同高度下，可用推力随高度的增加而减小，且变化趋缓；当H >11km 时，可用推力变化不显著。
变化原因在于：同一高度下，随着马赫数的增加，进入发动机的空气质量流量和尾喷管的喷流速度都增加，可用推力增加，且随着马赫数的不断增加，进入发动机的空气质量流量和尾喷管的喷流速度的增加也愈加显著，可用推力迅速增加，增值超声速的某个马赫数时，可用推力达到最大值；不同高度下，随着高度的增加，空气密度减小，进入发动机的空气质量流量将减小，故可用推力降低。
（3）平飞需用推力TR
平飞需用推力计算结果见表3，平飞需用推力随高度、马赫数变化曲线见图3。
图3 平飞需用推力变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，在同一高度下，平飞需用推力整体随着马赫数的增加，先减小后增大，且进入跨声速直至超声速范围后，平飞需用推力急剧增加；不同高度下，平飞需用推力曲线随高度增加而向右移动，超声速时曲线稍向上移动，且在超声速范围内，随飞行高度增加，曲线变得比较平缓。
变化原因在于：同一高度下，飞行马赫数较低时，由于升力系数较大，升致阻力在阻力中占主要地位，随着马赫数的增加，升力系数逐渐降低，升致阻力也逐渐减小，而零升阻力越来越大，在某个飞行马赫数下，两者恰好相等，此时飞机总阻力最小，即平飞需用推力最小；当飞行速度超过有利速度后，零升阻力大于升致阻力，并逐渐在总阻力中占主要地位，随马赫数的增加而增加；当飞行马
赫数进入跨声速范围，由于波阻的出现，零升阻力系数随马赫数的增加而迅速增加，因此平飞需用推力迅速增加；不同高度下，随着高度的增加，零升阻力减小，而升致阻力增大，导致曲线向右移动；在亚声速范围内，由于最大升阻比基本为常数，故平飞需用推力最小值基本不随高度的变化而变化；而随着高度的增加，有利马赫数可能大于临界马赫数，出现波阻，使得总阻力增加，造成超声速飞机平飞需用推力曲线稍向上移动；超声速范围内，随着高度的增加，零升阻力在总阻力中占主要地位，且随飞行高度增加而减小，故平飞需用推力曲线变得比较平缓。
（4）剩余推力∆T
剩余推力计算结果见表4，剩余推力随高度、马赫数变化曲线见图4。
图4 剩余推力变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，在同一高度下，剩余推力随马赫数的增加，先增大后减小；不同高度下，亚声速区剩余推力随高度增加而减小，超声速区则随高度增加而增加；当 ≤11km 时，超声速区剩余推力变化较大，当 ≥11km 时，超声速区剩余推力变化缓慢；当高度在一定范围内（ ≤9km ）时，剩余推力曲线与横坐标轴只有一个右交点，即不存在Mm .T；当 ≥17km 时，剩余推力值恒为负，即不能实现平飞。
（5）升力系数CL
升力系数计算结果见表5，升力系数随马赫数变化曲线见图5。
表5 升力系数计算结果
图5 升力系数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，升力系数随马赫数的增加而减小，且亚声速区减小幅度较大，超声速区变化较缓。
（6）阻力系数CD
阻力系数计算结果见表6，阻力系数随马赫数变化曲线见图6。
表6 阻力系数计算结果
图6 阻力系数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，阻力系数随马赫数的增加而减小，且亚声速区减小幅度较大，超声速区变化较缓。
（7）升阻比K
升阻比计算结果见表7，升阻比随马赫数变化曲线见图7。
表7 升阻比计算结果
图7 升阻比变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，升阻比随马赫数的增加，先增大至最大值后减小，且超声速区变化较缓。原因在于：飞行马赫数较低时，升力系数和阻力系数都较大，升阻比较小；随着马赫数的增加，升力系数和阻力系数均迅速较小，且阻力系数变化更快，因此升阻比逐渐增加；当阻力系数中零升阻力系数等于升致阻力系数时，升阻比达到最大值；而后随着马赫数的增加，升力系数和阻力系数均逐渐减小，且变化趋缓，因此升阻比逐渐减小且变化趋缓。
（8）航迹倾角γ
在计算航迹倾角γ的过程中，若mg>−1，则γ=arcsin (mg) 计算无意义。此时，作mg=−1处理。航迹倾角计算结果见表8、表9，航迹倾角随高度、马赫数变化曲线见图8。
∆T
∆T
∆T
图8 航迹倾角变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，在同一高度下，航迹倾角随马赫数的变化趋势大致是随着马赫数的增加，先缓慢增至最大值即最大航迹倾角，然后减小；在 11km 范围内的一定高度下，航迹倾角在跨声速区下降阶段不明显；在不同高度下，在亚声速阶段随着高度的增加航迹倾角下降，在超声速阶段则随着高度的增加而增大。
高度一定时，上升率与剩余推力成正比，在亚声速下随马赫数增大而增大，而在跨声速下，由于剩余推力的急剧减小，上升率急剧下降。随着高度的增加，在亚声速阶段，由于剩余推力的减小，上升率不断减小。而在超声速阶段由于剩余推力减小较慢，曲线逐渐平缓。
（9）上升率VV
上升率计算结果见表10，上升率随高度、马赫数变化曲线见图9。
图9 上升率变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，在同一高度下，上升率随马赫数的变化趋势大致是随着马赫数的增加，先缓慢增至最大值，然后减小；在 11km 范围内的一定高度下，上升率在跨声速区下降阶段不明显；在不同高度下，在亚声速阶段随着高度的上升率下降，在超声速阶段则随着高度的增加而增大。
高度一定时，上升率与剩余推力和飞行速度的乘积成正比，在亚声速下随马赫数增大而增大，而在跨声速下，由于剩余推力的急剧减小，上升率急剧下降。随着高度的增加，在亚声速阶段，由于剩余推力的减小，上升率不断减小。而在超声速阶段由于剩余推力减小较慢，曲线逐渐平缓。
（10）最大航迹倾角γmax和最快上升率VV.max
计算最大航迹倾角γmax 即为计算∆Tmax ，用三点抛物线插值求极值的方法计算，详见附录一。寻求各个高度下∆T最大的点，并与之前后两点进行插值，求极值得∆Tmax ，进而求得γmax 。在某高度下，∆T最大的点可能在边界上，取该点与其之前（之后）两点进行计算。计算最快上升率VV.max即为计算∆(TV)max ，过程与之类似。
最大航迹倾角、最陡上升马赫数及相应速度和最快上升率、快升马赫数及相应速度计算结果见表11，最大航迹倾角随高度变化曲线见图10，最快上升率随高度变化曲线见图11，最陡上升马赫数、快升马赫数随高度变化曲线见图12。
表11 最大航迹倾角、最陡上升马赫数及相应速度 和最快上升率、快升马赫数及相应速度计算结果
图10 最大航迹倾角变化曲线
图11 最快上升率变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，最大航迹倾角和最快上升率均随高度的增加而减小，因为剩余推力和剩余功率均随高度的增加而减小。
图12 最陡上升马赫数、快升马赫数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，最陡上升马赫数随高度的增加而不断增加，而快升马赫数在 11km 时，随高度的增加而稍微减小。
（11）理论静升限Hmax.a和实用静升限Hmax.s
由VV.max~H 曲线图确定理论静升限 max.a 和实用静升限 max. 分别为（如图13、图14）
max.a =16040m max. =15320m
程序中，通过三点抛物线插值的方法，取 =11km 、 =13km 、 =15km 三个高度所对应的最快上升率进行插值，分别计算VV.max=0、VV.max=5m/s时所对应的高度，得理论静升限H max.a 和实用静升限H max. 分别为
max.a =16097.335m max. =15332.756m
图13 确定理论静升限
图14 确定实用静升限
（12）最小平飞速度Vmin和最大平飞速度Vmax
最小平飞速度Vm 由推力限制的最小平飞速度Vm . 和由迎角限制的最小平飞速度Vm .a共同决定，取其中的较大值。计算Vm . 时，用三点抛物线插值的方法进行计算，由∆T 0确定Mm . 的插值点，调用三点抛物线插值子函数求各个高度上的Mm .T值。在某些高度上，可能不存在∆T 0的情形，令Mm . =0.001。此外，在某些高度上，可能最值点存在于边界，也做相应的处理。计算Vm .a时，由于Mm .a=√
2mgρaSCL.a
L.a与马赫数有关，故此
公式为隐函数，只能用迭代法求解。（详见附录5）先取一个初值C .a
计算出
Mm .a(0)，再由马赫数M 的三点抛物线插值求出Mm .a(0)所对应得 L.a，代入公式计算出新的Mm .a(1)，将新的Mm .a(1)赋给Mm .a(0)，重复上面的步骤直到Mm .a(1)与Mm .a(0)相差很小（如10-6）为止。
最大平飞速度Vmax 由推力限制的最大平飞速度Vmax. 和Vmax.a 共同决定，取其中的较小值。其中，计算Vmax.T的方法与计算Vm .T相似。Vmax.a由飞机的临界允许马赫数Ms和最大允许的等效空速Vi.max所对应的马赫数M(Vi.max) （由最大允许的动压限制）共同决定，取其中的较小值。
最小平飞速度及最小平飞马赫数计算结果见表12，最小平飞马赫数随高度变化曲线见图15；最大平飞速度及最大平飞马赫数计算结果见表13，最大平飞马赫数随高度变化曲线见图16。
图15 最小平飞马赫数变化曲线
图16 最大平飞马赫数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，最小平飞马赫数随高度的增加而不断增加。在飞行高度较小时，最小平飞马赫数由迎角限制决定；飞行高度较大时，最小平飞马赫数由推力限制决定。
最大平飞马赫数由推力限制的最大平飞马赫数、飞机的临界允许马赫数和最大允许的等效空速所对应的马赫数三者决定。就本飞机而言，主要由推力限制的最大平飞马赫数决定。在 11km 时，随高度的增加而减小，且较为明显。原因在于： 11km
时，可用推力减小，故最大平飞速度减小，最
大平飞马赫数随之减小。
（13）飞行包线
飞行包线由Mm ~H 、 Mmax ~H 、Mγ ~H 和Mqc ~H 组成，见图17。
图17 飞行包线
（14）最短上升时间tc.min
将所给高度分为四段，每段由点（ VVmax, H ）进行三点抛物线插值，取步长为10m ，计算每个高度上的VVmax ，并计算每段步长上的上升时间，将每段高度步长上的上升时间累加，即得最短上升时间 c.m =338.597s 。（详见附录6）
3、改变飞机起飞质量对飞机性能影响的计算
对飞机的起飞质量作原质量的0.90-1.10倍的步长为0.01的改变，定量计算其对飞机飞行性能的影响，并与原来的计算结果作比较，具体如下： （1）升力系数CL
起飞质量改变后，升力系数计算结果见表14，升力系数变化曲线见图18。
表14 改变飞机起飞质量对升力系数的影响
图18 升力系数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，同一马赫数下，升力系数随起飞质量的增加而增大，在低马赫数下变化较为显著，在超声速区变化微小。
（2）阻力系数CD
起飞质量改变后，阻力系数计算结果见表15，阻力系数变化曲线见图19。
图19 阻力系数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，同一马赫数下，阻力系数随起飞质量的增加而增大，在低马赫数下变化较为显著，在超声速区几乎没有变化。
（3）升阻比K
起飞质量改变后，升阻比计算结果见表16，升阻比变化曲线见图20。
图20 升阻比变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，同一马赫数下，在亚声速区和跨声速区，升阻比随起飞质量的增加而减小，在超声速区，升阻比随起飞质量的增加而增大，且跨声速区变化明显。
（4）最大航迹倾角γ
起飞质量改变后，最大航迹倾角计算结果见表17，最大航迹倾角变化曲线见图21。
图21 最大航迹倾角变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，同一高度下，一定高度范围内，最大航迹倾角随起飞质量的增加有微小增加；在较高飞行高度下（ ≥15km ），最大航迹倾角随起飞质量的增加有微小减小。总的来说，起飞质量对最大航迹倾角几乎没有影响。
（5）最快上升率VV.max
起飞质量改变后，最快上升率计算结果见表18，最快上升率变化曲线见图22。
图22 最快上升率变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，同一高度下，一定高度范围内，最快上升率随起飞质量的增加有微小增加；在较高飞行高度下（H ≥15km ），最快上升率随起飞质量的增加有微小减小。总的来说，起飞质量对最快上升率几乎没有影响。
（6）最陡上升马赫数Mγ
起飞质量改变后，最陡上升马赫数计算结果见表19，最陡上升马赫数变化曲线见图23。
表19 最陡上升马赫数计算结果
图23 最陡上升马赫数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，最陡上升马赫数随起飞质量的增加而小幅增大，曲线整体右移。
（7）快升马赫数Mqc
起飞质量改变后，快升马赫数计算结果见表20，快升马赫数变化曲线见图24。
表20 快升马赫数计算结果
图24 快升马赫数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，快升马赫数随起飞质量的增加而增大，曲线整体右移。
（8）最小平飞马赫数Mmin
起飞质量改变后，最小平飞马赫数计算结果见表21，最小平飞马赫数变化曲线见图25。
表21 最小平飞马赫数计算结果
图25 最小平飞马赫数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，最小平飞马赫数整体随起飞质量的增加而小幅增大。但 =11km 时，m0=1.01、m0=1.02和 =13km 时，m0=1.05、m0=1.06、m0=1.07、m0=1.08共5处对应点，出现较大偏差，有待进一步研究与讨论。
（9）最大平飞马赫数Mmax
起飞质量改变后，最大平飞马赫数计算结果见表22，最大平飞马赫数变化曲线见图26。
表22 最大平飞马赫数计算结果
图26 最大平飞马赫数变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，最大平飞马赫数整体随起飞质量的增加而增大，且 =11km 附近增加较大。但 =11km 时，m0≥1.03的质量点和 =13km 时，m0=1.09、m0=1.1对应点，出现计算错误的情况，有待进一步研究与讨论。
（10）飞行包线
起飞质量改变后，选取m0=0.9、m0=1.95、m0=1.0三处起飞质量，进行飞行包线的绘制，见图27。
图27 飞行包线
由飞行包线可知，当飞机质量增大时，最小平飞马赫数变化微小，而最大平飞马赫数有明显增大，故使飞行包线范围增大。
（11）理论静升限Hmax.a
起飞质量改变后，理论静升限计算结果见表23，理论静升限随起飞质量变化曲线见图28。
图28 理论静升限随起飞质量变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，理论静升限整体来说随起飞质量的增大而约成线性减小。而m0=1、m0=1.01、m0=1.02三处起飞质量所对应的理论静升限不符合规律，经检查验证，程序无误，具体原因有待进一步研究与讨论。
（12）实用静升限Hmax.
起飞质量改变后，实用静升限计算结果见表24，实用静升限随起飞质量变化曲线见图29。
图29 实用静升限随起飞质量变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，实用静升限整体来说随起飞质量的增大而约成线性减小。而m0=1、m0=1.01、m0=1.02三处起飞质量所对应的实用静升限不符合规律，经检查验证，程序无误，具体原因有待进一步研究与讨论。
（13）最短上升时间tc.m
起飞质量改变后，最短上升时间计算结果见表25，最短上升时间随起飞质量变化曲线见图30。
图30 最短上升时间随起飞质量变化曲线
由表中数据和图中曲线可知，最短上升时间整体来说随起飞质量的增大而减小。而m0=1、m0=1.01、m0=1.02三处起飞质量所对应的最短上升时间不符合规律，经检查验证，程序无误，具体原因有待进一步研究与讨论。
4、结论
（1）同一高度下，可用推力大致随马赫数的增加而增加；不同高度下，可用推力随高度的增加而减小，且变化趋缓。
（2）在同一高度下，平飞需用推力整体随着马赫数的增加，先减小后增大，且进入跨声速直至超声速范围后，平飞需用推力急剧增加；不同高度下，平飞需用推力曲线随高度增加而向右移动，超声速时曲线稍向上移动，且在超声速范围内，随飞行高度增加，曲线变得比较平缓。
（3）在同一高度下，剩余推力随马赫数的增加，先增大后减小；不同高度下，亚声速区剩余推力随高度增加而减小，超声速区则随高度增加而增加。
（4）升力系数、阻力系数随马赫数的增加而减小，且亚声速区减小幅度较大，超声速区变化较缓。
（5）升阻比随马赫数的增加，先增大至最大值后减小，且超声速区变化较缓。
（6）在同一高度下，航迹倾角、上升率随马赫数的增加，先缓慢增至最大值即最大航迹倾角，然后减小；在不同高度下，在亚声速阶段随着高度的增加航迹倾角下降，在超声速阶段则随着高度的增加而增大。
（7）最大航迹倾角和最快上升率均随高度的增加而减小。
（8）最小平飞马赫数随高度的增加而不断增加；在飞行高度较小时，最小平飞马赫数由迎角限制决定；飞行高度较大时，最小平飞马赫数由推力限制决定。
（9）最大平飞马赫数由推力限制的最大平飞马赫数、飞机的临界允许马赫数和最大允许的等效空速所对应的马赫数三者决定。就本飞机而言，主要由推力限制的最大平飞马赫数决定。在 11km 时，随高度的增加而减小，且较为明显。
（10）同一马赫数下，升力系数、阻力系数随起飞质量的增加而增大，在低马赫数下变化较为显著，在超声速区变化微小。
（11）同一马赫数下，在亚声速区和跨声速区，升阻比随起飞质量的增加而减小，在超声速区，升阻比随起飞质量的增加而增大，且跨声速区变化明显。
（12）同一高度下，一定高度范围内，最大航迹倾角、最快上升率随起飞质
量的增加有微小增加；在较高飞行高度下（ ≥15km ），最大航迹倾角、最快上升率随起飞质量的增加有微小减小。总的来说，起飞质量对最大航迹倾角、最快上升率几乎没有影响。
（13）最陡上升马赫数随起飞质量的增加而小幅增大，曲线整体右移。 （14）快升马赫数随起飞质量的增加而增大，曲线整体右移。 （15）最小平飞马赫数整体随起飞质量的增加而小幅增大。
（16）最大平飞马赫数整体随起飞质量的增加而增大，且 =11km 附近增加较大。
（17）飞机起飞质量增大，飞机飞行包线范围增大。 （18）理论静升限、实用静升限随起飞质量的增大而减小。 （19）最短上升时间随起飞质量的增大而减小。
5、有关讨论
随着飞行起飞质量的增大，在计算最大平飞马赫数、理论静升限、实用静升限、最短上升时间时，出现了某些数据点计算错误或不符合规律的情况，经分析认为，原因可能如下：在某些起飞质量的情况下，可能会出现剩余推力曲线与横坐标轴有多个交点，而程序中所取的数据并不是计算中想要得到的数据，因此出现较大偏差。要修正这个情况，需要在对图像分析的基础上，修改程序，用选择语句进行判断，并做进一步处理。然而，由于知识、能力、时间等若干方面的原因，笔者未能进行深入分析，对此笔者深表遗憾。但笔者希望，在后续的学习过程中，在老师的教导下，在同学们的帮助下，对此情形进行更加深入的研究与讨论。最后，由于笔者水平有限，分析计算过程中难免有不妥之处，还请老师和同学们指教。
附录
1、用三点抛物线求极值的方法
按已知三点做抛物线，取该抛物线的顶点为函数的最大值。设已知三点为(xi−1, yi−1) 、(xi,yi) 、(xi+1, yi+1) ，其中xi−1
y=yi−1+B(x−xi−1) + (x−xi−1)(x−xi)
令
dydx
=0，得
B+ (xm−xi) + (xm−xi−1) =0 （1）
解得
xm=
将式（2）代入方程，可得
ymax=yi−1+B(xm−xi−1) + (xm−xi−1)(xm−xi)
式中
yi−yi−1B=
ii−1
y−yy−y− =
i+1i
xi−1+xi
2
−
B2C
（2）
2、用三点抛物线插值的方法
由附录1的讨论可得抛物线方程为
y=yi−1+B(x−xi−1) + (x−xi−1)(x−xi)
已知x可求出y值。
3、使用抛物线插值求极值子函数
float extrem(float X1,float Y1,float X2,float Y2,float X3,float Y3) {float B,C,Ymax; B=(Y2-Y1)/(X2-X1);
C=((Y3-Y1)/(X3-X1)-(Y2-Y1)/(X2-X1))/(X3-X2);
Xm=(X1+X2)/2-B/(2*C);
Ymax=Y1+B*(Xm-X1)+C*(Xm-X1)*(Xm-X2); return(Ymax); }
4、使用抛物线插值子函数
float chazhi(float X1,float Y1,float X2,float Y2,float X3,float Y3,float X) {float B,C,Y; B=(Y2-Y1)/(X2-X1);
C=((Y3-Y1)/(X3-X1)-(Y2-Y1)/(X2-X1))/(X3-X2); Y=Y1+B*(X-X1)+C*(X-X1)*(X-X2); return(Y); }
5、迭代法求Mm .a程序
double chazhi(double X1,double Y1,double X2,double Y2,double X3,double Y3,double X);
double cl[10][9],dcl[10][9]; double Vmin1[9];
double CL[10]={0.932,0.932,0.912,0.86,0.821,0.772,0.655,0.557,0.515,0.505}; for (j=0;j
x1[j]=0; for(i=0;i
if(dcl[i][j]>0&&dcl[i+1][j]
x1[j]=dcl[i][j];y1[j]=Ma[i]; x2[j]=dcl[i+1][j];y2[j]=Ma[i+1]; x3[j]=dcl[i+2][j];y3[j]=Ma[i+2];
}
}
if(dcl[8][j]>0&&dcl[9][j]
x1[j]=dcl[7][j];y1[j]=Ma[7];
x2[j]=dcl[8][j];y2[j]=Ma[8]; x3[j]=dcl[9][j];y3[j]=Ma[9];
}
if(x1[j]==0) {
x1[j]=cl[0][j];y1[j]=Ma[0]; x2[j]=cl[1][j];y2[j]=Ma[1]; x3[j]=cl[2][j];y3[j]=Ma[2];
Vmin1[j]=chazhi(x1[j],y1[j],x2[j],y2[j],x3[j],y3[j],CL[0])*a[j]; } else
Vmin1[j]=chazhi(x1[j],y1[j],x2[j],y2[j],x3[j],y3[j],0)*a[j]; y2[j]=dcl[0][j]; for(i=0;i
if(y2[j]
y2[j]=dcl[i][j]; }
} if(y2[j]
Vmin1[j]=(CL[0]-cl[1][j])/(cl[0][j]-cl[1][j])*Ma[0]+
(CL[0]-cl[0][j])/(cl[1][j]-cl[0][j])*Ma[1];
} }
6、计算最短上升时间tc.m 程序
double time[1700],VvmaxH; for(i=0;i
if(i*10
{time[i]=10/chazhi(0,Vvmax[0],3000,Vvmax[1],6000,Vvmax[2],(i+0.5)*10);} else if(i*10
time[i]=10/chazhi(6000,Vvmax[2],9000,Vvmax[3],11000,Vvmax[4],(i+0.5)*10);
}
else if(i*10
time[i]=10/chazhi(11000,Vvmax[4],13000,Vvmax[5],15000,Vvmax[6],(i+0.5)*10);
}
else if(i*10
H2)
{
VvmaxH=chazhi(11000,Vvmax[4],13000,Vvmax[5],15000,Vvmax[6],0.5*H2+10*i); time[i]=(H2-i*10)/VvmaxH;} else
time[i]=10/chazhi(11000,Vvmax[6],12500,Vvmax[7],13500,Vvmax[8],(i+0.5)*10);
}
else if(i*10>H2) {time[i]=0;}
} double sum; sum=time[0]; for(i=1;i
{sum=time[i]+sum;}
参考文献
[1]方振平，陈万春，张曙光. 航空飞行器飞行动力学[M]北京航空航天大学出版社.