一半模型
知识结构
一、
三角形当中的一半模型
由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。 在等高模型中，（图1）当BD=CD时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2
特别地如图2
，当BE=ED，DF=FC，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2
在等底模型中（图3），当AE=DE时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2
二、平行四边形中的一半模型
由于三角形的面积公式S=底×高÷2，
平行四边行的面积公式S=底×高
所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！
同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半：
【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。是打“√”，不是打“×”。
三、 梯形中的一半模型
在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。
如图4，在梯形ABCD 中，BE=CE，则S ΔADE=SABCD÷2
如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。
四、任意四边形中的一半模型
如图6，在四边形ABCD 中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2
【能力提升】
【巩固练习
】
例题精讲
【例1】如图，已知长方形ABCD 的面积为24平方厘米，且线段EF,GH 把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。
24÷2=12（平方厘米）
答：阴影部分的面积是12平方厘米。
【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。
4
6×4÷2=12（平方厘米）
答：阴影部分的面积是12平方厘米。
【例2】如图所示，平行四边形的面积是 50 平方厘米，阴影部分面积是（ ）平方厘米．
【例3】
A B
F
D E
F A
C 【巩固】 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，矩形 EDFG 的边 EF 过 A 点，G 点在 BC 上，若 DG =5， 则矩形 EDGF 的宽 DE =_____； E D
B C G 【巩固】 如图所示，正方形 A B C D 的边长为8 厘米，长方形 E B G F 的长 B G 为1 0 厘米，那么长方形的宽 为几厘米？ E A F D B G C
【例3】
A
49
13 35 D E
B C
【巩固】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是 11,32,57．那么图中 阴影部分的面积是多少？
五年级奥数-一半模型-第1次课
A
57
11
32 D
B C 【例4】如图所示，长方形 ABCD 内的阴影面积之和为 65，AB =8，AD =15,四边形 EFGD 的面积是？
【思考题】 提示：构造一半模型
（很多时候，需要我们构造一半模型来解决一些问题。）
1. 如图7, 已知正方形ABCD 面积为50
，求长方形DEFG 面积。
解析：通过连结AG ，可以得到三角形ADG ，分别是正方形ABCD 和长方形DEFG 面积的一半，所以长方形DEFG 与正方形ABCD 面积相等，为50。
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五年级奥数-一半模型-第1次课
2. 如图8
，已知长方形ABCD 面积是
50, 梯形ABFE 的腰上ED=DF，求梯形ABFE 的面积。
解析：连结BD ，可以得到三角形ABD 分别是长方形ABCD 和梯形ABFE 面积的一半，所以梯形ABFE 与长方形ABCD 面积相等，为50。
3. 如图9，长方形ABCD 中，SΔEGH=5，SΔIBC=20，SΔIFGI=8，求阴影部分面积。
解析：从图中我们可以找到一半模型，SΔEBC与SΔFCD都是长方形ABCD 的一半，故SΔEBC=SΔFCD，S 阴=20+5-8=17
4
5如图所示，正方形ABCD 的边长是10厘米，BO 长8厘米，求ＡＥ的长？
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一、
三角形当中的一半模型
由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。 在等高模型中，（图1）当BD=CD时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2
特别地如图2
，当BE=ED，DF=FC，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2
在等底模型中（图3），当AE=DE时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2
二、平行四边形中的一半模型
由于三角形的面积公式S=底×高÷2，
平行四边行的面积公式S=底×高
所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！
同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半：
【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。是打“√”，不是打“×”。
三、 梯形中的一半模型
在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。
如图4，在梯形ABCD 中，BE=CE，则S ΔADE=SABCD÷2
如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。
四、任意四边形中的一半模型
如图6，在四边形ABCD 中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2
【能力提升】
【巩固练习
】
例题精讲
【例1】如图，已知长方形ABCD 的面积为24平方厘米，且线段EF,GH 把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。
24÷2=12（平方厘米）
答：阴影部分的面积是12平方厘米。
【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。
4
6×4÷2=12（平方厘米）
答：阴影部分的面积是12平方厘米。
【例2】如图所示，平行四边形的面积是 50 平方厘米，阴影部分面积是（ ）平方厘米．
【例3】
A B
F
D E
F A
C 【巩固】 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，矩形 EDFG 的边 EF 过 A 点，G 点在 BC 上，若 DG =5， 则矩形 EDGF 的宽 DE =_____； E D
B C G 【巩固】 如图所示，正方形 A B C D 的边长为8 厘米，长方形 E B G F 的长 B G 为1 0 厘米，那么长方形的宽 为几厘米？ E A F D B G C
【例3】
A
49
13 35 D E
B C
【巩固】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是 11,32,57．那么图中 阴影部分的面积是多少？
五年级奥数-一半模型-第1次课
A
57
11
32 D
B C 【例4】如图所示，长方形 ABCD 内的阴影面积之和为 65，AB =8，AD =15,四边形 EFGD 的面积是？
【思考题】 提示：构造一半模型
（很多时候，需要我们构造一半模型来解决一些问题。）
1. 如图7, 已知正方形ABCD 面积为50
，求长方形DEFG 面积。
解析：通过连结AG ，可以得到三角形ADG ，分别是正方形ABCD 和长方形DEFG 面积的一半，所以长方形DEFG 与正方形ABCD 面积相等，为50。
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2. 如图8
，已知长方形ABCD 面积是
50, 梯形ABFE 的腰上ED=DF，求梯形ABFE 的面积。
解析：连结BD ，可以得到三角形ABD 分别是长方形ABCD 和梯形ABFE 面积的一半，所以梯形ABFE 与长方形ABCD 面积相等，为50。
3. 如图9，长方形ABCD 中，SΔEGH=5，SΔIBC=20，SΔIFGI=8，求阴影部分面积。
解析：从图中我们可以找到一半模型，SΔEBC与SΔFCD都是长方形ABCD 的一半，故SΔEBC=SΔFCD，S 阴=20+5-8=17
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5如图所示，正方形ABCD 的边长是10厘米，BO 长8厘米，求ＡＥ的长？
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