全等三角形难题(10-30)

全等三角形难题题型归类及解析

一、角平分线型

角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。

1. 如图，在ΔABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，

连结DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长。

2. 已知：如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，

•PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．

ADM

3. 如图所示，P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于C，•∠OAP+∠OBP=180°，

若OC=4cm，求AO+BO的值．析：要求AO+BO的和，题目只知道OC的长，要尽量让 AO，

BO与OC扯上关系。又知道一条角平分线，可以适当构造全等三角形，将对应线段作等量代换。

4. 已知：如图E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC。 (1) 求证：∠ABE=∠C；

(2) 若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=5，AC=8，求DC的长。

．

5、如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，求证：2∠M=（∠ACB-∠B）

6、如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．

（1）若BD平分∠ABC，求证CE=；

（2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；

若不变，求出它的度数，并说明理由。

（1）延长BA，CE交于

F，可证

CE=1/2CF,CF=BD（2）作AH⊥BE,AG⊥CF,

AE平分角BEF

下证

7、如图：四边形ABCD中，AD∥BC ，AB=AD+BC ，E是CD的中点，求证：AE⊥BE 。

8、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．

（一）截长补短型

D 1、如图，AB∥CD,BE,CE分别平分∠ABC,∠DCB,

求证：

2、如图，Rt△ACB中，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于E点，求证：AD=2DF+CE

3、如图,RT△CDA≌RT△CDB,

①、若∠ACD=30°，∠MDN=45°,当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间的关系式为＿＿＿＿＿＿

②、若∠ACD=45°，∠MDN=45°,AM、MN、BN三条线段之间的数量关系式为：

＿＿＿＿＿＿

③、由①②猜想：在上述条件下，当∠ACD与∠MDN满足什么条件时，上述关系式成立，证明你的结论。

C C

1.（巴蜀中学考题）如图正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一

点，且AF平分DAE。

（1）若正方形ABCD的边长为4，BE=3，求EF的长。（2）求证AE=EC+CD

2.（南开中学考题）在平行四边形ABCD中，对角线BDBC，G为BD延长线上一点且ABG为等边三角形，BAD、CBD的平分线相交于点E，连接AE交BD于F，连接GE。

（1）若平行四边形ABCD面积为93，求AG的长。（2）求证：AE=BE+GE

析：在AE上取一点Q。使EQ=BE,连接BQ由AE、BE平分可求出BAE、DBE的度数，利用内角和定理求出AEB=60度，从而得出三角形BQE为等边，QBE=60，从而ABQ=45度，利用SAS证三角形ABQ和GBE全等，对应边AQ=GE，等量代换即可得证。

二、中点型

由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线

2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线

1、△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DE⊥DF，试判断DE、DF的数量关系，并说明理由．

BE平分ABC，△ABC中，ABC45°，CDAB于D，EAC2、已知：如图，且B

于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．（1）求证：BFAC；（2）求证：CE

BF 2

D B

E C

3、如图，△ABC中，D是BC的中点，

DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论。

4、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长

BE交AC于F，求证：AF=EF

三、多个直角型

在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等，而最难找的是锐角相等，所以“同角的余角相等”这个定理就显得非常重要，它是证明多个直角问题中锐角相等的有利工具。

1、如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

2、如图, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF．求证：AC=EF．

ED 3、如图，∠ABC=90°，AB=BC，BP为一条射线，AD⊥BP，CE⊥PB，若AD=4，EC=2.求DE的长。

4、如图，ΔABC的两条高AD、BE相交于H，且AD=BD，试说明下列结论成立的理由。

（1）∠DBH=∠DAC；（2）ΔBDH≌ΔADC。 E

C D

5. 如图∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D，AD=2、5cm，DE=1.7cm,求BE

的长

6. 如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，

若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论

能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

7. 如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、

C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E (1) 试说明: BD=DE+CE.

(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD

(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 请直接写出结果, 不需说明.

（4）归纳前二个问得出BD、DE、CE关系。用简洁的语言加以说明。

四、等边三角形型

由于等边三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形，另外等边三角形又具有60度和120度的旋转对称性，所以经常利用旋转全等的知识进行解答，同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质，因此当我们看到有60度的角的时候经常构造等边三角形解题。

1、如图，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且DEF也是等边三角形．

（2）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的

猜想是正确的；

（3）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化

过程．

2、已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰ

Ｅ的大小。

3、如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．

4、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上.求证：BE=AD

5、已知P是等边△ABC内的一点，PA5,PB4,PC3,则BPC的度数为多少？

6、已知P是正方形ABCD内的一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3，则APB的度数为多少？.

五、等腰三角形型

由于等腰三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形，另外等腰三角形又具有旋转对称性，所以经常利用旋转全等的知识进行解答

1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

2. 在△ABC中，,AB=AC，在AB边上取点D，在AC延长线上取点E ，使CE=BD ，

连接DE交BC于点F，求证DF=EF .

3. 如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分

别为DE、DF,CM⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系, 并给予证明.

折叠型

２３、如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．

(1)如图②，若M为AD边的中点， ①,△AEM的周长=_____cm；

②求证：EP=AE+DP；

(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．