数列
考试内容： 数列．
等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式． 数学归纳法 数列极限 考试要求：
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．
（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题．
（4）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （5）了解数列极限和函数极限的概念． （6）掌握极限的四则运算法则
数 列 知识要点
1. ⑴等差、等比数列：
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①a n -a n -1=d (n ≥2, d 为常数) ②2a n =a n +1+a n -1(n ≥2) ③a n =kn +b (n , k 为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①a n =a n -1q (n ≥2, q 为常数, 且≠0)
2②a n =a n +1⋅a n -1(n ≥2，a n a n +1a n -1≠0)
①
注①：i. b =ac ，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即b =ac ii. b =ac （ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. b =±ac →为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. b =±ac 且ac 0→为a 、b 、c 等比数列的充要.
、b 、c 等比数列.
注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个. ③a n =cq n (c , q 为非零常数).
④正数列{a n }成等比的充要条件是数列{log x a n }（x 1）成等比数列.
⎧s 1=a 1(n =1)
a =⑷数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 的关系：n ⎨
s -s (n ≥2) n n -1⎩
[注]： ①a n =a 1+(n -1)d =nd +(a 1-d )（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）. d ⎫d ⎛d ⎫⎛
②等差{a n }前n 项和S n =An 2+Bn = ⎪n 2+ a 1-⎪n →可以为零也可不为零→为等差
2⎭2⎝2⎭⎝的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列. （不是非零，即不可能有等比数列） ．．2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍S k , S 2k -S k , S 3k -S 2k ... ；
②若等差数列的项数为2n n ∈N +，则S 偶-S 奇=
()
nd S 奇S 偶
a n =
a n +1；
S 偶
=n n -1
③若等差数列的项数为2n -1n ∈N +，则S 2n -1=(2n -1)a n ，且S 奇-S 偶=a n ，S 奇 ⇒代入n 到2n -1得到所求项数. 3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
n (n +1) 2
()
②12+22+32+ n 2=
n (n +1)(2n +1)
6
2
⎡n (n +1)⎤
③13+23+33 n 3=⎢⎥
⎣2⎦
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…⇒a n =10n -1； 5，55，555，…⇒a n =
5n
10-1. 9
()
4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为1+r . 其中第n 年产量为a (1+r ) n -1，且过n 年后总产量为：
2
n -1
a +a (1+r ) +a (1+r ) +... +a (1+r )
a [a -(1+r ) n ]=.
1-(1+r )
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为a (1+r ) n 元. 因此，第二年年初可存款：
12
11
10
a (1+r ) +a (1+r ) +a (1+r )
a (1+r )[1-(1+r ) 12]
. +... +a (1+r ) =
1-(1+r )
⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.
a (1+r )=x (1+r )
m
m -1
+x (1+r )
m -2
+...... x (1+r )+x ⇒a (1+r )
m
x (1+r )m -1ar (1+r )m =⇒x = m r (1+r )-1
5. 数列常见的几种形式：
⑴a n +2=pa n +1+qa n （p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程x 2=Px +q （x 2对应a n +2，x 对应a n +1），并设二根x 1, x 2②若x 1≠x 2
n n 可设a n . =c 1x n 1+c 2x 2，若x 1=x 2可设a n =(c 1+c 2n ) x 1；③由初始值a 1, a 2确定c 1, c 2.
⑵a n =Pa n -1+r （P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为a n +2=Pa n +1+qa n 的形式，再用特征根方法求a n ；④a n =c 1+c 2P n -1（公式法），c 1, c 2由a 1, a 2确定.
①转化等差，等比：a n +1+x =P (a n +x ) ⇒a n +1=Pa n +Px -x ⇒x =②选代法：a n =Pa n -1+r =P (Pa n -2+r ) +r = ⇒a n =(a 1+=P n -1a 1+P n -2⋅r + +Pr +r .
r
. P -1
r r ) P n -1-=(a 1+x ) P n -1-x P -1P -1
③用特征方程求解：
a n +1=Pa n +r ⎫
（P +1）a n -Pa n -1. ⇒a n +1-a n =Pa n -Pa n -1⇒a n +1=⎬相减，
a n =Pa n -1+r ⎭
④由选代法推导结果：c 1=
r r r r
. ，c 2=a 1+，a n =c 2P n -1+c 1=（a 1+）P n -1+
1-P P -1P -11-P
6. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前n 项和为S n ，在d 0时，有最大值. 如何确定使S n 取最大值时的n 值，有两种方法：
一是求使a n ≥0, a n +1 0，成立的n 值；二是由S n =
d 2d
n +(a 1-) n 利用二次函数的性质求n 22
的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依111照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：1⋅, 3,...(2n -1) n ,...
242
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第
一个相同项，公差是两个数列公差d 1，d 2的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数, 验证a n -a n -1(
a n
) 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证a n -1
2
2a n +1=a n +a n -2(a n +1=a n a n +2) n ∈N 都成立。
3. 在等差数列｛a n ｝中, 有关S n 的最值问题：(1)当a 1>0,d
⎧a m ≥0
的项数m
⎩a m +1≤0
⎧a m ≤0
使得s m 取最大值. (2)当a 10时，满足⎨的项数m 使得s m 取最小值。在解含绝
a ≥0⎩m +1
对值的数列最值问题时, 注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2. 裂项相消法:适用于⎨
⎧
c ⎫
⎬其中{ a n }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部
⎩a n a n +1⎭
分无理数列、含阶乘的数列等。
3. 错位相减法:适用于{a n b n }其中{ a n }是等差数列，{b n }是各项不为0的等比数列。 4. 倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.
5. 常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
n (n +1)
2
2
2） 1+3+5+...+(2n-1) =n
⎡1⎤
3）13+23+ +n 3=⎢n (n +1) ⎥
⎣2⎦
2
4） 1+2+3+ +n =
2222
1
n (n +1)(2n +1) 6
5）
1111111
=-=(-)
n (n +1) n n +1n (n +2) 2n n +2
6）
1111=(-) (p
6. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个n 0时结论正确；②假设当n =k （k ∈N +, k ≥n 0）时，结论正确，证明当n =k +1时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设P (n ) 是一个与正整数n 有关的命题，如果 ①当n =n 0（n 0∈N +）时，P (n ) 成立；
②假设当n ≤k （k ∈N +, k ≥n 0）时，P (n ) 成立，推得n =k +1时，P (n ) 也成立. 那么，根据①②对一切自然数n ≥n 0时，P (n ) 都成立. 7. ⑴数列极限的表示方法： ①lim a n =a
n →∞
②当n →∞时，a n →a . ⑵几个常用极限： ①lim C =C （C 为常数）
n →∞
②lim
n →∞
=0(k ∈N , k 是常数) n k
③对于任意实常数，
1
当|a | 1时，lim a n =0
n →∞
当a =1时，若a = 1，则lim a n =1；若a =-1，则lim a n =lim (-1) n 不存在
n →∞
n →∞
n →∞
当a 1时，lim a n 不存在
n →∞
⑶数列极限的四则运算法则： 如果lim a n =a , lim b b =b ，那么
n →∞
n →∞
①lim (a n ±b n ) =a ±b
n →∞
②lim (a n ⋅b n ) =a ⋅b
n →∞
③lim
a n a
=(b ≠0)
n →∞b n b
特别地，如果C 是常数，那么
n →∞
lim (C ⋅a n ) =lim C ⋅lim a n =Ca .
n →∞
n →∞
⑷数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当q 1时，无穷等比数列的各项和为S =
a 1
(q 1) . 1-q
（化循环小数为分数方法同上式） 注：并不是每一个无穷数列都有极限. 3. 函数极限；
⑴当自变量x 无限趋近于常数x 0（但不等于x 0）时，如果函数f (x ) 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于x 0时，函数f (x ) 的极限为a . 记作lim f (x ) =a 或当x →x 0时，f (x ) →a .
x →x 0
注：当x →x 0时，f (x ) 是否存在极限与f (x ) 在x 0处是否定义无关，因为x →x 0并不要求x =x 0. （当然，f (x ) 在x 0是否有定义也与f (x ) 在x 0处是否存在极限无关. ⇒函数f (x ) 在x 0有定义是lim f (x ) 存在的既不充分又不必要条件. ）
x →x 0
如P (x ) =⎨
⎧x -1x 1
在x =1处无定义，但lim P (x ) 存在，因为在x =1处左右极限均等于零.
-x +1x 1x →1⎩
数列
考试内容： 数列．
等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式． 数学归纳法 数列极限 考试要求：
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．
（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题．
（4）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （5）了解数列极限和函数极限的概念． （6）掌握极限的四则运算法则
数 列 知识要点
1. ⑴等差、等比数列：
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①a n -a n -1=d (n ≥2, d 为常数) ②2a n =a n +1+a n -1(n ≥2) ③a n =kn +b (n , k 为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①a n =a n -1q (n ≥2, q 为常数, 且≠0)
2②a n =a n +1⋅a n -1(n ≥2，a n a n +1a n -1≠0)
①
注①：i. b =ac ，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即b =ac ii. b =ac （ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. b =±ac →为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. b =±ac 且ac 0→为a 、b 、c 等比数列的充要.
、b 、c 等比数列.
注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个. ③a n =cq n (c , q 为非零常数).
④正数列{a n }成等比的充要条件是数列{log x a n }（x 1）成等比数列.
⎧s 1=a 1(n =1)
a =⑷数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 的关系：n ⎨
s -s (n ≥2) n n -1⎩
[注]： ①a n =a 1+(n -1)d =nd +(a 1-d )（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）. d ⎫d ⎛d ⎫⎛
②等差{a n }前n 项和S n =An 2+Bn = ⎪n 2+ a 1-⎪n →可以为零也可不为零→为等差
2⎭2⎝2⎭⎝的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列. （不是非零，即不可能有等比数列） ．．2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍S k , S 2k -S k , S 3k -S 2k ... ；
②若等差数列的项数为2n n ∈N +，则S 偶-S 奇=
()
nd S 奇S 偶
a n =
a n +1；
S 偶
=n n -1
③若等差数列的项数为2n -1n ∈N +，则S 2n -1=(2n -1)a n ，且S 奇-S 偶=a n ，S 奇 ⇒代入n 到2n -1得到所求项数. 3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
n (n +1) 2
()
②12+22+32+ n 2=
n (n +1)(2n +1)
6
2
⎡n (n +1)⎤
③13+23+33 n 3=⎢⎥
⎣2⎦
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…⇒a n =10n -1； 5，55，555，…⇒a n =
5n
10-1. 9
()
4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为1+r . 其中第n 年产量为a (1+r ) n -1，且过n 年后总产量为：
2
n -1
a +a (1+r ) +a (1+r ) +... +a (1+r )
a [a -(1+r ) n ]=.
1-(1+r )
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为a (1+r ) n 元. 因此，第二年年初可存款：
12
11
10
a (1+r ) +a (1+r ) +a (1+r )
a (1+r )[1-(1+r ) 12]
. +... +a (1+r ) =
1-(1+r )
⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.
a (1+r )=x (1+r )
m
m -1
+x (1+r )
m -2
+...... x (1+r )+x ⇒a (1+r )
m
x (1+r )m -1ar (1+r )m =⇒x = m r (1+r )-1
5. 数列常见的几种形式：
⑴a n +2=pa n +1+qa n （p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程x 2=Px +q （x 2对应a n +2，x 对应a n +1），并设二根x 1, x 2②若x 1≠x 2
n n 可设a n . =c 1x n 1+c 2x 2，若x 1=x 2可设a n =(c 1+c 2n ) x 1；③由初始值a 1, a 2确定c 1, c 2.
⑵a n =Pa n -1+r （P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为a n +2=Pa n +1+qa n 的形式，再用特征根方法求a n ；④a n =c 1+c 2P n -1（公式法），c 1, c 2由a 1, a 2确定.
①转化等差，等比：a n +1+x =P (a n +x ) ⇒a n +1=Pa n +Px -x ⇒x =②选代法：a n =Pa n -1+r =P (Pa n -2+r ) +r = ⇒a n =(a 1+=P n -1a 1+P n -2⋅r + +Pr +r .
r
. P -1
r r ) P n -1-=(a 1+x ) P n -1-x P -1P -1
③用特征方程求解：
a n +1=Pa n +r ⎫
（P +1）a n -Pa n -1. ⇒a n +1-a n =Pa n -Pa n -1⇒a n +1=⎬相减，
a n =Pa n -1+r ⎭
④由选代法推导结果：c 1=
r r r r
. ，c 2=a 1+，a n =c 2P n -1+c 1=（a 1+）P n -1+
1-P P -1P -11-P
6. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前n 项和为S n ，在d 0时，有最大值. 如何确定使S n 取最大值时的n 值，有两种方法：
一是求使a n ≥0, a n +1 0，成立的n 值；二是由S n =
d 2d
n +(a 1-) n 利用二次函数的性质求n 22
的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依111照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：1⋅, 3,...(2n -1) n ,...
242
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第
一个相同项，公差是两个数列公差d 1，d 2的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数, 验证a n -a n -1(
a n
) 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证a n -1
2
2a n +1=a n +a n -2(a n +1=a n a n +2) n ∈N 都成立。
3. 在等差数列｛a n ｝中, 有关S n 的最值问题：(1)当a 1>0,d
⎧a m ≥0
的项数m
⎩a m +1≤0
⎧a m ≤0
使得s m 取最大值. (2)当a 10时，满足⎨的项数m 使得s m 取最小值。在解含绝
a ≥0⎩m +1
对值的数列最值问题时, 注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2. 裂项相消法:适用于⎨
⎧
c ⎫
⎬其中{ a n }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部
⎩a n a n +1⎭
分无理数列、含阶乘的数列等。
3. 错位相减法:适用于{a n b n }其中{ a n }是等差数列，{b n }是各项不为0的等比数列。 4. 倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.
5. 常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
n (n +1)
2
2
2） 1+3+5+...+(2n-1) =n
⎡1⎤
3）13+23+ +n 3=⎢n (n +1) ⎥
⎣2⎦
2
4） 1+2+3+ +n =
2222
1
n (n +1)(2n +1) 6
5）
1111111
=-=(-)
n (n +1) n n +1n (n +2) 2n n +2
6）
1111=(-) (p
6. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个n 0时结论正确；②假设当n =k （k ∈N +, k ≥n 0）时，结论正确，证明当n =k +1时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设P (n ) 是一个与正整数n 有关的命题，如果 ①当n =n 0（n 0∈N +）时，P (n ) 成立；
②假设当n ≤k （k ∈N +, k ≥n 0）时，P (n ) 成立，推得n =k +1时，P (n ) 也成立. 那么，根据①②对一切自然数n ≥n 0时，P (n ) 都成立. 7. ⑴数列极限的表示方法： ①lim a n =a
n →∞
②当n →∞时，a n →a . ⑵几个常用极限： ①lim C =C （C 为常数）
n →∞
②lim
n →∞
=0(k ∈N , k 是常数) n k
③对于任意实常数，
1
当|a | 1时，lim a n =0
n →∞
当a =1时，若a = 1，则lim a n =1；若a =-1，则lim a n =lim (-1) n 不存在
n →∞
n →∞
n →∞
当a 1时，lim a n 不存在
n →∞
⑶数列极限的四则运算法则： 如果lim a n =a , lim b b =b ，那么
n →∞
n →∞
①lim (a n ±b n ) =a ±b
n →∞
②lim (a n ⋅b n ) =a ⋅b
n →∞
③lim
a n a
=(b ≠0)
n →∞b n b
特别地，如果C 是常数，那么
n →∞
lim (C ⋅a n ) =lim C ⋅lim a n =Ca .
n →∞
n →∞
⑷数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当q 1时，无穷等比数列的各项和为S =
a 1
(q 1) . 1-q
（化循环小数为分数方法同上式） 注：并不是每一个无穷数列都有极限. 3. 函数极限；
⑴当自变量x 无限趋近于常数x 0（但不等于x 0）时，如果函数f (x ) 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于x 0时，函数f (x ) 的极限为a . 记作lim f (x ) =a 或当x →x 0时，f (x ) →a .
x →x 0
注：当x →x 0时，f (x ) 是否存在极限与f (x ) 在x 0处是否定义无关，因为x →x 0并不要求x =x 0. （当然，f (x ) 在x 0是否有定义也与f (x ) 在x 0处是否存在极限无关. ⇒函数f (x ) 在x 0有定义是lim f (x ) 存在的既不充分又不必要条件. ）
x →x 0
如P (x ) =⎨
⎧x -1x 1
在x =1处无定义，但lim P (x ) 存在，因为在x =1处左右极限均等于零.
-x +1x 1x →1⎩