分类讨论案例----一元二次不等式求解集
一、分类讨论在素质教育教学中的作用
高中数学学习离不开思维，高中数学探索需要通过思维来实现，在高中教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的思维习惯，既符合新课程标准，也是进行素质教育的一个切入点。波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路” 学分类讨论思想，就是根据数学对象本质属性的相同点和不同点，使其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种很重要的数学思想，又是一种很重要的数学逻辑方法。数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学思想方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、明显的综合性、明显的探索性，能训练人的思维条理性和概括性。
分类讨论思想，贯穿于整个高中数学的全部内容。应用分类讨论，往往能够使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性能力，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力，这是素质教育的本质所在。
分类讨论的思想是一种很重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性，严谨性与灵活性以及提高学生分析问题能力和解决问题的能力具有较大的帮助。
二、分类讨论在整个高中数学中的应用
分类讨论思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄心理特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步的渗透，螺旋式上升，不断丰富自身的内涵。
在高中教育教学中经常出现分类讨论思想，如不等式一节中不等式的乘法：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc. 学生在使用时容易忽略定理中c 的条件，特别是当c 是隐含有符号的代数式尤易疏忽，此时可以有意识地加强对性质的应用，题目虽小，但却很好地考察了对定理的掌握和运用情况，也逐步渗透了分类讨论的思想。
⎧na 1(q =1) ⎪S n =⎨a 1(1-q n ) 又如，等比数列前几项和公式是分别给出的： (q ≠1) ⎪⎩1-q
所以在解这类问题时，如果q 是可以变化的量，就要以q 为标准进行分类讨论。
又如在对直线互相垂直问题，必须讨论斜率K 存在与否。 学习分类讨论思想方法，增强思维的缜密性 在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为很多类，最后对每一类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就会成为解决问题的关键所在。
利用课本教材，教学中有意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的资源和时间，启发学生积极思考。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学效果。
三、一元二次不等式求解集是对分类讨论思想的应用
一元二次不等式通过一元二次函数图象进行求解。求一元二次不等式的解集实际上是使这个一元二次不等式的所有项移到不等式左边并进行因式分解分类讨论求出解集。解一元二次不等式，实际是将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X 轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图像法进行解题。
1．判别方法对于一元二次不等式影响
考虑ax^2+bx+c>0（a ＞0） （以下仅考虑a>0的情况，a0时，ax^2+bx+c=0（有两个不相等的解）
x
x1 x2
根据图像y=ax^2+bx+c,写出解集{x |x
, 或x >x 2}
B 判别式△=0时，对应方程有一个根，因为a>0，二次函数图象抛物线的开口向上，抛物线与x 轴有一个交点，则x1=x2，所以不等式ax^2+bx+c>0的解集是x≠x1的全体实数，{x |x ≠-
x1=x2 x
C 判别式△0的解集是全体实数
解集为 R
x b 2a
最后归纳得出一元二次不等式求解
一元二次不等式与一元二次方程及一元二次函数的关系。
解一元二次不等式的步骤：求根——画图——找解
这里对判别式影响解集情况进行讨论，当然用到了数学经常用的另一种思想，数形结合思想，两者思想相结合求解一元二次不等式。
2含参数问题讨论，以一元二次不等式解集为例子
参数广泛地存在于中学数学的各类问题中，是近几年来高考重点考查的热点问题之一。一种类型问题是根据参数在允许值范围内的不同取值（或取值范围），去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题结论；另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。
解决第一类型的参数问题，通常要用“分类讨论”的方法，是根据问题的条件和所涉及到的概念；运用的定理、公式、性质和运算的需要，图形的位置等进行科学合理的分类，然后逐类分别加以讨论，
探究出各自的结果，而后归纳出命题的结论，达到解决问题的目的。它实际上是一种化难为易。化繁为简的解题策略和方法。
下面就一元二次不等式含参数问题进行阐述分类讨论思想 例：关于x 的不等式(m -2)x 2+2(m -2)x -4
1 当m -2=0，即m =2时，原不等式可化为：
0⋅x 2+0⋅x -4
∴ m =2时，不等式恒成立
2 当m -2≠0，即m ≠2时，不等式(m -2)x 2+2(m -2)x -4
当m -2>0时，图像就是这三种情况. 那么不等式的对应方程
(m -2)x 2+2(m -2)x -4=0的根的情况对应图像上就分别是两个、一个或无. 那么它的判别式依次是：∆>0、∆=0或∆
(1) （m -2) >0的图像
（1）m -2>0 ∆>0 (2) m -2>0 ∆=0 (3) m -2=0
(2) (m -2)
（4）m -20 (5) m -2
⎧m -2
解之得：
-2
综上所述，当-2
上面这个题在教学中对于初接触的学生来说是个很大的问题，老师在对这个问题进行分类讨论再加上数形结合思想将此题讲清楚，学生思考充分。可以出几个类似题目让学生在课后进行独立思考。如变式为(m -2)x 2+2(m -2)x -4≤0课后思考题2，m 为何值时，二次函数y=mx²-(1-m)x+m与x 轴无交点？
分类讨论案例----一元二次不等式求解集
一、分类讨论在素质教育教学中的作用
高中数学学习离不开思维，高中数学探索需要通过思维来实现，在高中教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的思维习惯，既符合新课程标准，也是进行素质教育的一个切入点。波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路” 学分类讨论思想，就是根据数学对象本质属性的相同点和不同点，使其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种很重要的数学思想，又是一种很重要的数学逻辑方法。数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学思想方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、明显的综合性、明显的探索性，能训练人的思维条理性和概括性。
分类讨论思想，贯穿于整个高中数学的全部内容。应用分类讨论，往往能够使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性能力，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力，这是素质教育的本质所在。
分类讨论的思想是一种很重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性，严谨性与灵活性以及提高学生分析问题能力和解决问题的能力具有较大的帮助。
二、分类讨论在整个高中数学中的应用
分类讨论思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄心理特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步的渗透，螺旋式上升，不断丰富自身的内涵。
在高中教育教学中经常出现分类讨论思想，如不等式一节中不等式的乘法：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc. 学生在使用时容易忽略定理中c 的条件，特别是当c 是隐含有符号的代数式尤易疏忽，此时可以有意识地加强对性质的应用，题目虽小，但却很好地考察了对定理的掌握和运用情况，也逐步渗透了分类讨论的思想。
⎧na 1(q =1) ⎪S n =⎨a 1(1-q n ) 又如，等比数列前几项和公式是分别给出的： (q ≠1) ⎪⎩1-q
所以在解这类问题时，如果q 是可以变化的量，就要以q 为标准进行分类讨论。
又如在对直线互相垂直问题，必须讨论斜率K 存在与否。 学习分类讨论思想方法，增强思维的缜密性 在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为很多类，最后对每一类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就会成为解决问题的关键所在。
利用课本教材，教学中有意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的资源和时间，启发学生积极思考。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学效果。
三、一元二次不等式求解集是对分类讨论思想的应用
一元二次不等式通过一元二次函数图象进行求解。求一元二次不等式的解集实际上是使这个一元二次不等式的所有项移到不等式左边并进行因式分解分类讨论求出解集。解一元二次不等式，实际是将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X 轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图像法进行解题。
1．判别方法对于一元二次不等式影响
考虑ax^2+bx+c>0（a ＞0） （以下仅考虑a>0的情况，a0时，ax^2+bx+c=0（有两个不相等的解）
x
x1 x2
根据图像y=ax^2+bx+c,写出解集{x |x
, 或x >x 2}
B 判别式△=0时，对应方程有一个根，因为a>0，二次函数图象抛物线的开口向上，抛物线与x 轴有一个交点，则x1=x2，所以不等式ax^2+bx+c>0的解集是x≠x1的全体实数，{x |x ≠-
x1=x2 x
C 判别式△0的解集是全体实数
解集为 R
x b 2a
最后归纳得出一元二次不等式求解
一元二次不等式与一元二次方程及一元二次函数的关系。
解一元二次不等式的步骤：求根——画图——找解
这里对判别式影响解集情况进行讨论，当然用到了数学经常用的另一种思想，数形结合思想，两者思想相结合求解一元二次不等式。
2含参数问题讨论，以一元二次不等式解集为例子
参数广泛地存在于中学数学的各类问题中，是近几年来高考重点考查的热点问题之一。一种类型问题是根据参数在允许值范围内的不同取值（或取值范围），去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题结论；另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。
解决第一类型的参数问题，通常要用“分类讨论”的方法，是根据问题的条件和所涉及到的概念；运用的定理、公式、性质和运算的需要，图形的位置等进行科学合理的分类，然后逐类分别加以讨论，
探究出各自的结果，而后归纳出命题的结论，达到解决问题的目的。它实际上是一种化难为易。化繁为简的解题策略和方法。
下面就一元二次不等式含参数问题进行阐述分类讨论思想 例：关于x 的不等式(m -2)x 2+2(m -2)x -4
1 当m -2=0，即m =2时，原不等式可化为：
0⋅x 2+0⋅x -4
∴ m =2时，不等式恒成立
2 当m -2≠0，即m ≠2时，不等式(m -2)x 2+2(m -2)x -4
当m -2>0时，图像就是这三种情况. 那么不等式的对应方程
(m -2)x 2+2(m -2)x -4=0的根的情况对应图像上就分别是两个、一个或无. 那么它的判别式依次是：∆>0、∆=0或∆
(1) （m -2) >0的图像
（1）m -2>0 ∆>0 (2) m -2>0 ∆=0 (3) m -2=0
(2) (m -2)
（4）m -20 (5) m -2
⎧m -2
解之得：
-2
综上所述，当-2
上面这个题在教学中对于初接触的学生来说是个很大的问题，老师在对这个问题进行分类讨论再加上数形结合思想将此题讲清楚，学生思考充分。可以出几个类似题目让学生在课后进行独立思考。如变式为(m -2)x 2+2(m -2)x -4≤0课后思考题2，m 为何值时，二次函数y=mx²-(1-m)x+m与x 轴无交点？