第17卷第5期1998年 5月大 学 物 理COLL EGE PHYSICS Vol. 17No. 5May. 1998
关于RL -C 并联谐振特性曲线的讨论
陈水生
(, Ξ
摘 要 C , 由此分析谐振特性曲线性质, 并得出文献中引用的RL -C .
关键词 品质因数; 谐振特性曲线分类号 TM 131. 4
关于RLC 串联谐振电路, 一般文献中都进
行过较详尽的讨论. 其电路的品质因数是
Q =
2CR
(1)
上式表明, 在信号源内阻较小的情况下, 应用RLC 串联谐振电路是合宜的. 但当信号源的内阻较大时, 由于其内阻与谐振电路相串联, 致使式(1) 中的R 大为增加, 从而使整个谐振电路的品质因数Q 大为减小, 导致谐振电路的选择性下降. 所以, 在遇到高内阻信号源的情况时, 串联谐振电路将不再适宜, 这时应改用并联谐振电路.
ω0=
图1
G ) 为导纳相位角; ω是信号源的圆频率. 由式(2) 易见, 当B =0时, φ=0, 即此时端电压U
与总电流 I 同相位, 电路呈电阻性, 我们说电路处于谐振态. 由此可见, 并联谐振条件是B =0. 由此可得谐振频率
L C
-
1 并联谐振电路的谐振态特性
2
2=L
L C
-
2
L
(3)
工程上广泛应用的并联谐振电路是由电感线圈和电容器组成的. 由于实际线圈总是有电阻的, 因此, 由电感线圈和电容器组成的并联谐振电路, 实际如同一个电阻、电感串联后再与电容并联电路, 如图1所示.
电路的复导纳为
Y =
欲使式(3) 具有实际意义, 即ω0为实数, 还要求电路参数R 、L 、C 满足
R
L /C
(4)
谐振时, 电路的等效电阻Z 0相当于一个等效电阻, 其值为
Z 0=
G 0
=
R
222
+j ωC =222+R +j ωL R +ωL j ωC -2=G +j B =|Y |22
R +ωL
将式(3) 中ω0代入上式, 即有
φ∠
Z 0=L /RC
(2)
(5)
式(5) 表明:
1) 谐振时, 电路等效阻抗值仅由电路参数
式中:|Y |=
G 2+B 2称导纳模; φ=arctg (B /
Ξ收稿日期:1997-05-08
第5期 陈水生:关于RL -C 并联谐振特性曲线的讨论
19
R 、L 、C 决定.
2) 电感线圈的电阻R 越小, 谐振电路等
22
226η2
2
) (1+Q 2) R (1+Q 2η
效阻抗Z 0越大; 当R →0时, Z 0→∞, 此时谐振
电路等效电阻呈现极大值. 因此, 当用电流源供电时, 此时电路端口a 、b 间将呈现高压.
3) 谐振时, 电路等效阻抗较大, 但并非最
故
|Z |=
222
22
(1+Q 2) 2+Q 6η(η-1) 2
(7)
大, 因从式(2) 可知, 电路的电导是随频率ω的
增大而减小的. 下面将证明, 图1所示并联电路等效阻抗模|Z |于谐振频率质因数Q 来描述. Q 越大, 电路的性能越佳.
并联谐振电路的品质因数定义为谐振时容纳(或感纳) 与输入电导的比值, 即
Q
def ω由式(7) 可得知:
1) η=0, 即ω=, |Z |=R. 其物理. , 1中的电容C L 相当2) 当η→∞, 即ω→∞时, |Z |→0. 其物理意
义也是显而易见的, 因ω→∞, 图1中的电感、电阻支路相当于开路, 电容C 支路相当于短路.
3) 当η=1, 即ω=ω0(谐振态) , |Z |=R
(1+Q 2) =L /R C. 此式与式(5) 完全吻合. 且
G 0
=
ωR
=Z 0
2・-L L
(6)
易见, 谐振时等效阻抗为纯电阻性, 其值随品质因数Q 的增大而急速增大. 3 |Z |与η和Q 的关系
式(6) 表明:谐振电路的品质因数Q 越大, 谐振
等效阻抗Z 0也越大.
2 并联谐振电路的阻抗公式
以上我们对并联谐振电路的谐振态作了较详尽的讨论. 下面, 将对谐振的邻近态及谐振前后状态全貌进行分析讨论. 为此, 我们先导出图1所示并联电路的阻抗公式.
|Y |=
R +ωL
2
22
2
2
2
从式(7) 出发, 可以进一步分析并联谐振电路的阻抗模|Z |随η与Q 的变化规律, 从而深入分析谐振邻近态及其全貌, 据此得出谐振特性曲线.
3. 1 |Z |与η的关系
C -+ω
22
222R +ωL
1/2
=
由式(7) 可得
2
22(1+Q 2η) ′・η=229(1+Q 2) +Q 6η(η) -122
(η (1+Q 2) 2+Q 6η-1) 2-222262
(1+Q 2η) =・2262222(1+Q ) +Q η(η-1)
总电2222
) -2(11+-Q C 22622
(1+Q ) +Q η(η-1) 23/242
Q 4(η-1) Q 2η+(Q 2+3) η-R +R
ωL ω
R ω0
+
B
ω
R ωω-0ω0L ω
R 2+R 2R ω0
ω1/22
令ω/ω0=η, 并注意到
Q =
(8)
ωL
R
=
-12
根据式(8) , 可以分析出|Z |随η的变化规律:
η>0. 可1) 当η=1, ω=ω0时, 9|Z |/9见, ω=ω0并非|Z |取最大值条件.
2
则有
|Y |=
2222+) R (1+Q ηR
+Q η
22
η-Q 22L R (1+Q η)
2
(1+Q 2η) -1L
2
2
=
2
22
R (1+Q η)
22422
2) 当η>1时, Q 4(η-1) C [Q η+(Q +3) η-1]>0, 且为η的增函数. 由此可以推知, 当η
=
us 等于某一大于1
的值η3时, 9|Z |/9η=0. 此即
22
22η-1+Q 22
1+Q 2R (1+Q η)
=
证实本文前面部分指出的:电路的等效阻抗模|
Z |取最大值的条件是电源频率ω略高于谐振
20
大 学 物 理 第17卷
频率ω0.
3) η3>η>1时, 9|Z |/9η>0, 但9|Z |/
9η值随η的增加而减小.
2
4) 1>η>0时, f (Q ) =Q 4(η-1) ・2422Q η+(Q +3) η-
可能大于或等于零, 也可能小于零. 但因|f (Q ) |是η的单调增函数, 且只当η=η3时才等于2(1+Q 2) 2, 所以, 1>η>0时, 仍有9|Z |/9η>0.
5) 当η>η3时, |f () |(Q 2) 时9|Z |/9η.
(8) , 可以得到7如图2所示的|Z |～η
曲线.
图3
Q 20=
2
+2>2=22η22η
由式(9) 及图3分析, 我们得到一个重要的结论:
22
当Q 2>Q 21时, 将确保f 2(Q ) >0(当然, Q
220, 但因Q 2
义, 故无需考虑, 下同) , 这时必有9|Z |/9Q >0.
这就是说, 对于图1所示并联谐振电路, 当其品质因数Q ≥Q 1时, 对于同一个确定的η
图2
3. 2 |Z |与Q 的关系
由式(7) 还可得
=22
9Q (1+Q 2) 2+Q 6η(η-1) 2
2
值, 均存在如下关系:Q 越大, |Z |也越大, 且此
结论不受电路是否处于谐振态的限制.
值得注意的是, Q 21本身值却是η的减函数. 如:
42
η=0. 01时, Q 2Q 1≈101≈10、
2
) +(1+Q ) +2Q (1+Q η・[(1+Q 2L
222
η=0. 05时, Q 2Q 1≈20. 11≈404、η=0. 1时, Q 2Q 1≈10. 21≈104、η=1时, Q 2Q 1≈1. 731≈3、η=2时, Q 2Q 1≈1. 31≈1. 69、η=10时, Q 2Q 1≈1. 021≈1. 04、η=100时, Q 2Q 1≈1. 00021≈1. 0004、
C 由以上数据分析可知, 当Q ≥20. 1时, 则在η≥0. 05足够宽广的η域内, 均有9|Z |/9Q >0. 通常电路的品质因数都在10的数量级以上, 故可非常近似地认为在整个通频带内, 均有9|Z |/9Q >0.
综上所述, 我们有根据地得出一般文献中直接引用(但未作详尽论证) 的并联电路等效阻抗模|Z |的谐振特性曲线(见图4) .
最后需指出的是, 9|Z |/9Q >0的结论及其图4所示的谐振特性曲线并非总是成立的. 事实上从图3容易想到, 当Q 1>Q >0时, f 1
η2Q 222) ・621/22+Q 2η
2
(1+Q ) +Q η(η-1)
22
62
2
ω2
-1/2
・ω=
2(1+Q 2) 3+
22
(η4Q (1+Q 2) +6Q 5η-1) 2
2
=22
(1+Q 2) 2+Q 6η(η-1) 2
2242 (η-1) 2・Q 4ηQ -(η+1) Q 2-η
(
9)
令
2232242
f 1(Q ) =2(1+Q ) +(η-1) Q f 2(Q ) 22
f 2(Q 2) =ηQ 4-(η+1) Q 2-3
则可得到函数f 2(Q 2) 的图象如图3. 其中
Q 21
=
2
η22
222η
>1
Q 22=
2
22
222η
第5期 陈水生:关于RL -C 并联谐振特性曲线的讨论调
η
增函
2
f 2(Q 0) =-2
++2244η
21
=-73/16≈-4. 56
2232242
f 1(Q 0) =2(1+Q 0) +(η-1) Q 0・f 2(Q 0) ≈-7. 46
以上计算表明, 从理论上讲, 9|Z |/9Q >0的结论及文献[1]所示|Z |～ω特性曲线是有条件的, 本文所得出的Q >Q 1=
图4
22
22η2
即是
. 1 蔡元宇. 电路及磁路 上册. 北京:高等教育出版社, 1992.
257
(Q 2) 很可能出现负值, 9|Z |/
22
Q 0=(η+1) /2η=5/8≈0. 625
ON THE R L -C PARALL E L RESONANCE CHARACTERISTIC CURVE
Chen Shuisheng
(Department of Physics , Jingdezhen Comprehensive College , Jingdezhen , Jiangxi , 333000,China )
Abstract The impedance formula of RL -C parallel resonance circuit is deduced theoretically ,
and some properties of resonance characteristic curve are analysed. Sufficient condition for the estab 2lishment of the RL -C characteristic curve elsewhere is pointed out.
K ey w ords factor of quality ; resonance characteristic curve
欢迎订阅1998年下半年《大学物理》
《大学物理》是中国物理学会主办的、以高校物理教学研究为主要内容的学术性刊物, 创刊于1982年. 其宗旨是:紧密结合我国高等院校物理教学实践, 开展学术交流, 报导研究成果, 介绍物理学在技术领域和交叉学科的应用及物理学前沿进展, 以提高我国高校物理教学质量和研究水平.
本刊主要刊登与高校物理各学科教学有关的学术研究论文、教学研究成果及进展报导, 实验物理技术与实验方法、计算物理、基础物理教学现代化等内容的研讨文章, 以及物理学前沿综述、专论、物理学史等文章. 主要栏目有教学研究、教学讨论、物理实验、基础物理教学现代化问题、物理教育与科学素质培养、前沿综述、专论、物理・自然・技术・社会、物理学史等. 读者对象为高校物理教师、学生、中等学校物理教师和物理学工作者等.
本刊为月刊, 每期48页. 国内由邮局发行, 可在全国各地邮局订阅, 邮发代号:82-320, 国内定价:3.60元/期,
43. 20元/年; 国外由中国国际图书贸易总公司发行, 发行代号:M-679.
《大学物理》主编:赵凯华
编辑部地址:北京师范大学院内《大学物理》编辑部邮政编码:100875 电话:(010) 62208024
第17卷第5期1998年 5月大 学 物 理COLL EGE PHYSICS Vol. 17No. 5May. 1998
关于RL -C 并联谐振特性曲线的讨论
陈水生
(, Ξ
摘 要 C , 由此分析谐振特性曲线性质, 并得出文献中引用的RL -C .
关键词 品质因数; 谐振特性曲线分类号 TM 131. 4
关于RLC 串联谐振电路, 一般文献中都进
行过较详尽的讨论. 其电路的品质因数是
Q =
2CR
(1)
上式表明, 在信号源内阻较小的情况下, 应用RLC 串联谐振电路是合宜的. 但当信号源的内阻较大时, 由于其内阻与谐振电路相串联, 致使式(1) 中的R 大为增加, 从而使整个谐振电路的品质因数Q 大为减小, 导致谐振电路的选择性下降. 所以, 在遇到高内阻信号源的情况时, 串联谐振电路将不再适宜, 这时应改用并联谐振电路.
ω0=
图1
G ) 为导纳相位角; ω是信号源的圆频率. 由式(2) 易见, 当B =0时, φ=0, 即此时端电压U
与总电流 I 同相位, 电路呈电阻性, 我们说电路处于谐振态. 由此可见, 并联谐振条件是B =0. 由此可得谐振频率
L C
-
1 并联谐振电路的谐振态特性
2
2=L
L C
-
2
L
(3)
工程上广泛应用的并联谐振电路是由电感线圈和电容器组成的. 由于实际线圈总是有电阻的, 因此, 由电感线圈和电容器组成的并联谐振电路, 实际如同一个电阻、电感串联后再与电容并联电路, 如图1所示.
电路的复导纳为
Y =
欲使式(3) 具有实际意义, 即ω0为实数, 还要求电路参数R 、L 、C 满足
R
L /C
(4)
谐振时, 电路的等效电阻Z 0相当于一个等效电阻, 其值为
Z 0=
G 0
=
R
222
+j ωC =222+R +j ωL R +ωL j ωC -2=G +j B =|Y |22
R +ωL
将式(3) 中ω0代入上式, 即有
φ∠
Z 0=L /RC
(2)
(5)
式(5) 表明:
1) 谐振时, 电路等效阻抗值仅由电路参数
式中:|Y |=
G 2+B 2称导纳模; φ=arctg (B /
Ξ收稿日期:1997-05-08
第5期 陈水生:关于RL -C 并联谐振特性曲线的讨论
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R 、L 、C 决定.
2) 电感线圈的电阻R 越小, 谐振电路等
22
226η2
2
) (1+Q 2) R (1+Q 2η
效阻抗Z 0越大; 当R →0时, Z 0→∞, 此时谐振
电路等效电阻呈现极大值. 因此, 当用电流源供电时, 此时电路端口a 、b 间将呈现高压.
3) 谐振时, 电路等效阻抗较大, 但并非最
故
|Z |=
222
22
(1+Q 2) 2+Q 6η(η-1) 2
(7)
大, 因从式(2) 可知, 电路的电导是随频率ω的
增大而减小的. 下面将证明, 图1所示并联电路等效阻抗模|Z |于谐振频率质因数Q 来描述. Q 越大, 电路的性能越佳.
并联谐振电路的品质因数定义为谐振时容纳(或感纳) 与输入电导的比值, 即
Q
def ω由式(7) 可得知:
1) η=0, 即ω=, |Z |=R. 其物理. , 1中的电容C L 相当2) 当η→∞, 即ω→∞时, |Z |→0. 其物理意
义也是显而易见的, 因ω→∞, 图1中的电感、电阻支路相当于开路, 电容C 支路相当于短路.
3) 当η=1, 即ω=ω0(谐振态) , |Z |=R
(1+Q 2) =L /R C. 此式与式(5) 完全吻合. 且
G 0
=
ωR
=Z 0
2・-L L
(6)
易见, 谐振时等效阻抗为纯电阻性, 其值随品质因数Q 的增大而急速增大. 3 |Z |与η和Q 的关系
式(6) 表明:谐振电路的品质因数Q 越大, 谐振
等效阻抗Z 0也越大.
2 并联谐振电路的阻抗公式
以上我们对并联谐振电路的谐振态作了较详尽的讨论. 下面, 将对谐振的邻近态及谐振前后状态全貌进行分析讨论. 为此, 我们先导出图1所示并联电路的阻抗公式.
|Y |=
R +ωL
2
22
2
2
2
从式(7) 出发, 可以进一步分析并联谐振电路的阻抗模|Z |随η与Q 的变化规律, 从而深入分析谐振邻近态及其全貌, 据此得出谐振特性曲线.
3. 1 |Z |与η的关系
C -+ω
22
222R +ωL
1/2
=
由式(7) 可得
2
22(1+Q 2η) ′・η=229(1+Q 2) +Q 6η(η) -122
(η (1+Q 2) 2+Q 6η-1) 2-222262
(1+Q 2η) =・2262222(1+Q ) +Q η(η-1)
总电2222
) -2(11+-Q C 22622
(1+Q ) +Q η(η-1) 23/242
Q 4(η-1) Q 2η+(Q 2+3) η-R +R
ωL ω
R ω0
+
B
ω
R ωω-0ω0L ω
R 2+R 2R ω0
ω1/22
令ω/ω0=η, 并注意到
Q =
(8)
ωL
R
=
-12
根据式(8) , 可以分析出|Z |随η的变化规律:
η>0. 可1) 当η=1, ω=ω0时, 9|Z |/9见, ω=ω0并非|Z |取最大值条件.
2
则有
|Y |=
2222+) R (1+Q ηR
+Q η
22
η-Q 22L R (1+Q η)
2
(1+Q 2η) -1L
2
2
=
2
22
R (1+Q η)
22422
2) 当η>1时, Q 4(η-1) C [Q η+(Q +3) η-1]>0, 且为η的增函数. 由此可以推知, 当η
=
us 等于某一大于1
的值η3时, 9|Z |/9η=0. 此即
22
22η-1+Q 22
1+Q 2R (1+Q η)
=
证实本文前面部分指出的:电路的等效阻抗模|
Z |取最大值的条件是电源频率ω略高于谐振
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大 学 物 理 第17卷
频率ω0.
3) η3>η>1时, 9|Z |/9η>0, 但9|Z |/
9η值随η的增加而减小.
2
4) 1>η>0时, f (Q ) =Q 4(η-1) ・2422Q η+(Q +3) η-
可能大于或等于零, 也可能小于零. 但因|f (Q ) |是η的单调增函数, 且只当η=η3时才等于2(1+Q 2) 2, 所以, 1>η>0时, 仍有9|Z |/9η>0.
5) 当η>η3时, |f () |(Q 2) 时9|Z |/9η.
(8) , 可以得到7如图2所示的|Z |～η
曲线.
图3
Q 20=
2
+2>2=22η22η
由式(9) 及图3分析, 我们得到一个重要的结论:
22
当Q 2>Q 21时, 将确保f 2(Q ) >0(当然, Q
220, 但因Q 2
义, 故无需考虑, 下同) , 这时必有9|Z |/9Q >0.
这就是说, 对于图1所示并联谐振电路, 当其品质因数Q ≥Q 1时, 对于同一个确定的η
图2
3. 2 |Z |与Q 的关系
由式(7) 还可得
=22
9Q (1+Q 2) 2+Q 6η(η-1) 2
2
值, 均存在如下关系:Q 越大, |Z |也越大, 且此
结论不受电路是否处于谐振态的限制.
值得注意的是, Q 21本身值却是η的减函数. 如:
42
η=0. 01时, Q 2Q 1≈101≈10、
2
) +(1+Q ) +2Q (1+Q η・[(1+Q 2L
222
η=0. 05时, Q 2Q 1≈20. 11≈404、η=0. 1时, Q 2Q 1≈10. 21≈104、η=1时, Q 2Q 1≈1. 731≈3、η=2时, Q 2Q 1≈1. 31≈1. 69、η=10时, Q 2Q 1≈1. 021≈1. 04、η=100时, Q 2Q 1≈1. 00021≈1. 0004、
C 由以上数据分析可知, 当Q ≥20. 1时, 则在η≥0. 05足够宽广的η域内, 均有9|Z |/9Q >0. 通常电路的品质因数都在10的数量级以上, 故可非常近似地认为在整个通频带内, 均有9|Z |/9Q >0.
综上所述, 我们有根据地得出一般文献中直接引用(但未作详尽论证) 的并联电路等效阻抗模|Z |的谐振特性曲线(见图4) .
最后需指出的是, 9|Z |/9Q >0的结论及其图4所示的谐振特性曲线并非总是成立的. 事实上从图3容易想到, 当Q 1>Q >0时, f 1
η2Q 222) ・621/22+Q 2η
2
(1+Q ) +Q η(η-1)
22
62
2
ω2
-1/2
・ω=
2(1+Q 2) 3+
22
(η4Q (1+Q 2) +6Q 5η-1) 2
2
=22
(1+Q 2) 2+Q 6η(η-1) 2
2242 (η-1) 2・Q 4ηQ -(η+1) Q 2-η
(
9)
令
2232242
f 1(Q ) =2(1+Q ) +(η-1) Q f 2(Q ) 22
f 2(Q 2) =ηQ 4-(η+1) Q 2-3
则可得到函数f 2(Q 2) 的图象如图3. 其中
Q 21
=
2
η22
222η
>1
Q 22=
2
22
222η
第5期 陈水生:关于RL -C 并联谐振特性曲线的讨论调
η
增函
2
f 2(Q 0) =-2
++2244η
21
=-73/16≈-4. 56
2232242
f 1(Q 0) =2(1+Q 0) +(η-1) Q 0・f 2(Q 0) ≈-7. 46
以上计算表明, 从理论上讲, 9|Z |/9Q >0的结论及文献[1]所示|Z |～ω特性曲线是有条件的, 本文所得出的Q >Q 1=
图4
22
22η2
即是
. 1 蔡元宇. 电路及磁路 上册. 北京:高等教育出版社, 1992.
257
(Q 2) 很可能出现负值, 9|Z |/
22
Q 0=(η+1) /2η=5/8≈0. 625
ON THE R L -C PARALL E L RESONANCE CHARACTERISTIC CURVE
Chen Shuisheng
(Department of Physics , Jingdezhen Comprehensive College , Jingdezhen , Jiangxi , 333000,China )
Abstract The impedance formula of RL -C parallel resonance circuit is deduced theoretically ,
and some properties of resonance characteristic curve are analysed. Sufficient condition for the estab 2lishment of the RL -C characteristic curve elsewhere is pointed out.
K ey w ords factor of quality ; resonance characteristic curve
欢迎订阅1998年下半年《大学物理》
《大学物理》是中国物理学会主办的、以高校物理教学研究为主要内容的学术性刊物, 创刊于1982年. 其宗旨是:紧密结合我国高等院校物理教学实践, 开展学术交流, 报导研究成果, 介绍物理学在技术领域和交叉学科的应用及物理学前沿进展, 以提高我国高校物理教学质量和研究水平.
本刊主要刊登与高校物理各学科教学有关的学术研究论文、教学研究成果及进展报导, 实验物理技术与实验方法、计算物理、基础物理教学现代化等内容的研讨文章, 以及物理学前沿综述、专论、物理学史等文章. 主要栏目有教学研究、教学讨论、物理实验、基础物理教学现代化问题、物理教育与科学素质培养、前沿综述、专论、物理・自然・技术・社会、物理学史等. 读者对象为高校物理教师、学生、中等学校物理教师和物理学工作者等.
本刊为月刊, 每期48页. 国内由邮局发行, 可在全国各地邮局订阅, 邮发代号:82-320, 国内定价:3.60元/期,
43. 20元/年; 国外由中国国际图书贸易总公司发行, 发行代号:M-679.
《大学物理》主编:赵凯华
编辑部地址:北京师范大学院内《大学物理》编辑部邮政编码:100875 电话:(010) 62208024