新课标下高考中的圆锥曲线轨迹方程
惠水县民族中学 杨时芝
摘要： 动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识圆锥曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 关键词：直接法、代入法、定义法、参数法和极坐标法
动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识圆锥曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 下面我给大家介绍几种求法：直接法、代入法、定义法和参数法。
一、直接法
建立适当的坐标系，设动点为（x,y ）, 根据几何条件直接寻求x,y 之间的关系式。 例 点A 、B 的坐标分别为（-2,0），（2,0），直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是3，点M 的轨迹是什么？
解：设设点M 的坐标为（x,y), 则
因为点A 的坐标是（-2,0），所以直线AM 的斜率k =
y (x ≠2) x -2y (x ≠-2) x +2同理，直线BM 的斜率k =
1
y
由已知由=3(x ≠±2, y ≠0) y
x -2
化简得点M 的轨迹方程为x+4=0(y≠0).
所以点M 的轨迹是直线x+4=0去掉点（-4,0).
二、代入法
利用所求曲线上的动点与某已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点。具体地说，就是用所求动点的坐标x,y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求动点坐标x,y 之间的关系式。
例 在圆x 2+y 2=4上任取一点P ，过点
P 作x 轴的垂线段PD,D 为垂足。当点P 在圆
上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？
为什么？
解：设点M 的坐标为（x,y), 点P 的坐标
为(x 0, y 0) ，则 x =x 0, y =y 0 2
因为点P (x 0, y 0) 在圆x 2+y 2=4上，所以
x 0+y 0=4（1）
把x 0=x , y 0=2y 0代入方程（1），得
x x +4y =4即+y 2=1 422222
所以点M 的轨迹方程是一个椭圆。
三、定义法
2
如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程。
例 若动点M 到点F （3,0）的距离比它到直线x+4=0的距离小1，求动点M 的轨迹方程。
解：如图，设点M 的坐标为（x,y) 。
由已知条件可知，点M 与点F 的距离
等于它到直线x+3=0的距离。
根据抛物线的定义，点M 的轨迹是
以F （3,0）为焦点的抛物线，且p =4, 即p=8. 2
因为焦点在x 轴的正半轴上，所以点M 的轨迹方程为y 2=16x 。
四、参数法
选择一个（或几个）与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标（x,y) ，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程。 用参数求轨迹方程的关键在于选择的参数，其选择原则是：
1、动点的运动是随着参数的变化而变化的，即参数能反映动点的变化特征；
2、参数与题设的已知量有密切的联系。常用的参数有物理参数（时间、速度、位移）和几何参数（角度、有向线段的数量、斜率、点坐标）等。
例 过点M(-2, 0)作直线L 交双曲
线x 2－y 2 = 1于A 、B 两点，以OA 、OB
为邻边作平行四边形OAPB 。求动点P 的
轨迹方程。
解：设过M 的直线方程为:
y = k (x + 2) (k≠0，k ≠±1) ，
3
代入双曲线x 2－y 2 = 1得：
(1－ k2）x 2－4 k2x －4 k2－1 = 0
OAPB 为平行四边形，则：
4k 2
x P = xA + xB = ； 1-k 2
y P = yA + yB = k (xA + xB ) + 4k = 4k 22 ,k得x －y + 4xp = 0 P P 21-k
当L ⊥x 轴时，P 点坐标为（-4，0），也满足上述方程。
而由k ≠0，得x P ≠0。
故所求的轨迹方程为：x 2－y 2+ 4x = 0 (x≠0) 。
五、极坐标法；
根据题意建立极坐标系，引入动点的极坐标，寻找动点变量间的等量关系而求出动点轨迹的极坐标方程，再化极坐标方程为普通方程。
例 已知∠AOB =2α(0
线PQ 、PR ，且四边形OQPR 的面积为定值a 2，求动点P 的轨迹方程。 解：以O 点为极点，∠AOB 的平分线为极轴建立极坐标系，设P(ρ, θ) ∴OR = ρcos(θ+α) ,
= ρsin(θ+α),
OQ = ρcos(α－θ) , PR = ρsin(α－θ) ∴1ρ2sin(θ+α)cos(θ+α) + 2
1ρ2 sin(α－θ) cos(α－θ) = a2 2
4
即1ρ2[ sin2(θ+α) + sin2(α－θ)] = a2 4
12a 2
222 ∴ρ sin2α cos2θ = a ∴ρ cos2θ = 2sin 2α
即动点P 的轨迹方程为：x 2－y 2= 2a2csc2α (在∠AOB 的内部的一段) 。 参考资料：
1、《数学课程与教学论》浙江教育出版社 徐斌艳主编 2003年9月版
3、《新课标理念下的中学数学课堂教学》中学数学教育 作者：汤文卿2004年第3期
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新课标下高考中的圆锥曲线轨迹方程
惠水县民族中学 杨时芝
摘要： 动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识圆锥曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 关键词：直接法、代入法、定义法、参数法和极坐标法
动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识圆锥曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 下面我给大家介绍几种求法：直接法、代入法、定义法和参数法。
一、直接法
建立适当的坐标系，设动点为（x,y ）, 根据几何条件直接寻求x,y 之间的关系式。 例 点A 、B 的坐标分别为（-2,0），（2,0），直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是3，点M 的轨迹是什么？
解：设设点M 的坐标为（x,y), 则
因为点A 的坐标是（-2,0），所以直线AM 的斜率k =
y (x ≠2) x -2y (x ≠-2) x +2同理，直线BM 的斜率k =
1
y
由已知由=3(x ≠±2, y ≠0) y
x -2
化简得点M 的轨迹方程为x+4=0(y≠0).
所以点M 的轨迹是直线x+4=0去掉点（-4,0).
二、代入法
利用所求曲线上的动点与某已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点。具体地说，就是用所求动点的坐标x,y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求动点坐标x,y 之间的关系式。
例 在圆x 2+y 2=4上任取一点P ，过点
P 作x 轴的垂线段PD,D 为垂足。当点P 在圆
上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？
为什么？
解：设点M 的坐标为（x,y), 点P 的坐标
为(x 0, y 0) ，则 x =x 0, y =y 0 2
因为点P (x 0, y 0) 在圆x 2+y 2=4上，所以
x 0+y 0=4（1）
把x 0=x , y 0=2y 0代入方程（1），得
x x +4y =4即+y 2=1 422222
所以点M 的轨迹方程是一个椭圆。
三、定义法
2
如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程。
例 若动点M 到点F （3,0）的距离比它到直线x+4=0的距离小1，求动点M 的轨迹方程。
解：如图，设点M 的坐标为（x,y) 。
由已知条件可知，点M 与点F 的距离
等于它到直线x+3=0的距离。
根据抛物线的定义，点M 的轨迹是
以F （3,0）为焦点的抛物线，且p =4, 即p=8. 2
因为焦点在x 轴的正半轴上，所以点M 的轨迹方程为y 2=16x 。
四、参数法
选择一个（或几个）与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标（x,y) ，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程。 用参数求轨迹方程的关键在于选择的参数，其选择原则是：
1、动点的运动是随着参数的变化而变化的，即参数能反映动点的变化特征；
2、参数与题设的已知量有密切的联系。常用的参数有物理参数（时间、速度、位移）和几何参数（角度、有向线段的数量、斜率、点坐标）等。
例 过点M(-2, 0)作直线L 交双曲
线x 2－y 2 = 1于A 、B 两点，以OA 、OB
为邻边作平行四边形OAPB 。求动点P 的
轨迹方程。
解：设过M 的直线方程为:
y = k (x + 2) (k≠0，k ≠±1) ，
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代入双曲线x 2－y 2 = 1得：
(1－ k2）x 2－4 k2x －4 k2－1 = 0
OAPB 为平行四边形，则：
4k 2
x P = xA + xB = ； 1-k 2
y P = yA + yB = k (xA + xB ) + 4k = 4k 22 ,k得x －y + 4xp = 0 P P 21-k
当L ⊥x 轴时，P 点坐标为（-4，0），也满足上述方程。
而由k ≠0，得x P ≠0。
故所求的轨迹方程为：x 2－y 2+ 4x = 0 (x≠0) 。
五、极坐标法；
根据题意建立极坐标系，引入动点的极坐标，寻找动点变量间的等量关系而求出动点轨迹的极坐标方程，再化极坐标方程为普通方程。
例 已知∠AOB =2α(0
线PQ 、PR ，且四边形OQPR 的面积为定值a 2，求动点P 的轨迹方程。 解：以O 点为极点，∠AOB 的平分线为极轴建立极坐标系，设P(ρ, θ) ∴OR = ρcos(θ+α) ,
= ρsin(θ+α),
OQ = ρcos(α－θ) , PR = ρsin(α－θ) ∴1ρ2sin(θ+α)cos(θ+α) + 2
1ρ2 sin(α－θ) cos(α－θ) = a2 2
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即1ρ2[ sin2(θ+α) + sin2(α－θ)] = a2 4
12a 2
222 ∴ρ sin2α cos2θ = a ∴ρ cos2θ = 2sin 2α
即动点P 的轨迹方程为：x 2－y 2= 2a2csc2α (在∠AOB 的内部的一段) 。 参考资料：
1、《数学课程与教学论》浙江教育出版社 徐斌艳主编 2003年9月版
3、《新课标理念下的中学数学课堂教学》中学数学教育 作者：汤文卿2004年第3期
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